Фазовая средняя функция

Величина, стоящая в правой части этого равенства, может, очевидно рассматриваться как среднее значение функции / на всем множестве V. Мы будем называть ее фазовой средней функции / (на множестве V) и обозначать через /. Таким образом только что формулированная нами теорема утверждает, что в случае метрической неразложимости множества V временная средняя f(P) любой суммируемой функции / для почти всех исходных точек Р одна и та же и совпадает с фазовой средней / той же функции. [c.23]

Внушенные соображениями такого рода стремления заменить условия эргодичности более слабыми требованиями приводили к попыткам ослабить требования эргодичности в трех различных, естественно возникающих направлениях по-пер-вых, к отказу от требования, чтобы среднее во времени равнялось фазовому среднему для почти всех начальных состояний (за исключением, самое большее, меры нуль) и к допущению, что среднее по времени не равно фазовому среднему для начальных состояний, образующих множество конечной, но, разумеется, достаточно малой меры во-вторых, к отказу от требования, чтобы временное среднее равнялось фазовому среднему для всех суммируемых функций, и предположению, что такое равенств справедливо лишь для определенных функций, представляю- [c.120]

Фазовую структурную функцию мы найдем, если вычислим среднее значение [c.385]

На рис. 4.8 представлены в обобщенном виде результаты экспериментального определения фазовой структурной функции, полученные для условий развитой турбулентности на трассе Ь = = 100 Л4. Точки соответствуют усредненным данным в среднем по 10—15 реализациям. [c.80]

Рассмотрим фазовую функцию х 1), т. е. функцию, зависящую от времени через динамические переменные, определяющие состояние, или фазу системы. Если фазовые корреляционные коэффициенты р(т), связывающие х (О и х(/- -т), обладают свойством р(т)->0 при т->оо, то функция х (/) есть эргодическая, т. е. ее среднее по времени равно ее фазовому среднему (по поверхности постоянной энергии) для почти всех начальных условий на поверхности постоянной энергии в фазовом пространстве. Фактически для доказательства эргодической теоремы необходимо показать, что корреляционная функция р(т) ведет себя именно нужным образом. Хинчин приводит интуитивные соображения, подтверждающие такое поведение x t) для случая, когда х 1) представляет собой фазовую функцию, зависящую от небольшою числа динамических переменных (координат одной молекулы), в системе с очень большим числом степеней свободы, т. е. с очень большим числом молекул. Однако необходимое свойство корреляционной функции является характерным для необратимого процесса, и его следует установить вполне строго, прежде чем доказывать таким путем эргодическую теорему. Мы исследуем здесь возможность обращения теоремы Хинчина, т. е. изучим, когда и при каких дополнительных условиях из эргодического характера фазовой функции следует ее необратимость, выражаемая асимптотическим поведением корреляционной функции р(т)->0 при т->оо. Это означает, что мы хотели бы изучить возможность получения статистической механики необратимых процессов, исходя из эргодического постулата, точно так же, как это делается в статистической механике равновесных процессов. В этой связи нас не интересует, является ли эргодическое свойство общим динамическим свойством или оно справедливо лишь в том случае, когда [c.305]

Нам остается коснуться вопроса о том, в какой форме могут быть использованы методы и результаты теории вероятностей для отыскания асимптотических формул, приближенно выражающих фазовые средние тех или иных функций при больших числах степеней свободы (т. е. для систем, состоящих из большого числа частиц). [c.10]

В силу теоремы 6 есть, однако, один случай, когда возникшее затруднение отпадает. Если данная поверхность постоянной энергии метрически неразложима, то временные средние любой суммируемой фазовой функции для почти всех траекторий одинаковы и совпадают с фазовой средней этой функции на данной поверхности постоянной энергии. В этом случае, следовательно, каждая физическая величина получает в нашей теории совершенно определенную интерпретацию — фазовую среднюю соответствующей фазовой функции, и тем самым снимаются те затруднения, о которых говорилось выше. [c.34]

