Параболического цилиндра функция

ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ЦИЛИНДРА ФУНКЦИИ [c.528]

Лит. см. при статьях Специальные функции, Параболического цилиндра функции. А. Ф. Никифоров. [c.637]

Параболического цилиндра функция 364 Параболическое приближение 279 Параксиальное изображение 140 [c.654]

Если теперь г o близко к единице, то уравнение (2.2) пригодно во всем интервале значений г , и решение задач А т В представляется соответствующими функциями параболического цилиндра. Можно показать [6], что собственные числа в этом случае суть [c.112]

Решения этих уравнений выражаются через функции параболического цилиндра [3.5], теория которых достаточно подробно из-ложена в [3.6]. Они также могут быть представлены в виде степенных рядов [5.5. [c.126]

Функцию 1( 1) можно также выразить через гамма-функцию (Г (...)) и функцию параболического цилиндра (/)(...)) дробного порядка [30] [c.175]

В (с,- -1) ( ]— функция параболического цилиндра. [c.208]

Приближенно интеграл (5.93) и моменты <Л,->, <Л > можно вычислить через цилиндрические функции дробного порядка, которые табулированы несколько подробнее, чем функции параболического цилиндра. [c.209]

В этой точке изменяется характер зависимости функции параболического цилиндра от Из осциллирующей при < она переходит в экспоненциально затухающую при > Поэтому точки могут рассматриваться как условные границы той области, где сосредоточено поле, описываемое функциями параболического цилиндра. [c.53]

Используя функции параболического цилиндра и Ф , поле эрмит-гауссова пучка можно записать в виде [c.53]

Можно видеть, что функция e n p) является собственной для оператора М с собственным значением т. Поэтому искомую суперпозицию функций параболического цилиндра попробуем найти среди собственных функций оператора М. [c.68]

Б) граничные иоверхности заменяются параболическими цилиндрами, что эквивалентно сохранению в разложениях функций в (4.81) в степенной ряд по жх членов второго порядка (учитываем, что fj 0) = 0) [c.101]

Решения этого уравнения - функция параболического цилиндра. При ш > 1 любое решение уравнения (2.3) имеет по крайней мере один корень и, следовательно, лишено физического смысла. При ш < 1 существуют решения, не меняющие знака и достаточно быстро стремящиеся к нулю при 1 1 —00. Таким образом, ш < 1. [c.364]

Здесь ф2о( ), ф2о( ) и ф2о( ) — затухающие на бесконечности функции, которые, как оказывается, тоже выражаются через функцию ехр(—1 ) и функции параболического цилиндра. Аналогичные, но более сложные выражения могут быть получены и для моментов 0nm(Z, t) высших порядков (с M + m>2). [c.575]

Наконец, следует заметить, что записанные выше асимптотические выражения применимы лишь в том случае, когда седловая точка не очень близка к точке ветвления. Нетрудно показать, что при — 0 имеем Ьз О и выражение (5.7.7) становится сингулярным. В этом случае более точно интеграл можно вычислить с помощью найденной Фоком переходной функции, связанной с функцией параболического цилиндра порядка 1/3 (см. книгу Бреховских [7], указанную в литературе к гл. 3 настоящей книги). [c.376]

Свойства полиномов Эрмита и их связь с функциями параболического цилиндра можно найти в книгах [c.669]

Г ( ) — гамма-функция D. ( ) — функция параболического цилиндра [c.31]

Тот факт, что краевой член для шара оказывается не средним, а суммой краевых слагаемых для цилиндра в двух случаях, может показаться странным. Он обусловлен тем, что тень шара имеет отношение длины окружности к площади в два раза большее, чем тень цилиндра. Многие другие тела, включая эллипсоиды общего вида, параболоиды, параболические цилиндры, можно рассмотреть таким же образом. Конечные формулы могут быть несколько сложнее, но при условии, что все размеры много больше X, они будут содержать только определенные выше функции. [c.406]

Лучевое представление собственной функции в такой узкой полосе будет неверным. Мы увидим в дальнейшем, что собственная функция в этой полосе должна выражаться через функции параболического цилиндра. Тем не менее оба члена в формуле (5.29), в отличие от случая эллиптической каустики, оказываются справедливыми. [c.100]

