Положение равновесия асимптотически устойчивое

Теорема об асимптотической устойчивости. Если потенциальная энергия П склерономной определенно-диссипативной системы в некотором положении равновесия имеет строгий минимум и это положение равновесия является изолированным, то положение равновесия асимптотически устойчиво. [c.202]

V по времена вычисленная в силу уравнений движения) имеет в этом же состоянии экстремум противоположного типа, то рассматриваемое положение равновесия устойчиво. Если при этом экстремум производной также является строгим, то положение равновесия асимптотически устойчиво. [c.206]

В следующих задачах определить область устойчивости, т. е. пайти все значения параметров аир, при которых положение равновесия асимптотически устойчиво [c.180]

Третья теорема Томсона — Тета — Четаева. Если изолированное положение равновесия системы устойчиво при одних потенциальных силах, то оно становится асимптотически устойчивым при добавлении произвольных гироскопических сил и сил сопротивления с полной диссипацией. [c.173]

Влияние гироскопических и диссипативных сил на неустойчивое равновесие. Пусть положение равновесия консервативной системы неустойчиво. Нельзя ли добавлением диссипативных сил стабилизировать его, т. е. нельзя ли так подобрать диссипативные силы, чтобы неустойчивое при наличии одних потенциальных сил положение равновесия стало устойчивым или даже, может быть, асимптотически устойчивым Ответ на этот вопрос отрицательный. [c.537]

Рис. 18.3. Интерпретация по Ляпунову устойчивости положения равновесия системы на примере системы с одной степенью свободы при использовании пространства состояний и фазового пространства а) проверяемое положение равновесия устойчиво б) проверяемое положение равновесия неустойчиво а) проверяемое положение равновесия асимптотически

Д. Р. Меркин (1956) исследовал устойчивость линейной системы, находящейся под действием только гироскопических сил. Рассмотрением характеристического уравнения он доказал, что для устойчивости равновесия такой системы необходимо и достаточно, чтобы определитель матрицы гироскопических коэффициентов 0. Показано также, что если на систему помимо гироскопических действуют и диссипативные силы с полной диссипацией, то положение равновесия всегда устойчиво в первом приближении. В. В. Румянцев (1957) показал, что положение равновесия нелинейной системы при указанных условиях асимптотически устойчиво по отношению к скоростям q i. В. М. Матросов (1959) обобщил эти результаты, доказав, что положение равновесия нелинейной системы устойчиво относительно qi и а всякое возмущенное движение асимптотически приближается к одному из положений равновесия qi = i, q = О, причем устойчивость сохраняется и при параметрических возмущениях. [c.38]

Как мы уже говорили, мы будем делать различие между интегральными кривыми и фазовыми траекториями, так как одной интегральной кривой может соответствовать несколько существенно различных движений или, иначе говоря, несколько различных фазовых траекторий. Например, в рассматриваемом случае, задавая определенное значение константы С, мы еще не фиксируем единственную траекторию, так как в нашем случае каждая интегральная кривая проходит через особую точку и, следовательно, состоит из трех фазовых траекторий (две из них соответствуют движениям, асимптотическим к состоянию равновесия, третьей является само состояние равновесия). В нашем случае все интегральные кривые проходят через особую точку. Такая особая точка, через которую проходят интегральные кривые, подобно тому, как семейство парабол у = Слг" (а 0) проходит через начало координат, носит название узла. Нетрудно видеть, что состояние равновесия, соответствующее в нашем случае особой точке — узлу, является устойчивым по Ляпунову, так как изображающая точка по всем интегральным кривым движется по направлению к началу координат. Устойчивое состояние равновесия, которое соответствует особой точке типа узла, мы в дальнейшем будем называть устойчивым узлом. Как мы убедимся в дальнейшем, узел может быть и неустойчивым, для чего достаточно, чтобы к было отрицательно. Как и в случае фокуса, физический смысл этого обстоятельства заключается в том, что если состояние равновесия в системе без трения с одной степенью свободы устойчиво, то прибавление положительного трения, т. е. трения, на преодоление которого должна затрачиваться работа, не может нарушить устойчивости (даже более того — положительное трение сообщает положению равновесия абсолютную устойчивость). [c.66]