Здесь же мы отметим еще только, что в силу сказанного проблема математического обоснования статистической механики в основном сводится к двум задачам. Первая из них состоит в том, чтобы с возможной полнотой исследовать, при каких условиях и в какой мере временные средние фазовых функций, являющиеся, как мы видели, естественной интерпретацией результатов экспериментальных измерений, могут быть заменены в этой своей роли фазовыми средними тех же функций. Желательность, а в сущности даже и неизбежность, такой замены, конечно, ясна вычисление временных средних потребовало бы знания траекторий, т. е. полной интеграции системы уравнений движения и определения всех постоянных интеграции, что, конечно, является совершенно невозможным для систем статистической механики с их огромными числами степеней свободы. Как уже сказано, вопросами, связанными с этой первой задачей, мы займемся в дальнейших параграфах настоящей главы. [c.34]

Задачу теоретического обоснования замены временных средних фазовыми обычно называют эргодической проблемой (иногда впрочем этим термином пользуются для обозначения других родственных задач, более узких или, наоборот, более широких). При этом почти всегда речь идет именно о средних значениях фазовых функций на данной поверхности постоянной энергии. Приступая к краткому отчету об истории и современном состоянии эргодической проблемы, мы должны поэтому прежде всего постараться понять, почему наша теория выбирает именно эти фазовые средние. Дело в том, что с чисто теоретической стороны такой выбор на первый взгляд представляется случайным и произвольным. Обычно обосновывают такую концепцию фазовых средних следующим образом так как энергия является интегралом движения, то всякая траектория целиком лежит на одной из поверхностей постоянной энергии значения изучаемой функции в точках фазового пространства Г, лежащих вне этой поверхности не принимают никакого участия в формировании временных средних, а потому, естественно, не должны учитываться и при вычислении фазовых средних, если мы хотим, чтобы эти фазовые средние были близки к временным. [c.35]

Представим себе, в самом деле, что мы не стали бы выделять поверхности а вычисляли бы фазовые средние исследуемых нами функций, осредняя их по всему фазовому пространству Г. Первая, сравнительно несущественная трудность возникла бы у нас в связи с тем, что это пространство имеет бесконечный объем, вследствие чего осреднение без предварительного взвешивания, направленного к уменьшению влияния удаленных частей пространства, для большинства наиболее простых функций приводило бы к бесконечным или вовсе неопределенным средним значениям поэтому нам пришлось бы начать с взвешивания различных элементов пространства Г, причем этот выбор весов по необходимости содержал бы в себе значительный элемент произвола, что уже заранее в известной мере внушало бы сомнение в репрезентативности вычисленных на основе такого взвешивания фазовых средних ). [c.35]

Однако, эта трудность, как мы уже заметили, все же несущественна сравнительно с другой, которая, повидимому, делает весь описываемый метод совершенно непригодным. В самом деле, энергия данной системы представляет собой, с нашей точки зрения, фазовую функцию, и притом, несомненно, одну из важнейших как для всякой фазовой функции, наш метод дал бы для нее некоторое определенное среднее значение Е какой физический смысл могло бы иметь это среднее значение Могли ли бы мы, в частности, рассчитывать, что временное среднее значение энергии данной системы в подавляющем большинстве доступных ей эволюционных процессов окажется равным Е (или по меньшей мере близким к Е) Достаточно формулировать это предположение, чтобы понять его абсурдность в каждом эволюционном процессе данная изолированная система сохраняет постоянное значение энергии это значение в большинстве случаев мы можем выбрать в широких пределах по своему желанию, и можем выбирать в различных случаях различные значения, в том числе весьма далекие от какого угодно заранее предписанного теорией числа самая попытка приписать энергии нашей системы раз навсегда определенное значение, какими бы методами это значение ни вычислялось, в корне противоречит реальному положению вещей. Таким образом, предварительная редукция фазового пространства Г к некоторой поверхности постоянной энергии для сколько-нибудь целесообразного вычисления фазовых средних представляется действительно неизбежной. [c.36]

Как мы узнаем далее, большинство физически актуальных фазовых функций для систем, с которыми имеет дело статистическая физика, имеет некоторое особое строение, в силу которого такая функция на каждой поверхности во всех точках, за исключением множества весьма малой меры, принимает значения, весьма близкие между собой это, конечно, имеет своим следствием, что для большинства расположенных на поверхности На траекторий временные средние такой функции также имеют значения, близкие друг к другу, а потому по необходимости близкие и к фазовой средней той же функции, вычисленной для поверхности [c.36]

