Интерпретация фазовая движени

Обсуждаются общие свойства пространства решений симметрии, различные расслоения фазового пространства, его разделение на колебательную и вращательную области. Изучаются свойства рещений, соответствующих колебательной области свойства асимптот при движении твердого тела, различные отношения эквивалентности на пространстве траекторий, качественные аналогии, механические интерпретации асимптотических движений. Изучаются свойства решений, соответствующих вращательной области существование семейства периодических траекторий, всюду плотно заполняющих некоторые области, вопросы плотности незамкнутых траекторий в ограниченных множествах. [c.169]

Геометрическая интерпретация относительного движения. Геометрическая интерпретация для плоскости, приведенная в предыдущем разделе (см. рис. 4), может быть также перенесена на сферу. При этом фазовые траектории в переменных Мх,М2,Мз для случая сферы и плоскости, при заданных интенсивностях, совпадают с фазовыми траекториями системы Лотки—Вольтерра (3.10). Основные эффекты в динамике вихрей определяются тем, какая часть фазовых траекторий системы Лотки-Вольтерра попадает в область [Мг, М2, М ) > 0. Дви- [c.69]

Теорема о сохранении энергии (6.6.5) имеет интересную геометрическую интерпретацию в связи с движением фазовой жидкости. Уравнение [c.207]

Этот поразительный результат был впервые получен Гамильтоном, хотя и в несколько другой интерпретации. Он по-новому освещает роль канонических преобразований при изучении движения. Все движение механической системы может рассматриваться как задача о преобразованиях. Последовательные положения фазовой жидкости представляют собой непрерывно меняющееся отображение пространства самого на себя. Это отображение все время каноническое. [c.254]

Резюме. Произвольная функция, зависящая от времени, порождает бесконечное семейство канонических преобразований. Последовательные стадии этого преобразования могут рассматриваться как непрерывно меняющееся отображение пространства самого на себя, что в свою очередь может быть интерпретировано как движение некоторой жидкости. Это движение удовлетворяет каноническим уравнениям, что приводит, таким образом, к совершенно новой интерпретации этих уравнений. Движение фазовой жидкости можно представить как последовательные стадии бесконечного семейства непрерывных канонических преобразований. [c.255]

Фазовая волна, сопровождающая движение тела, при условии, конечно, принятия наших представлений, имеет свойства, которые зависят от природы этого движущегося тела так, например, частота движущегося тела зависит от полной энергии. Поэтому естественно будет предположить, что если силовое поле воздействует на движение тела, то оно будет действовать также и на распространение его фазовой волны Руководствуясь идеей полной идентичности принципа наименьшего действия и принципа Ферма, я был вынужден с самого начала моих исследований в этой области принять, что для заданного значения полной энергии движущегося тела и вследствие этого для частоты его фазовой волны возможные динамические траектории движущегося тела совпадают с возможными лучами фазовой волны. Это привело меня к хорошему результату, который будет изложен в третьей главе, а именно, к интерпретации установленных Бором условий внутриатомной устойчивости. К сожалению, это потребовало довольно произволь- [c.652]

Такая геометрическая интерпретация позволяет ввести аналогию с движением 2й-мерной так называемой фазовой жидкости, подобной по поведению обычной жидкости. Каждая линия тока фазовой жидкости— это кривая в пространстве состояний, определяющая движение системы при конкретных заданных начальных условиях. В случае консервативной системы фазовая жидкость движется как несжимаемая, вследствие чего в процессе движения форма области может изменяться, но объем ее сохраняется. Наряду с этим инвариантом имеются и другие. Характер движения фазовой жидкости в пространстве состояний всегда установившийся. [c.46]

