Цикл устойчивый

В фазовом пространстве х, у, т циклу устойчивых -кратных неподвижных точек соответствует устойчивое периодическое движение периода 2nq (рис. 7.96), успевающее за это время р раз обернуться по переменной ф. Напомним, что у соответствующего периодического движения автономной системы происходит один оборот по ф за время, равное 2np/q, и что 2л — период внешнего воздействия. [c.351]

Теорема. Пусть в теореме пункта 5.2 оба условия 1 и 2 нарушены, то есть при 0<О (о>0) ведущее неустойчивое (соответственно, устойчивое) направление комплексно (и двумерно). Тогда все векторные поля семейства достаточно близкие к критическому, имеют гиперболические инвариантные множества преобразование монодромии поля имеет при е=5 0 конечное число подков Смейла, неограниченно растущее при стремлении е к нулю и равное бесконечности для поля Vo. Каждое из полей при достаточно малом е имеет счетное множество гиперболических предельных циклов, устойчивые многообразия которых имеют такую же размерность, как устойчивое многообразие гиперболического седла. [c.137]

Теорема. В сколь угодно малой окрестности векторного поля V (в пространстве С -гладких векторных полей на R ) существуют векторные поля, обладающие нетривиальными (т. е. отличными от особых точек и предельных циклов) устойчивыми по Пуассону траекториями. [c.150]

Внутренние бифуркации и кризисы положений равновесия и циклов, в соответствии с приведенными в п. 8.3 определениями, разобьем бифуркации циклов на внутренние и кризисы. Будем говорить, что имеет место мягкий (жесткий) случай,. если в момент бифуркации положение равновесия или цикл устойчивы (неустойчивы). [c.160]

Рис. 17.17. Особые точки на фазовой плоскости а) центр, б) седло в) фокус (устойчивый). г) фокус (неустойчивый) д) узел (устойчивый) е) узел (неустойчивый) ж, э) изолированные циклы (устойчивый и неустойчивый). Об устойчивости и неустойчивости см. ниже.

Неустойчивые предельные циклы разделяют фазовую плоскость на области притяжения к особым точкам или устойчивым предельным циклам. Устойчивые и неустойчивые предельные циклы чередуются на фазовой плоскости. [c.25]

Одно положение равновесия (неустойчивый фокус). Два предельных цикла — устойчивый и неустойчивый. Мягкое возбуждение автоколебаний [c.27]

Автоколебания (определение термина см. на с. 22). Различают мягкое и жесткое самовозбуждение автоколебаний. Если состояние равновесия неустойчиво и соответствующая ему особая точка окружена предельным циклом (устойчивым), то самовозбуждение называется мягким нарастающие колебания возникают после сколь угодно малого начального возмущения состояния равновесия системы (см. табл. 8, пп. 11, 13, 15). Если состояние равновесия устойчиво и соответствующая ему точка окружена неустойчивым предельным циклом, который в свою очередь окружен [c.31]

Очевидно, а1 = и, следовательно, предельный цикл устойчивый, если /I < О, и неустойчивый, если й > 0. При этом 1 = 1 тог 5а и только тогда, когда к —О, и только в этом случае ( 1=1) предельный цикл является сложным. [c.105]

Двойной предельный цикл при повороте на угол одного знака исчезает, при повороте на угол другого знака — разделяется на два предельных цикла (устойчивый и неустойчивый). [c.202]

Иногда удается доказать наличие петли сепаратрисы и, используя седловую величину, доказать рождение при ее разделении предельного цикла, устойчивого или неустойчивого (в зависимости от знака седловой величины). При использовании методов теории бифуркаций наибольшие трудности возникают при доказательстве отсутствия или наличия предельных циклов, появляющихся при разделении двукратного предельного цикла, возникающего из уплотнения траекторий. [c.243]

Разбиение пространства параметров. Разбиение пространства параметров на области различной качественной структуры по обе стороны линии симметричных структур = О приведено на рис. 161. Соответствующие различным областям грубые структуры разбиения фазового пространства (обозначенные теми же номерами) представлены на рис. 160. Жирными линиями изображены сепаратрисы и предельные циклы, штриховой — неустойчивые предельные циклы. Устойчивые состояния равновесия — черные точки, неустойчивые — светлые. [c.304]

Если, выйдя из достаточно близкой к прямой (7) точки, в которой, как мы уже говорили выше (см. п. б)), нет предельных циклов, мы перейдем из области о < О в область о > О через участок кривой 5, где Ь < О, то при этом у системы рождается устойчивый предельный цикл. Пока мы не пересечем вновь кривую этот устойчивый предельный цикл сохранится — ему некуда деться (если в области а > О есть точки, соответствуюш ие двукратным циклам, то тогда во всяком случае число устойчивых циклов все время будет на единицу больше, чем неустойчивых). Если затем мы пересечем границу 5 на части ее, где Ь > О, переходя из области а > О в область а < О, то при этом у системы из фокуса рождается неустойчивый предельный цикл, устойчивый же сохраняется, и таким образом теперь у системы есть устойчивый и неустойчивый предельные циклы (или одинаковое число и тех и других). [c.310]