Во всем дальнейшем мы будем рассматривать в качестве редуцированного фазового пространства поверхность постоянной энергии, что для большинства изучаемых в статистической физике систем соответствует реальному положению вещей. Целью нашей является, следовательно, по возможности собрать аргументы, говорящие в пользу того, что временные средние по крайней мере физически наиболее важных фазовых функций для подавляющего большинства траекторий на данной поверхности постоянной энергии имеют близкие друг к другу значения (и в силу этого — по необходимости близкие к значениям соответствующих фазовых средних). [c.38]

Теорема. Для того, чтобы временные средние любой нормальной суммируемой функции, взятые вдоль почти всех траекторий данной поверхности постоянной энергии, совпадали с фазовой средней этой функции на данной поверхности, необходимо и достаточно, чтобы эта поверхность обладала метрической неразложимостью в расширенном смысле. [c.41]

Это позволяет выразить фазовую среднюю любой функции <р Е1) энергии компоненты С, в виде обыкновенного интеграла [c.52]

Однако в общем случае, когда возможны резкие изменения а от температуры вследствие фазовых превращений (рис. 11.6, кривая 2), представляется затруднительным подбор непрерывной функции. Проще аппроксимировать зависимость а = а(7 ) кусочно-линейной функции. На каждом температурном интервале ДГ, функция а, характеризуется средним значением [c.414]

Поэтому вероятность заметного отличия фазовых и временных Средних При Г>т мала. Заметим, что в приведенном выше доказательстве существенно наличие конечного времени релаксации процесса или достаточно быстрое убывание временной корреляционной функции при 1 — - -оо. Как можно показать, временная корреляционная функция /С(Д ) гауссовского стационарного мар- [c.75]

Кроме среднего значения плотности теплового потока, для расчета поверхностных аппаратов зачастую очень важна информация о локальной во времени и по поверхности нагрева плотности теплового потока. Естественно, изменение д во времени имеет особое значение для аппаратов периодического действия. Так, в вакуум-аппаратах д изменяется за цикл варки в 3—10 раз, поэтому нельзя рекомендовать простое арифметическое усреднение величины д в расчетных методиках, т. е. нужна информация о функции д (т) 134]. Для вакуум-аппаратов непрерывного действия эта функция должна превратиться в функцию пути продукта или поверхности нагрева д (Р). Если воспользоваться зависимостями д (т) по [34], то получим, что расчет средней д по среднему логарифмическому температурному напору может привести к большим ошибкам. По существу такая картина должна наблюдаться в любых аппаратах, где происходят частичные фазовые переходы и изменения температуры продукта. [c.12]

В расчетах были заданы значения Y , входящие в уравнения (8-2-20), (8-2-32) и ( 8-2-37), а также начальные значения функций V i( ), i( ), 0i( ) для каждой фракции. Переменными, определяющими вариант расчета, являлись скорость жидкости Wq, средний объемный радиус капель в начальном сечении Лоз. число фазового перехода К и функция распределения в начальном сечении. [c.207]

Кроме этого, на основании разработанного метода найден ряд обобщенных температурных зависимостей термодинамических функций на линии фазового равновесия жидкость—пар. Получена обобщенная зависимость для расчета давления насыщенных паров [22, 24] при температурах, соответствующих давлению насыщения от 1 кПа до критического со средней ошибкой 1%. Для теплоты парообразования выведенная обобщенная зависимость [25] описывает экспериментальные данные в диапазоне Tr = = 0,50-ч-0,95 со средней ошибкой 1—3%. Полученные обобщенные зависимости для плотности пара и жидкости на кривой сосуществования в диапазоне приведенных температур описываются со средней ошибкой в 1% [26, 27]. Так как многие известные методы расчета теплофизических свойств газов и жидкостей требуют для своего расчета знание теплоты парообразования и плотности жидкости при нормальной температуре кипения, то были получены простые и точные обобщенные зависимости для расчета этих свойств [28]. [c.96]

