Странный аттрактор

Существуют три классических типа динамического движения равновесие периодическое движение, или предельный цикл квазипериодическое движение. Эти состояния называют аттракторами, поскольку в присутствии какого-либо затухания переходные отклонения подавляются и система притягивается к одному из трех перечисленных состояний Другой класс движений,характерных для нелинейных колебаний, который не сводится ни к одному из этих классических аттракторов,- непредсказуемые, если присутствует малая неопределенность начальных условий то этот класс движения часто связан с состоянием называемым странным аттрактором. [c.6]

Такие траектории называют седловыми, и именно множество таких траекторий составляет странный аттрактор. [c.165]

Странный аттрактор может появиться уже после нескольких бифуркаций возникновения новых [c.165]

Принадлежащие странному аттрактору сложные, запутанные траектории расположены в ограниченном объеме пространства состояний. Классификация возможных типов странных аттракторов, которые могут встретиться в реальных гидродинамических задачах, в настоящее время неизвестна неясны даже критерии, па которых должна была бы основываться такая классификация. Существующие знания о структуре странных аттракторов основаны в основном лишь на изучении примеров, возникающих при [c.165]

Объем странного аттрактора в своем пространстве состояний всегда равен нулю. Он может, однако, быть ненулевым в другом пространстве — меньшей размерности. Последнее опре- [c.166]

Ввиду упомянутой уже эргодичности движения на странном аттракторе, его средние характеристики могут быть установлены путем анализа движения уже вдоль одной принадлежащей аттрактору неустойчивой траектории в пространстве состояний. [c.167]

Эволюция свойств странного аттрактора при А оо с о п р о" вождается соответствующими изменениями в частотном спектре интенсивности. Хаотичность движения выражается в спектре появлением в нем шумовой компоненты, интенсивность которой возрастает вместе с шириной аттрактора. На этом фоне присутствуют дискретные ники, отвечающие основной частоте неустойчивых циклов, их гармоникам и субгармоникам при последовательных обратных бифуркациях исчезают соответствующие субгармоники— в порядке, обратном тому, в котором они появлялись в последовательности прямых бифуркаций. Неустойчивость создающих эти частоты циклов проявляется в уширении спек-тральных пиков. [c.182]

Нелокальные бифуркации периодических решений. Пусть при нулевом значении параметра в типичном однопараметрическом семействе дифференциальных уравнений в трехмерном фазовом пространстве имеется устойчивый предельный цикл с парой мультипликаторов на единичной окружности (устойчивости можно добиться обращением времени). Поскольку семейство однопараметрическое и типичное, можно считать, что со 2пр/<7 при q A. Тогда при прохождении параметра через О в направлении, соответствующем переходу мультипликатора изнутри единичной окружности наружу, рядом с предельным циклом возникает инвариантный тор толщины порядка Ve, где е — параметр семейства. На этом торе при изменении параметра в бесконечном количестве рождаются и умирают длиннопериодические предельные циклы. При дальнейшем возрастании параметра тор теряет гладкость и может превратиться в странный аттрактор, как это описано ниже. [c.49]

Представляет большой интерес выяснение сценариев перехода от периодического режима, отвечающего наличию устойчивого цикла на торе, к режиму непериодических колебаний, которому может соответствовать странный аттрактор. Это важно, в первую очередь, потому, что численное и лабораторное или даже натурное исследование большого количества физических и других задач (течение Куэтта, конвекция в плоском слое жидкости, генерация колебаний и радиотехнических и СВЧ генераторах и т. д.) показывает, что возникновение стохастических колебаний при разрушении двумерного тора, на котором число вращения рационально, — широко распространенное явление. Прежде, чем инвариантный тор разрушится, он должен потерять гладкость, оставаясь еще некоторое время топологическим подмногообразием фазового пространства. Способы потери удобно демонстрировать на примере отображения кольца в себя, которое при начальных значениях параметров имеет гладкую инвариантную кривую. Конкретный вид отображения здесь несуществен, например, оно может быть таким, как в [34], или [c.49]

Оставшиеся рисунки иллюстрируют дальнейшие возможные изменения фазового портрета. На рис. 20д показан момент образования -критического седло-узла его исчезновение приведет к рождению странного аттрактора. На рис. 20 е изображено первое простое касание неустойчивого и устойчивого многообразий точки Q. В этот момент и при дальнейшем изменении параметров, приводящем к рождению гомоклинических точек транс-версального пересечения, аттрактор в кольце является странным. На рис. 20 ж уже произошла бифуркация удвоения периода точки N и возникла устойчивая двоякопериодическая траектория (замкнутой инвариантной кривой не стало). При дальнейшем изменении параметров может реализоваться каскад [c.51]

Некоторые бифуркации, описанные в этой главе, приводят к возникновению странных аттракторов. Существуют разные, не эквивалентные между собой определения аттракторов. На физическом уровне строгости аттрактор — это множество траекторий в фазовом пространстве, отвечающее установившимся режимам . Обсуждение различных определений аттрактора и описание некоторых бифуркаций аттракторов содержатся в 8. [c.87]

