Положение устойчивое

В вибрографе для записи горизонтальных колебаний фундаментов машин маятник ОА, состоящий из рычага с грузом на конце, может качаться вокруг своей горизонтальной оси О, удерживаясь в вертикальном положении устойчивого равновесия собственной массой и спиральной пружиной. Определить период собственных колебаний маятника при малых углах отклонения, если максимальный статический момент силы тяжести маятника относительно его оси вращения равен Mgh, момент инерции относительно той же оси равен /г, коэффициент жесткости пружины, сопротивление которой пропорционально углу закручивания, равен с при равновесном положении маятника пружина находится в ненапряженном состоянии. Сопротивлениями пренебречь. [c.287]

В вибрографе для записи горизонтальных колебаний маятник ОА, состоящий из рычага и груза, может качаться вокруг горизонтальной оси О около вертикального положения устойчивого равновесия, удерживаясь в этом положении собственным весом и спиральной пружиной. Зная максимальный статический момент силы тяжести маятника Qa = 45 Н-см, момент инерции относительно оси О У = 0,3 кг-см и жесткость при кручении [c.408]

Осциллятором называется система с одной степенью свободы, колеблющаяся около положения устойчивого равновесия. [c.118]

Собственные колебания могут происходить не только около положения устойчивого равновесия, но и по отношению к устойчивому движению, например крутильные колебания равномерно вращающегося вала. [c.529]

МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМЫ ОКОЛО ПОЛОЖЕНИЯ УСТОЙЧИВОГО РАВНОВЕСИЯ [c.387]

Как и в 148, будем считать, что рассматриваемая механическая система при (7=0 находится в положении устойчивого равновесия. Исследуем ее малые колебания около положения равновесия еще в двух случаях. [c.392]

Маятник, отклоненный от положения устойчивого равновесия, падает под действием собственного веса, вращаясь вокруг неподвижной оси О в вертикальном положении, имея угловую скорость со = 3 рад/с, маятник ударяется о точку В боковой грани тела D — однородного прямоугольного параллелепипеда массой т = бшо (а = 0,8 м, Ь = 0,4 м, h = 0,2 м). [c.221]

Вариант 29. Маятник, отклоненный от положения устойчивого равновесия на некоторый угол а, падает без начальной скорости под действием собственного веса, вращаясь вокруг неподвижной оси О, и в вертикальном положении точкой А ударяется о покоящийся однородный полый тонкостенный цилиндр массой diq = 200 кг и радиусом г = 0,2 м. [c.229]

Построим график функции V (q) и ниже него изобразим фазовую плоскость q, q системы (рис. VI.9). Точки, соответствующие положениям устойчивого и неустойчивого равновесия, отмечены на фазовой плоскости точкой и крестиком. Зададим поочередно Ш. [c.229]

В предыдущем параграфе мы исследовали лишь вопрос об устойчивости равновесия, т. е. качественно оценили движения, возникающие при малом отклонении от положения равновесия. В этом параграфе будет детально изучаться характер движений, которые протекают вблизи положений устойчивого равновесия. Будем считать, что начальные отклонения лежат в столь малой окрестности начала координат фазового пространства, что в силу устойчивости движение не выходит за пределы малой окрестности начала координат и с достаточной точностью описывается уравнениями линейного приближения (15). [c.236]

Итак, при движении консервативной системы в окрестности положения устойчивого равновесия соответствующего по условию минимуму потенциальной энергии) каждая из главных координат совершает около положения равновесия гармоническое колебание с одной из собственных частот. [c.239]

В связи с тем, что изученные выше движения консервативных систем происходят в малой окрестности положений устойчивого равновесия, их часто называют малыми колебаниями ных систем. [c.241]

Действие внешней силы, зависящей явно от времени, на произвольную стационарную систему при ее движении вблизи положения устойчивого равновесия (в линейном приближении) [c.241]

Малая по модулю вынуждающая непериодическая сила, представимая интегралом Фурье. Рассмотрим теперь движение стационарной системы, возникающее под действием вынуждающей силы при следующих условиях. Будем предполагать, что вынуждающая сила была равна нулю до некоторого момента времени, принятого нами за нуль отсчета времени, т. е. что до этого момента система находилась в положении устойчивого равновесия и что, начиная с момента / = 0, на систему действует вынуждающая сила, зависящая от времени, но малая по модулю, так что движения, вызванные этой силой, могут быть описаны соответствующими уравнениями линейного приближения. Иначе говоря, предполагается, что все qj = qj = 0 при <0 и что движение возникает лишь благодаря тому, что Q O при />0. Таким [c.252]