Так как М > О (< 0), то J U) задает некоторую жорда-нову меру, инвариантную относительно фазового потока системы (5.3). Нетрудно показать, что фазовое среднее функции qn+i по этой инвариантной мере [c.222]

В основе указанных сомнений лежали рассуждения следующего типа. Рассмотрим какой-нибудь, отличный от энергии интеграл движения и выберем две точки поверхности заданной энергии, в которых значения этого интеграла различны (такие точки должны найтись, так как иначе этот интеграл не был бы независимым от интеграла энергии). Пользуясь непрерывностью этого интеграла, молено выделять такие, достаточно малые окрестности этих точек, что интервалы изменения рассматриваемого интеграла в этих двух окрестностях не перекрываются. Тогда, выбирая за ту функцию, для которой образуется среднее по времени, характеристическую функцию первой из окрестностей, т. е. функцию, равную единице в точках этой окрестности и нулю вне ее, получим, что среднее по времени значение этой функции для всех траекторий, исходящих из точек второй окрестности, равно нулю. Для эргодических же систем это среднее почти для всех начальных состояний должно быть равно фазовому среднему, т. е. отношению меры первой окрестности к мере всей поверхности заданной энергии. Совершенно аналогичное противоречие констатировалось также в другой форме для систем, обладающих свойством метрической транзитности,— свойством эквивалентным (для систем с фазовым пространством конечной меры) эргодичности на основе непрерывности интегралов движения (точнее говоря, их измеримости) показывалось, что метрически транзитивные системы невозможны [23]. [c.120]

А. Я. Хинчин в своей книге Математические основы статистической механики [23], впервые объединившей, по существу, методы теории вероятностей и статистической механики и заложившей основы рационального метода получения асимптотических выражений статистической механики, посвящает несколько параграфов интересующему нас сейчас вопросу и дает одно из наиболее последовательных и математически ясных выражений рассматриваемой точки зрения. Хинчин отмечает, что значительное большинство изучаемых в статистической механике величин является так называемыми сумматорными функциями (т. е. суммами функций, каждая из которых зависит лишь от переменных одной молекулы), обладающими некоторым специфическим свойством. Это свойство заключается в том, что сумматорная функция на подавляющей части поверхности заданной энергии принимает значения, близкие к некоторой характерной для данной поверхности постоянной. Можно легко установить, что благодаря этому свойству подавляющая часть начальных состояний будет приводить к средним во времени значениям сумматорных функций, близким к этим постоянным, и следовательно, близким к фазовым средним. Таким образом, существование приближенных формул статистики, казалось бы, оказывается следствием одного лишь того свойства, что статистические системы состоят из огромного числа частиц. [c.121]

Остановимся на приведенном выше рассуждении, относящемся к отмеченным Хинчином свойствам сумматорных функций. По поводу этого рассуждения, так же как и по поводу других подобных рассуждений, нужно сказать следующее. Прежде всего, для построения физической статистики совершенно недостаточно результатов, относящихся только к некоторому узкому классу функций, вроде сумматорных функций. Уже указание на применяемый в статистике — и единственно там возможный — способ определения важнейшей физической величины вероятности состояния (обычно описываемый как способ определения числа комплексий), в частности, указание на флюктуационпую формулу (причем здесь, поскольку речь идет о равенстве средних фазовых средним временным, эти формулы для вероятностей рассматриваются нами как законы распределения во времени), показывает, что физическая статистика принципиально не может ограничиться установлением равенства временного и фазового средних лишь для сумматорных функций. Эти формулы для вероятностей показывают, что вероятность осуществления любой области фазового Г-пространства определяется величиной фазового среднего ее — характеристической функции, отнюдь не являющейся сумматорной функцией. Для статистики необходимо равенство средних для всех таких характеристических функций (см. 1). Если бы равенство распространялось лишь на сумматорные функции, то статистика была бы лишена возможности определения не только вероятностей возникновения неравновесных состояний, но и возможности определения любых величин, характеризующих эти неравновесные состояния. Кроме того, тот же результат — невозможность ограничиться суженными требованиями к динамическим свойствам статистических систем — независимо от всех только что упомянутых оснований, связанных с законами распределения временных средних, вытекает из существования релаксации, т. е. существования вероятностных распределений, в любой момент после времени релаксации (см. 1). Как мы видели, существование релаксации влечет за собой необходимость приписать статистическим системам вполне определенную характеристику,— они должны быть размешивающимися системами ( 5). [c.122]

