Число вращения рациональное

Представляет большой интерес выяснение сценариев перехода от периодического режима, отвечающего наличию устойчивого цикла на торе, к режиму непериодических колебаний, которому может соответствовать странный аттрактор. Это важно, в первую очередь, потому, что численное и лабораторное или даже натурное исследование большого количества физических и других задач (течение Куэтта, конвекция в плоском слое жидкости, генерация колебаний и радиотехнических и СВЧ генераторах и т. д.) показывает, что возникновение стохастических колебаний при разрушении двумерного тора, на котором число вращения рационально, — широко распространенное явление. Прежде, чем инвариантный тор разрушится, он должен потерять гладкость, оставаясь еще некоторое время топологическим подмногообразием фазового пространства. Способы потери удобно демонстрировать на примере отображения кольца в себя, которое при начальных значениях параметров имеет гладкую инвариантную кривую. Конкретный вид отображения здесь несуществен, например, оно может быть таким, как в [34], или [c.49]

Поведение решений уравнений (10.1) во многом зависит от числа вращения. При этом весьма важную роль играет арифметическая природа этого числа. Докажем, что если уравнение (10.1) имеет замкнутую интегральную кривую на торе, то число вращения рационально. [c.154]

Теорема 10.2 показывает, что если уравнение (10,1) имеет замкнутую интегральную кривую, то его число вращения рационально. Оказывается, верно и обратное. [c.154]

При дальнейшем изменении параметров после бифуркации слияния седел с узлами происходит быстрая смена различных качественных картинок разбиения. После этого быстрого мельтешения снова на более или менее длительном интервале изменения параметров может установиться устойчивый синхронизм. Характер этой смены достаточно сложен. Для простого синхронизма он определяется зависимостью числа вращения Пуанкаре от параметров. Каждому рациональному значению числа вращения соответствует. некоторый интервал по параметру существования устойчивого синхронизма. Между любыми такими интервалами существует бесчисленное множество других, причем между каждой парой этих других в свою очередь такое же бесчисленное множество. Сказанное в какой-то мере отображается рис. 7.115, где интервалам на оси параметра отвечают области существования устойчивого синхронизма с числом вращения у = piq, где р q — целые числа. [c.366]

Для векторного поля класса С, г 2, непрерывно зависящего от , интервалы постоянства числа вращения могут соответствовать как рациональным, так и иррациональным значениям (о кроме того, некоторым рациональным значениям могут не-соответствовать интервалы постоянства . [c.104]

Напомним, что рациональному числу вращения соответствует поле с циклом. [c.104]

Замечание. Знание зависимости числа вращения от параметра позволяет указать все бифуркации, осуществляющиеся при изменении е, за исключением, быть может, бифуркаций, происходящих при постоянном рациональном числе вращения, т. е. бифуркаций слияния и исчезновения (или возникновения) циклов при условии, что некоторые другие циклы при этом сохраняются (см. также п. 7.1). [c.105]

Теорема 10.3. Если число вращения i рационально, [c.154]

Предположим, что уравнение (10.1) имеет рациональное число вращения тогда оно имеет замкнутую [c.156]

Обратно, если преобразование Т имеет рациональное число вращения = у дробь несократима , то преобразование имеет неподвижную точку. При этом если для некоторой точки М С выполняется соотношение Т М = М (г — натуральное число), то Обязательно г =кд, где к — натуральное число. [c.174]

Доказательство. Доказательство леммы мы будем проводить от противного. Предположим сначала, что число вращения 1 уравнения (11.1) иррационально. Возьмем произвольное е > 0. Сделаем относительно решения 6 = (ср, 0) уравнения (11.1) такие же предположения, как и при доказательстве леммы 11.1. Как было показано, тогда число вращения (Х уравнения (11.9) больше числа вращения (х уравнения (11.1). В силу теоремы 11.1 число вращения (15(е) уравнения (11.9) зависит от е непрерывно, и потому существует такое бо < е, что число вращения х (ед) рационально. Но ясно, что тогда не существует топологического преобразования тора R на себя, переводящего интегральные кривые уравнения (11.1) в интегральные кривые уравнения (11.9), в котором е = 5о ибо в противном случае при таком преобразовании незамкнутая кривая переходила бы в замкнутый цикл, что невозможно. Но тогда из определения 11.2 следует, что уравнение (11.1) не является грубым. Мы получили [c.180]

Теорема 11.4. Для того чтобы уравнение ( . ) было грубым, необходимо и достаточно, чтобы оно имело рациональное число вращения и любое его периодическое решение имело ненулевой характеристический показатель. [c.184]

Все окружности 5 х у инвариантны относительно интегрируемых закручивающих отображений, на которых они действуют, как поворот на монотонную функцию д. Поэтому для каждого рационального значения д получается инвариантная окружность с числом вращения д у), и, таким образом, имеется бесконечное множество семейств периодических орбит, разделенных окружностями с иррациональными числами вращения. Интервал закручивания в этом случае имеет вид (Нтд(у), lim д(у)). [c.356]

Мы показали, что из существования периодической точки следует рациональность числа вращения. Докажем обратное утверждение. [c.393]

