Движение неустойчивое периодическое

Орбитно устойчивому или орбитно неустойчивому периодическому движению отвечает соответственно устойчивая или неустойчивая неподвижная точка. Для того чтобы убедиться в справедливости всех этих утверждений, а также выяснить другие свойства точечного отображения, вновь рассмотрим случай двумерного фазового пространства, т. е. рассмотрим автономную динамическую систему второго порядка, поведение которой описывается дифференциальными уравнениями [c.71]

Характер неподвижной точки отображения Т секущей S определяет поведение фазовых траекторий в окрестности периодического движения Г. Именно, точке O соответствует устойчивое периодическое движение Г" точке О " — неустойчивое периодическое движение Г ", точке ОР ч (р, q Ф 0) — седловое Через седловое [c.249]

Как известно, устойчивым (неустойчивым) неподвижным точкам отображения, простым и кратным, соответствуют устойчивые (неустойчивые) периодические установившиеся движения соответствуюш,ей динамической системы. Поэтому изучение точечного отображения предполагает, в пер- [c.284]

В рассматриваемой динамической системе без зоны нечувствительности единственным устойчивым элементом является точка (О, 0), Областью устойчивости в большом состояния равновесия будет при Л Гз О, S > О, Л + S — 1 > О все фазовое пространство. Если Л + S — 1 О, Л Г- О, S > О и выполняется условие (29), то в фазовом пространстве существует неустойчивое периодическое движение, состоящее из двух симметричных кусков траекторий, расположенных соответственно в полупространствах "ф > О и -ф < О (неустойчивый предельный цикл). [c.183]

По теореме 5.3 от устойчивого состояния равновесия О" , теряющего устойчивость при ё"(0)<0, происходит рождение устойчивого периодического движения Г" а при ё"(0)>0 состояние равновесия теряет свою устойчивость, сливаясь с неустойчивым периодическим движением [c.106]

Таким образом показано, что в рассматриваемом случае самовозбуждение отсутствует, а в системе имеются неустойчивые периодические движения меньшей амплитуды и устойчивые — большей. Следовательно, система имеет жесткий режим возбуждения. [c.169]

Теория рождения периодических решений в канонических системах дифференциальных уравнений, близких к интегрируемым, была разработана А. Пуанкаре для целей небесной механики. В данной главе устанавливается применимость этих результатов к классической задаче о движении тяжелого твердого тела с закрепленной точкой. Тем самым удается существенно расширить класс известных периодических решений. В этой же главе исследовано воздействие возмущения на сепаратрисы неустойчивых периодических решений задачи Эйлера-Пуансо — постоянных вращений вокруг средней оси эллипсоида инерции. Сложное поведение траекторий уравнений движения несимметричного тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки (в частности, рождение многочисленных изолированных периодических решений и расщепление сепаратрис) несовместимо с существованием нового независимого аналитического интеграла. [c.74]

Теорема 2. Если все корни уравнения (13) по абсолютной величине меньше единицы, то невырожденное периодическое движение с ударами х ( ) асимптотически устойчиво. Если хотя бы один из этих корней по модулю больше единицы, то движение неустойчиво. [c.246]

Против принятой здесь формы возмущающего движения можно было бы сделать следующее возражение для полного исследования устойчивости необходимо рассматривать трехмерное возмущающее движение даже в том случае, если основное течение двумерно. Однако Г. Б. Сквайр показал, что это возражение неосновательно. А именно, он предположил, что возмущающее движение имеет периодическую составляющую также в направлении 2, и выяснил, что при таких трехмерных возмущениях плоское течение становится неустойчивым при более высоких числах Рейнольдса, чем при двумерных возмущениях. Следовательно, в этом смысле двумерные возмущения для плоского течения более опасны , чем трехмерные. Это означает, что для определения критического числа Рейнольдса как самой нижней границы устойчивости следует исходить из рассмотрения именно двумерных возмущений. [c.426]

Когда характеристический показатель /х чисто действительный, функция х т) ограничена и, следовательно, движение устойчиво. Однако, если /X имеет мнимую часть, функция х т) содержит экспоненциально возрастаюш,ий вклад. Движение неустойчиво. Параметры а и д, то есть напряжения, приложенные к ловушке, и определяют, будет ли движение устойчивым, или нет. Если /х = О, решение х т) строго периодическое. [c.528]

В случае двух степеней свободы (т = 2) этот метод минимума дает только те периодические движения неустойчивого типа, для которых оба ие равные пулю множителя вещественны . Аналогичные результаты, несомненно, справедливы для любого числа степеней свободы и могут быть получены при помощи классических методов вариационного исчисления. [c.139]

