Пространство состояний 2л-мерное

Перейдем теперь к 2л-мерному фазовому пространству q ,. .. , Яп < 1. 1 Яп- Здесь началу координат также соответствует исследуемое состояние равновесия. Рассмотрим в этом пространстве 2п-мерную окрестность начала координат, в которой qj (/=1,. .., п) удовлетворяют условию (32). Во всех точках этой окрестности полная энергия системы E = T- -V положительна, кроме начала координат, где Е = 0. Это следует из условия (33) и из того факта, что кинетическая энергия 7 = 7 обращается в нуль лишь тогда, когда все qj равны нулю, и Т>0, когда хотя бы одна из qj отлична от нуля. [c.226]

Пространством состояний называют п-мерное пространство, каждое измерение которого соответствует одному из параметров состояния. [c.26]

Для диссипативной системы эта сумма отрицательна — объемы в -мерном пространстве состояний сжимаются. Размерность же [c.168]

В п-мерном пространстве состояний п— мультипликаторов определяют поведение траекторий в п—1 различных направлениях в окрестности рассматриваемой периодической траектории (отличных от направления касательной в каждой точке самой этой траектории). Пусть близкий к 1 мультипликатор отвечает некоторому /-му направлению. Остальные п — 2 мультипликаторов малы по модулю поэтому по соответствующим им п — 2 направлениям все траектории будут со временем прижиматься к некоторой двумерной поверхности (назовем ее 2), которой принадлежат 1-е направление и направление указанных касательных. Можно сказать, что в окрестности предельного цикла пространство состояний при t- oo оказывается почти двумерным (строго двумерным оно не может быть — траектории могут располагаться по обе стороны S и переходить с одной стороны поверхности на другую). Разрежем поток траекторий вблизи Е некоторой секущей поверхностью а. Каждая траектория, повторно пересекая о, ставит в соответствие исходной точке [c.169]

Неравенства (1) и (2) удобно геометрически интерпретировать в 2я-мерном пространстве состояний q ). На рис. 41 (для случая л=1)в плоскости q, 9) изображены две окрестности начала координат О, соответствующие неравенствам (1) [c.190]

Прежде чем перейти к их изложению, уточним смысл фразы движение системы за конечный промежуток времени . В каждый данный момент времени конфигурация системы определяется значениями обобщенных координат q, . .., q-n, и если рассматривать эти числа как декартовы координаты в /г-мер-ном пространстве, то каждой конфигурации системы будет соответствовать определенная точка этого пространства. Такое -мерное пространство мы будем называть пространством конфигураций. С течением времени состояние системы изменяется, и точка, изображающая эту систему, описывает в пространстве конфигурации некоторую кривую. Мы будем называть эту кривую траекторией движения системы . Тогда движение системы можно будет рассматривать как движение изображающей точки вдоль этой траектории (в пространстве конфигураций). Время i можно при этом рассматривать как параметр. Тогда каждой точке траектории будет соответствовать одно или несколько значений t. Следует подчеркнуть, что пространство конфигураций, вообще говоря, не является трехмерным пространством, в котором происходит движение системы (подобно тому, как обобщенные координаты не всегда являются обычными координатами, определяющими положение точки). Траектория движения в пространстве конфигураций, конечно, не будет иметь сходства с истинной траекторией какой-либо точки рассматриваемой системы каждая точка траектории в пространстве кон- [c.42]

Резюме. Пространство конфигураций канонических уравнений имеет 2п измерений, а именно п позиционных координат qiU п импульсов pt, и все они являются независимыми переменными вариационной задачи. Это 2п-мерное пространство называется фазовым пространством . Вводя время в качестве дополнительной переменной, получим (2п + 1)-мерное пространство, которое называется пространством состояний . Геометрически движение можно представить в виде движения 2/г-мерной жидкости, называемой фазовой жидкостью . Каждая отдельная линия тока движущейся жидкости определяет собой движение механической системы при соответствующих начальных условиях движение жидкости в целом определяет общее решение при произвольных начальных условиях. [c.205]

