Уравнения Лоренца для траектории

Рассмотрим теперь уравнения Лоренца (2.114). Дивергенция фазового потока у них отрицательна Л = —(а -Ь -Ь 1), так что все траектории стремятся в некоторое множество нулевого объема. Величина W = [Х -i- (Z — г — [c.151]

Критерий, который привлекает внимание исследователей в последние годы, основывается на концепции показателей Ляпунова. Численные решения уравнений Лоренца и других подобных уравнений показывают, что временная эволюция переменных очень чувствительна к изменению начальных условий. Иными словами, если мы лишь немного изменим начальные условия, то с течением времени две траектории будут все дальше удаляться друг от друга. Если говорить более строго, расстояние между ними со временем растет экспоненциально. [c.210]

Рассмотрим хаотическую систему нижайшего порядка, описываемую тремя дифференциальными уравнениями первого порядка (например, уравнения Лоренца из гл. 1). В случае электромеханической системы переменные х 1), у () и г (О могут иметь смысл смещения, скорости и управляющей силы, если это система управления с обратной связью. Движение можно представить в виде траектории в трехмерном фазовом пространстве (рис. 2.14). Отображение Пуанкаре можно определить, построив в этом пространстве двумерную ориентированную поверхность и следя за точками (х , у , ), в которых траектория проходит сквозь эту поверхность. Выберем, например, плоскость л +П2У +п г =с с нормальным вектором п ш (п п2, П]). Как частный случай можно выбрать пло- [c.61]

Уравнения Лоренца 40, 74, 121, 165, 274, 278, 279 ---для траектории 42 [c.307]

Фазовое пространство такой системы — трехмерное евклидово пространство. Все фазовые траектории входят в некоторую ограниченную область, где могут переплетаться самым причудливым образом. Усилиями многих исследователей, использовавших методы качественной теории дифференциальных уравнений и численные эксперименты на современных вычислительных машинах, было показано, что сложные движения фазовых точек в системе Лоренца — хаотические. Вид одной из фазовых траекторий, соответствующей такому сложному движению, показан на рис. 1.14. Эта картинка получена на экране осциллографа путем высвечивания проекции фазовой точки через равные промежутки времени. [c.18]

В соответствии со знаком силы Лоренца Ayi отрицательно для положительно заряженной частицы (см. рис. 7). Наклон траектории на выходе из области локализации поля определяется первой производной у по х. Последнюю можно найти из уравнения (2.128) [c.52]

Теперь легко видеть, что траектория является прямой, если начальная скорость частицы в точности равна у. В этом случае сила Лоренца равна нулю и начальная скорость частицы, направленная вдоль оси у, остается постоянной. Формально это вытекает из уравнений (2.171) —(2.173), которые дают хс=Хо, [c.57]

Вернемся опять к полной модели Лоренца (359). У нее имеется три стационарных рещения при г > 1, и только два из них (360) устойчивы при небольшой надкритичности. Но что произойдет, если увеличивать параметр г, не ограничиваясь небольшими его значениями Первый вопрос — устойчиво ли равновесие (360) — можно опять рассмотреть с помощью линейного приближения вблизи равновесия. Соответствующий анализ показывает, что существует второе критическое значение га, выше которого происходит вторая бифуркация. Но это еще не все. Оказывается, система уравнений (359) имеет много различных мод движения. Самая удивительная из них была обнаружена самим Лоренцем при значениях параметров г = 28, <т = 10, ==8/3. Это решение получило название "странный аттрактор". Лоренц обнаружил, что система X, К, Z) совершает сложное хаотическое движение, похожее на "танец" вокруг двух неустойчивых фокусов. Стартуя с любой точки с небольшими X, , Z, система переходит на неустойчивый фокус, вокруг которого она начинает описывать витки с амплитудой, возрастающей со временем, т.е. пробегает траекторию по раскручивающейся спирали. После некоторого количества таких витков система внезапно устремляется ко второму фокусу, вокруг которого она снова описывает витки по раскручивающейся спирали. После нескольких витков, система снова перепрыгивает на первую спираль, чтобы приблизительно повторить то же самое движение. Однако никакой периодичности в таком движении нет и времена, в течение которых система находится вблизи одного из фокусов, и число витков на каждой из спиралей кажутся совершенно случайными. Хаотическое движение появляется в совершенно детерминированной динамической системе с тремя координатами X, V, Z. [c.322]

Нечто аналогичное приведенному абстрактному примеру может происходить и в конкретных системах. Так, в фазовом пространстве уравнений Лоренца (1.24) при 6 = 8/3, 0 = 10, г =24,4 последовательные точки пересечения фазовых траекторий с секущей плоскостью z=r l приходят в очень малую окрестность некоторой кривой / и остаются в ной, порождая тем самым отображепие кривой 7 в себя. Если вдоль этой кривой ввести переменную и, то это отображение имеет такой вид, как показано на рис. 2.8. Оно всюду растягиваюп1ее, причем типичные последовательные Рис. 2.8 значения и являются хаотическими. [c.48]

