Уравнения медленных движений

Бифуркационные диаграммы главных семейств (3= ).. Множество особых точек полей любого из семейства (3= ) образует гладкое подмногообразие в произведении фазового-пространства на пространство параметров. Бифуркационная диаграмма для главного семейства (3 ) (множество значений параметра, при которых особые точки семейства сливаются) — это множество коэффициентов многочленов степени р+1, имеющих кратные корни. При р=1 это множество — одна точка, при j, = 2 — полукубическая парабола, при ц = 3 — ласточкин хвост (рис. 5). Деформации векторных полей на прямой с вырожденной особой точкой возникают в теории релаксационных колебаний, как уравнения медленных движений в окрестности точки на складке медленной поверхности ( 2, гл. 4). В п. З.Г указаны только топологические нормальные формы таких деформаций. Для приложений существенны также гладкие нормальные формы они исследуются в 5 главы 2 и оказываются очень похожими на главные семейства (3= ). [c.24]

Пример. Уравнение медленного движения системы Ван-дер Поля [c.169]

Медленное движение как аппроксимация возмущенного. Рассмотрим уравнение медленного движения по медленной поверхности [c.169]

Теорема. В окрестности точки срыва уравнение медленных движений системы общего положения с одной быстрой и одной медленной переменной расслоенным диффеоморфизмом медленной кривой приводится к виду [c.174]

Уравнение медленного движения можно записать в виде (пишем снова (х, у) вместо г, а)) [c.174]

Теорема. (В. И. Арнольд, 1984). В окрестности точки складки проектирования медленной поверхности системы общего положения с двумя медленными и одной быстрой переменной семейство интегральных кривых уравнения медленных движений расслоенным диффеоморфизмом медленной поверхности приводится к одной из следующих нормальных форм [c.177]

Пример. Особая точка уравнений медленных движений типа сложенный узел (рис. 686) является воронкой. Результаты пункта 2.5 показывают, что такие воронки неустранимы малым шевелением быстро-медленной системы. [c.190]

V — медленная, а р — быстрая составляющие, применим для решения (103) метод прямого разделения движений (см. параграф 2 гл. IX т. 2). При этом, предполагая, что сила трения fm г мала по сравнению с силами инерции, получим (в соответствии с (18) —(20) гл. IX т. 2) следующее уравнение медленного движения [c.59]

X, X, t), необходимых при составлении уравнений медленного движения (7). [c.243]

Уравнения медленных движений. выражения для вибрационных снл и моментов [c.245]

Размерность системы уравнений медленных движений в данном случае на 2п единиц меньше размерности исходной системы (л — число степеней свободы колебательной части системы). [c.252]

Особенность системы состоит в том. что движение частицы в горизонтальной плоскости является быстрым, а в вертикальном направлении — медленным. Поэтому медленное движение в данном случае, как и в пп. 7 и 8 таблицы, описывается одним уравнением первого порядка. Общин внд уравнений медленного движения для всех трех изученных задач теории вибрационного перемещения также одинаков. Уравнениями быстрого движения в задаче п. 9 таблицы являются первые два исходных уравнения движения системы эта уравнения допускают точное решение 17], однако приведенное выражение для вибрационной силы W(V ) приближенное, полученное в результате пренебрежения силами сопротивления в уравнениях быстрого движения. Из анализа этого выражения следует, что в результате действия вибрации сила сопротивления титла сухого трения трансформировалась а силу нелинейно-вязкого сопротивления (см. п. 7). Если при отсутствии ви ации характерно, что частица может находиться в равновесии в любой точке среды, т. е. обладает континуумом положений равновесия, то при достаточно интенсивной вибрации она непременно погружается (или всплывает). [c.257]

Естественно, в рамках этой книги невозможно дать исчерпывающее рассмотрение этих различных технологических приложений. Акцент делается лишь на изложении главных принципов, лежащих в основе рассматриваемых систем, с точки зрения уравнений медленного движения. [c.414]

В представленном здесь анализе рассматриваются две концентрические сферы внутренняя сфера радиуса а представляет собой твердую частицу, а на поверхности внешней сферы радиуса Ъ нет трения. Краевая задача, которую нужно решить, состоит в удовлетворении уравнений медленного движения при соответствующих граничных условиях. Уравнения движения имеют, таким образом, вид [c.447]