Это определение удобно геометрически интерпретировать в 2п-мерном пространстве состояний qi Qi. На рис. 172 для случая п = 1 изображены две окрестности, задаваемые неравенствами (2) и (3). В случае устойчивости любое движение, начинающееся в момент t = to внутри квадрата со стороной 2 , будет происходить все время внутри квадрата со стороной 2е. [c.490]

Без ограничения общности будем считать, что в положении равновесия все обобщенные координаты qi равны нулю. Для доказательства теоремы возьмем функцию F, совпадающую с полной механической энергией системы Е = Т + П. По условию теоремы она будет определенно-положительной в окрестности начала координат 2п-мерного пространства состояний qi (i = 1, 2,..., n). Из условия теоремы следует, что [c.536]

Приращение АУ на любом конечном интервале времени положительно это показывается совершенно аналогично тому, как показана отрицательность АУ в теореме предыдущего пункта. Далее, так как среди величин Л, есть хотя бы одна отрицательная, то в любой сколь угодно малой окрестности начала координат 2п-мерного пространства состояний qi Qi (i = 1, 2,..., п) существует область У > 0. Дальнейшие рассуждения аналогичны проведенным в п. 235 при доказательстве теоремы Четаева о неустойчивости. [c.538]

Теорема циркуляции. В 2N + 1)-мерном пространстве состояний QTP координатами изображающей точки являются 5р, t, рр. Гамильтонова функция Н здесь не координата, а функция положения в пространстве QTP [c.325]

Такая геометрическая интерпретация позволяет ввести аналогию с движением 2й-мерной так называемой фазовой жидкости, подобной по поведению обычной жидкости. Каждая линия тока фазовой жидкости— это кривая в пространстве состояний, определяющая движение системы при конкретных заданных начальных условиях. В случае консервативной системы фазовая жидкость движется как несжимаемая, вследствие чего в процессе движения форма области может изменяться, но объем ее сохраняется. Наряду с этим инвариантом имеются и другие. Характер движения фазовой жидкости в пространстве состояний всегда установившийся. [c.46]

Т > 0. Значит, в 2Р-мерном пространстве состояний системы = о в начале координат, т. е. при р,- = 0, ф- = 0 (1= , ...,к), и > О в некоторой окрестности начала, а именно, при <7г < Д, р ФО (I = 1.....к). [c.376]

В этом пространстве состояние системы в заданный момент времени I (если оно точно известно) изображается точкой, имеющей бУУ координат—компонент радиусов-векторов и скоростей N частиц. (Часто вместо скоростей рассматривают импульсы, но для наших целей это различие несущественно.) Введем бЛ -мерный вектор 2, который задает положение этой изображающей точки фазового пространства. Ясно, что компоненты 2 задаются соответственно ЗЫ компонентами N трехмерных векторов Хг и >N компонентами N трехмерных векторов i. Из уравнений (1.1а) следует, что эволюционное уравнение для 2 имеет вид [c.18]

Состояние частицы (или системы) принято обозначать точкой в фазовом пространстве (д, р). Система, для которой векторы q и р iV-мерны, имеет N степеней свободы. Ее фазовое пространство 2ЛГ-мерно. Эволюция состояния гамильтоновых систем со временем определяется с помощью функции Гамильтона Я = Я(д, р). Величины дар удовлетворяют уравнениям движения [c.9]

Метод отображения состояния системы с п степенями свободы заданием одной точки в пространстве 2п измерений уже давно применяется в физике. Это 2и-мерное пространство состояний (фаз) системы получило название фазового пространства. Отсюда термины фазовое пространство и, в частности, фазовая плоскость перешли в теорию колебаний. [c.38]

Формальный переход от системы (4.83) к системе (5.10) связан с переходом от /-мерного конфигурационного пространства к 2/-мер-ному пространству состояний, в котором координатами изображающей точки будут величины и т]. В некоторых случаях удобно вводить расширенное пространство состояний, взяв время t в виде дополнительной координаты. [c.282]