Если мы применим эти результаты к многообразию М вблизи периодического движения неустойчивого типа, то увидим, что имеются две инвариантные аналитические поверхности, проходящие через кривую периодического движения, одна из которых соответствует аналитическому семейству движений, асимптотических к периодическому движению в положительном направлении, а другая — подобному же семейству движений, асимптотических в отрицательном направлении. Все прочие близлежащие движения сначала приближаются, а затем удаляются от нашего периодического дви кения неустойчивого типа. [c.216]

Очевидно, что не мо кет существовать никаких периодических движений, лежащих целиком вблизи данного периодического движения неустойчивого типа в противоположность тому, что мы видели для движений, принадлежащих к общему устойчивому типу I. ф 0). [c.216]

Отсюда мы заключаем, что точка I соответствует периодическому движению неустойчивого типа, по относительно точки J пока еще неясно, какого она типа. [c.221]

Устойчивость и неустойчивость периодических движений. При рассмотрении периодических движений устойчивого типа в динамических проблемах мы должны их разделить на два основных класса. Может случиться, что все движения, достаточно близкие к данному периодическому движению, остаются в малой окрестности его в течение всего времени. Это есть простейший из двух случаев, и в этом случае рассматриваемое периодическое движение может быть названо устойчивым . Или же может случиться, что существует такая малая окрестность данного периодического движения, что для нее мы можем найти движения, сколь угодно близкие к данному в начале, но выходящие, в конце концов, из данной окрестности. В этом случае рассматриваемое периодическое движение может быть названо неустойчивым . [c.223]

Неустойчивый случай. Асимптотические семейства. Обратимся к аналогичному рассмотрению неустойчивых периодических движений общего устойчивого типа, содержащих переменные периоды в своих формальных рядах. В этом случае не будет существовать инвариантных семейств кривых типа, встречающегося в устойчивом случае, по крайней мере, ссли мы ограничимся достаточно малой окрестностью данного периодического движения. В соответствии с этим па поверхности 8 не будет существовать инвариантных кривых, окружающих нашу инвариантную точку. [c.230]

Во всякой такой области неустойчивости вокруг неустойчивого периодического движения устойчивою типа имеются два связных семейства движений, достигающих границы области, которые остаются все время внутри ее, если 1 соответственно безгранично возрастает или убывает. [c.230]

Предположим теперь, что существует хоть одно периодическое движение общего устойчивого типа, с переменными периодами в формальных рядах. Так как это движение неустойчиво, то для него имеется сеть, образованная соответственными связными множествами и [c.234]

Мы рассмотрим теперь периодические движения неустойчивого типа и движения, асимптотические к ним. [c.235]

Отсюда следует, что если мы докажем, что все четыре дуги, исходящие из инвариантной точки, пересекают эти сетки, то, очевидно, мы сможем распространить заключения, сделанные нами выше относительно движений, асимптотических к периодическим движениям устойчивого типа, на периодические движения неустойчивого типа. Мы докажем сейчас, что это действительно имеет место при условии, что, во-первых, асимптотическая аналитическая дуга, исходящая из одной инвариантной точки неустойчивого типа, не будет тождественна дуге, исходящей из другой такой точки, и, во-вторых, что в нашей системе пе существует периодического движения общего устойчивого типа с неизменными периодами в формальных рядах. Случай, когда одно из этих условий не удовлетворяется, нужно считать совершенно исключительным. Мы будем проводить рассуждения только для того случая, когда в нашей системе не имеется кратных периодических движений, хотя заключение остается справедливым при гораздо более общих условиях. [c.236]

Опыты с шарнирным четырехзвенником. Количество экспериментальных исследований, прямо или косвенно связанных с рассматриваемыми вопросами, невелико. В работе [108] приведены результаты опытов с маятником, движуш,имся в поле центробежных сил. Эти опыты позволили экспериментально получить движение, соответствующее периодическим решениям уравнения Матье и проверить суш ествование областей неустойчивости. В работе [116] приведены результаты экспериментов, связанных с исследованием возникновения параметрического резонанса эти эксперименты также производились с маятниками. Наконец, в [34] экспериментально показано, что в условиях вибрации точки подвеса неустойчивое положение равновесия маятника оказывается устойчивым. [c.182]

