Больцмана уравнение переноса

Больцмана уравнение переноса, справедливость 106 [c.512]

Автор [136] учитывал столкновения частиц, используя решение уравнения переноса Больцмана. Несмотря на пренебрежение фактом присутствия жидкости (разд. 5.3), введение в расчеты функций распределения высокого порядка обычно дает более точное выражение для кажущейся вязкости и коэффициента диффузии. [c.237]

Методом Боголюбова в курсе устанавливаются кинетическое уравнение Больцмана для газа, кинетическое уравнение Власова для плазмы и некоторые их приложения. На основе кинетического уравнения Больцмана выводятся макроскопические уравнения переноса и следующие из них уравнения гидродинамики и вычисляются коэффициенты переноса. Явления переноса рассматриваются также методом функций Грина. [c.37]

Для вывода уравнений гидродинамики исходя из кинетического уравнения Больцмана получим вначале общее уравнение переноса Энскога без использования явных решений уравнения Больцмана. Для этого умножим кинетическое уравнение Больцмана [c.137]

Таким образом, классические уравнения переноса описывают физически механизм переноса в системах, подчиняющихся уравнению Больцмана. [c.37]

Считая отклонения состояния движущегося газа от равновесного малыми, можно найти приближенные решения уравнения Больцмана и получить обоснование феноменологических уравнений переноса (94.27), (94.28), (94.32), а также вычислить коэффициенты переноса. [c.533]

Уравнения переноса для смеси газов получаются с помощью умножения обеих частей уравнения Больцмана (2-8) на функцию (г, v, t), представляющую любое аддитивное свойство индивидуальных молекул и интегрируемую по всему пространству скоростей. [c.34]

Ясно, что кинетическая теория, основанная на релятивистском (классическом или квантовом) уравнении Больцмана, непригодна для описания неравновесных процессов в произвольных квантово-полевых системах, поэтому естественно обратиться к более общим методам статистических ансамблей и попытаться вывести уравнения переноса для таких систем, исходя из релятивистского уравнения Лиувилля. На этом пути уже достигнут определенный прогресс. Метод неравновесного статистического оператора, изложенный в настоящей книге, применялся в некоторых задачах [13-15, 34, 88]). От- [c.282]

Эта бесконечная система уравнений (уравнений переноса Максвелла) эквивалентна уравнению Больцмана в силу полноты множества ф . Общая идея, лежащая в основе так называемых моментных методов, состоит в замыкании системы и решении только конечного числа уравнений переноса, или моментных уравнений. При этом функция распределения / может оказаться в значительной степени неопределенной, так как лишь бесконечная система уравнений (2.1) (с заданными начальными и граничными условиями) может определить /. Это означает, что / можно выбрать с некоторой степенью произвола и затем при помощи моментных уравнений определить детали, которые мы не зафиксировали. [c.220]

Таким образом, когда мы имеем дело со статистической механикой, речь идет о вероятностях вместо достоверностей, т. е. в нашем описании нельзя говорить об определенных положении и скорости данной частицы, а только о вероятностях реализации ее различных положений и скоростей. В частности, это справедливо для кинетической теории газов, т. е. для статистической механики молекул газа, и для теории переноса частиц (нейтронов, электронов, фотонов и т. д.). При надлежащих предположениях информацию, требуемую для расчета средних в этих системах, можно свести к решению одного уравнения, так называемого уравнения Больцмана. В случае нейтронов оно часто называется транспортным, в то время как для фотонов обычно используется название уравнение переноса (перенос излучения). [c.11]

После того как равнением Больцмана определена функция распределения [уравнение (16) 1.7], можно определить макроскопические свойства текущего газа из максвелловского уравнения переноса. Пусть Q a, v, w) — величина, связанная с молекулой, такая, например, как импульс или энергия [c.29]

