Фазовая средняя

Внушенные соображениями такого рода стремления заменить условия эргодичности более слабыми требованиями приводили к попыткам ослабить требования эргодичности в трех различных, естественно возникающих направлениях по-пер-вых, к отказу от требования, чтобы среднее во времени равнялось фазовому среднему для почти всех начальных состояний (за исключением, самое большее, меры нуль) и к допущению, что среднее по времени не равно фазовому среднему для начальных состояний, образующих множество конечной, но, разумеется, достаточно малой меры во-вторых, к отказу от требования, чтобы временное среднее равнялось фазовому среднему для всех суммируемых функций, и предположению, что такое равенств справедливо лишь для определенных функций, представляю- [c.120]

Фазовое Средний молекулярный вес Температура, [c.599]

Движение называется эргодическим, ес.чи справедливо равенство временных и фазовых средних [c.27]

Однако вычислить обычно можно только фазовое среднее /, определяемое выражением [c.611]

Существование инвариантной меры (сосредоточенной на аттракторе), позволяющее распространить эргодическую теорию на диссипативные системы, было доказано для широкого класса динамических систем Боголюбовым и Крыловым (см. [447], т. ), с. 411). Инвариантная мера единственна, если существует только один аттрактор (одна эргодическая компонента движения (ср. п. 5.2а), или строгая эргодичность [486], с. 43). Равновесным распределением ниже в основном тексте называется инвариантное распределение, сосредоточенное на одном аттракторе. Для него временные и фазовые средние совпадают в пределах области притяжения этого аттрактора.— Прим. ред. [c.444]

Показать, что если среднее по времени от X = (р, д,х)1дх равно фазовому среднему (1.13) (эргодическая теорема), то величина йо Е, х) инвариантна при квазистатическом адиабатическом процессе, в котором х меняется очень медленно. [c.80]

Рассмотрим фазовую функцию х 1), т. е. функцию, зависящую от времени через динамические переменные, определяющие состояние, или фазу системы. Если фазовые корреляционные коэффициенты р(т), связывающие х (О и х(/- -т), обладают свойством р(т)->0 при т->оо, то функция х (/) есть эргодическая, т. е. ее среднее по времени равно ее фазовому среднему (по поверхности постоянной энергии) для почти всех начальных условий на поверхности постоянной энергии в фазовом пространстве. Фактически для доказательства эргодической теоремы необходимо показать, что корреляционная функция р(т) ведет себя именно нужным образом. Хинчин приводит интуитивные соображения, подтверждающие такое поведение x t) для случая, когда х 1) представляет собой фазовую функцию, зависящую от небольшою числа динамических переменных (координат одной молекулы), в системе с очень большим числом степеней свободы, т. е. с очень большим числом молекул. Однако необходимое свойство корреляционной функции является характерным для необратимого процесса, и его следует установить вполне строго, прежде чем доказывать таким путем эргодическую теорему. Мы исследуем здесь возможность обращения теоремы Хинчина, т. е. изучим, когда и при каких дополнительных условиях из эргодического характера фазовой функции следует ее необратимость, выражаемая асимптотическим поведением корреляционной функции р(т)->0 при т->оо. Это означает, что мы хотели бы изучить возможность получения статистической механики необратимых процессов, исходя из эргодического постулата, точно так же, как это делается в статистической механике равновесных процессов. В этой связи нас не интересует, является ли эргодическое свойство общим динамическим свойством или оно справедливо лишь в том случае, когда [c.305]

Чтобы завершить этот краткий обзор, мы должны еще отметить, что развитие в последние десятилетия атомной механики, в значительной мере изменившее лицо физической статистики, заставила, естественно, и статистическую механику расширить свой математический аппарат в такой мере, чтобы он охватывал и квантовые явления более того, с точки зрения современных воззрений мы должны рассматривать квантовые системы как общий тип, в отношении которого классические системы занимают место предельного случая в частности, именно таким образом построен курс Фаулера новый метод построения асимптотических формул для фазовых средних здесь первоначально обосновывается и развивается для квантовых систем формулы же, соответствующие классическим системам, получаются отсюда с помощью предельного перехода. [c.8]

Нам остается коснуться вопроса о том, в какой форме могут быть использованы методы и результаты теории вероятностей для отыскания асимптотических формул, приближенно выражающих фазовые средние тех или иных функций при больших числах степеней свободы (т. е. для систем, состоящих из большого числа частиц). [c.10]

