Качение эллипсоида

Для оправдания этого названия заметим следующее. При произвольном выборе начальных значений проекций угловой скорости р, q, г или, что одно и то же, при произвольном начальном значении Вектора ш, эти величины изменяются с течением времени в согласии с уравнением 18 ) или с уравнениями (5 ), а также в согласии с условиями качения эллипсоида инерции по плоскости t. Если же начальное мгновенное вращение происходит (при какой угодно величине и стороне) вокруг одной из главных осей инерции, то в силу гех же уравнений (18 ), или уравнений (5 ), или на основании геометрического представления Пуансо угловая скорость ю будет сохраняться неизменной также и в последующие моменты. В конце концов, здесь речь идет о таких же статических решениях, уравне ний (б ), о которых говорилось ранее (гл. VI, п. 17). [c.89]

Сильвестр заметил, что если бы эллипсоид (13.14.1) представлял собой однородное твердое тело, свободно закрепленное в точке G, и катился бы по плоскости (О без воздействия на него сил (кроме реакций в точках G ж Р), то это качение происходило бы точно так же, как происходит качение эллипсоида, связанного со свободно движущимся телом (если, конечно, в обоих случаях одна и та же начальная угловая скорость). Система имеет только одну степень свободы, и нам остается показать, что когда твердый эллипсоид, закрепленный в центре, катится по шероховатой плоскости, со пропорционально г. Если массу эллипсоида обозначить через М, а полуоси его — через а. Ъ. с, то кинетическая энергия будет иметь следующее выражение [c.240]

Качение эллипсоида по шероховатой горизонтальной плоскости. В качестве последнего примера использования уравнений Гиббса — Аппеля рассмотрим задачу о качении однородного твердого эллипсоида по шероховатой плоскости. Направим оси координат вдоль осей эллипсоида (которые являются главными осями инерции в центре G). Скорость точки G обозначим через и, V, w, направляющие косинусы вертикали (направленной вниз) — через I, т, п, а координаты точки соприкосновения эллипсоида с плоскостью — через х, у, z. Условия качения запишутся в виде [c.241]

С этой целью спроектируем неподвижную точку О тела и его угловую скорость 0/4 = (О на плоскость S качения эллипсоида инерции (фиг. 142). Назовём Я точку встречи мгновенной оси вращения с плоскостью качения и обозначим [c.537]

Для этого исследуем качение эллипсоида вращения с полуосями а, с по неподвижной плоскости, отстоящей от центра эллипсоида на расстоянии /р = Щ (см. рис. 8). Очевидно, что [c.48]

Рис. 122. Качение эллипсоида инерции по неподвижной плоскости

Рис. 124. Качение эллипсоида вращения по неподвижной плоскости

Пр и м е р 4. Как известно , движение тела вокруг неподвижной точки, совпадающей с центром тяжести, в отсутствие других сил (случай Эйлера) можно представить, согласно интерпретации Л. Пуансо, качением эллипсоида инерции тела относительно неподвижной точки по неподвижной плоскости. При этом точка пересечения мгновенной оси вращения с поверхностью эллипсоида инерции (полюс) описывает на поверхности эллипсоида кривые полодии), приблизительное расположение которых показано на рис. 109. Вблизи концов наибольшей АА и наименьшей ВВ осей эллипсоида полодии представляют собой замкнутые кривые, окружающие эти концы подобно кривым, окружающим особую точку типа центра. Вблизи концов средней оси СС полодии располагаются так, как фазовые траектории около особых точек типа седла. По движению полюсов по поверхности эллипсоида можно судить об устойчивости или неустойчивости вращений вокруг осей, совпадающих с осями эллипсоида инерции. Вращения вокруг осей, совпадающих с наибольшей или наименьшей осями эллипсоида, будут, очевидно, устойчивыми, так как малое отклонение оси вращения переведет полюс на близкую к концу оси эллипсоида полодию, по которой он и будет двигаться в возмущенном движении, оставаясь в ближайшей окрестности невозмущенного состояния. Вращение вокруг средней оси неустойчиво. Малое отклонение мгновенной оси переместит полюс на полодию, по которой он будет удаляться от конца средней оси эллипсоида. Рис. 109 [c.439]

Движение твердого тела вокруг неподвижной точки по инерции можно представить как результат качения без скольжения эллипсоида инерции, построенного для неподвижной точки, по неподвижной плоскости, перпендикулярной к кинетическому моменту. [c.417]

От УИ. Если сообщить плоскости П постоянное вращение с угловой скоростью (1 вокруг ОР, то движение эллипсоида относительно плоскости П, которая станет, таким образом, подвижной, приведется в каждый момент к одному вращению вокруг От. Во время движения положение прямой От меняется как в теле, так и в пространстве. В теле оно описывает конус (С ) второго порядка, а в пространстве оно описывает плоскость П. Относительное движение эллипсоида по отношению к плоскости П, которая становится подвижной, приводится, следовательно, к качению конуса (С) по этой плоскости, причем относительная угловая скорость качения постоянно равна От УЛ. [c.172]

