Фазовая жидкость движение

Резюме. Пространство конфигураций канонических уравнений имеет 2п измерений, а именно п позиционных координат qiU п импульсов pt, и все они являются независимыми переменными вариационной задачи. Это 2п-мерное пространство называется фазовым пространством . Вводя время в качестве дополнительной переменной, получим (2п + 1)-мерное пространство, которое называется пространством состояний . Геометрически движение можно представить в виде движения 2/г-мерной жидкости, называемой фазовой жидкостью . Каждая отдельная линия тока движущейся жидкости определяет собой движение механической системы при соответствующих начальных условиях движение жидкости в целом определяет общее решение при произвольных начальных условиях. [c.205]

Поэтому правые части уравнений (6.6.1) не зависят от времени, откуда сразу следует, что фазовая жидкость в случае консервативных систем находится в состоянии стационарного движения. [c.206]

Теорема о сохранении энергии (6.6.5) имеет интересную геометрическую интерпретацию в связи с движением фазовой жидкости. Уравнение [c.207]

Движение фазовой жидкости является стационарным. [c.207]

Резюме. Фазовая жидкость в 2 -мерном пространстве ведет себя подобно несжимаемой жидкости. Произвольная область, вырезанная из жидкости и движущаяся вместе с ней, меняет в процессе движения свою форму, но сохраняет свой объем. [c.209]

Интегральные инварианты, теорема Гельмгольца о циркуляции, французский математик Пуанкаре (1859— 1912) предложил для любых интегралов, связанных с фазовой жидкостью и сохраняющих свою величину при движении фазовой жидкости, название интегральные инварианты . Объем а фазовой жидкости, рассматривавшийся в предыдущем пункте, является одним из примеров подобных интегральных инвариантов. Другим важным примером является величина, введенная Гельмгольцем и называемая циркуляцией . [c.209]

Общая параметрическая формулировка канонических уравнений в форме (6.10.15) с теоретической точки зрения обладает серьезными преимуществами по сравнению с другими формулировками. Ее можно считать наиболее выразительной формой канонических уравнений. Она совсем по-новому освещает роль консервативных систем. Заметим, что после преобразования времени t в одну из механических переменных любая система становится консервативной. Обобщенная функция Гамильтона К не зависит явно от независимой переменной т, и поэтому наша система в расширенном фазовом пространстве становится консервативной. Движение фазовой жидкости является установившимся, и каждая частица жидкости все время находится на какой-то определенной поверхности [c.221]

При этом фазовое пространство имеет 2/1 + 2 измерений, движение фазовой жидкости является всегда установившимся, а механическая система всегда консервативна. Особые свойства консервативных систем распространяются таким образом на произвольные системы. Эта параметрическая формулировка канонических уравнений с теоретической точки зрения обладает рядом преимуществ. [c.224]

Движение фазовой жидкости как непрерывное выполнение канонических преобразований. Результаты предыдущего пункта пролили новый свет на природу уравнений динамики. Если разделить левые и правые части уравнений (7.7.12) на At, а затем устремить At к нулю, то в пределе мы получим дифференциальные уравнения [c.253]

НО малы. Эти бесконечно малые перемещения определяют некоторое каноническое преобразование в фазовом пространстве. Процесс может быть повторен много раз. Все движение фазовой жидкости есть не что иное, как непрерывное выполнение канонических преобразований. [c.254]

Этот поразительный результат был впервые получен Гамильтоном, хотя и в несколько другой интерпретации. Он по-новому освещает роль канонических преобразований при изучении движения. Все движение механической системы может рассматриваться как задача о преобразованиях. Последовательные положения фазовой жидкости представляют собой непрерывно меняющееся отображение пространства самого на себя. Это отображение все время каноническое. [c.254]

Можно сказать даже нечто большее. Последовательные преобразования фазовой жидкости связаны друг с другом. В конце предыдущего пункта мы пришли к функции Гамильтона В = Н, начав с произвольной производящей функции S, содержащей параметр t. Однако теперь можно проделать обратный путь. Имеющаяся задача о движении дает нам функцию Гамильтона Я, зависящую от qi, Pi и, возможно, t. Заменим р,- на dS/dqi и попытаемся найти первоначальную функцию 5, из которой возникло уравнение [c.254]

Движение фазовой жидкости 255 [c.255]