Выше было установлено, что в типовых гидравлических следящих приводах с нелинейностями вида T v ) и p h, q) граничное подведенное давление рпг является границей между областью устойчивости равновесия, для (которой уравнение движения привода не дает периодических решений, и областями автоколебаний и устойчивости в малом , для которых это уравнение дает два периодических решения — устойчивое и неустойчивое, причем при граничном подведенном давлении рт оба периодических решения совладают по величине. Таким образом, граничное подведенное давление рпг может быть найдено в результате определения граничных условий совпадения амплитуды Ау устойчивых и Ан неустойчивых периодических решений уравнения движения гидра1влического следящего привода. Отыскание граничного подведенного давления Рт может быть осуществлено графическим способом по методике, изложенной в работе [71]. Такой способ нахождения решения, однако, громоздок и неудобен. Попробуем найти математическое выражение для граничного подведенного давления Рт привода, построенного по схеме на рис. 3.1 и имеющего управляющий золотник с открытыми щелями в среднем положении, из системы уравнений (3.40), первое из которых является квадратным, а второе — кубическим уравнением относительно амплитуды А периодических перемещений привода. Непосредственное аналитическое определение граничного подведенного давления рт из уравнений (3.40) произвести невозможно в связи с тем, что при отыскании его мы имеем дело с тремя переменными А, Q, рп, а уравнений в системе (3.40) только два. 152 [c.152]

Геометрическим местом точек фазового пространства, имеющих своими предельными точками при /->-00 предельный цикл, будет незамкнутая поверхность, проходящая через предельный цикл [3]. Она делит фазовое пространство на две части Содержащую начало координат (внутреннюю) и не содержаи1ую его (внешнюю). Внутренняя часть заполнена траекториями, имеющими предельную точку — состояние равновесия эта часть и является областью притяжения последнего Внешняя часть заполнена траекториями, имеющими предельные точки в бесконечности. Это означает, что если начальное отклонение от точки (О, 0) гаково, что изображающая точка не вышла из границ внутренней области, то в системе установится равновесный режим, если же начальное отклонение настолько велико, что изображающая точка перешла во внешнюю область, то отклонение с течением времени будет неограниченно возрастать. Если параметры системы связаны противоположным неравенству (31) соотношением, то в фазовом пространстве также существует неустойчивое периодическое движение. [c.183]

V и Кр) наступает неустойчивость махового движения, вызванная периодическими силами на лопасти. В области неустойчивости частота равна й. Для таких больших значений и при определении аэродинамических коэффициентов необходимо учитывать влияние зоны обратного обтекания. Найдено также, чта при учете других степеней свободы (упругие изгиб и кручение,, качание) значение ц, соответствующее границе устойчивости,, существенно снижается. Учет только основного тона маховога движения лопасти при высоких и недостаточен. [c.559]

Аналогичные рассуждения применимы и к трехмерному интегральному тору и приводят к его бифуркациям как целого типов Л +1 и ]У 1. Однако теперь уже с ростом размерности все большую роль могут приобрести изменения на самом торе. Эти изменения уже сами по себе могут вызывать хаотизацию и стохастизацию движений при сохранении тора как устойчивого многообразия. В случае двумерного тора они не могут хаотизи-ровать движения на торе, но могут привести к его разрушению. К таким бифуркациям следует отнести слияние и последующее исчезновение устойчивого и неустойчивого периодических движений на торе (Л +1). Эта бифуркация будет рассмотрена в следующей гл. 6. Следует иметь в виду, что она не всегда ведет к разрушению тора все может ограничиться изменением числа вращения Пуанкаре фазовых траекторий на торе. Разрушение тора могут быть следствием бифуркации отдельных периодических движений на нем типов N-1 и Это Относится прежде всего к случаям, когда испытывающее бифуркацию периодическое движение не покрывает тор достаточно густо. Бифуркация типа может привести к последующему образованию гомоклинической структуры через касание интегральных многообразий 5 и 8 седловых движений, ранее лежавших на торе. [c.123]

При отделении от состояния равновесия О" ° устойчивого периодического движенин или устойчивых состояний равповесия происходит мягкий переход от прежнего установившегося движения (состояния равновесия) к новым установившимся движениям (устойчивому периодическому движению или одному из устойчивых состояний равповесия). Напротив, при слиянии с состоянием равповесия О" неустойчивого периодического движепия, неустойчивого равповесия или равновесий переход к новому установившемуся движению носит жесткий характер. К какому именно новому установившемуся движению происходит жесткий переход, локальная теория бифуркаций не указывает. Это может быть равновесие, периодическое, хаотическое или стохастическое автоколебание. Это может быть и уход в бесконечность. Отметим, что общими являются только бифуркации 1 и 3, бифуркация 2 является общей только при часто встречающейся симметрии динамической системы. Подчеркнем, что все эти бифуркации были уже рассмотрены в гл. 5. Теперь они собраны вместе и представлены на дереве возможных бифуркаций, изображенном на рис. 7.1. Они соответствуют переходам через бифуркационные границы УУо н [c.164]