В частном случае, когда b — имеем А = В — С и эллипсоид инерции для точки О является сферой. В этом случае сфера S обратится в неподвижную плоскость Щ, перпендикулярную к Ozy, и движение получится качением герполодии Н по неподвижной плоскости nj. [c.204]

Угловая скорость м пропорциональна радиусу-вектору 01 эллипсоида инерции, вокруг которого в данный момент происходит вращение. Составляющая этой угловой скорости в плоскости (Я) есть качение, представляющее собой величину переменную, составляющая же, нормальная к (Р) и представляющая собой верчение эллипсоида на плоскости (Р), есть постоянная величина ш, (4°). [c.92]

Рассмотренную только что форму движения симметричного волчка можно было бы описать короче (хотя, быть может, менее наглядно). Для этого через конец вектора N момента импульса проводим перпендикулярно к нему неизменяемую плоскость i (ср. стр. 99) и строим эллипсоид кинетической энергии с центром в начале вектора N, подобный эллипсоиду инерции и касающийся плоскости Е. Точка касания является концом вектора угловой скорости вращения и). Мгновенное движение волчка состоит во вращении этого эллипсоида вокруг и). При этом эллипсоид катится без скольжения по плоскости . Если эллипсоид обладает симметрией вращения, то кривая качения будет окружностью, описанной вокруг вектора N поэтому конус, описанный вектором о , равно как и конус, описанный осью фигуры, будет круговым конусом. Таким образом, мы снова пришли к регулярной прецессии симметричного волчка. [c.181]

Качение шара по неподвижной поверхности. Будем предполагать, что поверхности идеально шероховатые, чтобы не допустить скольжения. Таким образом, будем считать, что имеет место чистое качение. Возьмем подвижные оси координат G1, G2, G3 с началом в центре шара G. Будем предполагать, что шар твердый и однородный или во всяком случае, что центр тяжести его совпадает с геометрическим центром, а эллипсоид инерции в этой точке представляет собой сферу. Ось G3 направим вдоль прямой, соединяющей точку соприкосновения шара с центром шара тогда координаты точки соприкосновения будут (О, О, —а), где а — радиус шара. Условия качения запишутся в виде [c.228]

Если осью симметрии тела является главная ось инерции, так что А —В Ф С, то движение значительно упрощается. Эллипсоид Пуансо становится эллипсоидом вращения, и мы опишем движение качением прямого кругового конуса, фиксированного в теле (подвижной полодии), по неподвижному в пространстве прямому круговому конусу (герполодии). Нужно различать случаи Л > С и Л < С в первом случае один конус находится вне другого, в последнем — конус полодии (или конус тела) содержит внутри себя конус герполодии (или пространственный конус) ) [c.170]

Когда , т. е. расстояние плоскости качения от центра эллипсоида [c.536]

Если мы выберем теперь и=1/У2/г, точка Р будет принадлежать как плоскости, так и эллипсоиду инерции, причем Vp = 0, как и должно быть при качении. Остается показать, что эллипсоид касается плоскости я. Но это очевидно, так как нормали к плоскости и к эллипсоиду в точке Р коллинеарны (Ар, Вд, Сг)=А. [c.211]

Эллипсоид инерции твердого тела постоянно касается неподвижной плоскости п. Точка касания Р является полюсом, а прямая ОР — мгновенной осью вращения твердого тела. Кривую, описываемую полюсом на поверхности эллипсоида инерции, Пуансо назвал полодией, а кривую, описываемую полюсом на неподвижной плоскости я, — герполодией. Подвижный аксоид имеет вершину в точке О, а полодия служит его направляющей. Непо движный аксоид имеет вершину в той же точке О, а в качестве направляющей — герполодию. Непрерывное движение твердого тела соответствует качению без скольжения подвижного аксоида по неподвижному. Такое движение может быть осуществлено, если заставить эллипсоид инерции катиться и вертеться без скольжения по неподвижной плоскости я, положение которой зависит от начальных условий. [c.416]

В работе [71] исследовалось влияние на точечный УГД контакт продольной и поперечной синусоидальной волнистости при скольжении гладкой поверхности относительно неподвижной волнистой. Из решений следовало, что амплитуда флуктуаций давления при поперечной шероховатости значительно выше, чем при продольной. Исследование качения гладкого эллипсоида по движущейся поверхности с продольной волнистостью, проведенное в работе [83], показало, что в поперечном направлении распределение давления становится волнистым, а в продольном — подобно распределению в контакте с гладкими поверхностями. В работе [59] исследовался эллиптический контакт при скольжении гладкой поверхности относительно неподвижной поверхности как с поперечной, так и с трехмерной волнистостью. В случае поперечной волнистости поверхность контакта становилась практически плоской, за исключением периферийной зоны, где из-за низкого давления шероховатость остается в недеформированном состоянии. Толщины До и как показали расчеты, изменялись немонотонным образом при изменении фазы волнистости в диапазоне [c.504]