Эта новая точка зрения отражает в новом свете также и смысл инвариантов движения. Эти инварианты являются в действительности инвариантами произвольного канонического преобразования. Инвариантность циркуляции, обсуждавшаяся в гл. VI, п. 8, является характерным свойством канонических преобразований. Более того, она даже определяет эти преобразования. Теорема Лиувилля (см. гл. VI, п. 7) доказывает инвариантность объема, основанную на несжимаемости фазовой жидкости. Эту теорему можно сформулировать в таком виде значение якобиана (функционального детерминанта) преобразования, которое связывает два состояния движения, соответствующие двум произвольным моментам времени, всегда равно I. Это тоже является общим свойством канонических преобразований. Значение якобиана произвольного канонического преобразования равно 1. [c.255]

Задача. Записать якобиан Д некоторого канонического преобразования и умножить его самого на себя. Показать, что = 1. Для исключения возможности Д = —1 требуются дальнейшие рассуждения, однако для движения фазовой жидкости выбор 1 следует из непрерывности движения. [c.255]

Резюме. Произвольная функция, зависящая от времени, порождает бесконечное семейство канонических преобразований. Последовательные стадии этого преобразования могут рассматриваться как непрерывно меняющееся отображение пространства самого на себя, что в свою очередь может быть интерпретировано как движение некоторой жидкости. Это движение удовлетворяет каноническим уравнениям, что приводит, таким образом, к совершенно новой интерпретации этих уравнений. Движение фазовой жидкости можно представить как последовательные стадии бесконечного семейства непрерывных канонических преобразований. [c.255]

Главная функция Гамильтона и движение фазовой жидкости. Результаты нашего обсуждения, естественно, имеют отношение к задаче интегрирования уравнений динамики. Нам уже известно соотношение между производящей функцией S и функцией Гамильтона Н [см. уравнение [c.256]

Эта схема интегрирования Г амильтона была упрощена и улучшена Якоби. Главная функция Гамильтона должна удовлетворять сразу двум уравнениям в частных производных. Решение этой задачи практически невозможно без более широкой схемы интегрирования, предложенной Якоби. Производящая функция S зависящего от времени канонического преобразования определяет все движение фазовой жидкости, удовлетворяя лишь одному уравнению в частных производных [c.262]

Такая геометрическая интерпретация позволяет ввести аналогию с движением 2й-мерной так называемой фазовой жидкости, подобной по поведению обычной жидкости. Каждая линия тока фазовой жидкости— это кривая в пространстве состояний, определяющая движение системы при конкретных заданных начальных условиях. В случае консервативной системы фазовая жидкость движется как несжимаемая, вследствие чего в процессе движения форма области может изменяться, но объем ее сохраняется. Наряду с этим инвариантом имеются и другие. Характер движения фазовой жидкости в пространстве состояний всегда установившийся. [c.46]

В качестве еще одного примера автоколебательной системы приведем тормозное устройство, изображенное на рис. 17.101. Вращающийся с угловой скоростью Q вал силой трения захватывает тормозную колодку, но при этом возрастает усилие в пружине, создающее момент, имеющий направление, противоположное моменту трения. Когда момент, создаваемый усилием пружины, достигает величины момента сил трения, происходит преодоление сцепления вала с колодкой и колодка возвращается в направлении, противоположном вращению вала на угол (Л1о — М )1с. После этого вновь происходит захватывание колодки валом и все повторяется. Торможение происходит за счет наличия момента, создаваемого усилием в пружине, действующего в направлении, противоположном вращению вала. Величина этого момента переменная. Наибольшее его значение равно Mq и наименьшее М . На рис. 17.102 изображены пространство состояний (ф, <р, i) и линия тока фазовой жидкости, характеризующая движение системы. [c.229]

Величина фазовой скорости движения волн экспериментально определялась при свободном стекании [57, 108, 133, 138, 173, 182, 196] и при движении пленки совместно с потоком газа [40, 53, 55, 68, 66, 85, 93, 116, 133, 137, 173, 182, 208]. Анализ имеющихся в литературе опытных данных показывает, что в области малых плотностей орошения относительная фазовая скорость волн на поверхности свободно стекающей пленки слабо зависит от расхода жидкости [57, 173] и удовлетворительно согласуется [c.198]

В случае а фазовый элемент движется без искажений его формы, возвращаясь к своему первоначальному положению каждые Т секунд. Это напоминает периодическое движение твердого тела. В течение своего движения капелька фазовой жидкости заметает конечную долю доступного фазового пространства. Такая ситуация вполне может иметь место для реальной механической системы. Рассмотрим, например, систему гармонических осцилляторов с соизмеримыми частотами траектории представляющих их фазовых точек образуют замкнутые кривые на торе (см. разд. П.2). Если ограничиться рассмотрением пути на поверхности одного из таких торов, то движение будет как раз соответствовать фиг. П.6.1, а. Иной тип движения изображен на фиг. П.6.1, б. Здесь форма элемента объема лишь слабо меняется в течение движения. Однако данный элемент объема никогда не возвращается в свое начальное положение. Если за ним проследить достаточно долго, то этот элемент заметает большую часть фазового пространства, возможно даже — все фазовое пространство. Более того, если время ожидания стремится к бесконечности, то элемент пересечет каждый участок фазового пространства бесконечное число раз. Такой поток называется эргодическим. [c.378]