До сих пор мы ограничивались обсуждением задач браунов-ского движения в одномерном или трехмерном (декартовом) пространстве. Рассмотрим более общий случай, когда состояние системы задается точкой х= (хи , х ) в п-мерном метрическом криволинейном пространстве. Плотности вероятности (условные и безусловные) будем, по определению, относить к элементам объема. Элемент объема в этом пространстве определяется формулой [c.84]

Если состояние изделия характеризуется несколькими выходными параметрами и будет происходить процесс изменения всех п параметров, то множество G будет связано с л-мерным, так называемым-фазовым пространством. [c.45]

Несмотря на то что любую поверхность можно описать уравнением вида (5), не всякую поверхность можно выбрать в качестве поверхности прочности более того, поверхность прочности не может быть мнимой и должна быть односвязной. Условия, которым должны удовлетворять коэффициенты f , Fij,. .. для того, чтобы выполнялись эти требования, изучаются в курсах геометрии. Геометрическая интерпретация полезна при установлении ограничений на Fi, Fij,. .. и при определении главных осей. При плоском напряженном состоянии поверхность прочности является трехмерной, так как определяется тремя компонентами напряжений о, ог и Ос,. Ради краткости изложения мы ограничимся — при рассмотрении геометрических интерпретаций и изучении корней уравнения (5) — лишь плоским напряженным состоянием и трехмерными поверхностями прочности. Метод определения характеристических направлений в и-мерном евклидовом пространстве позволяет распространить полученные ниже результаты на случай трехмерных напряженных состояний и шестимерные поверхности прочности. Развернув уравнение (56) для случая плоского напряженного состояния, т. е. для i,j = 1, 2, 6, получим уравнение поверхности прочности второго порядка [c.451]

С этой целью рассмотрим обычное (т. е. нерасширенное) 2я-мерное фазовое пространство, в котором координатами точки являются величины 9,-, pi (/ = 1,. .., п). Ограничимся рассмотрением только тех точек фазового пространства, координаты которых удовлетворяют уравнению (1) с фиксированным значением постоянной Aq. Другими словами, мы ограничиваемся рассмотрением лишь тех состояний системы, которым соответствует заданная величина полной энергии [c.127]

Подобно тому как мы ввели пространство конфигураций, мы введем сейчас так называемое фазовое пространство, под которым будем понимать 2га-мерное декартово пространство с координатами Qu. .., Qn, Ри . Рп- Тогда каждому состоянию данной механической системы будет отвечать определенная точка этого пространства. Эту точку можно рассматривать как изображение системы, отражающее не только конфигурацию этой системы, но и ее импульсы. Теперь мы можем перейти к формулировке теоремы Пуанкаре. Эта теорема гласит, что [c.274]

Это означает, что вместо кинетической энергии всей системы можно рассматривать кинетическую энергию одной частицы с массой 1. Эта воображаемая частица является точкой ЗЛ/-мерного пространства конфигураций, символизирующей состояние механической системы. Вся система в целом изображается в этом пространстве в виде одной точки. Поэтому мы сможем применить к любой механической системе механику свободной частицы, поместив эту частицу в пространство с соответствующим числом измерений и соответствующей геометрией. [c.44]

Задачи классификации в такой постановке являются по сути дела задачами распознавания образов [78], точнее, распознавания звуковых образов (центральная задача в этой области науки — автоматическое распознавание звуков речи) [233, 237]. Обычный подход при их решении состоит в следующем. Совокупность признаков акустического сигнала А, 2, Ап) образует так называемое изображение (и-мерный вектор), в отличие от образа, которому отвечает состояние машины или механизма, В г-мерном пространстве изображений образам соответствуют компактные области. Задача состоит в том, чтобы на основе той или иной меры сходства изображений определить эти области. Часто каждому образу ставится в соответствие эталонное изображение. Тогда исследуемое изображение сравнивается со всеми эталонами и относится к образу, чей эталон оказался ближе других в смысле выбранной меры сходства. [c.17]

Процесс идентификации осуществляется следующим образом. Рассмотрим в (пг + 1)-мерном евклидовом пространстве п шаров On, соответствующих техническим состояниям. , . [c.195]