Устойчивость обеспечивает пребывание системы вблизи положения равновесия при достаточно малых отклонениях, но не гарантирует возвращения в положение равновесия или даже асимптотическое стремление к нему при Между тем ин- [c.218]

Положение равновесия q) называется асимптотически устойчивым, если оно устойчиво и, если, кроме того, суш,ествует такая -окрестность точки qj = q% = О (/ = 1,. .., п), что для всех — [c.218]

Устойчивость равновесия консервативной системы. Потенциальные ямы и барьеры. Рассмотрим теперь условия устойчивости равновесия консервативной системы. Критерии устойчивости, приведенные выше, непригодны для этой цели. Дело в том, что у характеристического уравнения линейного приближения для консервативной системы все корни чисто мнимые ) и асимптотическая устойчивость не может иметь места. Выделить устойчивые положения равновесия в консервативной системе позволяет [c.225]

Теорема. Если в положении равновесия строго диссипативной стационарной системы потенциальная энергия имеет строгий минимум и если это положение равновесия является изолированным, то оно асимптотически устойчиво. [c.230]

Теорема Ляпунова позволяет установить, является ли исследуемое положение равновесия в общем случае устойчивым (либо асимптотически устойчивым) в зависимости от того, можно или нельзя подобрать функцию Ляпунова для конкретной рассматриваемой задачи. Сама по себе теорема не дает каких-либо рекомендаций в отношении того, каким образом можно выяснить [c.235]

Что касается общего решения однородной системы q, то оно находится по общим правилам интегрирования линейных однородных уравнений и в рассматриваемом случае движения вблизи положения асимптотически устойчивого равновесия заведомо стремится к положению равновесия при неограниченном возрастании времени t. В связи с этим движение q t) стремится в пределе к движению q (t), которое обусловлено наличием в правых частях уравнений зависящей явно от времени вынуждающей силы (t). [c.242]

В положении асимптотически устойчивого равновесия, то из формул (69) и (73) видно, что вынужденное движение по модулю может быть сделано сколь угодно малым, если внешнее воздействие мало по модулю. Действительно, в формулу (69) входит как множитель амплитуда А внешней силы, а в формулу (73) — величины Л, являющиеся коэффициентами Фурье в разложении [c.252]

Определить, будет ли асимптотически устойчиво положение равновесия системы спутник — стабилизатор для значений параметров, определяемых формулами (2.28) и (2.29). [c.103]

Таким образом, положение равновесия системы асимптотически устойчиво. [c.103]

Пример 2.11. Для системы с демпфирующей пружиной (см. пример 2.3) выясним, будет ли асимптотически устойчивым ее положение равновесия при значениях параметров задачи, определяемых формулами (2.35), (2.37) (1-й вариант) и (2.35), (2.38) (2-й вариант). [c.107]

Теорема. Если в некотором изолированном положении равновесия потенциальная энергия имеет строгий локальный минимум, то при добавлении гироскопических сил и диссипативных сил с полной диссипацией это положение равновесия становится асимптотически устойчивым. [c.385]

Асимптотическая устойчивость положения равновесия. Диссипативные системы................200 [c.6]

Введем теперь понятие об асимптотически устойчивом положении равновесия. Положение равновесия называется асимптотически устойчивым, если оно устойчиво и если, кроме того, при достаточно малых по абсолютной величине начальных отклонениях и начальных скоростях все отклонения и скорости при неограниченном возрастании времени t стремятся к нулю, т. е. если существует такое число 8о О, что [c.200]

В рассмотренных на стр. 190—192 примерах 1, 2 и 3 только в примере 3 устойчивое положение равновесия является асимптотически устойчивым. [c.200]

Исследование движения склерономной определенно-диссипативной системы в окрестности ее асимптотически устойчивого положения равновесия будет дано в 46. [c.204]

Пример. Положение равновесия линейного осциллятора в среде с сопротивлением, пропорциональным первой степени скорости, будет асимптотически устойчивым. Действительно (см. пример 3 на стр. 191), дифференциальное уравнение движения [c.218]

