Волчок Ковалевской

Метод Четаева был применен для получения функции Ляпунова и при исследовании других случаев движения твердого тела. Для теории гироскопов имеет значение проведенное этим методом самим Четаевым исследование устойчивости вертикального волчка с учетом массы колец его карданова подвеса при вертикальной оси внешнего кольца. В. В. Румянцев исследовал устойчивость перманентных вращений тяжелого твердого тела вокруг вертикальной оси при различных допущениях, в том числе и для волчка Ковалевской. На основе метода Четаева дано новое доказательство устойчивости регулярной прецессии волчка Лагранжа. Тем же методом пользовались при исследовании устойчивости вращения твердого тела, подвешенного на струне. [c.135]

Результаты последней работы практически не изложены в учебной литературе, исключая известный учебник Г. К. Суслова [11], в котором, однако, они содержатся лишь частично. Кроме того, так как понимание существенных свойств движения волчка Ковалевской до сих пор не достигнуто (несмотря на замечательные исследования в [4]), сейчас, возможно, следует вернутся к естественным соображениям великого русского механика, не замутненных отталкивающим формализмом современной математической науки. [c.6]

Случай Ковалевской. (1886 г.) В этом случае /, = /з = 2 3, т.е., центр масс не лежит на оси вращения (Рже. 10.8). Его называют волчок Ковалевской. За решение этой задачи Софья Ковалевская выиграла конкурс, объявленный Парижской академией наук. [c.208]

Вопросы качественного анализа движения волчка Ковалевской [c.199]

Таким образом, в отличие от случая Горячева - Чаплыгина, лишь в исключительных случаях ось динамической симметрии волчка Ковалевской может сколь угодно близко подходить к вертикали. Всюду ниже будем считать, что Ii ф 2/ + /3. [c.206]

Поведение линии узлов. Качественная картина вращения волчка Ковалевской [c.215]

Теорема, доказанная в 3, применима, конечно, при исследовании движения линии узлов волчка Ковалевской. В этом случае циклической переменной служит угол прецессии ф, причем [c.215]

Предложение 2. Линия узлов волчка Ковалевской обладает средним движением [c.215]

Полученные качественные утверждения о поведении углов Эйлера позволяют указать простую геометрическую картину вращения волчка Ковалевской. Сначала исследуем движение оси динамической симметрии. Обозначим через р след оси симметрии на единичной неподвижной сфере с центром в точке подвеса. Углы , ф являются сферическими координатами точки р. [c.215]

Прошло уже 110 лет с тех пор, как С. В. Ковалевская открыла новый случай интегрируемости уравнений движения тяжелого твердого тела с неподвижной точкой (1888 г.). Однако до сих пор о качественных свойствах движения тела в этом случае известно очень мало. Все параметры движения выражены через время при помощи квадратур, однако они настолько громоздки, что не позволяют непосредственно изучить вращение твердого тела. Были даже поставлены эксперименты с волчком Ковалевской (проф. Мерцалов, см. [30]), но при этом результаты получились очень запутанными и не привели к выявлению существенных закономерностей движения. Запутанность движения оси динамической симметрии в этих экспериментах объясняет, по-видимому, тот факт, что в общем случае множество D ( 4) на неподвижной единичной сфере является двумерной областью, и траектория точки р ( 4) заполняет эту область всюду плотно. [c.224]

Важное значение книги [92] состоит также в том, что в отличие от неестественной тяги классиков к получению явного решения, позволяющего мало что сказать о действительном движении системы, в ней поставлен вопрос о качественном анализе интегрируемых динамических систем, и на примере волчков Ковалевской и Горячева-Чаплыгина сделаны общие выводы о поведении линии узлов и углов собственного вращения. Последние результаты были получены с применением теоремы Лиувилля-Арнольда и теоремы Вейля о равномерном распределении. [c.16]

