Решение уравнений движения в общем случае

Решение уравнений движения в общем случае [c.45]

Возвращаясь к структуре решения системы дифференциальных уравнений движения в общем случае, отметим, что для произвольного момента времени справедливы равенства [c.174]

Интегрирование уравнений Эйлера. В п. 99 и 100 уравнения Эйлера (6) рассматривались в частных предположениях о движении тела или его геометрии масс. Получим теперь аналитическое решение уравнений (6) в общем случае. Будем для определенности считать, что А > В > С. [c.195]

Решение уравнений (2.23) в первом приближении определяет линейный отклик, который содержит те же фу-рье-компоненты, что и возмущение ког(со)- Второе приближение получается при подстановке линейного приближения в уравнение движения. В общем случае член Ж (о>),р( )]йй будет содержать комбинации частот исходного возмущения. Например, компоненты с частотой второй гармоники определяются уравнениями [c.67]

В связи с весьма большими трудностями решения системы уравнений движения в общем случае (такие решения удается получить только для простейших частных случаев) в практике коэффициенты сопротивления и коэффициенты потерь энергии часто определяются экспериментально путем испытания моделей в лабораторных условиях. При этом необходимо соблюдать такие условия испытания моделей, которые обеспечивают надежность получаемых результатов и позволяют распространить эти результаты на натурные объекты. [c.203]

За исключением ламинарного режима движения, в настоящее время нет точной аналитической зависимости, выражающей данную функцию, так как еще не установлен точный аналитический закон распределения скоростей по живому сечению. Поэтому проинтегрировать уравнение расхода в общем случае не представляется возможным. Для решения задачи используем понятие о средней скорости потока в рассматриваемом живом сечении. В соответствии с этим понятием примем, что все частицы движутся с одинаковой средней скоростью и. Тогда в уравнении (3.5) можно заменить переменную скорость и постоянной средней скоростью v. [c.70]

Сформулированные выше утверждения относились к случаю, когда линейное приближение приводит к дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами. Это типично для задач об устойчивости состояний равновесия или стационарного движения. В общем случае матрица 6 уравнений первого приближения зависит от 7. При этом нельзя утверждать, что из асимптотической устойчивости решений уравнений первого приближения следует устойчивость решений нелинейной системы. Ляпунов выделил класс так называемых правильных систем, для которых справедлив аналог теоремы об устойчивости по первому приближению. Среди этих систем - системы с переменными коэффициентами, которые являются ограниченными периодическими функциями времени с одинаковым вещественным периодом. [c.460]

Далее, для течения через слой конечной длины, ограниченный стенками так, что площадь его поперечных сечений постоянна, давление на выходе можно принять равным нулю. Отсюда градиент давления (падение давления на единицу слоя) в обоих случаях будет равен AP/Z. Поэтому все решения уравнений медленного движения в общем случае будут соответствовать соотношению [c.463]

Разделение радиального и осевого движений в диске представляется естественным при v = О, о чем свидетельствуют первые два решения уравнений движения в (5.1). Однако в общем случае произвольного по форме силового возбуждения проявляется связь между двумя указанными типами движений за счет способности упругого тела сопротивляться сдвигу. Формальным отражением этого свойства является связанность соотношений для определения постоянных х и у, в (5.2). [c.215]

Уравнения (4.19) и (4.30) дают возможность исследовать изменение условной плотности распределения во времени, однако для полного решения этих уравнений необходимо в общем случае иметь явную зависимость коэффициентов Oj и от переменных Xq, /q для первого уравнения и от х, / — для второго. Так как условные плотности вероятности, определяемые уравнениями (4.19), (4.30), описывают (в вероятностном смысле) состояние какого-то объекта, например механической системы, то должна существовать связь между уравнениями Колмогорова и уравнениями движения системы. Для установления этой зависимости рассмотрим уравнение движения системы первого порядка [c.137]