Таким образом, движение по инерции твердого тела, имеющего одну неподвижную точку можно представить как качение без скольжения эллипсоида инерции по неподвижной плоскости, перпендикулярной к моменту количеств движения и находящейся на постоянном расстоянии от центра эллипсоида (рис. 14.5). [c.328]

Поскольку через рассматриваемую точку проходит вектор угловой скорости, то это значит, что скорость этой точки тела равна нулю, т.е. тело, представляемое своим эллипсоидом инерции касается неподвижной плоскости без проскальзывания. Такое качение называется движением Пуансо. Точка Р описывает в эллипсоиде инерции кривую, называемую полодией, соответствующая кривая на неподвижной плоскости называется герполодией. [c.88]

В процессе качения через некоторое время т точка В опишет на эллипсоиде замкнутую линию. [c.379]

Кроме связи, обусловленной качением тела по плоскости без проскальзывания, пусть наложена дополнительная связь, благодаря которой линия пересечения экваториальной плоскости эллипсоида вращения с горизонтом не изменяет своего направления в пространстве. [c.210]

Но кинетическая энергия Т и кинетический момент L являются некоторыми константами рассматриваемого движения, и, следовательно, касательная плоскость будет отстоять от центра эллипсоида инерции на постоянном расстоянии. Однако так как нормаль к этой плоскости направлена вдоль L и, следовательно, имеет неизменное направление, то эта плоскость является неподвижной. Поэтому рассматриваемое движение можно реализовать посредством качения эллипсоида инерции по некоторой неподвижной плоскости центр эллипсоида инерции находится при этом в фиксированной точке прострайства. Это качение происходит без скольжения, так как точка касания эллипсоида инерции с неподвижной плоскостью определяется вектором р, который направлен по мгновенной оси вращения, т. е. по той пря- [c.182]

То, что движение симметричного тела по инерции является регулярной прецессией, может быть установлено и из геометрической интерпретации Пу-ансо (см. стр. 198 — 199). Действительно, в случае Л = В эллипсоид инерции для неподвижной точки является эллипсоидом вращения. Поэтому при качении этого эллипсоида без скольжения по неподвижной плоскости, перпендикулярной постоянному вектору Ко, точка касания описывает на плоскости окружность. Ось —одна из главных осей эллипсоида следовательно, при движении тела по инерции эллипсоид инерции (а значит, и тело ) вращается вокруг оси сама же ось прочерчивая окружность на плоскости, перпендику-л."рной Ка, вращается вокруг Ко- [c.202]

Шар на вращающейся плоскости. Рассмотрим качение шара по шероховатой горизонтальной плоскости, которая вращается около фиксированной в ней точки О с заданной угловой скоростью й. Угловая скорость Q мон<ет быть не постоянна и являться заданной функцией от t, принадлежащей классу j (как в примере 5.5). Можно рассматривать однородный твердый шар, однородную сферическую оболочку либо вообще любое тело сферической формы, центр тяжести G которого лежит в его геометрическом центре, а эллипсоид инерции в точке G представляет сферу. Воспользуемся системой координат Oxyz с осями вдоль фиксированных направлений и началом в точке 0 ось Oz направим перпендикулярно к плоскости. Выберем затем систему G123 с осями, параллельными осям системы Oxyz, так что в рассматриваемой задаче будем иметь 0i = 02 = 63 = 0. Координаты центра катящегося шара обозначим через х, у, а здесь а — радиус шара. Условия качения запишутся в виде [c.224]

Объединив всё выше сказанное, мы можем разбираемое движеяие твёрдого тела охарактеризовать следующим образом твёрдое тело движется по инерции вокруг неподвижной точки так, что неизменно связанный с ним эллипсоид инерции, соответствующий неподвижной точке, катится без скольжения по одной из неизменяемых плоскостей, неподвижной в пространстве притом угловая скорость тела пропорциональна длине радиуса-вектора точки касания эллипсоида с плоскостью качения. Движение эллипсоида по плоскости будет качением без скольжения потому, что общая их точка лежит на мгновенной оси и, следовательно, имеет скорость, равную нулю. [c.526]

Невозмущенное вращение спутника относительно центра масс описывается уравнениями Эйлера — Пу-ансо. Геометрически это движение можно интерпретировать как качение трехосного эллипсоида инерции тела вокруг вектора кинетического момента по неподвижной плоскости, перпендикулярной к этому вектору [1]. [c.175]

Замечание 5. Геометрическую интерпретацию движения в случае Клебша при (Л/, -у) = О пытался дать С. А. Чаплыгин [173], который представил движение как качение без скольжения некоторого гиперболоида по винтовой поверхности. В работе [172] Е. И. Харламова показала, что при (Л/, -у) = О соответствующее движение может быть получено как более естественное обобщение интерпретации Пуансо эллипсоид инерции катится без скольжения по поверхности эллиптического цилиндра, неподвижного в пространстве, ось которого направлена вдоль вектора 7 и проходит через неподвижную точку тела. [c.172]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...