Фазовые траектории нелинейных систем

К а 3 а к е в и ч В. В., Фазовые траектории нелинейных систем автоматического регулирования. Основы автоматического регулирования. Теория, Машгиз, 1954. [c.150]

ПРИЛОЖЕНИЕ II ФАЗОВЫЕ ТРАЕКТОРИИ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ [c.216]

Сопоставляя демпфирующее влияние нелинейного члена уравнения и дестабилизирующее влияние линейного члена, мы, в сущности, имеем в виду изменение энергии системы вследствие работы, совершаемой различными составляющими силы трения. Линейная составляющая совершает положительную работу, т. е. вносит энергию в систему, а нелинейная составляющая совершает отрицательную работу, т. е. уменьшает энергию системы. При стационарных автоколебаниях приток энергии компенсирует ее расход (в среднем за один колебательный цикл) и система внешне ведет себя так, как если бы она была консервативной здесь полезно напомнить, что фазовые траектории консервативных систем также представляют собой замкнутые кривые, геометрически похожие на кривую предельного цикла, изображенную на рис. VI. , б. Но, конечно, сходство это только внешнее предельный цикл представляет собой изолированную замкнутую фазовую траекторию, и в ее окрестности нет других замкнутых траекторий, тогда как замкнутые фазовые траектории свободных колебаний консервативных систем сплошным][образом заполняют фазовую плоскость . [c.287]

Напомним, что, занимаясь изучением нелинейных колебаний систем с одной степенью свободы при интерпретации движения на фазовой плоскости, мы уже касались в неявном виде этих теорем (стр. 132). В самом деле, было указано, что дифференциальное уравнение (3.8) фазовой траектории нелинейной системы, т. е. уравнение [c.207]

В системе, нелинейной за счет одного из консервативных параметров, наличие линейного трения также приводит к качественному изменению фазового портрета системы по сравнению с фазовым портретом подобной же системы в пренебрежении затуханием (трением). При этом исчезают существовавшие в случае консервативных систем особые точки типа центр и на их месте появляются особые точки типа устойчивого фокуса или устойчивого узла, а вместо континуума замкнутых фазовых траекторий возникают свертывающиеся траектории, приводящие из любого места фазовой плоскости (при любом начальном состоянии) к устойчивой особой точке — состоянию покоя. Наличие нелинейного консервативного параметра в колебательной системе в первую очередь сказывается на форме фазовых траекторий, которые в этом случае не являются логарифмическими спиралями на всей фазовой плоскости, а переходят в них в окрестностях особой точки типа фокуса. Для иллюстрации можно привести фазовый портрет маятника при учете линейного трения (рис. 2.6). Описывающее его дифференциальное уравнение имеет вид [c.52]

Автоколебательные системы относятся к классу активных колебательных систем, определение которых было дано в 4.1. Однако, в отличие от активных систем, в которых вложение энергии можно однозначно описать с помощью отрицательного сопротивления и которые могут быть линейными и неконсервативными, автоколебательные системы принципиально нелинейны и неконсервативны. Это их свойство обусловливает возможность существования в автоколебательных системах стационарных по форме и величине колебаний, что в рамках представлений о фазовой плоскости означает наличие предельных циклов — асимптотических замкнутых фазовых траекторий. [c.186]

В книге изложены теоретические основы инженерных методов исследования релейных следящих систем с нелинейной характеристикой исполнительного двигателя. Описан метод построения фазовых траекторий с помощью шаблонов, позволяющий быстро определить движение при произвольном виде механической характеристики. Рассмотрено влияние запаздывания релейного элемента при срабатывании и отпускании, а также влияние апериодических звеньев, расположенных до и после реле, на динамические свойства системы. Определены, границы в пространстве параметров, разделяющие движения разных типов. [c.2]