С помощью преобразования прямой в прямую (3.11) пове,до-ние фазовых траекторий уравнения Лоренца можно отобразить в виде серии точечных отображений прямой в прямую, показанных па рис. 7.28. Первый рис. 7.28, а отвечает устойчивости состояния равновесия О (0<г<1), второй рис. 7.28,6 — появлению двух устойчивых состояний равновесия О, и О2, третий рис. 7.28, в — рождению неустойчивых периодических движений Г1 и Гг и появлению разрыва непрерывности, четвертый рис. 7.28, г — возникновению стохастического аттрактора, пятый рис. 7.28, д — влинанию периодических движений Г1 и Гг в состояпия равновесия О1 и Ог и последний 7.28, е — появлению у графика точечного отображения горизонтальных касательных и в связи с этим устойчивых неподвижных многократных точек. Мы видим, что в этой интерпретации возникновение стохастичности и системе Лоренца похоже на то, как возникает стохастичность в неустойчивом осцилляторе с отрицательным трением и ударами, рассмотренном в гл. 3. [c.194]

Во всех рассмотренных выше разделах классической физики обьекто [ исследования была материя в форме вещества. Другой формой материи, в исследовании которой физика достигла больших успехов, стала полевая форма. Электрические и магнитные явления открыты очень давно, но теория этих явлений развивалась сравнительно медленно и лишь в 60-х годах XIX столетия была завершена созданием теории Максвелла. После этого были открыты электромагнитные волны, которые существуют независимо от породивших их зарядов и токов. Это послужило экспериментальным доказательством самостоятельного существования электромагнитного ноля и обосновало представление об электромагнитном поле как о форме существования материи. Движение этой формы материи описывается уравнениями Максвелла. Они представляют закон движения электромагнитного поля и описывают его порождение движущимися зарядами. Действие электромагнитного ноля на заряды, носителями которых является материя в корпускулярной форме, описывается силой Лоренца. Основными понятиями, на которых основываются уравнения Максвелла, являются напряженность и индукция электромагнитного поля в точках пространства, изменяющиеся с течением времени, электромагнитное поле, порожденное зарядом, движущимся аналогично материальной точке по определенной траектории, и действующее на заряд. Это показывает, что теория, основанная на уравнениях Максвелла, относится к классической физике, релятивистски инвариантна и полностью относится к релятивистской классической физике. [c.14]

Новая область явлений возникает в диссипативных системах, фазовый объем которых не остается постоянным, а сокращается со временем. Конечное состояние в этом случае представляет собой движение на некотором подпространстве, называемом аттрактором, размерность которого меньше размерности исходного фазового пространства. Изучение регулярного движения в таких системах восходит к Ньютону и в дальнейшем было связано с развитием теории обыкновенных дифференциальных уравнений. На этой ранней стадии было выяснено, что траектория может притягиваться к таким простым аттракторам, как неподвижные точки, замкнутые траектории и торы, на которых устанавливается, соответственно состояние равновесия, периодическое и квазипериоди-ческое движение. И только сравнительно недавно, в пионерской работе Лоренца [283], было показано, что и в диссипативных системах встречается хаотическое движение. Лоренц обнаружил такой аттрактор в модели, описываемой системой обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений. Рюэль и Тэкенс [355 ] использовали для аттрактора с хаотическим движением термин странный аттрактор ). Топология странных аттракторов весьма примечательна. Она характеризуется масштабной инвариантностью ), при которой структура аттрактора повторяется на все более мелких пространственных масштабах. Такие структуры, называемые фракталами, обладают любопытным свойством дробной размерности, промежуточной между размерностью точки и линии, линии и плоскости и т. д. [c.19]

Нет лучщего примера теории, новые модели и парадигмы которой обещают значительные перемены в естественнонаучном и математическом мышлении, чем нелинейная динамика, испытывающая сейчас революционные изменения. Двумя главными парадигмами здесь являются аттрактор Лоренца (см. уравнения (1.3.9)) и логистическое уравнение (1.3.6). Эти два примера заключают в себе многие особенности хаотической динамики, такие, как разбегающиеся траектории, субгармонические бифуркации, удвоение периода, отображения Пуанкаре и фрактальные размерности. Как для освоения теории линейных колебаний необходимо изучить все тонкости модели из массы с пружиной, без которых нельзя понять колебания сложных систем, так же и каждому, кто ищет свой путь в современной нелинейной динамике, не обойтись без понимания явлений, скрытых в модели Лоренца и логистическом уравнении. Другие, менее яркие парадигмы также важны для понимания и развития теории динамических систем. Среди них вынужденные движения осциллятора Ван дер Поля (уравнение (1.2.5)), модели осциллятора [c.74]

Явление универсальности. При изучении некоторых однопараметрических семейств дифференциальных уравнений (система Лоренца, нелинейные колебания в электрическом контуре, галеркинские аппроксимации уравнений Навье—Стокса и др.) наблюдаются последовательные бифуркации удвоения периода устойчивых периодических траекторий, о происходит в том случае, когда для некоторой периодической траектории у. непрерывно зависящей от параметра ц., собственное значение Я((х) линейной части оператора монодромии вдоль у принимает значение Я( хо)=—1. В случае общего положения при прохождении параметра через цо от у ответвляется новое периодическое решение у, которое при ц = совпадает с дважды пройденным у. Для у ((х) соответствующее собственное значение Я (цо) = (Я(цо) ) = 1. При дальнейшем изменении ц собственное значение Я (ц) меняется, и при некотором [Х1 оказывается Я (ц.1) =—1, после чего от у ответвляется траектория с периодом вдвое большим, чем период уЧй ), и так далее. Моменты последовательных бифуркаций (х,- имеют предел [х = = Ит[Х ,-. При м-г- -Цоо бифурцирующие траектории становятся [c.216]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...