В общем случае отображение имеет много инвариантных распределений. Из них выделенным является равновесное распределение, которое получается итерированием отображения и для которого среднее по времени равно фазовому среднему. Для предельного цикла периода п распределение дискретно и представляет собой сумму б-функций в неподвижных точках с коэффициентом 1/п. Для хаотического движения распределение Р (х) может быть разрывным, однако в типичном случае имеются конечные интервалы по л с ненулевым Р (х). [c.444]

Как мы знаем из 6 гл. II, метрическая неразложимость данной поверхности постоянной энергии является условием, гарантирующим, что временные средние любой суммируемой функции /(Р) вдоль почти всех лежащих на этой поверхности траекторий совпадают с фазовой средней / этой функции, вычисленной для данной поверхности. Но легко видеть, что если относить это требование к почти всем траекториям и всем суммируемым функциям, то условие метрической наразложимости является вместе с тем и необходимым. В самом деле, если данная поверхность постоянной энергии метрически разложима, то это значит, что она распадается на два инвариантных множества Мг и М2, каждое из которых имеет положительную меру. Суммируемая функция равная [c.39]

В статистической механике прежде всего приходит на помощь то обстоятельство, что значительное большинство фазовых функций, интерпретирующих важнейшие физические величины, имеет (как мы кратко уже упоминали в 10) совершенно своеобразное поведение такая функция, как правило, оказывается на каждой поверхности постоянной энергии приближенно постоянной, т. е. принимает всюду за исключением множества весьма малой меры значения, весьма близкие к некоторому постоянному для данной поверхности числу, за которое можно, разумеется, принять фазовую среднюю рассматриваемой функции. Причины этого своеобразного поведения мы частично укажем немного ниже, а полностью вскроем в последующих главах здесь же заметим, что эти причины отчасти заложены в особых свойствах механических систем статистической физики (распадение на большое число компонент), отчасти же лежат в специфических чертах тех функций, с которыми приходится иметь дело (это, как правило, сумматорные функции, т. е. суммы функций каждая из которых зависит от динамических координат только одной компоненты). Без всяких вычислений очевидно, что для такой функции временные средние вдоль большинства траекторий должны иметь значения, близкие к фазовой средней. Если желать все же произвести примерный расчет, то к этому можно подойти следующим образом. [c.44]

Нагрев и охлаждение металлов вызывают изменение линейных размеров тела и его объема. Эта зависимость выражается через функцию свободных объемных изменений а, вызванных термическим воздействием и структурными или фазовыми превращениями. Часто эту величину а называют коэффициентом линейного расширения. Значения коэффициентов а в условиях сварки следует определять дилатометрическим измерением. При этом на образце воспроизводят сварочный термический цикл и измеряют свободную температурную деформацию ёсв на незакрепленном образце. Текущее значение коэффициента а представляют как тангенс угла наклона касательной к дилатометрической кривой дг в/дТ. В тех случаях, когда полученная зависимость Вс Т) значительно отклоняется от прямолинейного закона, в расчет можно вводить среднее значение коэффициента ср = tg0 p, определяемое углом наклона прямой линии (рис. 11.6, кривая /). Если мгновенные значения а = дгс /дТ на стадиях нагрева и охлаждения существенно изменяются при изменении температуры, то целесообразно вводить в расчеты сварочных деформаций и напряжений переменные значения а, задавая функции а = а(Т) как для стадии нагрева, так и для стадии охлаждения. 4В [c.413]