Для получения решения используем обш,ее решение уравнений медленного движения Ламба [59] в сферических координатах, записанное в соотношениях (3.2.3). Таким образом, [c.448]

Данные табл. 8.4.2 позволяют сравнить значения постоянной Козени, вычисленные из предыдущего соотношения и из соотношения (8.4.11) для облака сферических частиц. Использовать для этой цели отношение U/Uq невозможно, так как нет решения уравнений медленного движения для одного цилиндра, падающего в неограниченной среде параллельно или перпендикулярно своей оси. Хотя значения постоянной Козени для сфер в интервале е от 0,4 до 0,8 лежат между ее значениями для течения, параллельного и перпендикулярного к цилиндрам, при более высоких порозностях постоянная Козени для сфер выше, чем [c.456]

Рассмотрим две стационарные системы, первая из которых представляет собой исследуемую систему, а вторая геометрически подобна ей, но характеризуется другими значениями локальной скорости жидкости в соответственных точках. Задача состоит в определении связи между падением давления и скоростью жидкости в таких системах. Если предположить, что инерционными членами можно пренебречь, получаем уравнения медленного движения, справедливые для обеих систем [c.462]

Таким образом, в этом случае для всех решений уравнений медленного движения характерно постоянство безразмерной величины pl)l iv). [c.463]

Далее, для течения через слой конечной длины, ограниченный стенками так, что площадь его поперечных сечений постоянна, давление на выходе можно принять равным нулю. Отсюда градиент давления (падение давления на единицу слоя) в обоих случаях будет равен AP/Z. Поэтому все решения уравнений медленного движения в общем случае будут соответствовать соотношению [c.463]

Это уравнение часто использовалось для расчета давления в течениях в пористых материалах. Нужно отметить, что хотя уравнение (8.5.8) в формальном отношении подобно по своему виду соотношению, приложимому и к вязкой несжимаемой жидкости как сплошной среде, в данном случае оно относится к движению в пористом теле. Ассоциированное поле скорости, описываемое уравнением (8.5.6), в этом случае не будет таким же, как для движения сплошной среды между твердыми стенками, описываемого уравнениями медленного движения. Если пористая среда не изотропна, К может зависеть от направления движения, и уравнение (8.5.8) не будет применимо. В равной степени его нельзя, конечно, использовать и для описания давления, передаваемого самими частицами слоя, или для анализа гидродинамических напряжений, действующих на обтекаемые тела и отличных от сил, направленных нормально к их поверхностям. [c.465]

Предварительные данные. Известно, что уравнения медленного движения вязкой. идкости, если обозначить через х коэфициент вязкости, имеют вид [c.251]

В этом приближении А и В — полуплоскости, уравнения медленных движений на которых имеют вид (ср. с (22.9)) [c.474]

Уравнение медленного движения есть уравнение эволюции медленных переменных при условии, что быстрые поддерживаются в равновесных состояниях. Основной замысел теории релаксационных колебаний — построение асимптотик истинного-возмущенного движения из сменяющихся отрезков быстрого и медленного движений. [c.169]

В этом пункте рассмотрен ряд задач о действии вибрации на механизмы, содержащие маятники II вращающиеся роторы. Основная особенность изучаемых систем состоит в гом, что вибрации основания, на котором установлены механизмы, являются как бы каналом передачи мощности (вращающегося момента) пропускная способность этого канала при прочих равных условиях растет с увеличением частоты и амплитуды вибрации. Наличие указанной вибрационной связи приводит к ряду. воеобразных нелинейных эффектов (см. ниже), которые могут быть истолкованы как результат появления вибрационных моментов в соответствующих уравнениях медленного движения. Наиболее отчетливо вибрационные связи (взаимодействия) проявляются в задаче о самосинхронизации механических вибровозбудителей (см. ниже), где они приводят к взаимной согласованности средних угловых скоростей роторов. [c.244]

