Стохастический аттрактор

Бифуркации и стохастический аттрактор [c.184]

Дальнейшие изменения с ростом параметра г включают инвариантные многообразия <57 и <57 в множество инвариантных седловых движений /. Происходит это при г > 24,06 (рис. 7.22 и 7.21). Ближайшее следующее изменение фазового портрета происходит при г == 24,74 периодические движения Г, и Га сливаются соответственно с состояниями равновесия 0 и Ог. На секущей плоскости этому соответствует слияние неподвижных точек Г1 и Гг с точками >1 и Ог. Таким образом, при г = 24,06 возникает стохастический аттрактор. Он уже рассматривался в 2 гл. 6 (ситуация 4). Дополним теперь это рассмотрение выяснением вида предельного множества / при г = 24,06 и доказательством возможности сведения преобразования секущей плоскости [c.190]

К этому следует добавить, что каждый раз при преобразовании Т происходит сжатие в направлении кривых 5+ и растяжение вдоль кривых 5". Предельное множество этих вложенных друг в друга областей (число их растет как 2") и есть стохастический аттрактор. Он состоит из континуума предельных кривых, каждой из которых можпо присвоить некоторую бесконечную [c.191]

Ляпуновские показатели. Размерность в энтропия стохастического аттрактора [c.227]

Поскольку, как уже неоднократно говорилось, все траектории, образующие стохастический аттрактор, неустойчивы по Ляпунову, они должны иметь хотя бы один положительный ляпу-новский показатель. Наличие положительного ляпуновского показателя является одним из основных критериев стохастичности движения. [c.227]

Перейдем теперь к определению энтропии и размерности стохастического аттрактора. Прежде всего введем понятие топологической энтропии [380]. Топологическая энтропия динамической системы, описываемой дифференциальными уравнениями, определяется следующим образом. Предположим, что мы можем различать точки фазового пространства, отстоящие друг от друга на расстояние, превышающее некоторую величину е > 0. Рассмотрим пучок траекторий, выходящих из окрестности начальной точки радиуса е, т. е. в начальный момент не различимых. Число различимых траекторий в некоторый момент времени t обозначим N e, t). Топологической энтропией называется величина [c.229]

Для двух моделей композиционных сред установлены условия перехода к детерминированному хаосу в распространении траектории трещины. Работа посвящена прогнозированию распространения трещины в неоднородных средах. Для композита с кусочно постоянными свойствами переход происходит по типу перекрытия резонансов, для периодически неоднородной среды — по типу стохастического аттрактора [5. [c.372]

Уравнение Дуффинга (29) при (5 = 0 всегда имеет хаотические решения вблизи сепаратрисы. Хаотическое движение в этом случае происходит в узком слое и ограничено инвариантными кривыми. При > О уравнение (29) является аналогом уравнения Дуффинга во времени с учетом диссипации и, следовательно, возможно суш ествование стохастических аттракторов. Действительно, при (5 > О происходит разрушение инвариантных линий, ограничиваюш их стохастичность вблизи сепаратрисы, и фазовые траектории могут уходить от нее достаточно далеко и попасть в область притяжения устойчивого фокуса или цикла. Таким образом, как показано с помогцью аналогового моделирования [17], при выполнении условия (35) и (5 > О траектория блуждает в окрестности сепаратрисы, пока не попадет на какой-либо аттрактор, простой или странный (стохастический). [c.380]

Уравнение Дуффинга (70) при = О всегда имеет хаотические решения вблизи сепаратрисы. Хаотическое движение в этом случае происходит в узком слое и ограничено инвариантными кривыми. При <5 > О уравнение (70) является аналогом уравнения Дуффинга во времени с учетом диссипации и, следовательно, возможно суш ествование стохастических аттракторов. Действительно, при <5 > О происходит разрушение инвариантных линий, ограничиваюш их стохастичность [c.816]