ЦМальных уравнений к системе линейных, эквивалентных исходной по первым двум моментам случайной функции, а их решение позволяет определить лишь среднее значение и дисперсию случайной вектор-функции. Уточнение полученных значений математических ожиданий и дисперсии вектор-функции можно получить на основе анализа уравнений для математического ожидания и дисперсии ошибок. В нелинейных динамических системах функция плотности распределения вероятностей вектора фазовых координат может существенным образом отличаться от нормальной, а анализ уравнений для математических ожиданий и дисперсии ошибки статистической линеаризации представляет собой, вообще говоря, трудноразрешимую самостоятельную задачу. [c.157]

Т. о., эргодич. теоремы позволяют говорить о предельных временных средних или о временнь1х средних пй бесконечному отрезку времени. Существование последних — признак нек-рой регулярности в поведении траектории ДС, но эта регулярность связана с усреднением, а потому носит лишь статистич. характер. Что касается предельного временного среднего, то его можно охарактеризовать в гсом. терминах, не прибс1 ая к помощи усреднения. Здесь ключевую роль играет понятие инвариантной функции. Так называются ф-пии, постоянные вдоль траекторий почти всех точек фазового пространства. Множества, индикаторы к-рых инвариантны, наз. инвариантными множествами. В пространстве инвариантные ф-ции образуют линейное подпространство, и предельное временное среднее / любой ф-ции feL совпадает с её ортогональной проекцией на это подпространство. Аналогичным образом можно охарактеризовать / ив том случае, когда / имеет лишь интегрируемый модуль, т, е. принадлежит пространству L . [c.627]

На рис. 2.29 по оси ординат отложены фазовый сдвиг ф в градусах и отношение амплитуд А в децибеллах. По оси абсцисс в логарифмическом масштабе отложена частота f в герцах. При среднем положении поршня (а = 0,5) амплитудная характеристика пересекает ось частот при частоте f = 80 гц. При этом запас по фазе составляет всего 10°, т. е. отставание по фазе равно 170 . Привод находится около предела устойчивости. При крайних положениях поршня (а = 0,1 и а = 0,9) частота среза увеличилась до ПО гц, и запас по фазе при этом увеличился до 18°, т. е. отставание по фазе равно 162°. Худшим с точки зрения условий устойчивости при прочих равных условиях является среднее положение поршня в цилиндре, т. е. а = 0,5. Этот вывод позволяет существенно упростить задачу анализа, так как при а = 0,5, Ti = = Т2 и, следовательно, передаточная функция привода упроща- [c.61]

В табл. И приняты следующие обозначения (о , — частота и добротность s-й собственной формы линеаризованной модели силовой цепи установки Q, а, б — средняя угловая скорость двигателя в процессе запуска и огибающие колебательного процесса по s-й квазинормальной координате и ее относительной фазе при прохождении двигателем (s, v)-ft резонансной зоны Bj — функция Бесселя первого рода 1-го порядка (Й)—текущее среднее значение момента сопротивления вращению силовой цепи установки Мд (Q) — эффективный крутящий момент двигателя в пусковом скоростном диапазоне Vj = v/m Шу, — амплитуда v-й гармоники возмущающего момента, действующего на одну сосредоточенную массу динамической модели ДВС ад = aj / = 1, п (д,о — оргонормированная модальная матрица динамической модели установки Vjv—групповой возбудитель k, v)-ii резонансной зоны Yv — фазовые углы группового возбудителя — целая часть X. Параметры V v = 1, s), т , pvi Tv определяются по следующим формулам [3, 6, 16] [c.374]

При проведенных расчетах не учитывался тепловой эффект фазовых превращений и принималось постоянным значение теплофизических констант в функции температуры и структурного состояния. Расчет температуры по средним для данного интервала нагрева или охлаждения значениям теплофизических констант будет приводить к увеличению фактического времени достижения заданной температуры при ВЫС01СИХ ее значениях и, наоборот, к уменьшению при низких значениях. Определение температурного поля без учета скрытой теплоты превращений приводит к ошибке в определении температуры в интервале фазовых пре-врзделий на 10—20%. [c.611]

Усредненное значение по Делоне — Хиллу (67) возмущающей функции R для каждого типа соизмеримости средних движений ( к к = п щ) имеет свой аналитический вид, поэтому получение явной зависимости оскулирующих ) элементов (фазовых переменных а, е, о) от аномалии Делоне D строится с учетом этого фактора. [c.150]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...