То обстоятельство, что система никогда в действительности не является изолированной, не следует забывать также и в связи с другим парадоксальным возражением относительно любой механической интерпретации необратимости. Это возражение много тоньше, чем доводы, основанные на обращении скоростей молекул. Оно основано на теореме Пуанкаре, которая утверждает, что любая конечная механическая система, подчиняющаяся законам классической механики, возвратится сколь угодно близко к своему начальному состоянию при почти любом выборе последнего, если подождать достаточно долго. Для состоящего из взаимно отталкивающихся молекул газа, заключенного в ящик с зеркально отражающими стенками, это следует из закона сохранения энергии, в силу которого изображающая точка в фазовом пространстве движется по ограниченной поверхности 5 (поверхности постоянной энергии). Эти факты означают, что мера х(Л) ( площадь А) связана с каждым подмножеством А поверхности 5 так, что если Л/ есть множество точек, в которые точки А трансформируются вследствие движения к моменту времени (, то х(Л ) = (Д) и и(5)<оо. [c.162]

До сих пор мы обсуждали картину движения атомов в квантованном световом поле с точки зрения полной динамики в фазовом пространстве. Теперь мы приведём простую геометрическую интерпретацию этого процесса. В частности, с помощью наглядной схемы, показанной на рис. 20.7, мы снова выведем формулу (20.30) для фокус- [c.655]

Далее проводится качественный анализ траекторий движения тела на плоскости. После полного качественного исследования фазового цилиндра квазискоростей становится возможным исследование конкретных траекторий твердого тела. Динамическая система в пространстве квазискоростей относительно структурно устойчива. Проводится интегрирование кинематических соотношений с целью механической интерпретации движения. [c.168]

Интерпретация точек покоя трехмерного фазового пространства. И хотя данные точки покоя имеют лишь формальный смысл и не имеют смысла гидродинамического, проведем их интерпретацию, а) Система (5.1). Тело совершает поступательное движение в любую сторону с любой постоянной скоростью, параллельной пластине, б) Системы (5.2), [c.210]

Механическая интерпретация точек покоя четырех-мерного фазового пространства. Дальнейшая информация о движении тела носит формальный характер. [c.267]

Рассматривая параметр t как время , можно дать следующую кинематическую интерпретацию системы (I) решение а = ф (i), = Ф (i) можно рассматривать как закон движения точки по траектории на фазовой [c.26]

Итак, в методе Гамильтона в качестве независимых переменных рассматриваются 5 обобщенных координат системы д , д ,...,д и 8 ее обобщенных импульсов р , р ,. .., р , определяемых равенствами (30.5). Для геометрической интерпретации движения механической системы вводится понятие о так называемом фазовом пространстве. Под фазовым пространством понимается 28-мерное пространство, по осям координат которого откладываются значения 5 обобщенных координат д я обобщенных импульсов р . Каждой точке фазового пространства (ее называют изображающей точкой) соответствует определенное состояние системы. При движении системы изображающая точка описывает в фазовом пространстве кривую, называемую фазовой траекторией механической системы. В отличие от конфигурационного пространства через каждую точку фазового пространства проходит одна-единственная фазовая траектория механической системы. [c.187]

На плоскости при > = О, согласно (3.16), (3.17), (3.19), (3.23), симплектический лист, соответствующий фазовому пространству редуцированной системы при А > О (условие компактности), вырождается в точку, при А < О в конус, а при А = О — в прямую. Для геометрической интерпретации получается соответственно, точка, угол на плоскости и прямая. Аналогичные утверждения справедливы и для одновременного коллапса N вихрей, случаи = 4,5 изучаются в [42]. Таким образом, движение вихрей возможно лишь при условии А < 0. Причем в случае А = О вихри движутся вдоль одной прямой. [c.81]

И должна быть равна 1(0), если наша интерпретация движения изображающих точек на фазовой плоскости как стационарного течения некоторой жидкости с плотностью р (лг, у) и без источников и стоков является правильной, так как для жидкости должен выполняться закон сохранения массы . Точнее говоря, такая интерпретация движения изображающих точек возможна только лишь в том случае, когда можно подобрать такую функцию р (х, у)— плотность жидкости, чтобы масса жидкости , масса любой совокупности ее [c.156]