Следовательно, все траектории входят в прямоугольник, ограниченный прямыми у = 0, у = у, где у достаточно велико, а < а 1 (а — величина, удовлетворяющая уравнению (4)). Поэтому при значениях параметров, при которых у системы существует единственный неустойчивый узел или фокус (это будет иметь место для значений параметров из области 1) заведомо должен существовать по крайней мере один устойчивый предельный цикл или нечетное число циклов — устойчивых на единицу больше, чем неустойчивых. [c.331]

Если Оо О, то при изменении из петли сепаратрисы может рождаться не более одного предельного цикла устойчивого, если Ос < О, и неустойчивого, если Ос > 0. При одном характере разделения сепаратрисы рождается предельный цикл, при другом — нет. Соответственно при в петлю сепаратрисы может влипнуть только устойчивый предельный цикл, если Ос < О, и только неустойчивый, если Ос > 0. [c.381]

Мы будем называть предельный цикл устойчивым, если существует такая область на фазовой плоскости, содержащая этот предельный цикл, —окрестность (е), что все фазовые траектории, начинающиеся в окрестности (е), асимптотически при оо приближаются [c.325]

Следовательно, график функцнй последования для Т, имеет вид, показанный на рис. 4.30. Нанесем теперь найденные кривые для точечных отображений и на одной диаграмме, тогда получим диаграмму Ламерея, показанную на рис. 4.31. Проведенное исследование показывает, что в рассматриваемом случае (О < < оо, О < 2 < 1) существует единственная неподвижная точка отображения Т = Ti-Ta, которая является глобально устойчивой. Таким образом, на фазовой плоскости ху имеется только один предельный цикл, устойчивый в большом, т, е. к этому [c.103]

Бифуркации орбит диффеоморфизмов в главном семействе (1+) изобр1ажены на рис. 17. При отклонении е вправо от нуля неподвижная точка исчезает, а при отклонении влево распадается на две гиперболические притягивающую н отталкивающую. Этой перестройке в соответствующем семействе дифференциальных уравнений на плоскости отвечает столкновение двух предельных циклов — устойчивого и неустойчивого с образованием на мгновение полуустойчивого цикла и последующим его исчезновением при е>0. [c.44]

Устойчивое, неустойчирое и центральное многообразие точки и цикла определены в [1621 и обозначаются W и W (или Wb, Wb-, WL Wl Wl где О и I-соответствующие точка и цикл). Устойчивое и неустойчивое множества точки и цикла обозначаются 5 и (или SS, So, S[, SI, где О и Z —соответствующие точка и цикл). [c.89]

Точки накопления бифуркационных значений в семействе из ф - -(Л ) и бифуркации в окрестностях этих точек могут быть рассмотрены аналогично соответствующим бифуркациям в семействе Ф (5 ), по крайней мере, если поверхность ориентируема [169]. Однако для поверхностей, на которых система может иметь нетривиальные (т. е. отличные от положения равновесия и цикла) устойчивые по Пуассону траектории, т. е. для всех поверхностей, кроме сферы S , проективной плоскости и бутылки Клейна К , в типичном однопараметрическом семействе могут неустранимым образом встречаться векторные поля с бесконечным неблужающим множеством. Бифуркации в таких семействах совершенно не описаны, кроме бифуракций систем с глобальной секущей на двумерном торе (см. следующий пункт). Однако известно, что существуют типичные однопараметрические семейства на поверхностях, отличных от S , Р , К , которые содержат негрубые векторные поля бесконечной степени негрубости (С. X. Арансон, Функц. анализ и его прил., 1986, 20, № 1, 62—63). Для систем на справедлив следующий результат. [c.103]

Если прикрыть дроссель еще больше (рис. 2.7), то полуустойчивый предельный цикл разделится на два предельных цикла — устойчивый наружный и неустойчивый внутренний. [c.73]

Таким образом, существует точка ( фокус ), выше которой стационарное состояние неустойчиво и возникает стационарный периодический процесс, называемый предельным циклом. Иными словами, дело имеем с точкой бифуркации, в которой расщепляется траектория, при этом одной ветвью является устойчивый предельный цикл. Пример траекторий в фазовом пространстве X, V при различных начальных условиях показан на рис. 3.20. Видно асипмтотическое приближение системы к замкнутой орбите (предельному циклу) в плоскости X, У. Можно показать, что система имеет единственный предельпьп1 цикл, устойчивый к малым возмущениям [37]. [c.82]