Аналогично могут быть получены уравнения течений, близких к изоэнтропическому. Новая функция распределения (/1) может быть определена прямо из решения уравнения Больцмана [(1) гл. I] или косвенно из максвелловских уравнений переноса (4) для Q — т, Ф, ис" и так далее (см. гл. 1П и Приложение I). Для этой функции распределения, мало отличающейся от функции Максвелла (8), средние значения членов в уравнениях (5), (6), [c.268]

В таком представлении уравнение переноса имеет вид уравнения Больцмана, а интеграл можно отождествить с интегралом столкновений. Различие, как уже говорилось, заключается в том, что [c.18]

Для определения постоянной С и выяснения связи между отдельными слагаемыми уравнения переноса применим его к случаю, когда выполняется условие термодинамического равновесия. Тогда фактически линия не образуется, интенсивность не зависит ни координат, ни от направления и равна функции Планка В о(Т), населенности уровней подчиняются формуле Больцмана и выполняется условие детального баланса, т. е. процессы в линии и в континууме уравновешены порознь [c.158]

Если в качестве Ф выбрать инварианты столкновений, т. е. величины, которые не меняются при столкновении молекул (например, масса, импульс и энергия), то тогда правая часть уравнения переноса (0.11) обращается в нуль и из него следуют основные уравнения механики сплошных сред. Эти уравнения образуют незамкнутую систему, и ее замыкание может быть получено при помощи функции распределения / как решения уравнения Больцмана в различных приближениях. [c.21]

Это уравнение называется уравнением переноса Больцмана. Вычисление столкновительного члена в правой части уравнения (6.34) будет дано в следующем параграфе. [c.267]

В гл. 6 рассматривалось уравнение переноса Больцмана, включая некоторые элементарные приложения. В данной главе будет описан общий метод получения приближенных решений этого уравнения, разработанный Энскогом и Чепменом. Эти решения применяются затем для вывода уравнений гидродинамики и получения коэффициентов переноса в простом газе. [c.287]

В гл. 6 мы получили общее уравнение переноса Больцмана для многокомпонентного газа, состоящего из простых молекул. В гл. 7 эти уравнения были применены к исследованию гидродинамических свойств простого однокомпонентного газа. В этой главе мы распространим эти результаты на более реальный случай молекул с внутренними степенями свободы, которые могут химически реагировать между собой. [c.336]

Обобщим теперь уравнение переноса Больцмана (6.42) на случай химических реакций следующим образом [c.337]

Уравнение Больцмана, записанное в виде (1.199), называется уравнением переноса излучения. Более строго, мы, конечно, должны его записывать в виде, когда не обязателен принцип локального термодинамического равновесия [c.70]

Как следует из уравнения Больцмана и его модификации — интегро-дифференциального уравнения переноса, для расчета процесса излучения необходимо знать коэффициент поглощения, собственное излучение (излучательные характеристики среды), коэффициент рассеяния и индикатрису рассеяния, см. уравнение (1.201). Гра ничные условия могут быть выражены через коэффициенты отражения, пропускания и поглощения. Как уже показано выше, постоянные поглощения к и преломления п несут достаточно полную информацию о свойствах материала. К сожалению, как уже отмечалось, нет общей теории, по которой могут быть рассчитаны все или большинство из приведенных выше коэффициентов. Более того, как это будет показано ниже, лишь небольшое число феноменологических коэффициентов может быть найдено из структурных или других характеризующих вещество соотношений. [c.176]

Уравнения переноса. Ясно, что если удастся решить уравнение Больцмана (2.18) и получить функции распределения 1 для всех компонентов смеси, то с помощью [c.29]

Сначала из уравнения Больцмана получим уравнения переноса Максвелла — Энскога. Для этого выведем дифференциальные уравнения, описывающие изменение средних величин 0 , характеризующих поле течения для частиц -го компонента. Такие уравнения можно получить путем умножения уравнения (2.18) на 0г и последующего интегрирования по всем скоростям Уг, т. е. [c.29]