С функциями параболического цилиндра Dq г) мы уже встречались в главе 5. Они образуют полный набор собственных функций краевой задачи [c.194]

Вывод о том, что решения уравнения Гельмгольца, сосредоточенные в окрестности произвольного луча, выражаются через функции параболического цилиндра, можно было бы сделать и на основании результатов 4, 5 главы 5, посвященной методу параболического уравнения, однако исследование эталонной задачи позволяет выявить аналитический характер не только первого приближения, но и всех последующих. [c.195]

СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ — отдельные классы функций, возникающих во многих теоретич. и прикладных задачах, обычно при решении дпффоренц. ур-ний. В физике чаще всего встречаются гамма-функция (см. Эйлера интегралы), ортогональные полиномы, сферические функции, цилиндрические функции, гипергеометрические функции и вырожденные гипергеометрические функции, параболического цилиндра функции, интегральные синус и косинус, интеграл вероятности (см. Интегральные функции), Матъё функции, эллиптические функции и др. Все перечисленные ф-ции, за исключением гамма-функции, ф-ций Матьё и эллип-тич. ф-ций, являются решениями обыкновенного диф-ференц. ур-ния 2-го порядка [c.630]

При целом v>0 3.ф. совпадают с полиномами Эрмита (см. Ортогональные полиномы). Интегральное представление, ф-лу дифференцирования и рекуррентное соотношение для Э. ф. Hy z) см. в ст. Параболического цилиндра функции. Э. ф. можно выразить через вырожденные гипергеоме-трические функции. [c.637]

Итак, предположим, что нулевая поверхность функции V го-меоморфна конусу с вершиной в начале координат или параболическому цилиндру. Уравнение вида (а), где С может быть как отрицательным, так и положительным числом, определяет семейство незамкнутых поверхностей, к которому принадлежит и нулевая поверхность V = 0. [c.225]

Обсудим физический смысл особенностей, которыми обладает комплексный эрмит-гауссов пучок, т.е. пучок (1.88) с комплексным параметром Ь по сравнению с тем же пучком (1.88), но с вещественным параметром Ь. При веществеппом Ь поперечное распределение поля, описываемое функцией параболического цилиндра, в (1.91), можно рассматривать, как стоячую волпу в пространстве между каустиками. Для стоячей волны характерно обращение поля в нуль в ее узлах. [c.62]

Однако могут быть волны более сложного характера, являюгциеся суперпозицией стоячей и бегущей волны, тогда наличие бегущей компоненты делает невозможным обращение поля в нуль в тех или иных стационарных точках. Такие волны возникают, например, в тех случаях, когда имеется разное поглощение в разных точках, и в волне происходит перераспределение запасенной энергии. Нетрудно понять, что именно это происходит в пучке при комплексном Ь. Действительно, такой пучок, как показано выгае, тесно связан с наличием в резонаторе гауссовой диафрагмы, в которой поглощение на ее периферии более интенсивно, чем в центре. Поэтому необходимо перераспределение энергии в поперечном направлении, что и приводит к бегущей составляющей в функции параболического цилиндра и исчезновению стационарных нулей в поперечном распределении. Разумеется, сказанное следует понимать с учетом того, что волна не просто синусоидальная или косинусоидальная, а описывается функциями параболического цилиндра, и это несколько усложняет картину. [c.63]

Разумеется, в комплексном эрмит-гауссовом пучке картина еще сложнее, поскольку там не простые экспоненты, а функции параболического цилиндра. Правда, эти рассуждения существенны для выс-П1ИХ мод, но не для основной. Для основной моды понятие о волновом фронте сохраняет свой простой смысл, и радиус кривизны волнового фронта основной моды определяется формулой (1.81). [c.64]

Здесь ф1о( ) — универсальная функция, такая, что Фю(Е) 0 при с помощью уравнения (11.76 ) эту функцию удается явно выразить через ехр(—1 ) и так называемые функции параболического цилиндра (см. Сафмен (19626)). Аналогично обстоит дело с функцией Q2o Z,t), описывающей дисперсию распределения примеси в плоскости Z = onst по направлению оси ОХ. Согласно (11.76"), эта функция зависит и от коэффициента горизонтального обмена Кхх, точнее, она представляет собой сумму двух слагаемых, первое из которых зависит только от il(Z) и Kzz = K (но не от Кхх), а второе —от Kxx(Z) и Kzz = K (но не от u Z)). Первое из указанных слагаемых пропорционально QP и поэтому в силу соображений размерности должно записываться в виде произведения QT K (Ki ) p2o ZI(Кг) / ) что же касается второго из них, то его общий вид может быть выписан если Кхх представляет собой степенную функцию от Z. В част- [c.574]