Устойчивые и неустойчивые одномерные, а также асимптотические инвариантные поверхности приведенной системы задают в абсолютном пространстве, вообще говоря, двухчастотные движения. Это наглядно иллюстрируется на случаях Ковалевской и Горячева-Чаплыгина. В последнем случае, для особого решения Горячева, для малых энергий происходит еще большее вырождение и движение в абсолютном пространстве становится периодическим (см. 5), тело совершает в пространстве любопытные маятниковые движения. Отметим также, что для волчка Ковалевской в приведенном фазовом пространстве имеется набор из трех переменных 21,22,23, в пространстве которых совершается периодическое движение по некоторому эллипсу (см. 4). Эти переменные очень неочевидны и образуются как из компонент момента М, так и орта 7. [c.94]

Общим выводом относительно случая Горячева-Чаплыгина является наблюдение, что при его анализе мы имеем дело с любопытными колебательными (вращательными) движениями в абсолютном пространстве, т. е. можно говорить о некотором сложном маятнике. Однако область применения таких колебаний пока не очень ясна. Отметим также сравнительную простоту движений волчка Горячева-Чаплыгина по сравнению с волчком Ковалевской. Немногочисленные аналитические результаты, полученные при изучении случая Горячева-Чаплыгина, неспособны дать наглядное представление о движении. Компьютерное исследование движения, наоборот, обнаруживает замечательные его свойства, типичные также для родственных интегрируемых систем. [c.142]

Этот факт пока не имеет разумного объяснения. Укажем только, что между волчками Ковалевской и Горячева-Чаплыгина имеется также несколько странная взаимосвязь на уровне пар Лакса, отмеченная в [193]. [c.299]

Интерпретация Г. К. Суслова интегрируемости волчка Ковалевской. Г. К. Суслов указал в своем известном учебнике [163] систему трех новых переменных для волчка Ковалевской, которые в некотором новом времени изменяются весьма простым образом — их траекторией является эллипс, получающийся пересечением цилиндра с плоскостью. Его рассуждения обобщаются на случай системы (7.5) при А = О и ж 7 0. [c.299]

Этот результат аналогичен известному результату для волчка Лагранжа, согласно которому в специально подобранной вращающейся системе координат ось симметрии волчка описывает замкнутые кривые. Впоследствии аналогичный результат для точки контакта диска на льду и твердого тела на шероховатой плоскости был указан в работах [32, 40]. В этих задачах такой эффект обусловлен существованием двух различных циклических переменных, что является достаточно редким случаем. Так, например, для (интегрируемого) волчка Ковалевской после исключения средней прецессии апексы будут заметать некоторые области на сфере — проекции двумерных торов. [c.63]

Как видно, уже в студенческие годы Анатолий Иванович любил уединенные размышления, раздумья о цели и смысле жизни, о своих путях в этой жизни. Как не вспомнить здесь слова Софьи Ковалевской ...нельзя быть математиком, не будучи в то же время и поэтом в душе . Поэтическое начало не чуждо и техникам, и можно только поражаться той жизненной силе, воле, настрою молодого студента, когда он, испытывая лишения и тяготы военного времени, находил в себе силы писать стихи. А может, иначе и не могло быть [c.18]

Отметим известные общие решения задачи о движении тела с одной закрепленной точкой под действием однородного поля тяжести, которые справедливы при произвольных начальных условиях. Такими решениями являются решения а) задачи Эйлера (случай уравновешенного волчка), когда неподвижная точка и центр масс тела совпадают, б) задачи Лагранжа (случай симметричного неуравновешенного волчка), когда 1х — 1у Ф Ь у а центр масс находится на оси Ог, в) задачи Ковалевской (случай симметричного неуравновешенного волчка), когда 1х у =2/2, а [c.368]

Отметим, что добавление в (10.18) потенциала задачи Неймана к ф 0) снимает вырождение и траектории перестают быть замкнутыми. Кроме того, можно сказать, что если динамически симметричные, но не шаровые волчки, типа Горячева-Чаплыгина и Ковалевской, при (М,7) = О допускают [c.332]

В приведенном доказательстве мы следовали R о и t h [22], II, стр. 159—161, и Аппель [2], И, стр. 181—185. Об исследовании волчка Ковалевской с помощью уравнений Лагранжа см. Уиттекер [28], стр. 184—188. Здесь же можно получить сведения о других интегрируемых случаях несимметричного волчка. Детальное исследование по несимметричному волчку, включающее использование уравнений Гамильтона см. Hamel [11], стр. 407—449. См. также G г а m m е I, op. it. 55, стр. 164—214. [c.174]