Цель работы состоит в изучении основных явлений, демонстрирующих общие законы динамики системы точек и физический смысл интегралов движения. В общем случае задача нелинейна, и получить ее аналитическое решение не удается. В то же время проведение серии машинных экспериментов позволяет составить достаточно полное и наглядное представление об особенностях движения изучаемой механической системы. Специфика постановки машинного эксперимента проявляется, во-пер-вых, в необходимости предварительной оценки характерного времени протекания процессов для правильной организации вывода результатов решения задачи. Эта оценка определяется заданием конкретных значений параметров системы и начальных условий и проводится студентом предварительно перед каждым вводом исходных данных. Во-вторых, некорректное задание параметров или начальных условий может приводить к аварийным прерываниям решения, не связанным с существом задачи и определяемым ее конкретной реализацией на машине. Студенты убеждаются также, что точность решения зависит как от выбора алгоритма, так и от исходных данных. Нетрудно проследить, например, как изменяют свое численное значение интегралы движения, если выбран сравнительно крупный шаг интегрирования дифференциальных уравнений. [c.52]

Разлагая решения уравнений движения в ряды по степеням малого параметра г/, можно убедиться в том, что коэффициент при г/ в разложении функции J не равен тождественно нулю. Стало быть, в общем случае J 0, и, следовательно, множество D (конгруэнтное с D ) является двумерной областью. [c.217]

Среды, в которых плотность не есть функция одного только давления, т. е. для которых нельзя подобрать никакой функции Ф(р), такой, что имеет место (ИЛ), носят название бароклинных. Здесь плотность р является пятой неизвестной функцией, подлежащей определению, равноправной с функциями V,, v , р, и потому четырех наших уравнений (уравнение неразрывности и три уравнения движения) недостаточно для решения задачи. Для исследования движения в общем случае бароклинной сжимаемой жидкости оказывается необходимым учет нового фактора — притока энергии. Это обстоятельство вводит в рассмотрение две новые величины температуру (абсолютную) жидкости Т и так называемую плотность тепловой мощности притока энергии е, т. е. количество энергии, получаемое единицей объема жидкости в единицу времени. [c.61]

Следует отметить, что течение газа в реактивных соплах в общем случае достаточно сложное (трехмерное, пульсирующее, турбулентное, с высокой температурой, со скачками уплотнения, с возможными отрывными зонами и т.д.), решение основных уравнений движения в этом случае сопровождается значительными трудностями и это приводит к необходимости включения в рассмотрение более простых или идеализированных схем (моделей) течения. Использование более простых моделей позволяет получить определенное упрощенное описание движения газа и облегчить проведение численных расчетов. При этом весьма важно представлять или оценить, насколько эти модели [c.14]

Если параметры тела заданы — известны величины М, I, А, С и тело с одной неподвижной точкой совершает регулярную прецессию под действием силы тяжести вокруг вертикали, то постоянные 00, Фо и фо связаны условием (6.123). Мы видим, что регулярная прецессия в случае Лагранжа описывается частным решением уравнений движения. (В случае Эйлера, при условии А = В, регулярная прецессия представляла собой общее решение — ось прецессии определял произвольно направленный вектор кинетического момента.) [c.412]

О численном решении уравнений, описывающих сферически-симметричные процессы движения тепло- и массообмена около частицы, капли и пузырька. В общем случае полученные уравнения решаются только численно. Кратко рассмотрим соответствующие возможные алгоритмы. [c.275]

Дифференциальное уравнение вращательного движения твердого пела в общем случае позволяет решать две основные задачи гю заданному вращению тела определять вращающий момент внешних сил и по заданному вращательному моменту и начальным условиям находить вращение тела. При решении второй задачи для нахождения угла поворота как функции времени приходится интегрировать дифференциальное уравнение вращательного движения. Методы его интегрирования полностью аналогичны рассмотренным выше методам интегрирования дифференциального уравнения прямолинейного движения точки. [c.315]