Бифуркационная поверхность может отделять системы Морса—Смейла от систем с бесконечным неблуждающим множеством — при переходе через нее может, например, рождаться странный аттрактор или нетривиальное гиперболическое множество (определение см. в [198]), или сложное предельное множество, содержащее бесконечно много траекторий. [c.95]

Бифуркации, названные в заглавии, приводят к возникновению инвариантных торов и бутылок Клейна, к рождению сложных инвариантных множеств со счетным числом циклов и странных аттракторов. Некоторые случаи изучены не полностью в п. 4.11 формулируются открытые вопросы. В конце параграфа рассматривается структурная устойчивость однопараметрических семейств диффеоморфизмов. [c.115]

Критический случай. В случае, когда объединение гомоклинических траекторий цикла с мультипликатором 1 компактно и критично, при бифуркации соответствующего поля могут возникнуть странные аттракторы. [c.118]

По одну сторону от нуля имеется открытое множество с предельной точкой О, состоящее из счетного объединения интервалов. Каждому значению е из этого множества соответствует лоле V семейства, имеющее странный аттрактор М . Этот аттрактор содержит счетное множество периодических траекторий и стремится к объединению при е- 0. [c.119]

Справедливо заключение 2° теоремы пункта 4.3. А Эта теорема, в несколько иных терминах, сформулирована в [180], где дан набросок ее доказательства . Полное доказательство теоремы получено в [31] при дополнительном требовании на поле Vq (не повышающем коразмерности вырождения, но сужающем область рассматриваемых вырожденных полей на гиперповерхности коразмерности 1 в функциональном пространстве). Сформулируем это требование и заодно поясним механизм возникновения странного аттрактора. [c.119]

Двухшаговый переход от устойчивости к турбулентности. Можно представить себе однопараметрическое семейство векторных полей, в котором значениям параметра меньше первого критического соответствуют поля с глобально устойчивой, особой точкой. При прохождении первого критического значения рождается устойчивый предельный цикл при прохождении второго критического значения этот цикл исчезает, как описано-в п. 4.5. При этом рождается странный аттрактор и наступает хаос. [c.121]

По-видимому, гладкий притягивающий тор, имеющийся в семействе при Е>Е+( Л), при уменьшении ц теряет гладкость и,, прежде чем исчезнуть, превращается в странный аттрактор. [c.153]

Замечание. Бифуркации странных аттракторов также можно разбить на внутренние и кризисы (см., например, [120], [155]). Однако эти бифуркации происходят в классе систем с бесконечным множеством циклов, и их описание выходит за рамки этого обзора. [c.165]

Странные аттракторы. Сборник статей. М. Мир, 1981, 253 с. [c.214]

В активных нелинейных системах стохастич. поведение может быть присуще и небольшому числу В. Так, резонансное взаимодействие В. в активной среде в нек-рых случаях приводит к движениям, образом к-рых является странный аттрактор, и тогда соответствующие движения, по существу, неотличимы от случайных. [c.328]

АТТРАКТОР. Замкнутое притягивающее множество неустойчивых траекторий называют странным аттрактором. АТТРАКТОР имеет нулевой фазовый объем и может характеризоваться величиной - хаусдорфовой размерностью d, а также размерностью вложения, равной числу т независимых фазовых переменных, однозначно определяющих состояние системы. [c.6]

ФРАКТРАЛЬНОЕ МНОЖЕСТВО, странный аттрактор связан с новым по отношению к классической геометрии геометрическим объектом, называемым фраетальным множеством. В трехмерном фазовом пространстве фрактальное множество странного аттракгора выглядит как набор бесконечного числа слоев или параллельных плоскостей, причем расстояние меаду некоторыми из них приближается к бесконечно малому. [c.82]

Притягивающее множество неустойчивых траекторий в пространстве состояний диссипативной системы действительно может существовать Е. Lorenz, 1963) его принято называть стохастическим, или странным аттрактором ). [c.164]

Но уже на третьей бифуркации возникновение странного аттрактора становится возможным (хотя и не обязательным ). Такой аттрактор, приходящий на смену трехчастотному квази-периодическому режиму, расположен на трехмерном торе S. Newhouse, D. Ruelle, F. Takens, 1978). [c.165]

Обратим внимание на следующее важное обстоятельство. Если турбулентное движение уже установилось (течение вышло на странный аттрактор ), то такое движение диссипативной системы (вязкой жидкости) в принципе не отличается от стохастического движения бездиссипативной системы с меньшей размерностью пространства состояний. Это связано с тем, что для установившегося движения вязкая диссипация энергии в среднем зп большое время компенсируется энергией, поступающей от среднего течения (или от другого источника неравновесности). Следовательно, если следить за эволюцией во времени принадлежащего аттрактору элемента объема (в некотором пространстве, размерность которого определяется размерностью аттрактора), то этот объем в среднем будет сохраняться — его сжатие в одних направлениях будет в среднем компенсироваться растяжением за счет расходимости близких траекторий в других направлениях. Этим свойством можно воспользоваться, чтобы получить иным способом оценку размерности аттрактора. [c.167]

