Регулярные интегральные уравнения

Регулярные интегральные уравнения [c.378]

РЕГУЛЯРНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [c.379]

После регуляризации сингулярного уравнения решение регулярного интегрального уравнения строится либо, с помощью степенных разложений [6, 12], либо тригонометрических [8, 39]. Метод М. Г. Крейна [18, 19] использовал [c.286]

Удовлетворив с помощью соотношений (V.1), (V.3) или (V.6), (V.7) граничные условия на контуре L при заданной на нем нагрузке, придем к сингулярным или регулярным интегральным уравнениям первой основной задачи для внутренней и внешней областей, ограниченных контуром L. Проведем это в общем случае многосвязной области. [c.144]

К числу наиболее сложных и актуальных с точки зрения приложений проблем динамики деформируемых тел относится проблема дифракции упругих волн на различного типа неоднородностях. Это объясняется тем обстоятельством, что практически во всех возникающих задачах наличие неоднородности (включения, полости, выреза, локального изменения свойств и т. д.) является почти непременным условием и информация о динамической напряженности возле этих неоднородностей необходима для различных целей. В то же время задачи дифракций упругих волн на неоднородностях входят в состав классических задач динамики деформируемых тел, а их решение требует привлечения сложного математического аппарата. Последнее обстоятельство наряду с другими не позволило на протяжении длительного времени исследовать широкие классы задач с оценкой динамической напряженности вблизи неоднородностей и основные достижения получены в основном в трех традиционных направлениях. Первое направление связано с построением точных аналитических решений отдельных весьма немногочисленных задач в большинстве случаев без анализа динамической напряженности вблизи неоднородностей. Второе направление состоит в сведении весьма широких классов задач дифракции упругих волн к системам многомерных сингулярных и регулярных интегральных уравнений с последующим доказательством существования и единственности решения. Третье направление связано с развитием асимптотических методов решения задач дифракции упругих волн, в большинстве случаев не позволяющих определить динамическую напряженность вблизи границ раздела свойств (вблизи неоднородностей). [c.5]

Наметившаяся в последние десятилетия тенденция позволяет называть методом парных уравнений такие схемы решения смешанных задач, нри использовании которых парные уравнения сводятся в итоге к регулярным интегральным уравнениям Фредгольма второго рода относительно некоторой вспомогательной функции. [c.116]

Осесимметричная задача о вдавливании без трения жесткого кругового штампа в упругий слой с цилиндрической вставкой из другого упругого материала в работе А. И. Соловьева [34] сведена к регулярному интегральному уравнению Фредгольма на полубесконечном промежутке. [c.118]

Данная методика исследования осесимметричных ОСЗ непосредственно разрешает соответствующие контактные задачи при наличии сцепления и распространяется на контактные задачи с учетом трения и без трения в областях контакта, имеющие более частный характер и сводящиеся, соответственно, к сходным сингулярным и регулярным интегральным уравнениям с теми же корневыми особенностями регулярных ядер, как в СИУ (34), (37). Контактные задачи для одного кругового или кольцевого штампов сводятся в конечном счете к разрешающим интегральным уравнениям типа Фредгольма соответственно второго или третьего [c.223]

В этом случае для вспомогательной функции получено регулярное интегральное уравнение. Искомая функция ф находится посредством оператора К. Приведенная процедура называется регуляризацией справа. [c.28]

Анизотропная круговая и эллиптическая пластинки. Решение первой граничной задачи. Мы подробно рассмотрим случай эллипса, так как задача для круга отсюда получается как частный случай. Решение этой задачи методом упругих потенциалов можно получить как с помощью. регулярных интегральных уравнений, так и с помощью сингулярных уравнений в предыдущем параграфе это было сделано для второй задачи в случае изотропного круга. [c.293]