Плоское движение фазовой жидкости описывается уравнениями вида [c.564]

Движение фазовой жидкости по прямой линии описывается уравнением = / (х)- Точки покоя находят решением уравнения / (х) = 0. [c.566]

Возвращаясь снова ко всему ансамблю микросистем и движению соответствующих фазовых точек, заметим, что это движение можно интерпретировать как течение в фазовом пространстве некоторой фиктивной среды, которую в дальнейшем мы будем называть фазовой жидкостью. Скорость этого течения, так называемая фазовая скорость, представляет собой вектор в фазовом пространстве с 2у [c.27]

Представлением о Ф. п. широко пользуются в статистической физике и колебаний и волн теории. Для статистич. физики важнейшим является св-во сохранения фазового объёма при течении фазовой жидкости, её несжимаемость, имеющая место для консервативных систем для теории колебаний фазовая трактовка отд. движений, их св-в и зависимости от параметров. Так, состояние равновесия изображается фазовой траекторией, состоящей из одной точки. Периодич. движение изображается замкнутой фазовой траекторией, обегаемой фазовой точкой за время, равное периоду изменения состояния физ. системы. Св-ву устойчивости состояния равновесия или периодич. движения физ. системы соответствует определённая картина поведения фазовых траекторий, близких к изображающим эти движения фазовым траекториям близкие фазовые траектории при i—>- -f-oo от них не удаляются. [c.799]

Как видно из системы безразмерных уравнений (5.9.2), в число определяющих параметров этой системы, кроме г , не входит начальный радиус капли а . В силу этого, безразмерное решение при заданном г , автомодельно, т. е. одинаково для всех размеров частиц. Это связано с отсутствием движения жидкости и с использованием квазиравновесной кинетики фазовых переходов, а в случае их отсутствия с использованием условий (5.9.4). [c.313]

Резюме. Циркуляция является инвариантом движения фазовой жидкости. Она представляет собой величину Pidqi, проинтегрированную вдоль произ-вольнай замкнутой кривой фазового пространства. Инвариантность циркуляции имеет для фазовой жидкости тот же смысл, что и теорема Гельмгольца для идеальной физической жидкости обе они утверждают сохраняемость вихрей. [c.214]

Это — не что иное, как канонические уравнения движения, если переменный параметр t отождествить со временем, а функцию В с функцией Гамильтона Н. Чтобы лучше понять получившийся результат, представим себе, что мы следим за движением фазовой жидкости в течение некоторого интервала времени А . Предположим, что частицы жидкости помечены, так что можно определять положение каждой из них. В какой-то момент времени / сделаем моментальный снимок движущейся жидкости затем в момент t At — второй моментальный снимок. Все частицы жидкости сдвинулись со своих прежних мест, но их перемещения бесконеч- [c.253]

При этом следует помнить, что р,- в функции Гамильтона Н заменены на dSldqi. Предположим, что мы можем найти производящую функцию S, удовлетворяющую этому уравнению в частных производных. Тогда мы сможем получить движение фазовой жидкости в виде последовательных фаз зависящего от времени канонического преобразования с заданной производящей функцией 5. После соответствую-щих дифференцирований и исключений это преобразование может быть найдено в явном виде. Уравнения преобразования записываются в такой форме [c.256]

Получение этих формул равносильно полному интегрированию динамической задачи, потому что все механические переменные записаны в виде явных функций времени t и 2п постоянных Qi,. .., Q , Pi,..., Рп, которые могут быть выбраны в соответствии с произвольными начальными условиями. В действительности эти постоянные являются координатами той фиксированной точки Q,-, Р,-, которая преобразуется в двин<ущуюся точку qi, pi движение последней обусловлено тем, что наше преобразование зависит от времени. В результате оказывается, что в явной форме описано все движение фазовой жидкости. При этом координаты QiPi играют роль произвольных постоянных интегрирования. [c.256]

Уравнения (9.9.14) допускают интересную геометрическую интерпретацию. В гл. VII, п. 8, показано, что движение фазовой жидкости можно рассматривать как непрерывное выполнение бесконечно малых канонических поеобразеваний. Сосредоточим внимание на векторе скорости [c.369]