Сценарий Ландау и стохастического аттрактора в проблеме перехода к турбулентности. Препринт № 111. Новосибирск Ин-т автоматики и электрометрии СО АН СССР. [c.654]

Таким образом, в той области параметров, в которой система (22.9) при ц О описывается отображением (22.12), (22.13) в ее фазовом пространстве имеется стохастический аттрактор, на котором существует инвариантное распределение вероятностей, а движение обладает свойством перемешивания. [c.475]

Как мы уже говорили в начале главы, размерность стохастического множества гамильтоновой системы совпадает с размерностью фазового пространства исходной системы. Размерность же стохастических аттракторов может быть существенно меньше размерности фазового пространства исследуемой диссипативной системы. Именно это проясняет ответ на вопрос почему и очень простая система, например нелинейный осциллятор с трением, возбуждаемый периодической силой, и очень сложная, например гидродинамическое течение в ячейке (см. 23.2), демонстрируют одни и те же свойства перехода. [c.489]

По-видимому, адекватное математическое определение физически наблюдаемого аттрактора дает принадлежащее Я. Г. Синаю понятие стохастического аттрактора [59]. Стохастический аттрактор необязательно является странным. [c.42]

Определение стохастического аттрактора..... [c.114]

Г1 и Г 1 начинают притягиваться к х и соответственно (рис. 15). Переход через значение аг и есть момент возникновения стохастического аттрактора в системе (8.3) — аттрактора Лоренца. [c.199]

Представляет большой интерес выяснение сценариев перехода от периодического режима, отвечающего наличию устойчивого цикла на торе, к режиму непериодических колебаний, которому может соответствовать странный аттрактор. Это важно, в первую очередь, потому, что численное и лабораторное или даже натурное исследование большого количества физических и других задач (течение Куэтта, конвекция в плоском слое жидкости, генерация колебаний и радиотехнических и СВЧ генераторах и т. д.) показывает, что возникновение стохастических колебаний при разрушении двумерного тора, на котором число вращения рационально, — широко распространенное явление. Прежде, чем инвариантный тор разрушится, он должен потерять гладкость, оставаясь еще некоторое время топологическим подмногообразием фазового пространства. Способы потери удобно демонстрировать на примере отображения кольца в себя, которое при начальных значениях параметров имеет гладкую инвариантную кривую. Конкретный вид отображения здесь несуществен, например, оно может быть таким, как в [34], или [c.49]

Асимптотически устойчивое множество траекторий L в фазовом пространстве динамич. системы наз. аттрактором, если оно 1) компактно и неразложимо на отдельные структурные элементы 2) инвариантно относительно Т Т L = L 3) оператор Т рекуррентен на L, т. е. для сколь угодно больших времён (о>0 траектория y t) = T x произвольной точки xsL при r>fo пройдёт в сколь угодно малой окрестности точки х, В случае замкнутых траекторий последнее требование означает бесконечнократное прохождение системой каждой точки траектории, т. е. периодич. движение (в силу теоремы Коши см. Коши задача). Примеры аттракторов асимптотически устойчивые стационарные состояния для ур-ния (4) — это точка. с = 0] устойчивые предельные циклы странные аттракторы (отвечающие стохастическим колебаниям в нелинейных диссипативных системах). [c.254]

СТОХАСТИЧЕСКИЕ И ХАОТИЧЕСКИЕ АТТРАКТОРЫ [c.124]

Дальнейшее имеет целью развитие этих простых соображений и их приложение к вопросам возникновения хаотических и стохастических движений и аттракторов как их геометрических образов в фазовом пространстве. [c.127]

Области пространства параметров, отвечающие существованию движений, устойчивых по Пуассону, были обнаружены и при Х11>1, 1Яг1 > 1, что по современной терминологии заведомо соответствует наличию стохастического аттрактора. Пример такого отображения показан на рис. 1.20. Получившее известность отображение Лоренца является его частным случаем, когда Л = 1 а —Ъ) иЯ1 = Яг>1. [c.25]