Формула (88) или соответственно формула (89) сводит задачу определения движения стационарной системы, возникающего вблизи положения устойчивого равновесия под действием внешней силы, начинающей действовать с момента t = 0 при нулевых начальных условиях, к одной квадратуре в действительной области. Зная действующую силу Qf t), можно вычислить комплексный спектр ее и координаты q и затем выделить действительную часть спектра д,. Полученная таким образом действительная функция действительного аргумента P(Q) называется действительной частотной характеристикой возмущения, и зная ее, можно без особого труда любым приближенным способом подсчитать интеграл (88) или (89). Самый простой способ для этого — представить кривую Р Q) кусочно-линейной функцией и провести интегрирование по отрезкам прямых. [c.256]

Таким образом, движение в окрестности положения устойчивого равновесия может быть найдено в случае, когда внешнее воздействие либо гармоническое, либо периодическое, но не гармоническое, либо, наконец, не периодическое, но представимое интегралом Фурье, Центральным для решения этой задачи являются понятия ком- [c.256]

Принимая положение устойчивого равновесия за начало отсчета обобщенной координаты и за нулевой уровень потенциальной энергии, рассмотрим малые движения системы около этого положения равновесия. Отклонение системы от положения равновесия при таком выборе начала отсчета будет определяться значением обобщенной координаты. [c.585]

Разложим эту функцию в ряд Маклорена около положения устойчивого равновесия [c.586]

Положение устойчивого равновесия, около которого происходят малые движения системы, примем за начало отсчета обобщенных координат. Следовательно, в положении равновесия все обобщенные координаты равны нулю. Раскладываем каждый коэффициент в ряд Маклорена по степеням обобщенных координат [c.594]

Ответ Положение устойчивого равновесия существует при [c.327]

Если по условиям задачи требуется, кроме того, найти период собственных колебаний системы вблизи положения устойчивого равнове- Рис. 690 сия, то далее необходимо [c.455]

Отсюда видно, что при ф = 0 стержень находится в положении равновесия. Чтобы это положение было положением устойчивого равновесия, необходимо, чтобы выполнялось условие [c.458]

Таким образом, при вертикальном положении стержень будет находиться в положении устойчивого равповесия, если [c.458]

Задача 1289 (рис. 695). Три одинаковых однородных стержня длиной / и массой т каждый соединены шарнирно и могут двигаться в вертикальной плоскости. К стержню АВ на расстоянии от неподвижной точки Л, а к стержню D на расстоянии 4 от неподвижной точки С прикреплены пружины жесткостью каждая. Пренебрегая трением и массой пружин, определить величину с , при которой вертикальное положение стержней АВ и D будет положением устойчивого равновесия, если при этом пружины не напряжены. Найти также период малых колебаний системы около этого положения. [c.461]

Задача 1290. Четыре стержня длиной I и массой т каждый, находящиеся в вертикальной плоскости, образуют систему, показанную на рис. 696. Система удерживается в вертикальном положении при помощи двух спиральных пружин. Пренебрегая трением и считая все соединения шарнирными, определить, при каком значении жесткости второй пружины вертикальное положение системы будет положением устойчивого равновесия, а также период малых колебаний системы вблизи этого положения, если жесткость первой пружины равна с и при вертикальном положении системы пружины не напряжены. [c.461]

Задача 1292 (рис. 698). Однородный стержень АВ массой и длиной 21 концами Л и Б может скользить по гладким взаимно перпендикулярным направляющим. В точке В к стержню прикреплена нить, перекинутая через идеальный блок, другой конец которой несет груз М массой т =1/ 2т,. Определить угол при котором система находится в положении устойчивого равновесия, и период [c.462]

Задача 1293 (рис. 699). U-образная трубка с одинаковой площадью поперечного сечения по всей длине открыта с двух концов. Трубка содержит две несжимаемых и несмешивающихся жидкости с плотностями р, и р. . Определить период собственных колебаний системы около положения устойчивого равновесия, после того как она была выведена из этого положения, если длина части трубки, занимаемой жидкостью плотности Pi, равна /,, а длина части, занимаемой жидкостью плотности р. , равна 1 . Трением пренебречь. [c.462]

Исследование малых колебаний консервативной системы с несколькими степенями свободы вблизи ее положения устойчивого равновесия удобно проводить, используя уравнения Лагранжа второго рода. [c.467]

Задача 1328. Плоскость 5 равномерно вращается с угловой скоростью (1) вокруг вертикальной оси Ох, образуя с ней прямой угол (рис. 724, а). К точке А плоскости, отстоящей от оси вращения на расстоянии а, шарнирно прикреплен стержень длиной Ь, несущий на своем конце материальную точку М массой т. Определить период малых колебаний точки вблизи ее положения устойчивого относительного равновесия, пренебрегая трением. Определить [c.477]

Таким образом, при ф = 0 стержень находится в положении устойчивого относительного равновесия, а при i ) = 0 (ф = я) — в неустойчивом. [c.479]