Величина, стоящая в правой части этого равенства, может, очевидно рассматриваться как среднее значение функции / на всем множестве V. Мы будем называть ее фазовой средней функции / (на множестве V) и обозначать через /. Таким образом только что формулированная нами теорема утверждает, что в случае метрической неразложимости множества V временная средняя f(P) любой суммируемой функции / для почти всех исходных точек Р одна и та же и совпадает с фазовой средней / той же функции. [c.23]

В силу теоремы 6 есть, однако, один случай, когда возникшее затруднение отпадает. Если данная поверхность постоянной энергии метрически неразложима, то временные средние любой суммируемой фазовой функции для почти всех траекторий одинаковы и совпадают с фазовой средней этой функции на данной поверхности постоянной энергии. В этом случае, следовательно, каждая физическая величина получает в нашей теории совершенно определенную интерпретацию — фазовую среднюю соответствующей фазовой функции, и тем самым снимаются те затруднения, о которых говорилось выше. [c.34]

Фактически дело обстоит так, что во всех изложениях статистической механики в качестве теоретической интерпретации любой физической величины принимается именно эта фазовая средняя. При этом в пользу такого выбора либо вообще никаких аргументов не приводится, либо строится какая-либо специальная гипотеза, имеющая целью оправдать этот выбор, либо, наконец, просто излагается ряд соображений, говорящих в пользу такой интерпретации, причем указывается, что эти соображения не являются логически принудительными и что в конечном счете общее признание эта интерпретация получила в результате тех успехов, к которым привела построенная на ней теория. Последний путь нам представляется наиболее выдержанным в научном отношении, и мы в следующих параграфах этой главы попытаемся подробно рассмотреть с точки зрения современных идей важнейшие относящиеся сюда вопросы. [c.34]

Здесь же мы отметим еще только, что в силу сказанного проблема математического обоснования статистической механики в основном сводится к двум задачам. Первая из них состоит в том, чтобы с возможной полнотой исследовать, при каких условиях и в какой мере временные средние фазовых функций, являющиеся, как мы видели, естественной интерпретацией результатов экспериментальных измерений, могут быть заменены в этой своей роли фазовыми средними тех же функций. Желательность, а в сущности даже и неизбежность, такой замены, конечно, ясна вычисление временных средних потребовало бы знания траекторий, т. е. полной интеграции системы уравнений движения и определения всех постоянных интеграции, что, конечно, является совершенно невозможным для систем статистической механики с их огромными числами степеней свободы. Как уже сказано, вопросами, связанными с этой первой задачей, мы займемся в дальнейших параграфах настоящей главы. [c.34]

Вторая задача, которой будет посвящен ряд последующих глав, состоит в создании общего метода приближенного вычисления фазовых средних на поверхностях постоянной энергии. Расчет фазовых средних, в противоположность вычислению временных средних, есть задача, вполне доступная для математического анализа, хотя и сопряженная с известными трудностями задача эта всегда ставится в смысле отыскания общего [c.34]

Задачу теоретического обоснования замены временных средних фазовыми обычно называют эргодической проблемой (иногда впрочем этим термином пользуются для обозначения других родственных задач, более узких или, наоборот, более широких). При этом почти всегда речь идет именно о средних значениях фазовых функций на данной поверхности постоянной энергии. Приступая к краткому отчету об истории и современном состоянии эргодической проблемы, мы должны поэтому прежде всего постараться понять, почему наша теория выбирает именно эти фазовые средние. Дело в том, что с чисто теоретической стороны такой выбор на первый взгляд представляется случайным и произвольным. Обычно обосновывают такую концепцию фазовых средних следующим образом так как энергия является интегралом движения, то всякая траектория целиком лежит на одной из поверхностей постоянной энергии значения изучаемой функции в точках фазового пространства Г, лежащих вне этой поверхности не принимают никакого участия в формировании временных средних, а потому, естественно, не должны учитываться и при вычислении фазовых средних, если мы хотим, чтобы эти фазовые средние были близки к временным. [c.35]

Представим себе, в самом деле, что мы не стали бы выделять поверхности а вычисляли бы фазовые средние исследуемых нами функций, осредняя их по всему фазовому пространству Г. Первая, сравнительно несущественная трудность возникла бы у нас в связи с тем, что это пространство имеет бесконечный объем, вследствие чего осреднение без предварительного взвешивания, направленного к уменьшению влияния удаленных частей пространства, для большинства наиболее простых функций приводило бы к бесконечным или вовсе неопределенным средним значениям поэтому нам пришлось бы начать с взвешивания различных элементов пространства Г, причем этот выбор весов по необходимости содержал бы в себе значительный элемент произвола, что уже заранее в известной мере внушало бы сомнение в репрезентативности вычисленных на основе такого взвешивания фазовых средних ). [c.35]