При Я > Лоо аттрактор становится странным — притягивающим мнол<еством неустойчивых траекторий. На отрезке [—1, 1] принадлежащие ему точки заполняют интервалы, общая длина которых отлична от нуля. Эти отрезки — следы на секущей поверхности а непрерывной двумерной ленты, совершающей боль-июе число оборотов и замыкающейся на себя. Снова напомним в этой связи о приближенности одномерного рассмотрения. В дей-спвительностн эта лента имеет небольшую, но конечную толщину. Поэтому и составляющие ее сечение отрезки представляют собой в действительности полоски конечной ширины. Вдоль этой ширины странный аттрактор имеет канторову структуру [c.180]

Эволюция свойств странного атграктора при увеличении X. за Аса состоит в общих чертах в следующем. При заданном значении А. > Л , аттрактор заполняет ряд интервалов fta отрезке [—1, 1] участки между этими интервалами — области притяжения аттрактора и в них же находятся элементы неустойчивых циклов с периодами, начиная от некоторого 2 " и меньше. При увеличении Я скорость разбегаиия траекторий на странном аттракторе увеличивается, и он разбухает , последовательно поглощая циклы периодов 2 , 2" + ,. .. при этом число интервалов, занятых аттрактором, уменьшается, а их длины увеличиваются. Другими словами, число витков упомянутой выше ленты последовательно уменьшается вдвое, а их ширьчш увеличиваются. Таким образом, возникает как бы обратный каскад последовательных упрощений аттрактора. Поглощение аттрактором неустойчивого 2 "-цикла называют обратной бифуркацией [c.181]

Перемежаемость. Предположим, что выполнены условия предыдущего следствия, либо условия теоремы п. 4.5, т. е. у векторного поля существует странный аттрактор для е>0. Рассмотрим произвольную непрерывную функцию ф(х) на фазовом пространстве. Пусть x=x t)—траектория, принадлежащая странному аттрактору. Тогда график функции ij3(A (f)) в общем случае имеет следующий вид длинный цуг близких к периодическим осцилляций — на этом интервале времени изображающая точка находится в малой окрестности исчезнувшего цикла — затем турбулентный всплеск, затем снова интервал периодичности и т. д. Такой режим был назван в [170] перемежаемостью. Перемежаемость свидетельствует о бифуркации возникновения странного аттрактора при исчезновении полуус-тойчивого цикла и часто встречается в моделях реальных "про-цесов (см., например [63], [171]). [c.122]

Слияние устойчивого и седлового циклов, лежащих на торе, и образование цикла с мультипликатором 1, который может быть как s-критическим, так и некритическим. В первом случае, если все траектории на неустойчивом множестве — гомоклиниче-ские, то при Е>в может возникнуть странный аттрактор (ем. 4). Если при 0<8<8 на Те лежит больше двух циклов, то при 8>8, по-прежнему, существует тор, на котором на два цикла меньше. [c.161]

Непосредств. возбуждение шумовых (стохастич.) авто-ко.пебапий без использования естеств. источников шума возможно в Г. э. к., колебат. система и-рых имеет не менее 1,5 степеней свободы, в том числе Г. э. к. с запаздывающей обратной связью (см. Странный аттрактор). В лампе бегущей волны (ЛБВ), охваченной петлёй запаздывающей обратной связи (рис. 6), при достаточной величине запаздывания сигнала и [c.434]

Установившемуся движению диссипативной системы отвечает аттрактор — множество траекторий, к к-рому притягиваются все близкие траектории. Ста-тич., периодич. или квазипериодич. режимам отвечают простейшие аттракторы состокние равновесия, перно-дич. траектория и тор соответственно. Сложному непе-риодич. режиму отвечает странный аттрактор. С фи л. точки зрення, диссипативность системы означает, что все движения с достаточно большой анергией затухают. [c.626]

Устойчивые и неустойчивые сепаратрисы равновесия и (пли) периодич. движений могут пересекаться. Траектории, принадлежащие пересечению устойчивых и неустойчивых сепаратрис разных периодич. движений, наз. гетероклиническими. Траектория, принадлежащая пересечению устойчивой и неустойчивой сепаратрис периодич. движения L (и отличная от L), наз. гомоклинической. Как правило, в её окрестности имеется бесконечное множество разнообразных траекторий, среди к рых содержится счётное множество седловых периодич. движений. Наличие гомоклинич. траекторий может служить критерием существования сложных режимов в Д. с. (см. Стохастические колебания, Странный аттрактор), а также яв- [c.627]

Л., предрасположенными к режимам пульсаций, являются рубиновый, неодимовый, YAG-лазер (см. Твердотельный лааер), газовый йодный лазер, Oj-ла,зер (см. Газоразрядные лазеры), полупроводниковые ла 1еры. Модуляция параметров в них может приводить к возиикповеиию и хаотич. пульсаций мощности, к-рыи в фа.ю ом пространстве соответствует сложный набор траекторий, наз. странным аттрактором. [c.548]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...