Уравнения сохранения количества движения и энергии можно вывести аналогично, используя уравнения переноса. Эти уравнения здесь не выводятся ), так как учет химических реакций незначительно влияет на их вид. Ниже будет показано, что уравнения переноса могут быть полезными при решении уравнений Больцмана. [c.31]

Допущения теории переноса. Ввиду того что для получения газодинамических уравнений используются только два члена в разложении Энскога для функции распределения, а также ввиду того, что решается только уравнение Больцмана для одночастичной функции распределения скорости, здесь перечисляются условия, при которых можно ожидать, что будут иметь силу получающиеся газодинамические уравнения переноса. Только исследование этих условий позволяет полностью оценить ту скудную основу, на которой построена газовая динамика как наука в настоящее время, и понять, каким триумфом является то, что наука, построенная при таких ограничивающих предположениях, находится в разумном согласии с экспериментом в широком диапазоне условий. Это же помогает осознать необъятность задачи, которая возникает при распространении этой теории на области, которые в настоящее время не могут быть описаны теорией в ее теперешнем состоянии. [c.366]

Теория переноса, называемая также теорией переноса излучения, берет свое начало с работы Шустера 1903 г. Основное дифференциальное уравнение этой теории называется уравнением переноса и эквивалентно уравнению Больцмана (называемому также уравнением Максвелла — Больцмана со столкновениями), используемому в кинетической теории газов [149] и в теории переноса нейтронов>). Такая формулировка является гибкой и способна описывать многие физические явления. Она с успехом применялась в задачах атмосферной и подводной видимости, морской биологии, оптики бумаг и фотографических эмульсий, а также при анализе распространения излучения в атмосферах планет, звезд и галактик. [c.164]

I 3. Уравнение переноса Больцмана 78 [c.79]

Третья глава посвящена граничным условиям. В связи с этим обсуждаются явления, происходящие при взаимодействии газа с поверхностью, и роль, которую они играют при доказательстве Я-теоремы Больцмана. В четвертой главе расс1иатриБаются линейные уравнения переноса, в особенности линеаризованное уравнение Больцмана, уравнения переноса нейтронов и излучения, а также линейные модельные уравнения. Основное внимание уделяется общим аспектам этих задач и их решения. В пятой главе обсул<даются предельные случаи бесстолкновитель-ного и почти континуального течений. Шестая глава посвящена аналитическому решению линейных кинетических модельных уравнений с приложением к ряду задач о течениях газа и распространении звука в разреженных газах. [c.8]

Для выполнения расчетов процессов переноса на основе кинетической теории (уравнение переноса Больцмана) [588] требуются данные о молекулярном взаимодействии, которые значительно усложняют расчеты для некоторых газов [342] и неизвестны для большинства жидкостей [229]. Введением соответствующих феноменологических соотношений в механике сплошной среды [686] удается эффективно заменить фазовое пространство (координаты положения и количества движения) уравнения переноса Больцмана конфигурационным пространством (координаты положения) и свойствами переноса пос.ледние могут быть определены экспериментально. Это составляет основу второго из указанных выше методов исследования, который сравнительно недавно используется при изучении многофазных систем. [c.16]

Уравнение Больцмана для переноса электронов. Рассмотрим подробно предположения, которые были сделаны при разработке статистической теории движения электронов в металле. Предполагается, что электронный газ достаточно хорошо описывается при помощи функции распределения электронной плотности f(x,p )dxdp (для удобства рассматривается только координата х пространства и соответствующий импульс). Отметим, что таким образом мы, по существу, пренебрегаем отдельными флуктуациями. [c.217]

Кинетическое уравнение Больцмана позволяет получить не только уравнения переноса массы, импульса и энергии и следующие из них уравнения газогндродинамики, но и вычислить различные кинетические коэффициенты. [c.146]