Основным методом исследования, применяемым в данной работе, является метод многолистной фазовой поверхности и фазового пространства. Этот метод, разработанный академиком Андроновым А. А. и его учениками и последователями [Л. 1, 2, 4, 6—8, 11—14, 21 и 22], позволяет весьма эффективно исследовать поведение релейных систем как при переходных процессах, так и в установившихся режимах. Обычно исследование методом фазового пространства считается качественным исследованием поведения системы, позволяющим определить только характер, типы движений. Мы считаем, что этот метод, особенно в случаях, когда задача может быть сведена к плоской фазовой картине, является методом количественного исследования, т. е. методом инженерного расчета, часто приводящим к цели быстрее других методов. Это особенно ярко проявляется в тех случаях, когда для построения фазовой траектории могут быть использованы шаблоны. Изменяемость структуры линейной части релейной системы не приводит к каким бы то ни было дополнительным трудностям в применяемом методе. Более того, для рассматриваемого класса систем вообще не требуется разделения на линейную часть и релейный элемент линейной части вообще может не быть, вместо нее имеется непрерывная часть , описываемая нелинейными дифференциальными уравнениями. [c.6]

В нелинейных системах возможны режимы автоколебаний. Поэтому характер особых точек для нелинейных систем еще не определяет поведения изображающей точки на всей фазовой плоскости. В таких случаях требуется дополнительно выяснить характер движения изображающей точки вдали от точки равновесия. Для нелинейных систем имеется три типа особых траекторий точка равновесия, предельные циклы, усы седел. [c.24]

В предыдущей главе при ознакомлении с методом фазовых траекторий мы преследовали главным образом цель наглядности изложения, не заботясь об аналитической стороне вопроса. Здесь же мы попытаемся рассмотреть задачу аналитически, взяв за объект исследования известную нам уже систему второго порядка, причем будем одновременно рассматривать как нелинейную, так и линейную задачи, пользуясь одними и теми же логическими приемами. [c.220]

Т. е. через начало координат (и только через эту точку О) проходят в данном случае все изоклины (рис. 1У-8). Такая точка, для которой невозможно установить наклон и направление касательной к фазовой траектории, носит название особой точки и для данного типа фазового портрета она именуется центром. Поэтому мы можем- сделать заключение, что наличие на фазовой плоскости особой точки типа центр обеспечивает или указывает на наличие незатухающего колебательного процесса, как для линейных, так и для нелинейных систем. [c.221]

В настоящее время существует широкий набор критериев определения хаотического режима эволюции нелинейных систем, среди которых можно выделить группу качественных критериев и группу количественных критериев. Качественный анализ траекторий движения в реальном, или в фазовом, пространстве [4, 8, 10] является одним из наиболее простых. При этом в качестве переменных фазового пространства выбираются не только проекции траектории (решения) рассматриваемой системы, но и проекции скорости движения. [c.447]

Рассматривая систему как линейную, мы не находим в ней устойчивых стационарных состояний она не может остаться в области, близкой к состоянию равновесия, — отклонения в линейной системе должны беспрерывно возрастать. Между тем при описании механической и электрической систем, которые привели нас к этим случаям, для того чтобы прийти к линейным уравнениям, мы должны были ограничиться рассмотрением областей, достаточно близких к состоянию равновесия (малое х и малое у). Значит, с одной стороны, мы должны ограничиться рассмотрением областей, достаточно близких к состоянию равновесия, а с другой стороны, рассматривая движение системы в этих областях, мы убедились в том, что система не останется в этой области, но неизбежно выйдет за ее пределы. Другими словами, линейная трактовка позволяет правильно изобразить поведение фазовых траекторий только в некоторой ограниченной области фазовой плоскости, вблизи положения равновесия. Но, с другой стороны, все фазовые траектории уходят за пределы этой ограниченной области. Чтобы исследовать дальнейшее поведение системы, мы должны, очевидно, учесть какие-то обстоятельства, которые до сих пор нами не учитывались, и рассматривать систему уже как нелинейную. [c.90]

ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ДВИЖЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ КОНСЕРВАТИВНЫХ СИСТЕМ. Замкнутые фазовые траектории, изображающие периодические движения или нелинейные колебания консервативных систем, образуют на фазовой плоскости целые континуумы, заполняющие конечные участки, причем одна замкнутая фазовая траектория охватывает другую, не пересекая ее (траектории как бы вложены одна в другую). Поэтому, если в консервативной системе возможно одно периодическое движение, то их может быть в ней бесконечное множество и все они могут быть получены непрерывным изменением начальных условий в пределах некоторой ограниченной области. Амплитуды и периоды нелинейных колебаний консервативных систем зависят от начальных условий (начального Лр). Период колебаний системы можно вычислить следующим образом. Из уравнения [c.481]

