Пространство траекторий

Основные определения. Траекторией точки называется линия, описываемая движущейся точкой в пространстве. Траектория может быть плоской или пространственной кривой. Движение точки определяется заданием закона движения. Закон (уравнение) движения точки устанавливает зависимость положения точки в пространстве от времени. [c.216]

Движению материальной точки в реальном пространстве соответствует движение фазовой точки в фазовом пространстве. Траектория движения фазовой точки называется фазовой кривой. Фазовая кривая может вырождаться в единственную точку. Такая точка называется положением равновесия. [c.189]

Поскольку вектор v, вообще говоря, изменяется с течением времени, то точка G перемещается в пространстве. Траектория точки G называет- х ся годографом скорости. Поскольку проекции вектора скорости на оси Рис. 7.7. [c.157]

По способу Лагранжа движение жидкости задается путем указания зависимости координат определенной (намеченной) частицы жидкости от времени. Движущаяся частица жидкости описывает в пространстве траекторию, вдоль которой изменяется скорость. [c.35]

В дальнейшем для удобства выражения мы часто будем под независимой переменной t понимать время-, в соответствии с этим вместо решений системы (36) мы будем говорить о движении, определяемом этой системой в абстрактном пространстве п измерений х, которое, по аналогии с динамическим случаем, можно называть пространством конфигураций или пространством траекторий. Наряду с этим пространством иногда удобно рассматривать пространство и- -1 измерений j и /, в котором всякое решение системы (36) представится кривой (интегральной), называемой графиком ) соответствующего движения. В этом пространстве, соответственно оо решений уравнений (36), имеется столько же графиков движения, из которых через каждую точку проходит один и только один график. [c.270]

В случае, когда известны показатели эффективности для траекторий x(t> задана вероятностная мера на пространстве траекторий G, расчет математического ожидания выходного эффекта системы может вестись по формуле [c.231]

Наиболее распространёнными, но менее точными являются механические копировальные устройства, выполняемые обычно в виде пантографов. Получаемая точность выражается в десятых долях миллиметра, что объясняется быстрым изнашиванием копира вследствие большого давления ролика на копир, малой чувствительностью копировального механизма и значительными погрешностями в механизме пантографа вследствие зазоров в шарнирах и неточностей изготовления звеньев пантографа. Большое влияние на точность копирования оказывают инерционные силы, действующие в механизме и сказывающиеся в явлении. отрыва" фрезы от изделия, а также вибрации копировального механизма. По своей структуре механические копировальные устройства представляют механизмы с одной степенью свободы. Если связь между копировальным роликом и фрезой жёсткая, то фреза описывает в пространстве траектории, эквидистантные траектории ролика. [c.456]

К изучению движения частиц должны быть привлечены статистические методы — методы теории вероятности. С особой четкостью это было понято в 1928 г. Э. Шредингером, вложившим свои мысли в уравнение, которому присвоено его имя. Вместо конкретизации в пространстве траекторий движения микрочастиц Шредингер предложил искать вероятность их нахождения в пространственном силовом ноле. [c.52]

Траекторией называют линию, которую описывает движущаяся точка в. пространстве. Траектории весьма разнообразны они могут иметь вид прямой линии, окружности, эллипса, параболы и других кривых. Длина траектории при движении материальной точки характеризует пройденный путь. При движении по прямой от одной точки пространства к другой пройденный путь равен расстоянию между точками, при движении по другим траекториям путь получается больше расстояния. [c.62]

Первый тип автоколебаний, который мы в дальнейшем будем называть двухзонным , характеризуется тем, что в процессе движения происходят только включение и выключение реле. Такое движение отображается в фазовом пространстве траекторией, расположенной в двух областях плюс-области и нуль-области (зоне нечувствительности). Предельный цикл составляется из двух отрезков траекторий типа Т+ и Р, а реле совершает два переключения за цикл. [c.94]

Дифференциальные уравнения движения механической системы дают возможность определить в /г-мерном пространстве траекторию этой системы, соответствующую определенным начальным условиям и заданным силам. В теории возмущений будем сопоставлять эту траекторию с другими движениями системы, которые можно получить либо изменением начальных условий, либо измене- [c.594]

Основные определения. Представим себе точку М, совершающую какое-либо движение в пространстве. Траекторию этой точки будем считать известной (заданной). Естественный [c.53]

Удобно выбрать функции Ii (а) специальным образом. Пусть на координатной плоскости XI, pi 28-мерного фазового пространства траектория удовлетворяет условиям [c.284]

Процесс нагружения в точке деформируемого тела можно представить в пятимерном пространстве траекторией конца вектора напряжений [69]. Действительно, если учесть зависимость (1.10) между компонентами тензора напряжений и компонентами девиатора напряжений, а также, что первый инвариант девиатора напряжений (1.20) равен нулю, то процесс нагружения в точке деформируемого тела характеризуется пятью независимыми функциями времени 1 компонент девиатора напряжений 5.у(/) и функцией времени Оо(/). [c.51]