Однако, эта трудность, как мы уже заметили, все же несущественна сравнительно с другой, которая, повидимому, делает весь описываемый метод совершенно непригодным. В самом деле, энергия данной системы представляет собой, с нашей точки зрения, фазовую функцию, и притом, несомненно, одну из важнейших как для всякой фазовой функции, наш метод дал бы для нее некоторое определенное среднее значение Е какой физический смысл могло бы иметь это среднее значение Могли ли бы мы, в частности, рассчитывать, что временное среднее значение энергии данной системы в подавляющем большинстве доступных ей эволюционных процессов окажется равным Е (или по меньшей мере близким к Е) Достаточно формулировать это предположение, чтобы понять его абсурдность в каждом эволюционном процессе данная изолированная система сохраняет постоянное значение энергии это значение в большинстве случаев мы можем выбрать в широких пределах по своему желанию, и можем выбирать в различных случаях различные значения, в том числе весьма далекие от какого угодно заранее предписанного теорией числа самая попытка приписать энергии нашей системы раз навсегда определенное значение, какими бы методами это значение ни вычислялось, в корне противоречит реальному положению вещей. Таким образом, предварительная редукция фазового пространства Г к некоторой поверхности постоянной энергии для сколько-нибудь целесообразного вычисления фазовых средних представляется действительно неизбежной. [c.36]

Как мы узнаем далее, большинство физически актуальных фазовых функций для систем, с которыми имеет дело статистическая физика, имеет некоторое особое строение, в силу которого такая функция на каждой поверхности во всех точках, за исключением множества весьма малой меры, принимает значения, весьма близкие между собой это, конечно, имеет своим следствием, что для большинства расположенных на поверхности На траекторий временные средние такой функции также имеют значения, близкие друг к другу, а потому по необходимости близкие и к фазовой средней той же функции, вычисленной для поверхности [c.36]

Во всем дальнейшем мы будем рассматривать в качестве редуцированного фазового пространства поверхность постоянной энергии, что для большинства изучаемых в статистической физике систем соответствует реальному положению вещей. Целью нашей является, следовательно, по возможности собрать аргументы, говорящие в пользу того, что временные средние по крайней мере физически наиболее важных фазовых функций для подавляющего большинства траекторий на данной поверхности постоянной энергии имеют близкие друг к другу значения (и в силу этого — по необходимости близкие к значениям соответствующих фазовых средних). [c.38]

С помощью этой гипотезы можно показать совпадение временных и фазовых средних на любой поверхности постоянной энергии. Однако, самая гипотеза логически противоречива, что и было вскоре обнаружено и что в наши дни является даже топологически самоочевидным, так как никакая траектория не может иметь кратных точек, а следовательно, не может заполнять многомерного пространства. [c.38]

О или 1, фазовая средняя имеет промежуточное значение). [c.39]

Теорема. Для того, чтобы временные средние любой нормальной суммируемой функции, взятые вдоль почти всех траекторий данной поверхности постоянной энергии, совпадали с фазовой средней этой функции на данной поверхности, необходимо и достаточно, чтобы эта поверхность обладала метрической неразложимостью в расширенном смысле. [c.41]

Приведенные выражения позволяют найти квазиклассическое разложение для произвольных величин, представимых в виде фазовых средних. Получаемые при этом разложения, вообще говоря, являются асимптотическими и, как правило, оказываются знакопеременными рядами по четным степеням постоянной Планка плюс экспоненциально малые обменные члены. В этих случаях высшие члены разложения дают возможность получить мажорирующую оценку погрешности квазиклассических формул. [c.224]