Возвратимся снова к наглядной интерпретации изображающих точек как частиц двумерной жидкости , а их движения — как стационарного течения такой жидкости (без источников и стоков). Как уже указывалось в начале настоящего пункта, такая интерпретация возможна только при существовании интегрального инварианта его фазовая плотность р (дг, у) может быть взята в качестве плотности жидкости , а сам интегральный инвариант будет выражать закон сохранения массы жидкости . [c.161]

Интерпретация движения на фазовой плоскости 33 [c.3]

ИНТЕРПРЕТАЦИЯ ДВИЖЕНИЯ НА ФАЗОВОЙ ПЛОСКОСТИ 33 [c.33]

Для общности предпочтительнее говорить о фазовых координатах и отсчитывать их от заданного состояния, т. е. брать вариации обобщенных координат и их производные. Тогда для механических систем, описываемых дифференциальными уравнениями второго порядка, число уравнений удвоится, что у нас уже имело место в случае систем с одной степенью свободы при интерпретации движения на фазовой плоскости. [c.204]

Напомним, что, занимаясь изучением нелинейных колебаний систем с одной степенью свободы при интерпретации движения на фазовой плоскости, мы уже касались в неявном виде этих теорем (стр. 132). В самом деле, было указано, что дифференциальное уравнение (3.8) фазовой траектории нелинейной системы, т. е. уравнение [c.207]

Здесь же мы отметим еще только, что в силу сказанного проблема математического обоснования статистической механики в основном сводится к двум задачам. Первая из них состоит в том, чтобы с возможной полнотой исследовать, при каких условиях и в какой мере временные средние фазовых функций, являющиеся, как мы видели, естественной интерпретацией результатов экспериментальных измерений, могут быть заменены в этой своей роли фазовыми средними тех же функций. Желательность, а в сущности даже и неизбежность, такой замены, конечно, ясна вычисление временных средних потребовало бы знания траекторий, т. е. полной интеграции системы уравнений движения и определения всех постоянных интеграции, что, конечно, является совершенно невозможным для систем статистической механики с их огромными числами степеней свободы. Как уже сказано, вопросами, связанными с этой первой задачей, мы займемся в дальнейших параграфах настоящей главы. [c.34]

Пусть теперь I любой независимый от времени интеграл уравнений движения данной системы, отличный от интеграла энергии. Если, будучи рассматриваем как фазовая функция, он имеет строение, описанное в пункте 1, то для него вопрос о возможности замены временной средней фазовой, в силу изложенного в этом пункте, получает положительное разрешение. Если же I такого строения не имеет, то, как правило, представляемая им фазовая функция не будет иметь сколько-нибудь актуальной физической интерпретации, и потому взаимоотношение между ее средними значениями не может нас интересовать. [c.36]

Пр и м е р 4. Как известно , движение тела вокруг неподвижной точки, совпадающей с центром тяжести, в отсутствие других сил (случай Эйлера) можно представить, согласно интерпретации Л. Пуансо, качением эллипсоида инерции тела относительно неподвижной точки по неподвижной плоскости. При этом точка пересечения мгновенной оси вращения с поверхностью эллипсоида инерции (полюс) описывает на поверхности эллипсоида кривые полодии), приблизительное расположение которых показано на рис. 109. Вблизи концов наибольшей АА и наименьшей ВВ осей эллипсоида полодии представляют собой замкнутые кривые, окружающие эти концы подобно кривым, окружающим особую точку типа центра. Вблизи концов средней оси СС полодии располагаются так, как фазовые траектории около особых точек типа седла. По движению полюсов по поверхности эллипсоида можно судить об устойчивости или неустойчивости вращений вокруг осей, совпадающих с осями эллипсоида инерции. Вращения вокруг осей, совпадающих с наибольшей или наименьшей осями эллипсоида, будут, очевидно, устойчивыми, так как малое отклонение оси вращения переведет полюс на близкую к концу оси эллипсоида полодию, по которой он и будет двигаться в возмущенном движении, оставаясь в ближайшей окрестности невозмущенного состояния. Вращение вокруг средней оси неустойчиво. Малое отклонение мгновенной оси переместит полюс на полодию, по которой он будет удаляться от конца средней оси эллипсоида. Рис. 109 [c.439]