С помощью преобразования прямой в прямую (3.11) пове,до-ние фазовых траекторий уравнения Лоренца можно отобразить в виде серии точечных отображений прямой в прямую, показанных па рис. 7.28. Первый рис. 7.28, а отвечает устойчивости состояния равновесия О (0<г<1), второй рис. 7.28,6 — появлению двух устойчивых состояний равновесия О, и О2, третий рис. 7.28, в — рождению неустойчивых периодических движений Г1 и Гг и появлению разрыва непрерывности, четвертый рис. 7.28, г — возникновению стохастического аттрактора, пятый рис. 7.28, д — влинанию периодических движений Г1 и Гг в состояпия равновесия О1 и Ог и последний 7.28, е — появлению у графика точечного отображения горизонтальных касательных и в связи с этим устойчивых неподвижных многократных точек. Мы видим, что в этой интерпретации возникновение стохастичности и системе Лоренца похоже на то, как возникает стохастичность в неустойчивом осцилляторе с отрицательным трением и ударами, рассмотренном в гл. 3. [c.194]

Здесь X = ( аз /7з)со8 , Y = ( аз /7з) os , Z = а1,2р/7з, ф = argfl3 — 2argai 2 — S, u = / 1,2/73, S = /73. При точном синхронизме (5 = 0) и и > 1/2 все траектории в фазовом пространстве системы (22.18) при t оо стремятся к плоскости Z = О или Y = 0. Это следует из того, что функция Р = ZY удовлетворяет уравнению dP/dt = = (1 — 2р)Р, т. е. Р о при i оо. На плоскостях Z = О и Y = 0 отсутствуют устойчивые состояния равновесия или предельные циклы, и все траектории по ним уходят в бесконечность. Стабилизация неустойчивой моды за счет передачи энергии равноправным низкочастотным модам в этом случае, следовательно, невозможна. Однако стабилизация возможна при ненулевой, хотя и очень малой расстройке. Поток энергии при этом в зависимости от параметров оказывается либо постоянным во времени (в фазовом пространстве — устойчивое состояние равновесия), либо периодическим (предельный цикл), либо случайным образом пульсирует (стохастический аттрактор). [c.481]

Гиперболические аттракторы (см. гл. 7, п. 2.5) являются стохастическими. Сейчас мы подробно рассмотрим структуру и свойства стохастического аттрактора, возникающего в знаменитой системе Лоренца (Е. Lorenz). [c.198]

Последовательность бифуркаций (при г=28, = 8/3, 0<1а е <10), приводящая к появлению стохастического аттрактора в модели Лоренца, была изучена в работе В. С. Афраймовича, [c.199]

Jilи), что все результаты справедливы и в том случае, когда преобразование Г терпит разрыв первого рода не на одной, а ла конечном числе кривых. В равной степени несущественна двумерность фазового пространства, важно лишь, чтобы сжимающиеся слои (и, тем самым, многообразия разрыва) имели коразмерность один. Для соответствующей динамической системы на п-мерном кубе также существует одномерный стохастический аттрактор, причем при помощи факторизации по сжимающимся слоям снова можно перейти к одномерному отображению отрезка в себя. [c.203]

Притягивающее множество неустойчивых траекторий в пространстве состояний диссипативной системы действительно может существовать Е. Lorenz, 1963) его принято называть стохастическим, или странным аттрактором ). [c.164]

Обратим внимание на следующее важное обстоятельство. Если турбулентное движение уже установилось (течение вышло на странный аттрактор ), то такое движение диссипативной системы (вязкой жидкости) в принципе не отличается от стохастического движения бездиссипативной системы с меньшей размерностью пространства состояний. Это связано с тем, что для установившегося движения вязкая диссипация энергии в среднем зп большое время компенсируется энергией, поступающей от среднего течения (или от другого источника неравновесности). Следовательно, если следить за эволюцией во времени принадлежащего аттрактору элемента объема (в некотором пространстве, размерность которого определяется размерностью аттрактора), то этот объем в среднем будет сохраняться — его сжатие в одних направлениях будет в среднем компенсироваться растяжением за счет расходимости близких траекторий в других направлениях. Этим свойством можно воспользоваться, чтобы получить иным способом оценку размерности аттрактора. [c.167]