На первый взгляд, требование о неустойчивости всех траекторий, принадлежащих аттрактору, и требование о том, чтобы все соседние траектории при t- oo к нему стремились, кажутся несовместимыми, поскольку неустойчивость означает разбега-нне траекторий. Это кажущееся противоречие устраняется e jm учесть, что траектории могут быть неустойчивыми по одним направлениям в пространстве состояний и устойчивыми (т. е. притягивающими) по другим. В и-мерном пространстве состояний [c.164]

Существование этого предела означает конечность объема аттрактора в О-мерном пространстве при малом е имеем N r) xi л Ve-o (где V — постоянная), откуда видно, что N z) можно рассматривать как число D-мерных кубиков, покрывающих в D-мерном пространстве объем V. Определенная согласно (31,3) размерность не может, очевидно, превышать полную размерность п пространства состояний, но может быть меньше его и, в отличие от привычной размерности, может быть дробной именно такова она для канторовых множеств ). [c.167]

Это полное решение канонических уравнений можно изобразить в упорядоченном виде, без каких бы то ни было пересечений, если 2п координат qi, pi рассматривать как различные измерения фазового пространства. Геометрическая картина получается еще более полной, если добавить ещ,е одно измерение, вводя время t в качестве (2п + 1)-й координаты. Картан назвал это (2п + 1)-мерное пространство пространством состояний (espa e des etats). В пространстве состояний задача о движении системы полностью геометризуется и полное решение канонических уравнений изображается в виде бесконечного множества кривых, заполняющих (2п + 1)-мерное пространство. Эти кривые нигде не пересекаются. Действительно, пересечение двух кривых означало бы, что в одной и той же точке пространства состояний возмол ны две касательные, что исключается, [c.203]

Сказанное иллюстрируется рис. 8. Фазовое пространство в моменты времени и 4 изображено в виде двух сечений (2/г + 1)-мерного пространства состояний. Точка переносится движущейся жидкостью в точку М , а соседняя точка jVi — в точку jVo- Линин М1М2 и являются [c.211]

Так как Ф принадлежит к первому классу, то [Ф, Ф ] равна нулю слабо и, следовательно, сильно равняется линейной форме от Ф. Отсюда С. П. для Ф первого класса слабо равна нулю. Аналогично второй член правой частя равенства (43) слабо равен нулю, что и требовалось доказать. Пусть имеется А независимых Ф первого класса и М независимых Ф любого класса. В фазовом пространстве (2М-мерное пространство переменных и р ) имеется (2N — М)-мерное подпространство, в котором удовлетворяются все Ф-урав-нения. Назовем его (2N — М)-пространством. Состояние динамической системы для некоторого т задается точкой р в (2N — 7И)-пространстве, в. которой удовлетворяются все Ф-уравнения. Движение системы задается кривой в (2N — М)-пространстве, выходящей из точки р. Так как А и Ра произвольны, то кривая может принимать любое направление в малом Л-мер-ном объеме, окружающем точку р. Такие малые окрестности измерений окружают каждую точку в (2N — М)-л1ерном пространстве. Покажем, что эти малые окрестности интегрируемы. Предположим, что для интервала т, дг = все V, кроме равного единице, равны нулю. То же самое предполагается относительно интервала 6г = в котором от нуля отлично только также равное единице. Тогда любая функция от р и д примет при замене т на т + е вид [c.716]

Поверхность энергии и функция энергии. Некоторые важные аспекты динамической теории лучше всего иллюстрировать, рассматривая изображающие точки в пространствах более высоких измерений, чем N + 1-мерное пространство событий QT. Эти пространства 2N + 2)-мерное пространство состояний и энергии i) QTPH, 2N -f- 1)-мерное пространство состояний QTP и 27У-мерное фазовое пространство QP (как всегда, N обозначает число степеней свободы системы). Рассмотрим теперь пространство QTPH, отложив QTP до гл. ДУ1, а QP — до гл. Д VII. Как мы увидим, теорию, развитую для пространства QTPH, можно приложить к QP простым изменениям обозначений, при условии, что система в QP консервативна дН /dt = 0). [c.287]