В основе указанных сомнений лежали рассуждения следующего типа. Рассмотрим какой-нибудь, отличный от энергии интеграл движения и выберем две точки поверхности заданной энергии, в которых значения этого интеграла различны (такие точки должны найтись, так как иначе этот интеграл не был бы независимым от интеграла энергии). Пользуясь непрерывностью этого интеграла, молено выделять такие, достаточно малые окрестности этих точек, что интервалы изменения рассматриваемого интеграла в этих двух окрестностях не перекрываются. Тогда, выбирая за ту функцию, для которой образуется среднее по времени, характеристическую функцию первой из окрестностей, т. е. функцию, равную единице в точках этой окрестности и нулю вне ее, получим, что среднее по времени значение этой функции для всех траекторий, исходящих из точек второй окрестности, равно нулю. Для эргодических же систем это среднее почти для всех начальных состояний должно быть равно фазовому среднему, т. е. отношению меры первой окрестности к мере всей поверхности заданной энергии. Совершенно аналогичное противоречие констатировалось также в другой форме для систем, обладающих свойством метрической транзитности,— свойством эквивалентным (для систем с фазовым пространством конечной меры) эргодичности на основе непрерывности интегралов движения (точнее говоря, их измеримости) показывалось, что метрически транзитивные системы невозможны [23]. [c.120]

А. Я. Хинчин в своей книге Математические основы статистической механики [23], впервые объединившей, по существу, методы теории вероятностей и статистической механики и заложившей основы рационального метода получения асимптотических выражений статистической механики, посвящает несколько параграфов интересующему нас сейчас вопросу и дает одно из наиболее последовательных и математически ясных выражений рассматриваемой точки зрения. Хинчин отмечает, что значительное большинство изучаемых в статистической механике величин является так называемыми сумматорными функциями (т. е. суммами функций, каждая из которых зависит лишь от переменных одной молекулы), обладающими некоторым специфическим свойством. Это свойство заключается в том, что сумматорная функция на подавляющей части поверхности заданной энергии принимает значения, близкие к некоторой характерной для данной поверхности постоянной. Можно легко установить, что благодаря этому свойству подавляющая часть начальных состояний будет приводить к средним во времени значениям сумматорных функций, близким к этим постоянным, и следовательно, близким к фазовым средним. Таким образом, существование приближенных формул статистики, казалось бы, оказывается следствием одного лишь того свойства, что статистические системы состоят из огромного числа частиц. [c.121]

Остановимся на приведенном выше рассуждении, относящемся к отмеченным Хинчином свойствам сумматорных функций. По поводу этого рассуждения, так же как и по поводу других подобных рассуждений, нужно сказать следующее. Прежде всего, для построения физической статистики совершенно недостаточно результатов, относящихся только к некоторому узкому классу функций, вроде сумматорных функций. Уже указание на применяемый в статистике — и единственно там возможный — способ определения важнейшей физической величины вероятности состояния (обычно описываемый как способ определения числа комплексий), в частности, указание на флюктуационпую формулу (причем здесь, поскольку речь идет о равенстве средних фазовых средним временным, эти формулы для вероятностей рассматриваются нами как законы распределения во времени), показывает, что физическая статистика принципиально не может ограничиться установлением равенства временного и фазового средних лишь для сумматорных функций. Эти формулы для вероятностей показывают, что вероятность осуществления любой области фазового Г-пространства определяется величиной фазового среднего ее — характеристической функции, отнюдь не являющейся сумматорной функцией. Для статистики необходимо равенство средних для всех таких характеристических функций (см. 1). Если бы равенство распространялось лишь на сумматорные функции, то статистика была бы лишена возможности определения не только вероятностей возникновения неравновесных состояний, но и возможности определения любых величин, характеризующих эти неравновесные состояния. Кроме того, тот же результат — невозможность ограничиться суженными требованиями к динамическим свойствам статистических систем — независимо от всех только что упомянутых оснований, связанных с законами распределения временных средних, вытекает из существования релаксации, т. е. существования вероятностных распределений, в любой момент после времени релаксации (см. 1). Как мы видели, существование релаксации влечет за собой необходимость приписать статистическим системам вполне определенную характеристику,— они должны быть размешивающимися системами ( 5). [c.122]

Предложенная Эренфестом квазиэргодическая гипотеза ( при достаточно длительном продолжении движения во времени изолированная система сколь угодно близко подходит к любой заданной фазовой точке, совместимой с энергрюй си> стемы ) была использована Розенталем [35] для доказательства равенства временных и фазовых средних. Его доказательство, основанное на разбиении двух областей равной меры на счетное число частей, происходящих друг из друга при движении по фазовым траекториям, оказалось, как показал Миламед, ошибочным в нем ошибочно изменялся порядок операций суммирования бесконечных рядов и перехода к предельным во времени значениям. [c.180]