В процессе зубофрезерования прямолинейные режущие кромки червячной фрезы воспроизводят в пространстве траектории движения зубьев рейки, зацепляющейся с колесом (фиг. 34), или, точнее, образуют с колесом винтовую пару на скрещивающихся осях. [c.131]

Обсуждаются общие свойства пространства решений симметрии, различные расслоения фазового пространства, его разделение на колебательную и вращательную области. Изучаются свойства рещений, соответствующих колебательной области свойства асимптот при движении твердого тела, различные отношения эквивалентности на пространстве траекторий, качественные аналогии, механические интерпретации асимптотических движений. Изучаются свойства решений, соответствующих вращательной области существование семейства периодических траекторий, всюду плотно заполняющих некоторые области, вопросы плотности незамкнутых траекторий в ограниченных множествах. [c.169]

Отношения эквивалентности на пространстве траекторий. Рассмотрим пространство всех траекторий тела на плоскости К х у , соответствующее решениям системы (4.5), (4.6) [c.176]

Орбитальная экспоненциальная устойчивость движений из колебательной области позволяет говорить о существовании асимптот для траекторий движения. Для любого наперед заданного угла существуют начальные условия движения, при которых тело повернется на этот угол за бесконечное время. Таким образом, движение способно иметь любую асимптоту. Благодаря ряду геометрических и топологических аналогий показано, что в пространстве траекторий можно ввести отношения эквивалентности. При этом каждая траектория кодируется целым числом полных оборотов и действительным числом по модулю 2я угла поворота асимптоты. В зависимости от единственного безразмерного параметра поступательное приращение тела за бесконечное время пропорционально квадрату этого параметра. [c.187]

Полученных уравнений (1)—(3) достаточно для определения в пространстве траектории каждой точки тела, но не положения ее на этой траектории в произвольный момент времени. [c.107]

Неподвижная плоскость, по которой должен катиться эллипсоид инерции, перпендикулярна к неизменяемой прямой и отстоит на расстоянии р от неподвижной точки. Таким образом, в каждом из этих случаев один и тот же эллипсоид должен катиться по одной и той же плоскости. Поэтому в пространстве траектории движения каждой точки тела в обоих случаях будут совпадать. [c.111]

В фазовом пространстве траекторию 7 можно включить в [c.144]

Эллипс, парабола и гипербола могут, в крайнем случае, выродиться в прямую, проходящую, естественно, через центр Солнца. Следовательно, в межпланетном пространстве траектория космического аппарата, движущегося по инерции, может быть прямой только в том случае, когда аппарат следует вдоль солнечного луча. [c.217]

Ранее рассматривался одинокий луч. Основная цель построения лучевой картины заключается в получении наглядного изображения значения интенсивности акустического поля в разных точках пространства. Траектории лучей, выходящих из источника, строят через малые равные угловые интервалы. Интенсивность поля в некоторой точке среды определяется по расстоянию между соседними лучами. Для двух лучей с начальным угловым интервалом Д0 можно показать, что потери при распространении (ПР) на расстоянии г определяются по формуле [c.108]

Они задают движение фазовой точки Р , которая определяет состояние системы в момент времени 1. Это движение точки Рг мы будем называть естественным движением в фазовом пространстве. Траектория фазовой точки, описываемая при естественном движении, называется фазовой траекторией. Для консервативных систем энергия является постоянной, т. е. [c.14]

Необходимо сделать еще одно замечание относительно связи фрактальной геометрии и фрактальной физики со случайными процессами и их исследованием методами математической статистики. Дело в том, что свойства той или иной фрактальной структуры целиком определяются процессами её породившими. Если не рассматривать регулярные фракталы, представимые как предел последовательности некоторых рекурсивных преобразований в математических примерах конструирования подобных объектов, то в остальных случаях наиболее важными являются стохастические фрактальные системы, порождаемые в ходе некоторого случайного процесса. Например, широко используемом для порождения и анализа свойств фрактальных объектов в численных экспериментах является метод ограниченной диффузией агрегации (ОДА) [43], при котором процесс образования фрактального агрегата описывается как последовательное налипание частиц диффундирующих издалека к области, где растет агрегат таких частиц, к какой-либо точке (частице), уже сформированного на предыдущих шагах агрегата. Другие примеры связаны с анализом задач о случайном блуждании (обобщения статистических моделей диффузии, броуновского движения и т.п.). Статистические свойства характеризующих эти случайные процессы случайных величин и порождаемых ими в физическом или фазовом пространстве траекторий оказываются в общем случае описываемыми устойчивыми по Леви распределениями [44], представляющими собой обобщение классических нормальных (гауссовых распределений). [c.149]

В общем случае сложного напряжённого состояния процесс изменения девиатора деформации изображается в пятимерном пространстве траекторией деформации, внутр. геометрия к-рой описывается кривизнами 1( ), А 2( )1 3(5), к4 ), а репер Френе определяется пятью единичными векторами р , 1 3> 4 Ръ- Параметрами, определяющими процесс деформации, явл. ориентация траектории, её внутр. геометрия (кривизны), давление д, темп-ра Т и скорость деформации s=ds/dt, заданные как ф-ции длины дуги в. Вектор напряжений а определяется модулем 1о = а и углами ориентации [c.546]