Например, при решении задач теории упругости вариационными методами осуществляется переход к задаче об определении в некотором классе функций минимума соответствующего функционала. Доказывается, что решение этой задачи всегда существует и соответствующее ему поле смещений удовлетворяет дифференциальным уравнениям, однако краевые условия выполняются уже в некотором обобщенном смысле. Аналогичная ситуация возникает и при решении задач теории упругости методом потенциалов. При определенных ограничениях на форму поверхности и краевые условия доказывается, что получаемое посредством соответствующих интегральных уравнений решение краевой задачи может и не удовлетворять условиям, требуемым классической постановкой. Лишь при более строгих ограничениях (в чем, по сути дела, нет необходимости) решение оказывается регулярным. [c.243]

Остановимся вкратце на случае, когда среда несжимаема (о = 0,5). Будем рассматривать этот вопрос только с позиций интегральных уравнений. Дело здесь усложняется тем, что значение а = 0,5 является вырожденным для дифференциальных уравнений. Интегральные уравнения теории упругости для несжимаемой среды совпадают (с точностью до физического смысла) с уравнениями линеаризованного течения вязкой жидкости [230]. Эти уравнения являются регулярными, и в дополнение к полюсу резольвенты в точке к = —1 возникает еще полюс в точке Я. = 1. Это обстоятельство очевидно, поскольку для несжимаемой среды постановка задачи 1+ возможна лишь при условии [c.565]

Допустим, что решается задача II. Тогда плотность потенциала простого слоя (т. е. решение интегрального уравнения) будет принадлежать классу С° 5 и, согласно сказанному в 1, потенциал простого слоя будет представлять собой функцию класса С Р, являющуюся регулярным (классическим) решением краевой задачи. Аналогичное же рассмотрение задачи I не приводит к такому результату. Поскольку плотность по-прежнему принадлежит классу С Р, то потенциал двойного слоя будет принадлежать классу С° Р, который не представляет собой регулярного решения. В этом случае о решении надо говорить как об обобщенном. [c.569]

Теперь для исследования краевых задач строятся сингулярные интегральные уравнения на основе потенциалов простого и двойного слоев (исходя из матрицы (1.33)). Распространение альтернатив Фредгольма на эти уравнения происходит автоматически, поскольку сами уравнения отличаются от уравнений статики наличием регулярных слагаемых. Сложность возникает из-за того, что при определенных значениях частоты собственных колебаний решения однородных задач окажутся не единственными. [c.571]

Отметим, что для осесимметричных задач получены одномерные (регулярные и сингулярные) интегральные уравнения [44, 89, 123, 174]. [c.576]

Вычислять их указанным способом нет необходимости. Точность выполнения заданных краевых условий непосредственно устанавливается из интегрального уравнения с использованием регулярных представлений. [c.581]

Интегральные уравнения собственных колебаний. Для большинства задач теории упругих колебаний оператор С реализуется в форме интегрального оператора с симметричным регулярным или слабо полярным ядром [c.170]

Иногда интегральные уравнения смешанных задач удается привести к конечным алгебраическим системам. Это обычно достигается путем аппроксимации регулярной части их ядер вырожденными [7] либо применением метода коллокаций [46, 78, где контактное давление представляется определенным числом параметров, для определения которых используются условия связи, налагаемые на перемещения а конечном числе точек области контакта. [c.9]

В работе А. И. Златина [12], посвященной периодической задаче о дискообразных трещинах в цилиндре, рассмотрены сумматорные уравнения по однородным решениям, оставляющим цилиндрическую поверхность свободной от напряжений. Особенность проблемы заключается в том, что к парным уравнениям, отвечающим за смешанные граничные условия на торце, добавляется еще дополнительное сумматорное уравнение, выражающее условие отсутствия на торце цилиндра касательных напряжений кроме того, сами однородные решения не являются ортогональными. С помощью схемы доопределения и при использовании соотношения обобщенной ортогональности однородных решений сумматорные уравнения удалось свести к одному регулярному интегральному уравнению Фредгольма второго рода. Формальные выкладки, характерные для метода парных уравнений, обосновываются, опираясь на соответствующие теоремы разложения по однородным решениям для цилиндра (см. работу автора [13]). [c.117]