В некотором смысле даже в анализе интегрируемой ситуации, для которой в принципе возможна полная классификация всех решений, компьютер открыл целую эпоху. Если ранее в исследовании интегрируемых систем преобладали аналитические методы, позволяющие получить явные квадратуры и геометрические интерпретации, которые во многих случаях выглядели очень искусственно (например, интерпретация Жуковского движения волчка Ковалевской [76]), то сочетание идей топологического анализа (бифуркационных диаграмм), теории устойчивости, метода фазовых сечений и непосредственной компьютерной визуализации особо замечательных решений способно вполне представить специфику интегрируемой ситуации и выделить наиболее характерные особенности движения. С помощью такого исследования можно получить ряд новых результатов даже для казалось бы полностью исхоженной области (например, для волчка Ковалевской, Горячева-Чаплыгина, решения Бобылева-Стеклова). Дело в том, что эти результаты очень сложно усмотреть в громоздких аналитических выражениях. Доказательство этих фактов, видимо, может быть также получено аналитически — но уже после их компьютерного обнаружения. Здесь следует особо отметить анализ движения в абсолютном пространстве, который практически вообще не производился. [c.17]

Первые ннтегралы имеют наглядную геометрическую интерпретацию в внде интефальн ых поверхностей в фазовом пространстве, обладающих тем свойством, что каждая фазовая траектория, для которой справедлив данный интеграл, целиком лежит на указанной поверхности. Воспользуемся этой геометрической интерпретацией. Фазовые траектории движения будем рассматривать в так называемом расширенном фазовом пространстве, включив в число фазовых координат и время. В нашем [c.282]

Предположим, что система состоит из одной точки. Приведенным пример показывает, что гармонический колебаниям точки соответствует движение изображающей точки в фазовой плоскости по эллипсу. Этот результат является частным случаем геометрической интерпретации, положенной в основу второго способа доказательства теоремы Лагранжа—Дирихле об устойчивости равновесия ( 87). [c.278]

Уравнения (9.9.14) допускают интересную геометрическую интерпретацию. В гл. VII, п. 8, показано, что движение фазовой жидкости можно рассматривать как непрерывное выполнение бесконечно малых канонических поеобразеваний. Сосредоточим внимание на векторе скорости [c.369]

Рис. 18.2, Интерпретация по Ляпунову устой чивости положения равновесия системы па примере системы с одной степенью сво боды при использовании фазового пространства. Параллелепипед с ребрами 261 п 262 (б-параллелепипед) — область начальных возмущений (начальное возмущение —совокупность д 1 д при / = 0 —отмечено крестиком). Параллелепипед с ребрами 2б и 2в2 (е-параллелепипед)—область отклонений системы от проверяемого на устойчивость положения равновесия при неограниченном возрастании промежутка времени, начиная от момента начального возмущения I — фазовая траектория движеиия, вызванного начальным возмущением системы из положения устойчивого ее равновесия (фазовая траектория —замкнутая линия, не выходящая за пределы е-параллелепипеда) 2 — фазовая траектория движения, вызванного начальным возмущением системы из положения неустойчивого ее равновесия (фазовая траектория выходит аа пределы 8 Параллелепинеда) 3—фазовая траектория движения, вызванного начальным возмущением системы из положения асимптотически устойчивого ее равновесия (фазовая траектория, не выходя за пределы е-параллелепипеда, неограниченно приближается к началу координат).