В отличие от плоских, пространственные кривые линии не лежат всеми своими точками в плоскости. Пространственную кривую линию рассматриваем как траекторию (путь) движущейся точки в пространстве. Плоскости, проходящие через любые три точки пространственной кривой линии, в общем случае имеют различные направления и положения. [c.334]

Ур-ния (7), содержащие в дапиом. случае только а,, и не содержащие время i, определяют в многомерном пространстве траекторию точки, изображающей данную механич. систему, а ур-1[не (8) даёт закол движения вдоль этой траектории. 31[ачения постоянных а,-, р,- определяются и в )том случае подстановкой начальных данных в равенстне (5), (7) и (8). [c.399]

Доказано, что из Р. следует эргодичность системы (см. Эреодическая гипотеза), однако обратное утверждение неверно. Эргодичность обеспечивает допустимость использования статистических средних лишь в смысле среднего по времени, тогда как при Р. это справедливо и асимптотически. Эргодичность (без Р.) соответствует регулярному квазипериодическому заполнению фазового пространства траекториями, Р.— хаотическому (рис. 3). [c.248]

Будем рассматривать КА как твердое тело, которое под действием приложенных к нему сил совершает вращательно-поступательное движение, а именно, центр масс КА перемещается по нецодвижной в инерциаль-ном пространстве траектории и одновременно с э гим совершает вращательные движения относительно центра масс КА. Движение центра масс при исследовании вопросов ориентации и стабилизации не учитываем, так как траектория считается заданной. Управление вращательным движением КА осуществляется с помощью системы ориентации и стабилизации. [c.13]

Подойдем теперь к ситуации с геометрической точки зрения. Каждое из 2N — 1 уравнений (П. 1.5) при заданном fj определяет (2Л — 1)-мерную гиперповерхность в 2 -мерном фазовом пространстве. Траектория данной системы должна целиком лежать на каждой из этих поверхностей, а в силу этого предсмшляет-лобой не что иное, как пересечение 2N — 1 поверхностей (фиг. ПЛ.1). [c.355]

Так как число столкновений пропорционально времени, то, принимая угол, образуемый двумя исходящими из одной точки конфигурационного пространства траекториями (геодезическими линиями соответствующего риманова пространства), за меру геодезического отклонения, получим, что это отклонение возрастает со временем по экспоненциальнолху закону. Действительно, за время свободного пробега т произойдет в среднем столкновение п молекул, и телесный угол, характеризующий неопределенность направления Здг-мерного вектора скорости, / X 2п [c.175]

Очевидно, что если отображение 1 взаимнооднозначно, то РТ совпадает со всем пространством траекторий, при которых Пое(-р,а). [c.176]

Определение. Пусть g Л —гомеоморфизм компактного пространства. Траектория точки X всюду плотна относительно g, если огЬд(д ) = Х [c.104]

Этот частный случай задачи трех тел придуман давно (не позже 1895 г.), но счастливая идея исследовать на нем расположение в фазовом пространстве траекторий различных финальных типов принадлежит А. Н. Колмогорову. Именно для этого примера К. А. Ситникову [14] удалось доказать, что 0S+ ф 0 (используя дополнительно симмет- [c.151]

Рассмотрим теперь локальное расслоение (С ,0) -И- (С ,0) пространства орбит на траектории типичного голоморфного векторного поля (трансверсального дискриминанту). Траектории, пересекающие дискриминант нетрансверсально (пересечение состоит из менее, чем к точек), образуют гиперповерхность в пространстве траекторий Эта гиперповерхность называется бифуркационной диаграммой функций (термин объяснён в 5.3). [c.254]

Рис. 2.2. а (слеваХ — сечения при постоянном к (т.е. плоскостью, нормальной к Н) поверхностей постоянной энергии е и + Де и (справа) проекция на нормальную к Н плоскость соответствующих траекторий в реальном пространстве (траектории / ). Траектории / подобны траекториям А , но повернуты на 90°. б — сечения при значениях к и к + Дк поверхности постоянной энергии е, спроецированные на общую плоскость случай непересекающихся сечений, в — то же, что и б, но для такой поверхности, для которой эти сечения пересекаются в двух точках Л и В. Площадь левой части сечения быстрее уменьшается с ростом к, чем увеличивается площадь правой части. Можно рассмотреть также более сложные случаи с четырьмя, шестью, или любым четным числом пересечений, г — схематические графики зависимости от времени расстояния вдоль направления поля Н. Графики соответствуют случаям и в и (нижний график) случаю да/дк = О (ср. с простым примером рис. 2.3). [c.51]

Эскиз траектории построим в плоскости Сверху при помощи команды Сплайн. Начало кривой расположим в исходной точке пространства. Траекторию выреза оформим таким образом, чтобы она не располагалась целиком в твердом теле. В Дереве Конструирования траектория будет обозначена как Эскиз4 (рис. 3.38). [c.99]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...