Как известно, уравнения переноса количества движения и энергии в современной молекулярно-кинетической теории выводят, исходя из решений так называемого интегро-дифференциального уравнения Больцмана. Решение уравнения Больцмана в первом приближении, т. е. когда можно пренебречь градиентами скоростей и температур по средней длине свободного пути молекул, приводит к уравнениям движения газа в форме Навье — Стокса. Второе приближение, найденное Барнетом по методу Энского—Чепмена, вводит в систему уравнений движения и теплового потока принципиально новые члены, которые существенным образом меняют законы дисперсии акустических волн. В этом случае в какой-то степени уже учитывается изменение градиентов скоростей и темпёратур на средней длине свободного пути молекул. Существует решение уравнения Больцмана и в третьем приближении. Оно 54 [c.54]

Сэмпсон [1] получил его непосредственно из уравнения Больцмана, рассматривая перенос излучения как перенос фотонов Чандрасекар [2], Курганов [3], Соболев [4] и Висканта [5, 6] вывели это уравнение, используя переменные Эйлера и записывая уравнение баланса энергии для некоторого элементарного объема на пути распространения пучка. Вайнберг и Вигнер [7], а также Мэррэй [8] получили эквивалентное уравнение в теории переноса нейтронов. [c.269]

Исходя из уравнения переноса Больцмана и используя приближение времени релаксации, показать, что электрическую проводимость однородного полупроводника, рассматриваемого как больцмановский газ электронов и дырок, можно записать как а = ( (/г .1 + р Хр), где i и [Хр — подвижности, т. е. средние скорости дрейфа в электрическом поле единичной напр.чженности. Для электронов и дырок они соответственно равны [c.78]

До сих пор остается открытым вопрос об определении термодинамических величин в случаях, когда при описании процессов переноса нужно учитывать эффекты нелокальности и памяти ). В так называемой расширенной неравновесной термодинамике [94,134] для учета эффектов памяти в набор наблюдаемых включаются не только локальные термодинамические величины, но и их потоки. Эта идея имеет долгую историю и восходит к работе Максвелла по кинетической теории классических газов [127], где впервые была сделана попытка учесть память в уравнениях переноса с помощью релаксационного уравнения для тензора вязких напряжений. Следующий важный шаг был сделан Грэдом [74], который разработал метод моментов для построения нормальных решений уравнения Больцмана ). [c.280]

Легко составить уравнения для q, и всех остальных моментов Л1 моментов и т. д. Для этого в общее уравнение переноса (1.5) достаточно вместо ф подставить соответственно bibjbit и т. д. при этом в левую часть уравнений для моментов порядка N входят моменты (Л/- -1)-го порядка. Следовательно, уравнение Больцмана может быть заменено лишь бесконечной системой совместных уравнений. При выводе уравнений (1.8)—(1.10) в качестве функции ф( ) выбирались сумматорные инварианты В этом случае интегралы обращались тождественно в нуль. При построении же уравнений переноса для моментов более высокого порядка интегралы в общем случае в нуль не обращаются и в уравнение моментов Л/-го порядка входят не только неизвестные моменты (N 1)-го порядка, но и неизвестные интегралы / . Поэтому необходимо прежде всего выразить интегралы через моменты. [c.98]

Для теоретического изучения неравновесных состояний газа отнюдь не всегда оказывается необходимым во всей полноте использовать кинетическую теорию газов. Действительно, как ото хорошо известно, существует важный класс движения газа, закономерности которого соответствуют описываемым гидрогазодинамикой Ц]. Гидрогазодипамика не предполагает знания распределений частиц по импульсам. В связи с этим уравнения гидро-газодипамики являются существенно более простыми, нежели кинетические уравнения. В то же время гидрогазодинамика оперирует с такими феноменологическими характеристиками газа, как коэффициенты переноса, которые могут быть теоретически найдены лишь на основании молекулярных распределений. Поэтому возникает необходимость в построении последовательного перехода от кинетической теории к гидрогазодинамике. В связи с этим в настоящей главе мы поставим перед собой задачу получения уравнений гидрогазодинамики — уравнений переноса — на основании кинетической теории, базирующейся на кинетическом уравнении Больцмана. Решение такой задачи, позволяющее, в частности, определить коэффициенты переноса (вязкость, теплопроводность и т. п.), представляет собой одно из наиболее традиционных приложений кинетической теории газов. Можно сказать, что уравнения переноса — уравнения гидрогазодинамики — описывают макроскопические движения неравновесного газа. При этом кинетическая теория неравновесных газов под макроскопическими движениями понимает движения, определяющиеся величинами, представляющими собой результат усреднения по возможным импульсам частиц газа. В этом смысле распределение частиц по импульсам, описываемое функциями распределения, соответствует микроскопической теории состояния неравновесного газа. Таким образом, ставя перед собой задачу построения [c.45]