С помощью преобразования прямой в прямую (3.11) пове,до-ние фазовых траекторий уравнения Лоренца можно отобразить в виде серии точечных отображений прямой в прямую, показанных па рис. 7.28. Первый рис. 7.28, а отвечает устойчивости состояния равновесия О (0<г<1), второй рис. 7.28,6 — появлению двух устойчивых состояний равновесия О, и О2, третий рис. 7.28, в — рождению неустойчивых периодических движений Г1 и Гг и появлению разрыва непрерывности, четвертый рис. 7.28, г — возникновению стохастического аттрактора, пятый рис. 7.28, д — влинанию периодических движений Г1 и Гг в состояпия равновесия О1 и Ог и последний 7.28, е — появлению у графика точечного отображения горизонтальных касательных и в связи с этим устойчивых неподвижных многократных точек. Мы видим, что в этой интерпретации возникновение стохастичности и системе Лоренца похоже на то, как возникает стохастичность в неустойчивом осцилляторе с отрицательным трением и ударами, рассмотренном в гл. 3. [c.194]

В разделе 20.1 мы кратко напоминаем суть рассматриваемой модели. Далее в разделе 20.2, исходя из уравнения Шрёдингера для вектора состояния атомно-полевой системы, формулируется уравнение для функции Вигнера, которая описывает движение только центра инерции атома. Выясняется, что эта функция может быть представлена в виде взвешенной с учётом статистики фотонов суммой функций Вигнера, каждая из которых соответствует движению атома в поле с определённым числом фотонов. В разделе 20.3 приводится аналитическое решение уравнения для функции Вигнера при условии, что длина волны света намного превышает длину де-бройлевской атомной волны. Этот случай называется режимом Штерна-Герлаха. Результатом эволюции функции Вигнера, как отмечается в разделе 20.4, является то, что отдельные фоковские состояния поля приводят к отклонению атома в разных направлениях и к их фокусировке в разных точках. Это свойство позволит нам в разделе 20.5 восстановить статистику фотонов по импульсному распределению атомов. Наконец, в разделе 20.6 с помощью наглядной интерпретации в терминах фазового пространства получены простые выражения для положения и размеров фокальных областей, обусловленных взаимодействием с отдельными фоковскими состояниями. [c.641]

Некоторые промежуточные выводы. Путем введения ряда упрощающих предположений, проведено понижение порядка в некоторой задаче моделирования плрскопараллельно-го движения тела в среде при струйном или отрывном обтекании. Редуцированная система допускает проведение полного качественного анализа на фазовой плоскости квазискоростей и геометрическую интерпретацию движения. [c.187]

Что касается механической интерпретации других фазовых траекторий, то она может быть проведена не методом интегрирования кинематических соотношений, а либо изучением поверхностей уровня первого интеграла системы, либо качественным интегрированием и интерпретацией траекторий на фазовом цилиндре 5 атос127г х7 0 (см. ил. 1, (П->а )). Последние траектории легко интерпретируются, поскольку они описывают движение физического маятника в потоке среды. Остается лишь добавить переносную скорость Ус движения твердого тела и получить явную картину распределения скоростей в теле при абсолютном движении. [c.208]

Особенностью представления кинетической энергии в форме (4.29) является ее независимость от переменной д. Она позволяет сразу проинтегрировать задачу Эйлера — движение свободного волчка, для которого и = О (см. 1 гл. 2). Соответствующим циклическим интегралом является G = onst, представляющий собой величину кинетического момента = М . Это обстоятельство делает переменные Андуайе-Депри полезными для геометрической интерпретации и анализа возмущенной ситуации. Фазовый портрет случая Эйлера на цилиндрической развертке сферы представлен на рис. 5. При наложении возмущения, например, поля тяжести, на фазовом портрете появляются хаотические движения вблизи сепаратрис, соединяющих неустойчивые равномерные вращения (рис. 6). Остановимся на методах визуализации фазового потока более подробно. [c.55]