С другой стороны, определения аттрактора даются так, чтобы обеспечить хаотичность поведения траекторий на нем (и, может быть, возле него). Так возникают гиперболический, стохастический и другие аттракторы [100], [101], [198]. Неизвестно, однако, типичны ли системы с хаотическим поведением траекторий на аттракторе в классе систем, атракторы которых не состоят из конечного числа точек и циклов. [c.156]

Устойчивые и неустойчивые сепаратрисы равновесия и (пли) периодич. движений могут пересекаться. Траектории, принадлежащие пересечению устойчивых и неустойчивых сепаратрис разных периодич. движений, наз. гетероклиническими. Траектория, принадлежащая пересечению устойчивой и неустойчивой сепаратрис периодич. движения L (и отличная от L), наз. гомоклинической. Как правило, в её окрестности имеется бесконечное множество разнообразных траекторий, среди к рых содержится счётное множество седловых периодич. движений. Наличие гомоклинич. траекторий может служить критерием существования сложных режимов в Д. с. (см. Стохастические колебания, Странный аттрактор), а также яв- [c.627]

Вне полосы захвата в. зависнмости от свойств автогенератора и характера воздействия могут наблюдаться след, типы колебаний а) иериодич. колебания, напр. при близости частот и (p/q)(-0 , где р, q — целые числа их образы в фазовом пространстве — предельные циклы, расположенные ири слабом воздействии на торе с числом вращения, равным д/р б) кваянпернО дич. колебания, их образ в фазовом пространство — незамкнутая обмотка тора, нанр. при несоизмеримых а )б при слабом воздействии в) стохастические колебания, их образ в фазовом пространстве — либо ст.рапный аттрактор, либо сложные устойчивые траектории. [c.59]

С ростом числа степеней свободы усложнение динамики системы, напр. при изменении коэф. передачи по каналу О. с., может осуществляться за счёт бифуркаций периодич. движений, приводящих, в частности, к рождению странного аттрактора, Поводепие фазовых траекторий на таком аттракторе и вблизи него хаотично, поэтому с рождением странного аттрактора связывают возникновение в системах хаотич. движения (см. Стохастические колебания). [c.387]

Взанывое согласование движений свойственно генераторам не только периодических, но и стохастических автоколебаний. Принципиальное отличие от случая периоднч. колебаний здесь в том, что движения взаимодействующих нендентичных подсистем согласуются лишь в среднем по времени. При этом могут быть одинаковьши топология проекций странных аттракторов на парциальные подпространства, их размерности, спектры мощности парциальных колебаний. В то же время сами реализации локально по времени мо ут не совпадать. На рис, 5 представлены странные аттракторы парциальных подсистем в автономном режиме [c.527]

В ходе эволюции динамич. системы, обладающей аттрактором, объём фазовой капли неограниченно уменьшается—капля сжимается к аттрактору. Однако сам аттрактор, имея нулевую меру в исходном фазовом пространстве, может оказаться нетривиальным множеством, движение на к-ром является стохастическим. Это значит, что 1) на таком аттракторе движение является локально неустойчивым и для него может быть введена К-энтропия и 2) это движение обладает свойствами эргодичности и перемешивания. Аттрактор, на к-ром реализуется стохастич. динамика, наз. стохастическим или странным аттрактором. Последний термин предложен Д. Рюэ-лем и Ф, Таксисом (D. Ruelle, F. Takens). [c.401]

См. также Эргодииеская теория. Стохастические колебания, Странный аттрактор. [c.402]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...