Таким образом, к характерным свойствам автоколебательных систем, которые перечислялись выше и в которых отражены физические особенности этих систем, следует добавить еще два свойства, отражающих специфику автоколебательных систем с математической точки зрения 1) автоколебательная система - нелинейная динамическая система 2) среди фазовых траекторий автоколебательной системы существует по крайней мере один устойчивый предельный цикл. [c.91]

Однако в более сложных системах со сложно организованной внутренней структурой возможно расслоение единой системы на две тесно связанные друг с другом подсистемы. Одну из них мы по-прежнему можем называть динамической или силовой, а вторую можно назвать информационной или управляющей подсистемой. Такая возможность появляется в силу большой сложности "фазового портрета" системы. Если описывать систему некоторыми параметрами порядка, т.е. обобщенными координатами Q то временная эволюция Q, может оказаться очень сложной в силу нелинейных связей между Qi. Соответственно, траектория Q, в фазовом пространстве может оказаться очень чувствительной к малым возмущениям, обладая многими точками бифуркации. В этих условиях фазовая точка может легко перебрасываться с одной траектории на другую малыми внешними возмущениями или малыми изменениями в структурных элементах системы. [c.330]

Некоторые топологические соображения помогают наглядно представить, а затем и понять многомерное движение. Они естественно приводят к разностным уравнениям, т. е. к отображению динамической траектории системы на некоторое подпространство ее фазового пространства. В случае двух степеней свободы такие отображения дают простую и наглядную картину движения. Более того, использование отображений — обычно наиболее удобный путь проведения как аналитических и численных расчетов стохастического движения, так и математических доказательств существования различных типов траекторий. Вместе с тем регулярное движение, как мы видели в гл. 2, часто бывает удобно описывать дифференциальными уравнениями. Переход от дифференциальных уравнений (Гамильтона) к отображениям и обратно широко используется при анализе движения большинства нелинейных динамических систем. [c.175]

Это уравнение описывает стационарную бегущую волну. По форме оно совпадает с уравнением сосредоточенного нелинейного осциллятора с затуханием 6 = У — Уо. Ясно, что интересующие нас периодические решения существуют лишь при У = Уд. Фазовый портрет системы для этого случая приведен на рис. 21.3. Автоколебаниям в виде периодических стационарных волн соответствует непрерывный континуум замкнутых траектории. Амплитуда такой волны определяется ее периодом. Сведение задачи об автоколебаниях в распределенной системе к исследованию уравнения нелинейного осциллятора, привычного для консервативных систем, кажется парадоксальным. Этот факт, однако, имеет простое физическое объяснение. Дело в том, что энергетический баланс между процессами диссипации и отбора энергии у активной среды в данном случае выполняется сразу для непрерывного множества стационарных волн, распространяющихся со скоростью Уо. Это возможно [c.441]

Следует отметить, что малые свободные колебания консервативной линейной системы на фазовой плоскости изображаются также континуумом замкнутых траекторий, окружающих точку устойчивого равновесного положения системы. Амплитуды колебаний линейных систем, так же как и нелинейных консервативных, зависят от начальных условий, но период колебаний линейной системы есть постоянная, не зависящая от начальных условий и от начального запаса энергии системы, в чем можно убедиться, подставив в общую формулу (12.6) соответствующие значения П(л ) и h. [c.482]

Так как период колебаний нелинейной консервативной системы, изображаемых на фазовой плоскости замкнутыми траекториями, не один и тот же, а зависит от начальных условий, то две изображающие точки, начавшие свои движения, например от оси Оу, одновременно по двум близким траекториям, с течением времени отойдут одна от другой на конечное расстояние. Вследствие этого периодические движения консервативных систем нельзя, строго говоря, считать устойчивыми по Ляпунову. Но они обладают орбитальной устойчивостью, выражающейся л том, что при весьма малом изменении начальных условий возмущенное периодическое движение изображающей точки переходит на другую траекторию, сколь угодно близкую к первоначальной (невозмущенной). [c.482]