В общем случае тот факт, что уравнения (15) получались линеаризацией уравнений Лагранжа, не придает этим уравнениям каких-либо особенностей, которые позволили бы выписать их решение и изучить возникающие движения проще, чем это могло бы быть сделано при исследовании системы линейных уравнений самого общего вида. Иначе обстоит дело в том случае, когда система консервативна и матрица С = с /, является матрицей положительно определенной квадратичной формы ). Тогда в уравнениях линейного приближения [c.236]

Что касается общего решения однородной системы q, то оно находится по общим правилам интегрирования линейных однородных уравнений и в рассматриваемом случае движения вблизи положения асимптотически устойчивого равновесия заведомо стремится к положению равновесия при неограниченном возрастании времени t. В связи с этим движение q t) стремится в пределе к движению q (t), которое обусловлено наличием в правых частях уравнений зависящей явно от времени вынуждающей силы (t). [c.242]

В случаях, отличных от рассмотренных, для получения из теоремы об изменении количества движения первых интегралов надо вычислить импульс S или его проекции 5 , S , S . Поскольку вообще F=F x, у, 2, х, у, z, f), то, как видно из равенства (6), для вычисления импульса надо знать х (/), у (/), z (/), т. е. общее решение уравнений движения точки. Но если известно общее решение. то использование уравнений (3) или (5) для отыскания первых интегралов утрачивает смысл. [c.327]

Д / Вторая задача. Яо заданной массе и действуюш ей на точку силе необходимо определить движение этой точки. Рассмотрим решение этой задачи также в прямоугольной декартовой системе координат. В общем случае сила Р, а следовательно, и ее проекции на координатные оси, могут зависеть от времени, от координат движущейся точки и ее скорости. Дифференциальные уравнения движения точки (3) имеют вид [c.212]

Уравнение частот, как биквадратное уравнение, в общем случае имеет два значения для квадрата частоты . Для системы с двумя степенями свободы, если квадратичные формы для кинетической и потенциальной энергий удовлетворяют условиям определенной положительности (59) и (61), то эти условия необходимы и достаточны для того, чтобы оба решения для были действительными и положительными. Только для действительных и положительных значений обобщенные координаты qx и <72 выражаются синусоидальной зависимостью от времени. Для значений , не удовлетворяющих этим условиям, движение системы не является колебательным. [c.436]

Вторая задача. По заданной массе и действующей на точку силе необходимо определить движение этой точки. Рассмотрим решение этой задачи в прямоугольной декартовой системе координат. В общем случае сила Р, а следовательно, и ее проекции на координатные оси могут зависеть от времени, координат движущейся точки, ее скорости, ускорения и т. д. Для простоты ограничимся случаем зависимости силы и ее проекций на оси координат от времени, координат и скорости. Дифференциальные уравнения движения точки (9) имеют вид [c.232]

Задача интегрирования системы дифференциальных уравнений (3) црл заданных начальных условиях в общем случае является довольно трудной. Даже в простейшем случае прямолинейного движения, когда имеется только одно дифференциальное уравнение, его решение удается выразить точно в квадратурах лишь при определенной. зависимости силы от времени t, координаты х и скорости а. Поэтому важно определение таких соотношений из системы уравнений (9), которые являются следствиями этой системы и в которые входят производные от координат точки только первого порядка. Такие соотношения, например, в виде f t] х, у, г х, у, z) = С называют первыми интегралами системы дифференциальных уравнений (9). [c.234]

В общем случае уравнение движения механизма не решается точно в виде конечной функции. Обычно применяют приближенные либо численные методы решения нелинейных дифференциальных уравнений, а уравнениям движения механизма придают вид, наиболее удобный для исследования в данных конкретных условиях характеристик нагружения. [c.284]