Предложение 1. Собственное вращение волчка Ковалевской обладает средним движением Л = тпгШг + шг, m2 е Z. (См. доказательство предложения 1 гл. VII). [c.206]

Волчок Ковалевской — популярный объект исследований, и ему посвящен ряд интересных работ. Прежде всего надо сослаться на известную работу Г. Г. Аппельрота, помещенную в сборнике [30, с. 61-155]. В ней много внимания уделено качественным свойствам изменения переменных Ковалевской Si, S2. Высказано утверждение о всюду плотном заполнении в общем случае некоторых областей возможного движения на плоскости R2 Si, S2 . Это утверждение легко вывести из результата о приведении уравнений Ковалевской (1.6) к виду (1.9) и теоремы о равномерном распределении. [c.224]

В одной из работ Н. Е. Жуковского [31] предложено локальное геометрическое представление вращения волчка Ковалевской. Из него, правда, трудно сделать конкретные выводы о движении твердого тела в целом. Дело в том, что фигурирующие в интерпретации И. Е. Жуковского некоторые вспомогательные конические поверхности в общем случае не являются замкнутыми (в действительности они всюду плотно замощают целые области трехмерного пространства). [c.224]

В некотором смысле даже в анализе интегрируемой ситуации, для которой в принципе возможна полная классификация всех решений, компьютер открыл целую эпоху. Если ранее в исследовании интегрируемых систем преобладали аналитические методы, позволяющие получить явные квадратуры и геометрические интерпретации, которые во многих случаях выглядели очень искусственно (например, интерпретация Жуковского движения волчка Ковалевской [76]), то сочетание идей топологического анализа (бифуркационных диаграмм), теории устойчивости, метода фазовых сечений и непосредственной компьютерной визуализации особо замечательных решений способно вполне представить специфику интегрируемой ситуации и выделить наиболее характерные особенности движения. С помощью такого исследования можно получить ряд новых результатов даже для казалось бы полностью исхоженной области (например, для волчка Ковалевской, Горячева-Чаплыгина, решения Бобылева-Стеклова). Дело в том, что эти результаты очень сложно усмотреть в громоздких аналитических выражениях. Доказательство этих фактов, видимо, может быть также получено аналитически — но уже после их компьютерного обнаружения. Здесь следует особо отметить анализ движения в абсолютном пространстве, который практически вообще не производился. [c.17]

Вместе с тем нахождение разделяющих переменных в интегрируемой системе очень полезно для изучения ее динамики. Оно позволяет изучить решения, устроенные наиболее просто (случаи вырождения или классы Аппельрота особозамечательных движений волчка Ковалевской), провести бифуркационный (топологический) и качественный анализ [92, 170], явно построить соответствующий набор переменных типа действие-угол. Последнее особенно важно для анализа возмущенной ситуации, а также для целей квантования (например, в квазиклассическом приближении). [c.84]

Классы Аппельрота определяют наиболее простые движения как в приведенном, так и в абсолютном фазовом пространстве. Остальные движения волчка Ковалевской имеют квазипериодический характер и зависят от соответствующей области бифуркационной диаграммы. При возмущении случая Ковалевской вблизи неустойчивых решений и их сепаратрис возникает стохастический слой (рис. 63). К сожалению, приведенные в этом параграфе (асимптотические) решения по разным соображениями не позволили пока продвинуться в аналитическом исследовании неинтегрируемости возмущенного волчка Ковалевской (вариационными методами при с = О доказательство неинтегрируемости получено в [22]). [c.123]

Случай Ковс1левской, его ан< лиз и обобщения. Геометрическую интерпретацию случая Ковалевской, не являющуюся, однако, достаточно естественной, и свой способ сведения к квадратурам случая Ковалевской предложил Н. Е. Жуковский [76]. Он также использовал переменные Ковалевской для построения некоторых криволинейных координат на плоскости (плоскость М, М2), соответствующих разделяющимся переменным волчка Ковалевской. Его рассуждения упростили В.Танненберг и Г. К. Суслов [163, 274]. [c.131]