Создание в последние десятилетия теории катастроф [275] и открытие Фейгенбаумом [188, 276] скейлингового закона эволюции нелинейных динамических систем, испытывающих бифуркации, стимулировали новую волну исследований математической гармонии природы. Один из фундаментальных результатов теории катастроф состоит в доказательстве универсальности небольшого числа пространственных образов фазовых траекторий динамических систем самой различной природы. Это вместе с законом Фейгенбаума позволило выявить еще целый ряд важных математических закономерностей процессов эволюции. Все это дало возможность по-новому взглянуть на давно известные закономерности, и в частности на филлотаксис. [c.152]

Следует подчеркнуть, что в изложенном методе Льенара, учитывающем нелинейную зависимость силы трения от скорости (или обратной э. д.с. на сопротивлении от силы тока) нужно знать лишь ее графическое изображение, которое может быть получено и экспериментально. При этом построении, очевидно, нет никаких существенных ограничений на вид функции потерь ф (у) и ее мгновенное значение, так что данный метод с одинаковым успехом применим как к случаю малых, так и к случаю больших потерь, а также к системам с большой и малой нелинейностью в диссипативном элементе. Последнее обстоятельство придает методу Льенара большую общность и позволяет с его помощью изучать колебательные свойства систем при изменении затухания от малых до весьма больших значений и с учетом различных законов трения (как линейного, так и существенно нелинейных законов). Заметим, что метод Льенара широко используется для построений фазовых портретов автоколебательных систем с разными законами нелинейности, а именно для нахождения устойчивых предельных циклов — замкнутых фазовых траекторий. [c.57]

Сложное поведение нелинейных колебат. систем наблюдалось (1920-е — 50 е гг.) задолго до осознания факта возможности существования стохастичности в таких системах (эксперименты Ван дер Поля и Ван дер Марка [1], двухдисковое динамо (2], распределённая система авторегулирования темп-ры [3]). Кроме того, хотя в то время существовали век-рые элементы матем. аппарата для описания нетривиального поведения траекторий динамических систем в фазовом пространстве (гомоклинич. структуры Пуанкаре [4]), однако представления о том, что детерииниров. системы могут вести себя хаотически, ещё не проникли ни в физику, ни в математику. Качественное изменение ситуации произошло в 1960-е гг. в связи с открытиями в математике [5—6] и компьютерными исследованиями моделей физ. систем. [c.694]

Иногда термин квазиаттрактор применяют к системе, к-рая имеет большое число асимптотически устойчивых стационарных состояний, причём соседние состояния отделены одно от другого достаточно низким барьером. Под действием случайных возмущений система будет перемешаться между разл. состояниями, оставаясь постоянно в окрестности притягивающего множества Л/ (составленного из отдельных стационарных состояний). Если возмущение окажется немалым и система уйдёт далеко от Л/, то вследствие асимптотической устойчивости компонентов А/ она вернётся в окрестность А/. При наличии такого квазиаттрактора фазовые траектории системы притягиваются к нему, а затем под действием шумов начинается случайное блуждание между его компонентами. Квазиа гтракторы иногда обнаруживаются при численном исследовании нелинейных динамич. систем (без флуктуаций). где роль шумов играют погрешности вычислит, процедуры. [c.255]

Советские ученые значительно обогатили науку в области исследования устойчивости различных нелинейных систем автоматического регулирования. Здесь мож.но назвать труды акад. А. А. Андронова, Б. В. Булгакова, Н. Н. Баутина, А. Г. Майера, А. И. Лурье и многих других. Ряд задач был решен представителями этой школы методом геометрического изображения поведения системы регулирования в виде траектории движения, так называемой изображаюш,ей точки на фазовой плоскости. [c.24]