Фазовое пространство этой системы трёхмерно и очевидно, что нач. фазовый объём сохраняется. Если в такой системе (в определ. области параметров) рассмотреть каплю фазовой жидкости в пространстве х, X, 6)), то можно обнаружить, что через нек-рое времн ова, сложным образом деформируясь, заполнит определ. область в фазовом пространстве, к-рая и будет соответствовать стохастич. движениям (рис. 1). [c.695]

Если мы рассмотрим не одну систему, а целую совокупность их, то состояние будет определено совокупностью фазовых точек, движение — совокупностью фазовых траекторий. Для наглядного представления мы можем сравнить наши фазовые точки с совокупностью частиц, взвешенных в жидкости (или, в пределе, в случае непрерывного их распределения, с краской, введенной в жидкость) и движущихся вместе с ней. При этом мы должны считать поток жидкости стационарным, так как в силу уравнений Гамильтона (Я не зависит от I) фазовая скорость в даппой точке пе зависит от времени. [c.168]

В фазовом пространстве движение может начинаться тоже из любой точки. Однако задание единственной точки уже однозначно определяет и фазовую траекторию. Фазовые траектории не могут пересекаться, так как это означало бы нарушение единственности механического движения. Поэтому фазовые траектории размещаются упорядоченно, напоминая линии тока жидкости при ламинарном движении. Аналогия эта глубокая изменению механической энергии при ощзеделенных начальных условиях соответствует движение изображающей фазовой точки по линии тока. Движению копий [c.274]

В монографии последовательно изложены теоретические основы, необходимые для понимания и расчета движения гетерогенных или многофазных смесей в различных ситуациях. Такие смеси широко представлены в различных природных процессах и областях человеческой деятельности. Подробно изложены вопросы вывода уравнений движения, реологии и термодинамики гетерогенных сред. Для этого рассмотрены как феноменологический метод, так и более глубокий метод осреднения. Получены замкнутые системы уравнений для монодпсперсных смесей с учетом вязкости, сжимаемости фаз, фазовых переходов, относительного движения фаз, радиальных пульсаций пузырей, хаотического движения и столкновений частиц и других эффектов. Рассмотрены уравнения и постановки задач применительно к твердым пористым средам, насыщенным жидкостью. Описаны имеющиеся в совремеввой литературе решения задач о движении и тепло- и массообмене около капель, частиц, пузырьков. [c.2]

Уравнение (3.4.30) есть обобщение уравнения Рэлея—Дамба пульсаций сферического пузырька (3.3.32), учитывающее фазовые переходы и, в отличие от по-следнего, конечное объемное содержание дисперсной фазы (неодиноч-ность пузырька), ее поступательное движение относительно несущей фазы. Отметим, что при j— 0 имеем ф ф(2), ф(3) н О, и тогда т. е. среднее давление в несущей жидкости совпадает с давлением вдали от пульсирующего пузырька, что и принималось в работах [9, 11, 15, 16, 19]. Это некорректно, если учитывать члены порядка тем более, что поправка на конечное объемное содержание пузырьков содержит члены порядка ссг " и эта поправка даже при таких малых объемных содержаниях пузырьков как щ 0.01—0.05, может быть существенной ). Так как влияние трех [c.130]

В работах Р. М. Гарипова [11] и О. В. Воинова и А. Г. Петрова [9, 10] получены осредненные уравнения неразрывности и импульса фаз для случая смеси идеальной несжимаемой жидкости со сферическими частицами (пузырьками) нулевой массы при отсутствии фазовых перюходов, когда объемное содержание дисперсной фазы 1, так что величинами а. в степени большей единицы можно пренебречь. Указанные уравнения [9—11] получены из анализа задачи о двпженпи идеальной несжимаемой жидкости около системы N сфер с радиусами a t) v = 1,. . ., Л ) и предельного перехода N со пли L/L -> 0. При этом рассматривалось хотя и не произвольное распределение пузырьков в объеме, но, по-видимому, более общее, чем их равномерное расположение (а именно, равномерному расположению соответствует использованная нами ячеечная схема). С одной стороны, метод [9—И ], видимо, более последователен и строг, но, с другой стороны, он проходит только для случая потенциального движения идеальной несжимаемой жидкости, в то время как метод ячеек допускает анализ и получение уравнений в более сложных случаях, когда необходим учет эффектов вязкости, теплопроводности, сжимаемости, фазовых переходов, несферичности частиц и т. д. В связи с этим интересно сравнить, не вдаваясь в процедуру их вывода, уравнения [9—И] и уравнения, полученные нами. [c.151]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...