Асимптотические выражения, рассмотренные выше, становятся сингулярными, когда Л" (5, ) = О или стационарная точка подходит близко к граничной. Для того чтобы избавиться от этих сингулярностей и получить асимптотически правильное представление дифракционного интеграла, мы можем заменить его сравнительным интегралом, который в асимптотическом представлении, приведенном в предыдущем разделе, имеет те же самые сингулярности. Этот интеграл обычно выбирают из класса известных специальных функций, таких, как комплексный интеграл Френеля функция Эйри Ai(л ) или функция параболического цилиндра В окрестности тех значений параметров, для которых обычное разложение расходится, дифракционный интеграл нужно представить в виде произведения сравнительного интеграла на асимптотический ряд, который принимает конечное значение при выполнении условия сингулярности. В большинстве случаев точное вычисление суммы ряда не требуется, так как сравнительный интеграл с достаточной степенью точности равен искомому полю, что, однако, верно лишь до тех пор, пока мы находимся достаточно далеко от критических областей, так что обычные разложения справедливы. Иными словами, выражение, полученное с помощью сравнительных интегралов, постепенно и непрерывно переходит в ряд Лунеберга — Клейна. Поэтому представление, основанное на сравнительных интегралах, называют однородным, а соответствующий подход — однородной асимптотической теорией, В следующих разделах мы рассмотрим наиболее интересные частные случаи. [c.353]

Вдоль оси и функцию / (С/, 0) можно выразить через функцию параболического цилиндра D у (см. справочник Абрамовица и Стегана [4], указанный в литературе к гл. 2 настоящей книги) [c.364]

Решение уравнения Шрёдингера. Уравнение Шрёдингера в координатном представлении (2.14) является дифференциальным уравнением для функции параболического цилиндра. Чтобы прояснить это и найти собственные значения энергии, введём обезразмеренные переменные и преобразуем уравнение к более удобному виду. Для энергии вводим переменную а для координаты — переменную = ях, где [c.64]

ДЛЯ гармонического осциллятора. Здесь введена безразмерная координата а дифференцирование по этой переменной обозначено двумя штрихами. Обш,ее решение этого дифференциального уравнения при произвольном значении г] выражается через функции параболического цилиндра. Однако эти функции, вообш,е говоря, не обладают требуемым асимптотическим поведением при больших значениях Чтобы обеспечить нормируемость волновых функций, мы должны рассматривать решения, убываюш,ие при больших Функции параболического цилиндра имеют нужные асимптотики лишь при специальном выборе Г], а именно при = ш + 1/2. В этом случае указанные решения сводятся к полиномам Эрмита Нт. При этом соответствующие значения г]т являются собственными значениями энергии. [c.661]

Здесь ф1о(Е) — универсальная функция одного переменного такая, что ф1о( ) - 0 при сю с помощью уравнения (10.76 ) эту функцию удается явно выразить через ехр (—12) уак называемые функции параболического цилиндра математической физики (см. Сафмен (19626)). Аналогично обстоит дело и с наиболее интересной для нас функцией 02о(2, t), описывающей дисперсию распределения примеси в плоскости Z= onst по направлению оси ОХ. Согласно уравнению (10.76"), эта функция зависит уже и от коэффициента горизонтального обмена Кхх , точнее говоря, она представляет собой сумму двух слагаемых, первое из которых зависит только от й(2) и Kzz=K (но не от Кхх), а второе — от Kxx(Z) и Kzz= K (но не от U(Z)). Первое из указанных слагаемых, очевидно, пропорционально QP и поэтому в силу соображений размерности должно записываться в виде произведения рРК" (Кт) / ф2о(2/(/(т) / ) что же касается второго из них, то его общий вид также легко может быть выписан, если только Кхх представляет собой степенную функцию от Z. В частности, если / xx=i i== onst или, соответственно, Kxx KiZ, где К — = onst, то нужное нам рещение уравнения (10.76) будет представимо В виде [c.568]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...