Автоколебательные системы имеют источник энергии, они принципиально нелинейны и неконсервативны. Это обусловливает возможность существования стационарных колебаний, ЧТО в рамках представлений о фазовой шюскости. означает наличие предельных циклов - замкнутых фазовых траекторий. Принципиальная схема простейнгей автоколебательной системы (рис. 6.4,1) включает три минимально необходимые составные части колебательную систему, источник энергии, причем неколебательного свойства, и обратную связь, которая управляет поступлением энергии от источника в колебательную систему. [c.354]

В последние годы поведение решений гамильтоновых уравнений (1.1.1) было изучено для различных систем методами нелинейной механики. Важной особенностью этих решений является динамическая неустойчивость траекторий в фазовом пространстве. Это означает, что если q to),p to)) и [q to)- -Aq to),p to)- -Ap to)) — две близкие фазовые точки в момент времени то расстояние [Aq t), Ap t)) между этими точками может расти экпоненциально со временем. Таким образом, при сколь угодно малой вариации [Aq to), Ap to)) начальных условий расстояние между фазовыми траекториями превысит любую наперед заданную величину, если взять достаточно большой интервал времени t — to т. е. динамическое состояние системы становится непредсказуемым. Это свойство траекторий называется динамическим хаосом ). [c.13]

Предыдущий метод часто сочетается с геометрическим представлением процессов с помощью фазовых траекторий и общим анализом расположения этих траекторий. При этом существенной частью анализа является исследование зависимостей между координатами точек входа фазовых траекторий в каждую из областей фазового пространства и координатами точек выхода их из этой области. Этот метод, называемый методом точечных преобразований, был создан и применен к ряду задач А. А. Андроновым и его школой [4. 5], Для исследования устойчивости и нахождения автоколебательных режимов систем с любыми нелинейностями удобным приближенным приемом является метод эквивалентной линеаризации, впервые примененный к одной из задач регулирования скорости А. И. Лурье [59 ] и подробно разработанный Л. С. Гольдфарбом [28 ]. Тот же метод был применен несколько ранее В. А. Котельниковым [52] к задаче об автоколебаниях самолета с автопилотом. Связь этого метода с общими исследованиями нелинейных уравнений, произведенными А. Пуанкаре [124], была установлена Б. В. Булгаковым [10, 11], [c.154]

Это глубокое противоречие между существованием интегрируемых систем, с одной стороны, и эргодических, с другой, было симптомом некоторой фундаментальной нерешенной проблемы классической механики. Определенный вклад в разрешение этого противоречия внес Пуанкаре он продемонстрировал, что в окрестности неустойчивых неподвижных точек движение имеет чрезвычайно сложный характер. Это был первый намек на то, что регулярные силы могут порождать стохастическое движение в нелинейных колебательных системах. Впоследствии ]Зиркгоф [29] показал, что при рациональном отношении частот для двух степеней свободы (резонанс) всегда существуют как устойчивые, так и неустойчивые неподвижные точки. Резонансы все более высокого порядка и более мелкого масштаба последовательно изменяют топологию фазовых траекторий и приводят к образованию цепочки островов . Было установлено, что ряды теории возмущений не описывают такие резонансы. [c.14]

При исследовании нелинейных систем автоматического регулирования рассматривается тот же круг задач, что и при исследовании линейных систем, но, кроме того, проводится анализ условий существования и устойчивости автоколебаний. Очевидно, что в зависимости от вР1да задачи и свойств исследуемой системы может оказаться целесообразным применение различных методов. Так, задачи об устойчивости нелинейных систем решаются прямым методом Ляпунова, частотным методом В. М. Попова, методом фазовых траекторий и точечных преобразований, методом гармонической линеаризации. Последние два метода широко используются также для определения параметров автоколебаний и позволяют вычислить переходные процессы в системах. [c.146]