В работе [14] методом Карлемана-Векуа проведена регуляризация систем СИУ (34), (37) в результате они сведены к равносильным системам регулярных интегральных уравнений типа Фредгольма третьего рода, эффективно разрешимым численными методами. В процессе регуляризации выделены в явном виде особенности решений систем СИУ (34), (37) на концах отрезков интегрирования />2 -1 Р2 О на основе которых затем изучены особенности и установлены коэффициенты интенсивности напряжений на всех сингулярных контурах раздела краевых условий р = р2 -, р2] 1 ) в ОСЗ. В целом здесь разработаны надежные и достоверные вычислительные алгоритмы для эффективной численной реализации решения ОСЗ. [c.223]

Решение этой задачи может быть получено многими различными способами. Один из наиболее простых способов ее решения основан на применении потенциалов двойного слоя второго рода (см. гл. IX) этот способ приводит задачу к легко решаемой системе регулярных интегральных уравненнй Фредгольма. Этим путем указанная задача (а также некоторые другие) была решена Н. С. Кахниашвили [11], Пользуясь теми же потенциалами второго рода, М. Башелейшвили выразил решение задачи в следующем виде [c.384]

Заметим, что если наложить на поверхность и краевые условия дополнительные ограничения, то можно прийти к классическому решению. Действительно, пусть 5еД2(а) и F q) е Р. Тогда решение интегрального уравнения будет принадлежать классу С Р и потенциал двойного слоя будет представлять собой регулярное решение (функцию класса С Р). [c.569]

Интегралы, присутствующие в уравнениях (2.2), (2.3) и (2.5), являются двумерными сингулярными интегралами, и в соответствии с общей теорией ( 3 гл. I) при их вычислении следовало бы каждый раз вводить локальную систему координат, определяемую пересечением поверхности с координатными поверхностями г = onst, ф = onst цилиндрической системы, ось которой Z совпадает с нормалью к поверхности в той точке, в которой интеграл вычисляется. Этот путь сопряжен с серьезными техническими трудностями, которые становятся еще более значительными при переходе к решению интегрального уравнения, когда вычисление сингулярных интегралов следует проводить в большом числе точек поверхности. Однако учет специфики ядер рассматриваемых интегралов позволил избежать отмеченных затруднений. Один способ [171] заключается в преобразовании этих сингулярных интегралов в несобственные (регулярные), а другой [88,206] базируется на возможности вычисления в явном виде интеграла от ядра, когда элемент поверхности есть плоский многоугольник. [c.572]

В заключение остановимся на вопросе о решении сингулярных интегральных уравнений в задачах установившихся колебаний. В этом случае само вычисление интегралов можно осуществлять, используя регулярные представления, аналогичные (3.1) и (3.2), или же (если осуществлять полигонализацию граничной поверхности) формулы, полученные в [180]. [c.588]

В последнее время все более широкое распространение в теории упругости получает метод граничных интегральных уравнений (МГИУ). Эффективность метода позволяет применить его и для решения задач механики разрушения. Сущность этого метода заключается в сведении соответствующей задачи теории упругости к решению интегрального уравнения, а основное его преимущество по сравнению с другими численными методами состоит в том, что он понижает размерность задачи. Остановимся вкратце на выводе интегральных уравнений основных пространственных задач теории упругости и методах их решения [231]. Пусть S — некоторая достаточно гладкая замкнутая поверхность, а и D — области, расположенные внутри и вне ее ( ) = )+ + ) ). Если однородное изотропное упругое тело занимает конечный объем D , то задача называется внутренней. Если же тело занимает бесконечный объем D , то задача называется внешней. Требуется найти регулярное решение уравнения статики упругого тела (2.2) [c.100]