Зная законы действующих внешних сил, точки их приложения и начальные условия, можно с помощью этих уравнений найти как скорость, так и положение каждой точки твердого тела в любой момент времени, т. е. полностью решить задачу о движении тела. Однако, несмотря на кажущуюся простоту уравнений (5.26), решение их в общем случае представляет собой весьма трудную задачу. И прежде всего это обусловлено тем обстоятельством, что связь между собственным моментом импульса L и скоростями отдельных точек твердого тела в //-системе оказывается слол<ной, за исключением немногих частных случаев. Мы не будем рассматривать эту задачу в общем виде (она решается в общей теории) и ограничимся в дальнейшем только отдельными частными случаями. [c.148]

Реальная физическая задача об обтекании заданного тела, разумеется, однозначна. Дело в том, что в действительности не существует строго идеальных жидкостей всякая реальная жидкость обладает какой-то, хотя бы и малой, вязкостью. Эта вязкость может практически совсем не проявляться при движении жидкости почти во всем пространстве, но сколь бы она ни была мала, она будет играть существенную роль в тонком пристеночном слое жидкости. Именно свойства движения в этом (так называемом пограничном) слое и определят в действительности выбор одного из бесчисленного множества решений уравнений движения идеальной жидкости. При этом оказывается, что Е общем случае обтекания тел произвольной формы отбираются именно решения с отрывом струй (что фактически приводит к возникновению турбулентности). [c.34]

Несмотря на все изложенное, изучение решений уравнений движения, соответствующих непрерывному стационарному потенциальному обтеканию тел, имеет в некоторых случаях смысл. Между тем как в общем случае обтекания тел произвольной формы истинная картина течения практически ничего общего с картиной потенциального обтекания не имеет, в случае тел, имеющих некоторую особую ( хорошо обтекаемую , см. 46). форму, движение жидкости может очень мало отличаться от потенциального (точнее, оно будет не потенциальным лишь в тонком слое жидкости вблизи поверхности тела и в сравнительно узкой области следа позади тела). [c.34]

В случае произвольной, не малой, амплитуды волны эти простые соотношения уже не имеют места. Оказывается, однако, возможным найти общее решение точных уравнений движения, представляющее собой бегущую плоскую волну и являющееся обобщением решения f x t) приближенных уравнений, применимых в случае малых амплитуд. Для отыскания этого решения будем исходить из требования, чтобы в общем случае волны с произвольной амплитудой плотность и скорость могли быть выражены в виде функции друг от друга. [c.526]

Решение. Уравнения движения цепочки нелинейны и в общем случае произвольной функции ф(г) неразрешимы. У меня, — писал Тода, — не было никакой определенной стратегии, кроме надежды, что методом проб и ошибок я могу найти одновременно потенциал и решение [69]. Уравнения движения [c.150]

В течение ряда лет в области ракетодинамики значительное место занимали задачи, которые моя но охарактеризовать как задачи внешней баллистики неуправляемых ракет. Над такими проблемами работали и за рубежом. Военные годы, естественно, вызвал повсеместно задержку публикаций. Когда же стали появляться журнальные статьи и книги по теории незшравляемых ракет, то выяснилось, что методы исследования и способы расчета применялись разные, но по сути в советских работах были получены все существенные результаты, какие удалось найти зарубежным ученым. Для решения первой основной проблемы внешней баллистики неуправляемых ракет — в расчете траекторий — были использованы общие положения механики тел перомспной массы. Для вывода уравнений движения в общем случае достаточен восходящий к Мещерскому ирницип затвердевания для системы переменной массы с твердой оболочкой. Вторая основная проблема внешней баллистики неуправляемых ракет — проблема рассеяния, или проблема кучности,— требует, разумеется, привлечения вероятностных методов. Советские исследования в этой области в основном подытожены в книге Ф. Р. Гантмахера и Л. М. Левина Теория полета неуправляемых ракет , изданной в 1959 г. [c.306]