Неуравновешенный ротор на вибрирующем основании. Задача о захватывании вращения неуравновешенного ротора, приводимого от двигателя асинхронного типа, с помощью методов Пуанкаре — Ляпунова была рассмотрена для частного случая в п. 3 гл. И, а для более общего — в п. 5 гл. VHI краткие библиографические сведения приведены в п. 8 гл. VHI. Схема системы и уравнение движения даны в п. 2 таблицы. При решении задачи методом прямого разделения движений к медленным следует отнести движущий момент L (ф). момент сил сопротивления R (ф) и момент силы тяжести mg е os ф, а к быстрым момент сил инерции отесо [Я sin Ш sin ф + + G os b)t+ 0) os ф . Выражение для вибрационного момента, совпадающее с полученным в п. 5 гл. VIII методом Пуанкаре, может быть найдено с помощью вычислений, подобных проведенным выше для маятника в данном случае эти вычисления даже проще вследствие того, что в исходном приближении можно принять ijj (со/) = 0. Соответствующее выражение для W и уравнение медленного движения приведены в п. 2 таблицы. Все результаты анализа, подробно изложенные в п. 5 гл. VHI, получаются из приведенного уравнения, однако оно позволяет изучать также и медленные процессы установления режимов захватывания и вибрационного поддержания вращения неуравновешенного ротора, [c.250]

Вычисления по второму методу несколько проще, но в отличие от общего метода В. М. Волосова он пригоден только для квазилинейных систем, к числу которых относится (56). Оба метода приводят к уравнениям медленных движений [c.345]

Н. А. Слезкин [88] вывел уравнения движения для суспензий, в которых этот эффект гипотетически налагается на силы, уже вычисленные из уравнений медленного движения. Слезкин и Шустов [90] в последуюш,ем применили эти уравнения для определения сил, действуюш их на частицы, взвешенные в ламинарных потоках. Во всех случаях эффекты взаимодействия между частицами не рассматривались, так что этот анализ применим главным образом к разбавленным системам. [c.424]

Вместо того чтобы решать уравнения медленного движения при граничных условиях прилипания на поверхности каждой частицы, Хасимото ограничил свой анализ исследованием разбавленных суспензий, заменив каждую частицу точечной силой, затормаживаюш ей движение жидкости. Уравнения медленнога движения были затем модифицированы так, чтобы ввести в них разрывное внешнее силовое поле, состоящее из точечных сил, приложенных в каждом углу ячеек. Хасимото предпочел рассматривать силу реакции, с которой жидкость действует на каждуку частицу, и переписал уравнения медленного движения в следую- [c.435]

Другие исследования двумерных совокупностей различных объектов включают работу Тамады и Фудзикавы [100] о течении, нормальном к колонке параллельных цилиндров. Они показали, что сила трения, действующая на один из цилиндров и вычисленная на основе уравнений Озеена, стремится к значению, получаемому из уравнений медленного движения, в предельном случае малых чисел Рейнольдса раС7/(х. Хасимото [48] обсудил свойства течения через тонкий экран и получил точное решение уравнений медлен-ного движения для периодического ряда плоских пластин, расположенных перпендикулярно однородному течению. Кувабара [55] и Мияги [69] рассмотрели на основе уравнений медленного движения обтекание системы параллельных пластин и ряда параллельных круговых цилиндров соответственно. [c.446]

Если течение перпендикулярно цилиндрам, инерционные члены в уравнениях Навье — Стокса опускаем. В цилиндрических координатах уравнения медленного движения, получаюпциеся для плоского течения, имеют вид [c.455]

Различие между уравнениями, приложимыми к движению в пористой среде и к самой жидкой среде, протекающей в порах, не всегда четко подчеркивается в литературе, что ведет к путанице, касающейся вопроса о применимости первых уравнений. Так, Стритер [97], исходя из уравнений медленного движения, утверждает, что, поскольку Р + pgh) = О, существует потенциал скорости, и приходит к выводу, что уравнение Дарси дает связь между скоростью и градиентом давления. В этом выводе не учитывается различие между различными возможными краевыми задачами. Далее, Морс и Фешбах [70] утверждают, что для жидкости, просачивающейся в пористом теле, вязкостью и завих- [c.465]