В качестве примера изложенного метода рассмотрим результаты восстановления (рис. 3.9) вектора нормальных усилий Рг(>") на торце полого кругового цилиндра с теми же геометрическими размерами поперечного сечения, что и в приведенном выше примере. Высота цилиндра -100 мм. Исходная информация бралась в виде радиальной компоненты вектора перемещений на наружной поверхности цилиндра. Внутренняя и наружная поверхности цилиндра свободны от нагрузок, нижний торец закреплен от осевых перемещений. Расчеты проводились вариационноразностным методом на регулярной сетке Аг = 10 мм, Дг = 5 мм. Вначале решалась прямая задача по заданному вектору нормальных усилий на горце р (г) находился вектор перемещений на внешней грани цилиндра затем обратная задача. На выбранной сетке строились матричные аналоги интегральных операторов уравнений (3.16) и (3.17), по которым находился матричный оператор уравнения (3.18). Методом последовательных приближений решалась разностная задача для уравнения (3.18). На рисунке приведены точное решение — пунктирная линия нерегуляризованное решение, соответствующее решению интегрального уравнения первого рода (3.9) и не имеющее ничего общего с искомым решением - кружки с крестиками решение уравнения (3.18), полученное методом последовательных приближений при различных начальных приближениях вектора р°(г) (осциллирующая функция — квадраты, сосредоточенная сила - треугольник. Из рисунка видно, что метод дает устойчивое приближение к искомой функции и мало чувствителен к выбору начального приближения. [c.78]

Доклады, помещенные в первых двух частях, посвящены аналитическим и численным методам решения задач тепло- и массообмена. В нескольких из них рассмотрены отдельные математические проблемы теории, в частности вопросы разрешимости краевых задач теплЬ- и массообмена, единственности их решения, теории интегральных преобразований и т. д. Вопросы, представляющие интерес для развития и расширения математического аппарата теории, затронуты и в ряде других докладов, в которых рассматриваются конкретные процессы и явления в физических системах (применение дуальных интегральных уравнений, асимптотические методы решения некоторых сингулярных интегральных уравнений, вариационные методы, метод конформных отображений,. математическая теория регулярного теплового режима и т. п.). [c.3]

Н. X. Арутюнян и С. М. Мхитарян [51] с использованием разложения по полиномам Чебышева и последующим применением метода Бубнова решили задачу вк Гючения для полуплоскости, к границе которой присоединено одно и два ребра. В случае двух ребер разобран отдельно случай симметричного и антисимметричного нагружения ребер. Периодическая контактная задача для полуплоскости с ребрами на границе сформулирована в работе [7]. Исходное интегральное уравнение регулярнзовано, и затем решение представлено в виде ряда Фурье. В итоге задача сведена к регулярной бесконечной системе алгебраических уравнений. В работе [8] рассмотрена задача о контакте двух полуплоскостей, соединенных полубесконечным ребром. Задача решена с учетом реакций нормального взаимодействия между ребром и пластинами и в итоге сводится к, системе двух сингулярных интегральных уравнений, которые решаются с помощью преобразования Меллина. Учет нормальных усилий взаимодействия приводит к таким же особенностям осциллящионного характера для реакций как и при вдавливании штампа с трением. [c.126]

В разд. 8.2 рассмотрено взаимодействие жестких штампов с тонкой круговой цилиндрической оболочкой по дугам окружности поперечного сечения. Дается подробное решение названной задачи от вывода исходного интегрального уравнения до численного расчета. Так как путь решения данной задачи является характерным для всех других контактных задач, следует на нем остановиться. На основе результатов гл. 6 записывается изгнбная поперечная деформация срединной поверхности оболочки в некоторой точке дуги окружности поперечного сечения от единичной сосредоточенной силы, приложенной в некоторой другой точке той же окружности. Иными словами, строится функция влияния, которая выполняет роль функции Грина при записи интегрального представления для из-гибиой деформации от произвольной нормальной погонной нагрузки, приложенной по дуге окружности поперечного сечения. П-ри записи такого представления существенную роль играет то, что главнаи часть функции Грина (логарифмическое ядро) записывается в явном замкнутом виде, остальная регулярная часть (регулярное ядро) записана в виде тригонометрического ряда. Сходимость такого ряда весьма хорошая (как 1/п при больших п), она исследована в гл. 6. Найденная нагибная деформация оболочки приравнивается разнице между исходной кривизной оболочки на линии контакта и кривизной основания штампа, которая предполагается несколько меньшей, чем кривизна оболочки. Так получается исходное интегральное уравнение с логарифмическим разностным ядром вида а — ар [c.319]