ВЫВОДЫ из дифференциальных уравнений движения, насколько можно упрощенных, но без значительного обеднения их механического содержания. Для подтверждения допустимости упрощения уравнений движения — в общем случае достаточно высокого порядка и существенно нелинейных — аналитические соображения сопровождаются результатами численных решений на вычислительных машинах (применительно к строгим уравнениям) и данными опытов. В этом бтношении теоретикам остается большое поле в области разработки средств построения приближенных решений дифференциальных уравнений со строгой оценкой погрешности, решений, которые наверняка сохранили бы нужные свойства точных решений. [c.5]

Рассмотрим теперь более общий способ приближенного решен задачи о нелинейных колебаниях, осниванный на применении мето Ритца к решению соответствующих нелинейных дифференциальна уравнений движения" ). В общем случае это дифференциальное ура нение имеет форму [c.162]

Следовательно, сформулированные выше условия в данном случае оказываются не только необходимыми, но и достаточными для существования механического подобия. Однако такое заключение нельзя распространить на произвольное движение вязкой жидкости, поскольку теорема существования и единственности решения уравнений Навье — Стокса доказана хотя и для многих, но все же частных классов движения. В общем случае необходимые и достаточные условия подобия не определены. Правда, это не исключает возможности практического использования теории подобия. В практике при постановке эксперимента существование и единственность группы потоков, подобных натурному, предполагают apriori, модель выполняют, исходя из необходимых условий подобия, и ее принадлежность к указанному классу проверяют на основе сопоставления частично известных натурных данных с результатами измерений на модели. [c.123]

Математическое моделирование, закон поверхностного разрушения твердых тел при трении в общем случае должны учитывать физические, химические, механические явления, контактную ситуацию, изменение геометрических характеристик твердых тел во времени, кинематику движения, структуру и состав поверхностных и приповерхностных слоев, образование химических поверхностных соединений, состояние смазочного слоя. Получение уравнений, характеризующих в общем случае процесс поверхностного разрушения при трении, должно базироваться на синтезе эксперимента и математических моделей, учитывающих физико-химические процессы, механику сплошных сред, термодинамику и материаловедческий аспект проблемы. Разрабатываемый теоретико-инвариантный метод расчета поверхностного разрушения твердых тел при трении основывается на уравнениях эластогидродинамической и гидродинамической теории смазки, химической кинетики, контактной задачи теории упругости, кинетической теории прочности и учитывает теплофизику трения, адсорбционные и диффузионные процессы. Цель данных исследований —в получении из анализа и обобщений экспериментальных результатов критериальных уравнений с широкой физической информативностью структурных компонентов, полезных для решения широкого класса практических задач и необходимых для ориентации в направлении постановки последующих экспериментальных работ. Исследования в данной области будут углубляться и расширяться по мере развития знаний о физико-химических процессах, г[ротекающих при трении, получения количественных характеристик и развития математических методов, которые обобщают опытные наблюдения. [c.201]

Этим путем были получены решения Некоторых задач, но они приложимы только к очень малым скорсстям движения. В общем случае необходимо приближение, которое заключало бы как динамические члены, так и члены, зависящие от вязкости, но приводило бы уравнения к более простой форме. [c.84]

НОЙ системы при всевозможных начальных условиях соответствует движение множества фазовых точек. Если это множество непрерывное и занимает определенный объем, то, как оказывается, в щюцессе движения изменяется только форма объема, а его величина сохраняется (теорема Лиувилля). В ряде случаев информацию о движении можно получить, изучая не частное решение уравнений движения, а общее решение, т.е. поведение некоторых объемов фазового пространства. Использование фазового пространства как метода исследования, широко применяется в статистической физике. В механике получило широкое распространение изучение с помощью фазовых плоскостей колебательных и иных процессов. [c.275]