Более сложные проблемы возникают в случаях, когда необхо-димЪ рассматривать как гидродинамические силы, так и силы, возникающие при соприкосновении частиц. Точный теоретический анализ таких проблем сложен. Пример встречающихся задач можно найти в работе [18], посвященной механике движения дискретных сферических частиц под действием мелких волн на малой глубине. Теоретический анализ проводится при помощи рассмотрения сил, действующих на одиночную сферическую частицу, покоящуюся на наклонном дне, причем предполагается, что верхний слой частиц состоит из сфер одинакового диаметра. Уравнение, полученное в результате этого анализа, было проверено экспериментально. Одно из интересных гидродинамических следствий заключается в том, что наличие границы (а именно поверхности дна) способствует, по-видимому, усилению роли вязких сил, приводя к так называемому линейному закону сопротивления, характерному для уравнений медленного движения, который в данном случае выполняется вплоть до 100. [c.483]

Как и в случае течения в упакованных слоях, теоретическое рассмотрение процесса псевдоожижения при высоких числах Рейнольдса все еще оказывается невозможным. В задачах седиментации, конечно, высокие числа Рейнольдса при больших концентрациях частиц обычно не наблюдаются. Чтобы понять фундаментальные гидродинамические особенности псевдоожиженных систем, Фейон и Хаппель [28] изучали течение жидкости вокруг одиночной сферы, помещенной в круговом цилиндре. Они нашли, что в интервале чисел Рейнольдса, построенных по скорости набегания потока и диаметру сферы, от 0,1 до 40, падение давления, вызванное наличием сферы, и действующая на нее сила трения могут быть представлены полуэмпирическими выражениями, состоящими из двух членов. Первый из них связан с наличием цилиндрической стенки, ограничивающей поток, и может быть получен теоретически из уравнений медленного движения, в которых инерционными эффектами пренебрегается. Второй член, обусловленный инерционными эффектами, может быть получен из данных, относящихся к однородному обтеканию сферы неограниченной средой (см. уравнение (7.3.110)). [c.491]

При /х О вне кривой х = (1 - y )y dy/dx оо или dx/dy O. Интегральными кривыми будут прямые X onst, а направления движения по ним определяются вторым уравнением системы (14.9). Из последнего следует, что скорость движения при /х О очень велика. Это так называемые быстрые движения. Медленные движения происходят на самой кривой у 1 — у ) = ж закон движения определяется первым уравнением системы (14.9). Фазовый портрет изображен на рис. 14.6 а. Верхняя и нижняя ветви кривой медленных движений устойчивы по отношению к быстрым движениям, средняя неустойчива. В точках ж ж происходит скачок с одной ветви кривой у х) на другую. При любых начальных условиях система выходит на предельный цикл abed, состоящий из участков быстрых и медленных движений. При этом система совершает релаксационные колебания, форма которых изображена на рис. 14.6 б. Период колебаний Т можно найти, подсчитав время движения по предельному циклу [5]. Временем быстрых движений можно пренебречь. Из уравнений медленных движений X = у, 1 — у )у = ж найдем [c.303]

Интегрируя на участках ВС и DA уравнение медленного движения X X — Q (см. 7 гл. IV), мы получим предельное выражение для периода автоколебаний lira т = 21п(2АГ—1), так как для периодического движения [c.554]

Разрывные колебания [61, 94, 105, 114, 158, 159]. Весьма интересным, особенно для теории систем с разрывными колебаниями, является тот случай, когда -мерный образ F Р х у) = 0 —- фазовое пространство вырожденной модели системы, построенной при пренебрежении всеми паразитными параметрами, распадается на две части на часть F, в точках котброй условие несущественности тех или иных малых (паразитных) параметров выполняется (все корни характеристического уравнения (10.18) имеют отрицательные действительные части), и на часть F , где это условие не выполнено. Тогда только малая 0( 1.)-окрестность подпространства F (в полном я-мерном фазовом пространстве лг, у) является областью медленных- движений изображающей точки только там скорости изменения состояния системы (т. е. х я у остаются ограниченными в течение конечных иптервалов времени при л. 0. Поэтому, если рассматриваемые паразитные параметры достаточно малы (т. е. если л< 1), мы можем пользоваться для описания медленного движения изображающей точки вблизи приближенными уравнениями медленных движений системы— уравнениями (10.16), совпадающими с уравнениями вырожденной системы, а само движение можем считать происходящим (также приближенно) в пределах этой части F подпространства F х у) = 0. [c.753]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...