Для получения последнего уравнения переноса — уравнения баланса энергии — умножим кинетическое уравнение Больцмана на (1/2)т FI, проинтегируем по импульсам и просуммируем по всем сортам чартиц. После этого получаем [c.50]

Прямой метод получения уравнений неизоэнтропического течения состоит в том, чтобы решить общее уравнение Больцмана и найти модифицированную функцию распределения скоростей, а затем найти соответствующие уравнения переноса, подставив эту функцию в уравнения (8), (10) 1.9. Этот метод уже применялся в главе 2 для изоэнтропического течения. Более общая задача была решена Энскохом (Епз-kog) [1]. [c.102]

Град (Grad) [30] получил последовательные системы уравнений переноса, зависящие от порядка величины отклонения функции распределения от максвелловской функции распределения. Г рад использовал тринадцатимоментное приближение уравнения Больцмана. Решая получающуюся в результате этого систему уравнений при помощи метода последовательных [c.153]

Теоретический анализ взаимосвязанных физико-химических, динамических и радиационных процессов и явлений в средней и верхней атмосфере представляет чрезвычайно сложную задачу. Наиболее полное и строгое исследование подобной среды может быть проведено в рамках кинетической теории многокомпонентных смесей многоатомных ионизованных газов, исходя из системы обобщенных интегро-дифференциальных уравнений Больцмана для функций распределения частиц каждого сорта смеси (с правыми частями, содержащими интегралы столкновений и интегралы реакций), дополненной уравнением переноса радиации и уравнениями Максвелла для электромагнитного поля. Такой подход развит, в частности, в монографии авторов Маров, Колесниченко, 1987), где для решения системы газокинетических уравнений реагирующей смеси применен обобщенный метод Чепмена-Энскога. Однако ряд упрощений, часто вводимых при решении сложных аэрономических задач (например, учет только парных столкновений взаимодействующих молекул, предположение об отсутствии внутренней структуры сталкивающихся частиц вещества при определении коэффициентов молекулярного обмена и т.п.), существенно уменьшает преимущества, заложенные изначально в кинетических уравнениях. [c.68]

В настоящем параграфе мы рассмотрим это самосогласование более систематически. Для этого воспользуемся сначала подходом, основанным на теории переноса. Уравнения переноса дают нам распределение заряда, которое следует ожидать в присутствии заданных полей. Уравнение Пуассона определяет потенциал, который создается данным распределением зарядов. Эти уравнения можно решить самосогласованно. Затем мы приступим к квантовомеханическому рассмотрению того же эффекта. В обоих случаях мы будем искать линейный отклик системы на малые приложенные поля, что в классическом случае соответствует использованию линеаризованного уравнения Больцмана. Важной чертой линейной теории является то, что мы можем провести разложение Фурье совершенно произвольного поля, зависящего от координаты и времени, и вычислить отклик системы на каждую компоненту Фурье отдельно. Таким образом, расчет отклика на потенциал Voexpltiq-r—о)/)1 (где Vo есть постоянная амплитуда), зависящий от и ш, фактически позволяет найти отклик на слабый внешний потенциал совершенно общего вида. [c.314]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...