Квантование волчка Ковалевской также является вопросом, обсуждаемым уже с момента создания квантовой механики (Лапорте, 1933), но до сих пор в нем нет полной ясности [106, 258]. В работе [204] выписано уравнение Пикара-Фукса, возникающее при интегрировании случая Ковалевской. Первое представление Лакса для п-мерного случая Ковалевской, не содержащее спектрального параметра, было построено А. М. Переломовым [142]. Представление, содержащее спектральный параметр в общей постановке (при движении в двух однородных полях), предложено А. Г. Рейманом, М. А. Семеновым-Тян-Шанским [147]. Это обобщение случая Ковалевской до сих пор мало изучено (в частности, оно не проинтегрировано в квадратурах, отсутствует также топологический и качественный анализ). [c.132]

Приведем еще одно частное решение, которое получается в эллиптических квадратурах и при дополнительном условии совпадает с особым решением волчка Ковалевской, определенным четвертым классом Аппельрота. Для него гамильтониан Н имеет вид [c.149]

Обобщение случая Делоне. Кроме понижения порядка по циклическим переменным для обобщенного волчка Ковалевской (4.4) возможен один случай сведения к двум степеням свободы с использованием редукции Дирака [31]. Для этого рассмотрим интеграл Ковалевской Р2 (4.4) при условиях X = О, Р2 = = О, определяющих обобщенный случай Делоне (О. И. Богоявленский [19]). Легко видеть, что система корректно ограничивается по Дираку на инвариантные соотношения [c.210]

При помощи (4.5) и (4.7) интегрируемость обобщенного волчка Ковалевской в случае Делоне может быть установлена и без использования интеграла Рг (4.4). Оказывается также, что полный набор интегралов, включающий Р, гг, 22, -Рз уже оказывается зависимым. Интересно заметить также, что в случае одного силового поля д = др = = 0) кубичный по моментам интеграл (4.6) имеет структуру, почти аналогичную частному интегралу Горячева-Чаплыгина для уравнений Эйлера-Пуассона (см. 5 гл. 2). [c.210]

Аналогия со случаем Делоне. Приведем еще одно общее замечание. Указанные частные случаи интегрируемости соответствуют ситуации, при которой один из интегралов достигает О своего экстремального значения. Очевидно, что при этом в системе обязательно появляются дополнительные инвариантные соотношения. Для интегрируемых систем это приводит к дополнительному вырождению. Примером может служить случай Делоне для волчка Ковалевской. В этом случае интеграл Ковалевской, являющийся суммой двух полных квадратов, обращается в нуль, и двумерные торы вырождаются в одномерные (периодические и асимптотические решения). [c.97]

Недавно найдены другие неожиданные изоморфизмы ряда проинтегрированных задач динамики. Так, например, в [201] указано дробно-линейное преобразование, связывающее уравнения задачи Ковалевской и задачи Клебша, а в работе [179] найден аналогичный изоморфизм волчка Горячева—Чаплыгина и трехчастичной цепочки Тоды. Эти результаты основываются на глубоких свойствах алгебраически вполне интегрируемых гамильтоновых систем (см. [178]). [c.97]

Как показано на рис. 63, при увеличении а это решение теряет устойчивость и бифурцирует — из одного устойчивого периодического решения рождается два устойчивых и одно неустойчивое. Вблизи неустойчивого решения, сохраняющего общие черты динамики, приведенной на рис. 43, образуется стохастический слой, который, расширяясь при увеличении а, определяет общую хаотизацию фазового потока. Более полные компьютерные исследования остаются за рамками этой книги. Любопытно, что очень незначительное отклонение от динамический симметрии (т. е. от случая Ковалевской) порядка процента, приводит к ощутимой хаотизации портрета. Это иллюстрирует своего рода неустойчивость интегрируемости этого случая, т.к. соблюсти условия точной динамической симметрии технологически очень сложно. Кстати, Н. И. Мерцалов в своих натурных экспериментах имел лишь очень небольшую точность как в изготовлении самого волчка, так и в задании начальных данных. Поэтому, естественно, его фотографии ничего не были способны прояснить [69]. [c.150]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...