Итак, в пространстве L с заданным базисом откладываются векторы ё, г, , р, характеризующие мгновенное состояние фермы. В этом пространстве определены k векторов rf, отвечающих само-уравновешенным напряжениям. Все множество любых линейных комбинаций этих векторов соответствует самоуравновешенным напряжениям [7.17) это множество есть линейное подпространство пространства L, которое будем для краткости называть самоуравновешенным и обозначать Y. Векторы r f представляют некоторый (неортонормированный) базис пространства Y (Y = ) это пространство /г-мерно. [c.149]

Предварительно, в виде промежуточного этапа, совершим переход от конфигурационного пространства к 2/-мерному пространству состояний, в котором положение изображающей точки определяется координатами qi,. .., q , i, h). Такому переходу швечает замена уравнений Лагранжа 2-го рода системой 21 уравнений первого порядка (5.10). [c.298]

Для общности предположим, что на вектор управления накладьша-ются ограничения и его значения принадлежат некоторой замкнутой области и в г-мерном пространстве управляющих воздействий, т. е. в любой момент времени и 6 . В фазовом пространстве Z заданы начальное 2° и конечное состояния объекта. Тогда среди всех допустимых управлений и( ), для которых соответствующие траектории системы (6,21) проходят через начальное и конечное состояния, необходимо выбрать такое, для которого функционал [c.221]

На основании общих физических представлений о поведении материала под нагрузкой его сопротивление деформированию определяется мгновенными условиями нагружения (температурой, скоростью деформации и другими ее производными в момент регистрации), а также структурой материала, сформированной в процессе предшествующего деформирования, который в п-мерном пространстве характеризуется траекторией точки, проекции радиуса-вектора которой — составляющие тензора напряжений (или деформаций) и время (начальная температура является параметром, характеризующим исходное состояние материала, и изменяется в соответствии с адиабатическим характером процесса деформирования). Специфической особенностью процессов импульсного нагружения является сложный характер нагружения (составляющие тензора напряжений меняются непропорционально единому параметру) и влияние времени. Невозможность экспериментального исследования материала при различных процессах нагружения (траекториях точки указанного выше л-мерного пространства) вынуждает исследователей использовать упрощенные модели механического поведения материала. Это обусловило развитие исследований по разработке теорий пластичности, учитывающих температурновременные эффекты [49, 213, 218] наряду с изучением физических процессов скоростной пластической деформации [5, 82, 175, 309]. Так, для первоначально изотропного материала исходя из гипотезы изотропного упрочнения связь тензоров напряжений и деформаций полностью определяется связью их инвариантов соответственно Ei, Ег, Ез и Ii, h, h- С учетом упругого характера связи средних напряжений и объемной деформации для металлических материалов (а следовательно, независимость от истории нагружения первых инвариантов тензоров напряжений и деформаций Ei, А) процесс нагружения определяется связью четырех оставшихся инвариантов и величины среднего давления. В классической теории пластичности [c.11]

Состояние механич. системы, определяемое обобщёнными координатами <7=( i, q , . //) и канонически сопряжёнными обобщёнными импульсами p (pi, р ,. . pj ) N — число степеней свободы системы), можно изобразить точкой в пространстве 2N измерений фазовом пространстве). Измепсние состояния системы во времени представляется как движение такой фазовой точки в 27V-MepHOM фазовом пространстве. Если в нач. момент времени фазовые точки р , 5 непрерывно заполняли нок-рую область Сд в фазовом пространстве, а с течением времени перешли в др. область Gt этого пространства, то, согласно Л. т., соответствующие фазовые объёмы (2Л -мерные интегралы) равны между собой [c.598]

Помимо вырождения уровней энергии, связанного с явной С. системы (вапр., относительно поворотов системы как целого), в ряде задач существует дополнит, вырождение, связанное с т. н. с к р ы т о й С. взаимодействия. Такие скрытые С. существуют, наир., для кулоновского взаимодействия и для изотропного осциллятора. Скрытая С. кулоновского взаимодействия, приводящая к вырождению состояний с разл. орбитальными моментами, обусловлена, как показал В. А. Фок (1935), явной С. кулоновского взаимодействия в 4-мерном импульсном пространстве. [c.509]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...