Так как М > О (< 0), то J U) задает некоторую жорда-нову меру, инвариантную относительно фазового потока системы (5.3). Нетрудно показать, что фазовое среднее функции qn+i по этой инвариантной мере [c.222]

ЭРГОДИЧЕСКАЯ ГИПОТЕЗА — гипотеза в статистич. физике, относящаяся к проблеме замены вре-Menni ix средних фазовых ф-ций, взятых вдоль тра-екто1)пи системы, фазовыми средними. В процессе развития статистич. физики содержание Э. г. менялось. [c.535]

В общем случае отображение имеет много инвариантных распределений. Из них выделенным является равновесное распределение, которое получается итерированием отображения и для которого среднее по времени равно фазовому среднему. Для предельного цикла периода п распределение дискретно и представляет собой сумму б-функций в неподвижных точках с коэффициентом 1/п. Для хаотического движения распределение Р (х) может быть разрывным, однако в типичном случае имеются конечные интервалы по л с ненулевым Р (х). [c.444]

Эргодическая теорема утверждает, что < >врем = где А — фазовое среднее, определяемое соотношением (1,13). Смысл весового множителя I grad < Ж I 1 в (1.13) можно понять, если учесть, что он определяет промежуток времени, в течение которого фазовая точка проходит окрестность точки Р, так как grad = (р1 — [c.104]

Вторая группа задач связана с методами расчета фазовых средних. Эти средние в большинстве случаев не могут быть точно вычислены формулы, даваемые для них общей теорией (т. е. без спецификации изучаемой механической системы), громоздки, трудно обозримы и как правило неприменимы для математической обработки. Поэтому с необходимостью встает вопрос о получении для этих средних значений приближенных, более простых и удобных выражений. Эта задача ставится всегда как задача отыскания асимптотических формул, приближающихся к точным по мере безграничного возрастания числа частиц, из которых состоит данная система с математической точки зрения речь идет, следовательно, об установлении предельных теорем особого рода. Хотя эти асимптотические формулы уже давно были найдены полуэвристическим путем (точнее [c.7]

Как мы уже указывали, многие авторы пытались доказать совпадение временных и фазовых средних, опираясь на те или другие специально вводимые и более или менее правдоподобные гипотезы. Такие гипотезы называли обычно эргодическими гипотезами . Первая из них была высказана Больцманном, от него же исходит и наименование. Больцманн высказал предположение, что каждая поверхность постоянной энергии состоит из одной единственной траектории другими словами, в каком бы состоянии в данный момент ни находилась изучаемая система, она рано или поздно пройдет (или уже прошла) через любое другое состояние, имеющее то же значение полной энергии. [c.38]

Как мы знаем из 6 гл. II, метрическая неразложимость данной поверхности постоянной энергии является условием, гарантирующим, что временные средние любой суммируемой функции /(Р) вдоль почти всех лежащих на этой поверхности траекторий совпадают с фазовой средней / этой функции, вычисленной для данной поверхности. Но легко видеть, что если относить это требование к почти всем траекториям и всем суммируемым функциям, то условие метрической наразложимости является вместе с тем и необходимым. В самом деле, если данная поверхность постоянной энергии метрически разложима, то это значит, что она распадается на два инвариантных множества Мг и М2, каждое из которых имеет положительную меру. Суммируемая функция равная [c.39]

В статистической механике прежде всего приходит на помощь то обстоятельство, что значительное большинство фазовых функций, интерпретирующих важнейшие физические величины, имеет (как мы кратко уже упоминали в 10) совершенно своеобразное поведение такая функция, как правило, оказывается на каждой поверхности постоянной энергии приближенно постоянной, т. е. принимает всюду за исключением множества весьма малой меры значения, весьма близкие к некоторому постоянному для данной поверхности числу, за которое можно, разумеется, принять фазовую среднюю рассматриваемой функции. Причины этого своеобразного поведения мы частично укажем немного ниже, а полностью вскроем в последующих главах здесь же заметим, что эти причины отчасти заложены в особых свойствах механических систем статистической физики (распадение на большое число компонент), отчасти же лежат в специфических чертах тех функций, с которыми приходится иметь дело (это, как правило, сумматорные функции, т. е. суммы функций каждая из которых зависит от динамических координат только одной компоненты). Без всяких вычислений очевидно, что для такой функции временные средние вдоль большинства траекторий должны иметь значения, близкие к фазовой средней. Если желать все же произвести примерный расчет, то к этому можно подойти следующим образом. [c.44]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...