Предложение 11.1.4. Пусть f — сохраняющий ориентацию гомеоморфизм окружности SK Число вращения r f) рационально тогда и только тогда, когда у / есть периодическая точка. [c.393]

Таким образом, в силу предложения 11.1.9 иррациональное значение числа вращения неустойчиво. Однако для рациональных значений числа вращения ситуация меняется. [c.395]

Замечание. Это доказательство показывает, что отображения окружности с рациональными числами вращения, обладающие притягивающими или отталкивающими периодическими орбитами (орбитами, поднимающимися до точек, в которых величина F — Id —р меняет знак), сохраняют число вращения при любом достаточно малом возмущении. [c.395]

Доказательство. По предложению 11.1.8 и предложению 11.1.6 величина т монотонна и непрерывна. С учетом предложения 11.1.10 отсюда следует, что т (5 ) представляет собой непересекающееся объединение замкнутых отрезков положительной длины. Мы должны показать, что множество T (S ) плотно. Увеличивая, если нужно, множество S, мы можем предположить, что если т(/ ) = р/д eQ S, то отображение /j топологически сопряжено к Тогда из предложения 11.1.9 следует, что величина т строго монотонна в точках t е т ([0,1] S ) число вращения строго возрастает, в случае когда оно принимает иррациональные значения и в случае отображений окружности, сопряженных рациональным поворотам. Таким образом, для t е [О, 1) t" (S ) и е > О мы имеем r(i) ф r(i -t- е) и, следовательно, в силу плотности множества S, непрерывности т и теоремы [c.396]

Предложение 11.2.1. Пусть f S - —сохраняющий ориентацию гомеоморфизм с рациональным числом вращения r f)=p/q. Предположим, что числа р uq взаимно просты, и обозначим через х е S такую точку, что Р(х) = х. Тогда порядок точек х, f(x), р(х),..., (ж) [c.397]

Последнее утверждение напоминает полученный ранее результат о том, что в случае рационального значения числа вращения периодические орбиты упорядочиваются таким же образом, как для соответствующего поворота. Для рациональных чисел вращения мы установили, что непериодические орбиты асимптотически приближаются к периодическим. Этот факт служит основанием для того, чтобы изучать асимптотическое поведение орбит также и для гомеоморфизмов с иррациональным значением числа вращения [c.399]

Предположим теперь, что для некоторого векторного поля на число вращения рационально. Если векторное поле — общего положения, на то имеется четное число предельных циклов, половина устойчивых, половина неустойчивых. Число вращения может измениться только после того, как эти циклы перестанут существовать. Их исчезновение связано с прохождением мультипликаторов через +1. Таким образом, векторное поле с бесконечным неблуждающим множеством (и с глобаль- [c.149]

Бифуркации двумерного тора. Предположим, что поток /с , скажем, при 0 8<е, является системой Морса—Смейла и имеет притягивающий инвариантный двумерный тор Те. Предположим, что при 0 8<е на торе существует глобальная секущая. В этом случае число вращения рационально, на Те имеется четное число предельных циклов, половина из которых устойчивы, половина — неустойчивы (седловые по отношению ко всему фазовому пространству), и Т образован замыканием неустойчивых многообразий этих седловых циклов. Предположим также, что е -бифуркационное значение параметра, и при 8 = 8 осуществляется бифуркация коразмерности 1—одна из рассмотренных выше. Следовательно, это либо бифуркация одного из предельных циклов, лежащих при е<е на Т , либо бифуркация, связанная с образованием гомо- и гетероклиниче-ской траектории на неустойчивом многообразии одного из седловых циклов. [c.161]

Доказательство. Достаточность следует из того, что и услониях теоремы число вращения рационально, а функция послсдонапия меняет знак, и из теоремы 11.2. [c.179]

Без ограничений на скорость приближения числа вращения рациональными числами нельзя сделать никаких заключений о регулярности отображения, сопрягающего данный гомеоморфизм с отображением поворота (кроме непрерывности, гарантируемой теоремой 12.1.1). В следующих двух параграфах мы покажем, что для С°°-отображений действительно могут реализоваться почти все мыслимые виды нерегулярности сопрягающего отображения. Замечательное исключение представляет собой простой результат, гласящий, что липшицево сопряжение обязательно должно принадлежать классу С. Самая сильная, но в определенном смысле самая типичная патология, которой может обладать сопрягающее отображение, — это сингулярность, т. е. ситуация, когда множество лебеговой меры нуль переводится в множество полной меры и наоборот. Мы покажем, что это случается при соответствующих значениях параметра в большинстве однопараметрических семейств. [c.414]

Если число вращения рационально и орбита точки (х, у) периодическая, утверждение очевидно. В противном случае орбита точки (х, у) положительно асимптотична к некоторой периодической орбите и отрицательно асимптотична к другой периодической орбите. В любом случае оба предела существуют, и если две периодические орбиты совпадают, то и числа и С совпадают. [c.443]