Кроме сведений о числе и характере состояний равновесия необходимо иметь также сведения о замкнутых траекториях, нужно знать, заполняют ли замкнутые траектории целые области или являются изолированными, т. е. являются предельными циклами нужно знать число предельных циклов, их взаимное расположение, а также нулаю. иать, какие циклы устойчивы, а какие — неустойчивы. [c.220]

Пусть 1, 2, > Ls — все предельные циклы системы, расположенные в О, причем г+1 содержит г внутри себя. Легко видеть, что все эти циклы одновременно не могут быть полуустойчпвыми. Пусть 5, 2 ч Ад ( 1 < 2 < - < Ь)—те из предельных циклов, которые не являются полуустойчивымп. Так как О — неустойчивое состояние равповесия, то является устойчивым предельным циклом, далее неустойчивые и устойчивые предельные циклы идут чередуясь (с возрастанием номера ), а цикл является, очевидно, устойчивым. Но тогда среди циклов устойчивых имеется на 1 больше, чем [c.230]

Пусть Ьо — предельный цикл — устойчивый, неустойчивый (простой или сложный) или нолуустойчивый. в любой достаточно малой его окрестности, именно в любой такой окрестности, которая не содержит ни состояния равновесия, ни отличных от него предельных циклов, всегда могут быть построены циклы без контакта, как лежащие вне Ьа (содержащие Ьо внутри), так и лежащие внутри Ьо (рис. 67). [c.103]

Ячейка двусвязна, и граница ее состопт либо из двух предельных циклов (устойчивого и неустойчивого), либо из предельного цикла и одного лежащего внутри этого цикла состояния равновесия, являющегося узлом или фокусом. [c.152]

Для вычисления L2 необходимо учесть в разложениях правых частей уравнений члены до пятого порядка включительно. В зависимости от первой и второй лянуновских величин и знака действительной части корней характеристического уравнения в малой окрестности состояния равновесия на фазовой плоскости могут существовать один или два предельных цикла при всех возможных сочетаниях устойчивости и неустойчивости (один устойчивый или неустойчивый предельный цикл или два предельных цикла — устойчивый внутри неустойчивого или наоборот). [c.198]

Нри убыванни Ai от значения Ai=0, взятого на куске 1, появляется из состояния равновесия неустойчивый предельный цикл, при возрастании от значения Xi = О, взятого на кусках О или 2, появляется цикл устойчивый. Возможные качественные структуры в окрестности состояния равновесия для случая сх7 < О представлены на рис. 155Г. [c.288]

Возможны следующие случаи грубых предельных циклов устойчивый (неустойчивый) предельный цикл, когда все достаточно близкие к циклу траектории стремятся к нему при t +°о (при i->—оо), и седловой предельный цикл, который может быть двух типов. У седлового предельного цикла первого типа есть четыре двумерные сепаратрисные поверхности две примыкающие к нему трубки и два примыкающих к нему кольца. На двух из сепаратрисных поверхностей (со-сенаратрисах) все траектории вида спиралей стремятся к циклу при t - +00, на двух других (а-сепаратрисах) — при t - poro типа сепаратрисными поверхностями являются два листа Мёбиуса (со- и а-сенаратрисные поверхности). Все остальные траектории из окрестности седлового предельного цикла выходят из окрестности и при возрастании, и при убывании t. На рис. 252 представлен седловой предельный цикл первого типа (сепаратрисные поверхности не показаны). [c.469]

Интенсивные исследования нелинейных диссипативных систем с трехмерным фазовым пространством позволили в последние годы обнаружить совершенно новый класс автоколебательных систем. Это автогенераторы шума — диссипативные системы, совершающие незатухающие хаотические колебания, колебания со сплошным спектром за счет энергии нешумовых источников. Замечательно, что даже столь привычный нам осциллятор (14.10) в широкой области параметров является автогенератором шума. Открытие стохастических автоколебаний — это, пожалуй, наиболее яркое достижение современной теории. Почему же оно появилось только сейчас Дело в том, что со времен Пуанкаре до недавнего времени предельный цикл был единственным примером нетривиального притягивающего множества в фазовом пространстве нелинейных диссипативных систем. Правда, уже довольно давно были обнаружены сложные многопетлевые предельные циклы. Устойчивые многопериодические движения были обнаружены при исследовании синхронизации автогенераторов. [c.305]

Смотреть страницы где упоминается термин Цикл устойчивый : [c.50] [c.58] [c.114] [c.114] [c.351] [c.59] [c.112] [c.230] [c.555] [c.152] [c.167] [c.187] [c.205] [c.304] [c.342] [c.386] [c.407] [c.472] [c.473] [c.320] [c.411]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...