Период малых колебаний около положения устойчивого равновесия будет [c.479]

Задача 1329 (рис. 725). Линейка АВ длиной I и массой m своим концом А может скользить вдоль вертикальной оси Oz, а концом fi —вдоль горизонтальной оси Ох, вращающейся вокруг оси Ог с постоянной угловой скоростью со. Перемещению конца В препятствует пружина, которая при вертикальном положении стержня не напряжена. Определить положения относительного равновесия линейки и исследовать их иа устойчивость. Найти также период малых колебании около положения устойчивого равновесия. [c.480]

При малых а (вблизи положения устойчивого равновесия) имеем [c.481]

Задача 1340 (рис. 733), Круглая трубка радиусом г вращается с постоянной угловой скоростью со вокруг своего вертикального диаметра. Внутри трубки находится шарик М. Определить положения устойчивого относительного равновесия шарика по отношению к трубке, пренебрегая трением и размерами шарика. [c.485]

Вариант 19. При испытании упорных (буферных) брусьев на удар. маятник копра массой т = 500 кг, радиус инерции которого относительно неподвижной горизонтальной оси вращения О io =1,2 м, отклоняют от положения устойчивого равновесия на угол а = 90 и отпускают без начальной угловой скорости. Падая, маятник точкой Л ударяется о буферный брус массой iiiq = 1000 кг, коэффициент жесткости комплекта пружин которого с = 10 000 Н/см. Коэффициент воссааповления при ударе к = 0,5. Отклонившийся после удара на угол р маятник задерживается в этом положении специальным захватом. [c.226]

Вследствие четности функции П (ф) она удовлетворяет также неравенству Я(-Дф) > Я (ф = 0). Следовательно, при ф = О функция Я (ф) имеет минимум. Таким образом, при ф = ф = 180 и ф = фз = 60° функция П (ф) имеет максимум, а при ф = фг = 112,89° и ф = ф4 = О — минимум. На основании теоремы Лагранжа — Дирихле при ф = ф2 и ф = ф4 система имеет положения устойчивого равновесия, а на основании теоремы Н. Г. Че-таева при Ф = Ф1 и ф = фз — положения неустойчивого равновесия. [c.311]

В задачах этого типа рассматриваются малые колебания системы с одной (первая группа) или двумя (вторая группа) степенями свободы около положения устойчивого равновесия. В этих задачах положение усгойчивого равновесия следует принять за начало отсчета обобщенных координат и, далее, пользуясь уравнениями Лагранжа, составлять дифференциальные уравнения движения системы. [c.405]

Полагая при составлении дифференциальных уравнений малых движений обобщенные координаты (отсчитываемые от положения равновесия) и обобщенные скорости малыми величинами, ограничимся в дифференциальных уравнениях движения линейными членами. Этот прием, заключающийся в отбрасывании в нелинейных дифференциальных уравнениях членов, содержащих квадрат и более высокие степени обобщенных координат и скоростей, называется линеаризацией уравнений. Такая линеаризация, естесавенно, в известной мере искажает действительную картину движений, однако чем меньше отклонения системы от положения устойчивого равновесия, тем точнее будут описывать линеаризованные уравнения движение системы. Линеаризация дифференциальных уравнений позволяет получить замкнутое решение для таких систем, для которых нахождение интегралов точной. [c.585]

Пользуясь теоремой Лагранжа — Дирихле, исследовать найденные положения равновесия на устойчивость. В положении устойчивого равновесия системы ([c.455]

Принимая, что АС = АВ, и пренебрегая тренкем, определить угол ф в интервале (0 я), при котором стержень будет находиться в положении устойчивого равновесия, а также период малых коле-бани11 стержня около этого положения. [c.455]

Задача 1303 (рис. 707). Однородный стержень АВ длиной / и массой т, один конец которого закреплен при помощи шарнира, удерживается в вертикальном положении спиральной пружиной, жесткость которой равна q. На каждый элемент длины стержня ds при его вращении действует сила сопротивления, пропорциональная скорости этого элемента и его длине и направленная в сторону, противоположную скорости этого элемента, т. е. df = —fiuds. При вертикальном положении стержня пружина находится в ненапряженном состоянии. Принимая (5 = onst, определить, при каком значении жесткости j вертикальное положение стержня будет положением устойчивого равновесия. Найти также значение коэффициента Р, при котором стержень будет совершать малые затухающие колебания вблизи вертикального положения. [c.465]

Задача 1341 (рис. 734). Направляющая в виде полупараболы п-го порядка [y-- kx") вращается с постоянной угловой скоростью со вокруг вертикальной оси, совпадающей с осью Оу. По направляющей может двигаться без трения колечко М. Определить, при каких п существует положение устойчивого относительного равновесия колечка, отличное от начала координат, и найти это положение. [c.485]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...