Теорема Арнольда впервые появилась в [21] и положила начало важному направлению в исследованиях. Мозер (например, в [215], [216]) и Рюсмаи получили аналогичные результаты для случая конечной дифференцируемости. Конечно, требуемая степень дифференцируемости и допустимый размер возмущения зависят от ограничений снизу иа скорость приближения числа вращения рациональными числами. Например, для почти всех чисел вращения Рюсмаи предполагает лишь гладкость порядка Арнольд выдвинул гипотезу, что любое анали- [c.731]

Теорема. Сохраняющий ориентацию диффеоморфизм окружности структурно устойчив, если и только если число-вращения рационально и все циклы невырождены. Структурно устойчивые диффеоморфизмы образуют открытое всюду плотное множество в пространстве всех дважды гладких сохраняющих ориентацию диффеоморфизмов окружности с топологией С . [c.47]

O, Ф(то(1(12я) —координаты на торе [7]. Если число вращения иррационально, то движение условно-периодично и каждая траектория обматывает тор всюду плотно. Если число вращения рационально, то на торе существуют циклы если циклы невырождены, то их четное число (половина — устойчивые, половина—неустойчивые), и остальные траектории притягиваются к ним при /- - сж. Число вращения ц(е) в системе общего положения представляет собой непрерывную кусочно-постоянную на открытом всюду плотном множестве функцию от е (вроде кан-торовой лестницы, но только суммарная относительная мера интервалов постоянства на отрезке [О, ео] стремится к нулю прн со- О). Существование интервалов постоянства связано с наличием на торе невырожденных циклов при малом изменении е такие циклы не исчезают и, следовательно, число вращения не изменяется. При е- 0 в системе общего положения на торе происходит бесконечная последовательность бифуркаций рождения и исчезновения циклов. Все эти явления не улавливаются формальной процедурой теории возмущений. [c.164]

Тогда 1) число вращения со(е) диффеоморфизма /е—канторов-ская функция, не убывающая при dhldeyO и не возрастающая при дЬ1де<0 2) каждое свое рациональное значение функция со принимает на некотором интервале 3) функция ш строго возрастает при dhldsyO (строго убьшает при й/< е<0) на множестве тех значений г, которым соответствуют иррациональные значения (о. [c.105]

Бифуркации на двумерном торе могут быть вызваны изменением числа вращения Пуанкаре его обмотки. При рациональном числе вращения обмотка тора периодическая, точнее, на торе есть устойчивые периодические движепия, а остальные фазовые траектории к ним приближаются, за исключением такого же числа неустойчивых периодических движений, которые играют роль разделяющих границ локальных областей притяжения устойчивых периодических движений. При иррациональном числе вращения обмотка двумерного тора квазипериодическая. Число вращения Пуанкаре как функция параметра в общем случае ку-сочпо-постоянная, при всяком ее изменении происходят бифуркации обмотки тора — фазового портрета иа торе. Бифуркации отдельных периодических движений на торе ничем не отличаются от описанных уже бифуркаций периодических движений. [c.167]

Таким образом, мы имеем дедекиндово сечение в области рациональных чисел. Пусть оно производится числом II.. Это число называется числом вращения уравнения (10.1). [c.152]

Таким образом, для того чтобы уравнение (10.1) имело на торе за.мкнутые интегральные кривые, необходимо и достаточно, чтобы его число вращения было рациональным. [c.156]

Теорема 11.2. Для того чтобы уравнение (11.1) имело устойчивое число вращения, необходимо и достаточно, чтобы число (г было рациональным а функция ПО< Л0дован11н меняла знак. [c.179]

Мы уже встречались с гомеоморфизмами окружности в предыдущих главах. Повороты (см. 1.3) представляют собой достаточно простой пример, который можно систематически исследовать. Пуанкаре поставил вопрос о том, при каких условиях данный гомеоморфизм или диффеоморфизм сопряжен повороту. Оказывается, что по крайней мере для достаточно гладких отображений единственный модуль — число вращения — полностью описывает топологический класс, если он является иррациональным, и трудности, возникающие для рациональных значений, легко могут быть описаны. Даже в топологическом случае иррациональность числа вращения гарантирует полусопряженность с соответствующим поворотом. [c.391]

Предложение 11.1.10. Пусть f — S —сохраняющий ориентацию гомеоморфизм с рациональным значением числа вращения (/) = р/д, имеющий хотя бы одну перио ческую точку. Тогда либо все такие достаточно малые вошущения [ , что f f, либо все такие достаточно малые возмущения /, что f f, обладают тем же числом вращения р/д. [c.395]

Следующее предложение утверждает, что для гомеоморфизмов окружности с рациональным числом вращения все непериодические орбиты асимптотически стремятся к периодическим орбитам. Это дает полную классификацию возможных орбит с рациональными числами вращения. (Вспомните определение 6.5.4 гомоклинических и гетероклинических точек.) [c.398]

Последнее предложение показывает, что структура орбит отображения с иррациональным числом вращения принципиально отлична от структуры орбит отображения с рациональным числом вращения. В то время как в случае рационального числа вращения все орбиты либо периодические, либо асимптотически стремятся к периодическим, для отображений с иррациональным числом вращения имеются две возможности либо все орбиты плотны, либо любая орбита или плотна в канторовом множестве или [c.400]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...