В ЭТОМ случае положение равновесия системы является асимптотически устойчивым не только для линеаризированной системы (8), но и для исходной нелинейной склерономной системы с дифференциальными уравнениями (1) (см. 38). [c.262]

Используя процедуру RGUR, получить необходимые и достаточные уаювия для параметров к- и рассматриваемой системы, при которых ее положение равновесия асимптотически устойчиво (все остальные параметры определяются формулами (2.28)). [c.104]

Теорема Ляпунова об асимптотической устойчивости. Если в некоторой окрестности D положения равновесия ж = О существует функция Ляпунова, такая, что функция —dVjdt положительно определена в D, то положение равновесия асимптотически устойчиво. [c.164]

Стоит заметить, что когда размерность фазового многообразия больше двух, возникает много различных типов поведения траекторий в окрестности замкнутой траектории, и представляется нецелесообразным говорить в данном случае о предельных циклах (точно так же, как для положений равновесия на плоскости не вводят понятия предельнош положения равновесия) ). Асимптотическая устойчивость уже имеет свое название, а более широкий класс включал бы несколько качественно отличающихся друг от друга типов поведения, для объединения которых нет оснований. [c.177]

Положение равновесия асимптотически устойчиво, поскольку общее решение уравнения (5.1) представляется в виде суммы экспонент, показатели которых имеют отрицательные монотонно убывающие действительные части и limq(r) = 0. [c.215]

Границы областей устойчивости, на которых положение равновеси асимптотически устойчиво, называются безопасными, а границы, н которых оно неустойчиво, — опасными. [c.222]

Следуя Р. Деванею [191], рассмотрим автономную аналитическую гамильтонову систему с двумя степенями свободы. Пусть р — критическая точка гамильтониана Я с собственными значениями (а г/3) (а,/3 G R). Если а О, то р — гиперболическое положение равновесия, обладающее устойчивой асимптотической поверхностью и неустойчивой Л . Пусть 7 — гомоклинная траектория она стремится к точке р при t — оо. Ясно, что 7 С (Л П ПЛ ), Предположим, что во всех точках траектории 7 двумерные поверхности Л и Л пересекаются трансверсально. [c.297]

Хг (х1,. . ., Хт) представляют решение уравнений дХЛдхг = О, то положение равновесия = О устойчиво, а всякое возмущенное движение асимптотически приближается к одному из положений равновесия Хд = 8, Хг = Хг ( 1,. . 1т) Матросов показал также, что если силовая функция и может принимать положительные значения при сколь угодно малых I 5 г I, то положение равновесия гироскопической системы с дис--сипацией неустойчиво. Аналогичный результат был получен также [c.39]

Каждому значению С соответствует своя и тегральная кривая. Ось ординат и ось абсцисс тоже интегральные кривые, отвечаюцще зна ниям С=сю и С=0 соответственно. Начало к ординат - особая точка, в которой все интегр ные кривые касаются оси абсцисс. Особая то представленная на рис. 2.1, называется узло Нетрудно определить направление движен изображающей точки по интегральной крив При < О, < О изображающая точка с чением времени приближается к началу координат, что видно из (2. В этом случае имеем устойчивый узел, а состояние равновесия асимптотически устойчиво. Если же А,, > О, А,, > О, то изображающ точка по соответствующей параболе удаляется (с ростом /) от начала ординат в этом случае особую точку ( =Т1 =0), являющуюся неустойч вым положением равновесия, называют неустойчивым узлом. [c.52]

Предположим теперь, что стационарная система совершает колебания вблизи положения асимптотически устойчивого равновесия, но в отличие от случая, рассмотренного выше, будем предполагать, что на систему помимо обобш,енных сил, зависящих от обобщенных координат и скоростей, действует также и обобщенная сила, зависящая явно от времени. [c.241]

Пример 2.12. Испо [ьзуяпроцедуру LSHIP, получим для примера 2.2 необходимые и достаточные условия асимптотической устойчивости положения равновесия системы. Для этого обратимся к процедуре [c.107]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...