Далее оказывается, что усредненная система имеет устойчивое положение равновесия, соответствующее движению всех планет в одной плоскости а одну сторону по круговым орбитам. Движение планет, соответствующее малым колебаниям в линеаризованной около этого равновесия усредненной системе, называется лагранжевым движением. Оно имеет простую геометрическую интерпретацию. Вектор, направленный из фокуса в перигелий планеты и имеющий длину, пропорциональную ее эксцентриситету (вектор Лапласа), в проекции на основную плоскость системы координат является суммой п—1 равномерно вращаюшлхся векторов. Набор угловых скоростей этих векторов одинаков для всех планет. Вектор, направленный по линии пересечения плоскости орбиты планеты с основной плоскостью (линии узлов) и пропорциональный по длине наклонению планеты, является суммой п—2 равномерно вращающихся векторов". Если в некоторый момент времени эксцентриситеты и наклонения достаточно малы, то в усредненной системе они останутся малыми и во все время движения. В частности, оказываются невозможными столкновения планет и уходы на бесконечность. Это утверждение называется теоремой Лагранжа — Лапласа об устойчивости Солнечной системы. С момента доказательства теоремы (1784 г.) центральная математическая задача небесной механики состояла в том, чтобы перенести этот вывод об устойчивости с усредненной системы на точную. На этом пути возникли многие разделы теории динамических систем, в том числе теория возмущений и эргодическая теория. Сейчас решение рассматриваемой задачи значительно продвинуто. Оказывается, при достаточно малых массах планет большая доля области фазового пространства, соответствующей не-зозмущенном движению в одну сторону по кеплеровским эллипсам малых эксцентриситетов и наклонений, заполнена условно-периодическими движениями, близкими к лагранжевым (см. 3). Таким образом, устойчивость имеет место для большинства начальных условий. При начальных условиях из исключительного множества эволюция больших полуосей если и происходит, то очень медленно — ее средняя скорость экспо- [c.186]

Особенности системы. Это точки, в которых энергия (3.5) обращается в бесконечность, им соответствуют решения системы при которых два из трех слиты так, что возникает система двух вихрей, вращающихся вокруг центра завихренности. Па фазовом портрете (см. рис. 3) они выглядят как эллиптические особые точки. После регуляризующей замены времени А = М1М2Мз т особенности действительно превращаются в эллиптические неподвижные точки. Па геометрической интерпретации (рис. 4) особенностям соответствуют точки касания границы области возможного движения А = О с координатными плоскостями М = О, г = 1,2,3 (при [c.54]

Помимо естественного представления траекторий приведенной системы в канонических координатах на симплектическом листе (рис. 21 - 25, слева), в данном случае геометрическая интерпретация задачи трех вихрей (см. 3 раздел 3) также дает наглядное представление о движениях системы в пространстве взаимных расстояний Mi, М2, М3 (рис. 21 - 25, справа). Рассмотрим подробнее возможные типы фазовых портретов и соответствующие геометрические интерпретации в случаях компактности и некомпактности фазового пространства приведенной системы. [c.93]

Физическая интерпретация этих двух различных ти-дифракции состоит в следующем. При неизменной ие волны света на низких звуковых частотах при ой длине взаимодействия (длине акустического [ба) направление распространения падающего света ри области взаимодействия остается прямолинейным 1тическая неоднородность среды, связанная с изме-1ем показателя преломления, влияет только на фазу а, прошедшего через акустический столб. Для света 3 акустической волны в этом случае сводится к соз- ю движущейся со скоростью звука фазовой решет- периодом, равным периоду звуковой волны. Такая ация соответствует дифракции Рамана — Ната. ракция света в режиме Рамана — Ната происходит законам дифракции на обычной фазовой решетке, и 1Но этим объясняется наличие симметричных экви- антио расположенных дифракционных максимумов, готы света в дифракционных максимумах сдвинуты асио эффекту Допплера вследствие движения фазо-решетки. [c.7]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...