Периодическое движение Г" теряет устойчивость, отделяя от себя устойчивое же перкодическое движение удвоенного периода или сливаясь с неустойчивым периодическим движением [c.164]

Бифуркации на двумерном торе могут быть вызваны изменением числа вращения Пуанкаре его обмотки. При рациональном числе вращения обмотка тора периодическая, точнее, на торе есть устойчивые периодические движепия, а остальные фазовые траектории к ним приближаются, за исключением такого же числа неустойчивых периодических движений, которые играют роль разделяющих границ локальных областей притяжения устойчивых периодических движений. При иррациональном числе вращения обмотка двумерного тора квазипериодическая. Число вращения Пуанкаре как функция параметра в общем случае ку-сочпо-постоянная, при всяком ее изменении происходят бифуркации обмотки тора — фазового портрета иа торе. Бифуркации отдельных периодических движений на торе ничем не отличаются от описанных уже бифуркаций периодических движений. [c.167]

Смена устойчивости состояний равновесия О, и Ог происходит при переходе через границу Л и и поэтому сопровождается либо влипанием в них неустойчивых седловых периодических движений, либо рождением устойчивых периодических движений. Что именно произойдет, зависит от знака ляпуновской величины. Ее подсчет дает, что имеет место влипание неустойчивого периодического движения. При Ъ = 8/3 и о = 10 потеря устойчивости состояниями равповесия и одновременное влипание в них неустойчивых седловых периодических движений и согласно (3.6) происходит при г = 24,74. [c.186]

С помощью преобразования прямой в прямую (3.11) пове,до-ние фазовых траекторий уравнения Лоренца можно отобразить в виде серии точечных отображений прямой в прямую, показанных па рис. 7.28. Первый рис. 7.28, а отвечает устойчивости состояния равновесия О (0<г<1), второй рис. 7.28,6 — появлению двух устойчивых состояний равновесия О, и О2, третий рис. 7.28, в — рождению неустойчивых периодических движений Г1 и Гг и появлению разрыва непрерывности, четвертый рис. 7.28, г — возникновению стохастического аттрактора, пятый рис. 7.28, д — влинанию периодических движений Г1 и Гг в состояпия равновесия О1 и Ог и последний 7.28, е — появлению у графика точечного отображения горизонтальных касательных и в связи с этим устойчивых неподвижных многократных точек. Мы видим, что в этой интерпретации возникновение стохастичности и системе Лоренца похоже на то, как возникает стохастичность в неустойчивом осцилляторе с отрицательным трением и ударами, рассмотренном в гл. 3. [c.194]

Сценарий Помо и Манне-БИЛЯ (1980) возникновение перемежаемости во времени периодического и стохастического движения после обратной тангенциальной бифуркации (слияния и исчезновения устойчивой и неустойчивой неподвижных точек отображения Пуанкаре, т. е. устойчивой и неустойчивой периодических фазовых траекторий), причем промежутки времени со стохастическим движением случайны,, а с периодическим — пропорциональны ц — Примером мо- [c.138]

Длиннейшая хорда границы С бильярдного стола, пройденная в обоих направлениях, очевидпо, дает одно из простейших периодических движений. Бильярдный шар, движущийся по этой хорде, ударяется об ограничивающую стол кривую под прямым углом и откатывается обратно по этой хорде. Если мы будем непрерывно изменять эту хорду, уменьшая длину ее настолько мало, насколько это возможно, так, чтобы в конце этого преобразования ее оба конца поменялись местами, мы будем иметь промежуточное положение наименьшей длины, которое будет хордой, пересекающей С в месте наименьшей его ширины. Эта хорда дает второе периодическое движение. Детальное изучение небольших возмущений обоих этих периодических движений показывает, что первое движение неустойчиво, в то время как второе может быть устойчивым или неустойчивым. [c.176]

Для того, чтобы доказать вышеприведенное утверждение, предположим, что одна из четырех дуг, принадлежащих к рассматриваемому периодическому движению неустойчивого типа, пе пересекает этих сеток, и пока кем, что это приведет к противоречию. Неограниченно продолжая эту дугу, мы получим па 8 связное предельное множест- [c.236]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...