А. А. Андронов и его ученики решили методом точечных преобразований целый ряд актуальных нелинейных задач теории автоматического регулирования, долгое время остававшихся неприступными. В частности, была решена знаменитая задача Вышнеградского о регуляторе прямого действия с учетом сухого трения [1,2]. Тем не менее следует признать, что практическое применение этого метода сопряжено с рядом трудностей, главная из которых - отыскание функции последования. В связи с этим метод точечных преобразований обычно находил применение в исследованиях динамики кусочно-линейных систем, т.е. таких нелинейных систем, фазовое пространство которых состоит из областей, в каждой из которых уравнения динамики линейны. В таких областях довольно легко определяется ход фазовых траекторий и в итоге строится функция последования. Рассмотренные выше упрощенные модели лампового генератора и часового механизма как раз являются кусочно-линейными. В настоящее время благодаря работам Ю.И. Неймарка и его учеников возможности метода точечных преобразований значительно расширены. Он стал важным инструментом в решении общих вопросов теории нелинейных колебаний и был применен к анализу конкретных систем нового типа, например виброударных, марковских, цифровых и др. [19]. [c.165]

Сложные особые точки не отражают стадионарных состояний реальных физических систем, но знание их необходимо в связи с анализом поведения фазовых траекторий на бесконечности, решением воцросов бифуркаций в конгфетных системах и исследованием ряда других задач качественной теории нелинейных колебаний. В связи о этим приведем результаты анализа некоторых типов сложных положений равновесия при Д = 0. [c.333]

Причина столь резких высказываний связана с тем, что квантовая механика в течение длительного времени развивалась без привлечения подходов физики. Можно сказать, что И. Пригожин открыл дверь из тюрьмы. Квантовая теория И. Пригожина базируется на междисциплинарном подходе к анализу сложных систем микромира, включающем рассмотрение эволюции систем на основе объединения достижений неравновесной термодинамики (неравновесные физико-химические процессы), физики (механизм необратимости процесса), математики (условия интегрируемости и не интегрируемости функций), механики (нелинейный резонанс) и др. Это позволило дать единую формулировку квантовой теории, с учетом того, что как в классической, так и в квантовой механике, существуют описания на уровнях траекторий, волновых функций или статических распределений (распределение вероятности). Когда речь идет о том, что система находится в определенном состоянии, с точки зрения классической механики, это состояние отвечает точке в фазовом пространстве, а в квантовой теории - это волновая функция. В перовом случае мы имеем дело с макромиром, а во втором -с микромиром (наномиром), для которого каждому значению энергии частицы соответствует определенная частота колебаний (о [c.66]

Понятие потока описывает пучок траекторий в фазовом пространстве, который начинается на множестве близких начальных условий. Для тех, кто занимается колебаниями в инженерных системах, наиболее близок пример потока, связанный с непрерывным движением частицы. Однако определенную качественную и количественную информацию о системе можно получить, анализируя эволюцию параметров системы на дискретно выбранных моментах времени. В частности, в этой книге мы обсудим, как получить разностные эволюционные уравнения для непрерывно эволюционирующих систем с помощью сечения Пуанкаре. Отображения Пуанкаре иногда помогают отличить друг от друга движения качественно различающихся типов, например периодические, квазипериодические и хаотические. В некоторых задачах не только время принимает дискретные значения, но и информация о параметрах системы оказывается ограниченной конечным набором значений или категорий, как, например, красный или синий, нуль или единица. Например, в задаче с парой потенциальных ям (см. рис. 1.2, б) нас может интересовать только, в какой яме находится частица, правой (К) или левой (Ь). Тогда траектория может описываться последовательностью символов ЬККЬКЬЬЬК,. ... Периодическая орбита может иметь вид ЬКЬК. .. или ЬЬКЬЬК. ... На современном новом этапе развития нелинейной динамики для описания эволюции физических систем применяются модели всех трех типов (см. обсуждение символической динамики в [26] или [211]). [c.33]

Что же касается условий существования и единственности траекторий системы, то дополнительно отметим весьма полную теорему существования, изложенную в уже упоминавшейся работе Немыцкого и Степанова [19], а также теорему Лефшеца [21,22] и теоремы [23], определяющие достаточные условия существования и единственности решения задачи Коши с фазовыми ограничениями. Отметим, кроме того, работу [24], в которой обсуждаются достаточные и необходимые условия асимптотической устойчивости нелинейных динамических систем при рассмотрении необходимых условий вводятся функции, отличные от функций Ляпунова. [c.27]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...