Наряду с асимптотическими существует ряд методов сведения смешанной краевой задачи к бесконечным системам алгебраических уравнений. Например, в работах В. М. Александрова [9, 11], Г. Я. Попова [169, 170], В. Л. Рвачева [182, 183] и др. широко используется метод, ортогональных полиномов, с помощью которого производится разложение известной функции, входящей в правую часть интегрального-уравнения. Регулярная часть ядра интегрального уравнения I рода также раскладывается в двойной ряд, после чего уравнение сводится к алгебраической системе. В работах Б. Л. Абрамяна [2], А. А. Баб-лояна [16, 17] и др. предложены методы непосредственного сведения краевой задачи к бесконечной алгебраической системе, минуя интегральное уравнение. [c.9]

Если обратиться к классической теории потенциала, то сингулярные интегральные уравнения, полученные для решения как первой основной задачи, так и для второй, представляют собой интегральные уравнения Фредгольма второго рода. Разница заключается в том, что для решения первой основной задачи исходят из представления в виде потенциала двойного слоя, а для решения второй основной задачи следует воспользоваться представлением смещений в виде обобщенного потенциала простого слоя. Разумеется, отличие также состоит в физическом смысле искомых функций и значениях правых частей. Для этих сингулярных уравнений индекс (разность между числом собственных функций исходного уравнения и союзного к нему) оказывается равным нулю [152]. Следовательно [153J, будет существовать оператор, который преобразует их в эквивалентные регулярные уравнения второго рода, и поэтому к исходным уравнениям применимы альтернативы Фредгольма. При этом поверхность тела может быть представлена набором кусочно-однородных поверхностей, подчиняющихся условиям Ляпунова, а плотность сингулярного интегрального уравнения должна удовлетворять условию Гельдера — Липшица вместе со своей производной [153] [c.55]

Введенные выше потенциалы простого слоя, двойного слоя и их производные, как показано в 1, удовлетворяют тождественно дифференциальным уравнениям теории упругости внутри тела при отсутствии объемных сил. Частное решение, соответствующее действию объемных сил, выражается объемным потенциалом с плотностью, равной объемной силе. В связи с этим решение тон или иной краевой задачи теории упругости можно попытаться искать в виде суммы одного или нескольких граничных потенциалов и объемного потенциала. Плотности граничных потенциалов должны содержать достаточно неизвестных, чтобы можно было удовлетворить граничные условия. Для нахождения этих неизвестных строятся интегральные уравнения на границе тела —граничные интегральные уравнения (ГИУ). Если при заданных краевых условиях доказано существование решения построенного интегрального уравнения, то тем самым обоснована использованная формула представления решения. Вопрос обоснования формулы представления решения не возникает, если в качестве ее используется формула Сомильяны, справедливая дл любого регулярного, т. е. принадлежащего классу ( (Q) n (Q)) , поля перемещений, а также для более общих классов перемещений, для которых имеет место формула Бетти. Поскольку плотности потенциалов простого и двойного слоя, входящих в формулу Сомильяны, имеют прямой физический смысл, то соответствующую формулировку метода граничных элементов (МГЭ) называют прямой формулировкой МГЭ. В противоположность этому формулировку МГЭ, использующую другие формулы представления, называют непрямой формулировкой МГЭ. [c.62]

В регулярных точках Г ГВИУ (5.8) имеет вид сингулярного интегрального уравнения второго рода [c.119]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...