Рассмотрим случаи с,= onst, которые особенно многочисленны при неправильной форме частиц, так как согласно 2-4 автомодельность по R6t (с/ = onst) наступает тем раньше, чем больше несфе-ричность. При /=1,15- 1,5 последующие решения верны для Rei 200—400. Решения дифференциального уравнения при с/ = onst для нисходящего прямотока получены в [Л. 306], для восходящего прямотока в [Л. 71, 72, 143, 254, 262] и для противотока в [Л. 72]. В общем случае уравнения (2-17), (2-18 ) относятся к одному классу рациональных функций, интегрирование которых возможно по формуле общего типа (Л. 71]. Пользуясь выражением (2-40) и полагая скорость воздуха неизменной, найдем время и конечную скорость движения частиц при противотоке. Разделяя переменные и определяя постоянную интегрирования из начальных условий (т=0, VT = VT.n), получим [Л. 71, 72] [c.66]

При решении ряда задач динамики механизм с одной степенью свободы можно заменить одной эквивалентной ему материальной точкой пли вращающимся вокруг неподвижной оси телом. Хотя масса этой заменяювщй точки и момент инерции этого заменяю1цего гела в общем случае и являются величинами переменными тем не менее такая замена позволяет получить динамические уравнения движения механизма в более простом и компактном виде и облегчает задачу составления указанных уравнений. Для осуществления такой замены вводим понятие приведенной массы и приведенного момента инерции механизма. [c.54]

По поводу полученных в этом н предыдущем параграфах решений уравнений движения вязкой жидкости можно сделать следующее общее замечание. Во всех этих случаях нелинейный член (vV)v тождественно исчезает из уравнений, определяющих распределение скоростей, так что фактически приходится решать линейные уравнения, что крайне облегчает задачу. По этой же причине все эти решения тождественно удовлетворяют также и уравнениям движения идеальной 11есжимаемой жидкости, написанным, например, в виде (10,2—3). С этим связано то обстоятельство, что формулы (17,1) и (18,3) не содержат вовсе коэффициента вязкости жидкости. Коэффициент вязкости содержится только в таких формулах, как (17,9), которые связывают скорость с градиентом давления в жидкости, поскольку самое наличие градиента давления связано с вязкостью жидкости идеальная жидкость могла бы течь по трубе и при отсутствии градиента давления. [c.86]

Определим общий вид решений уравнений стационарного плоского сверхзвукового движения газа, описывающих течения, при которых на бесконечности имеется однородный плоско-параллельный поток, в дальнейшем своем течении поворачивающий, обтекая искривленный профиль. С частным случаем такого решения нам уже приходилось иметь дело при изучении движения вблизи угла, — при этом мы по существу рассматривали пл ско-параллельный поток, текущий вдоль одной из сторон угла и поворачивающий вокруг края этого угла. В этом частном решении все величины — две компоненты скорости, давление, плотность — были функциями всего лишь от одной переменной — от угла ф. Поэтому каждая из этих величин могла бы быть выражена в виде функции одной из них, Поскольку это решение должно содержаться в виде частного случая а искомом общем решении, то естественно искать зто последнее, исходя из требования, чтобы и в нем каждая из величин р, р, Vx, v,j (плоскость двил<ения выбираем в качестве плоскости х, у) могла быть выражена в виде функции одной из них. Такое требование представляет собой, конечно, весьма существенное ограничение, налагаемое на решение уравнений движения, и получающееся таким образом решение отнюдь не является общим интегралом этих урхвнений. В общем случае каждая из величин р, р, Vx, v,j, являющихся функцией двух координат х, у, могла бы быть выражена лишь через две из них. [c.601]

Теперь мы можем построить общее решение линейного уравнения движения. В случае гармонических колебаний движение атомов в цепочке, в силу линейности уравнения движения, можно предстз Вить в виде суперпозиции бегущих волн типа (5.21), каждая из которых характеризуется волновым числом k, частотой со и амплитудой А . Тогда смещение мы можем записать в виде [c.149]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...