Система Лоренца

Связь между dx и интервалом времени в данной системе Лоренца можно получить, раскрывая равенство (6.21). Проделав [c.220]

Фазовое пространство такой системы — трехмерное евклидово пространство. Все фазовые траектории входят в некоторую ограниченную область, где могут переплетаться самым причудливым образом. Усилиями многих исследователей, использовавших методы качественной теории дифференциальных уравнений и численные эксперименты на современных вычислительных машинах, было показано, что сложные движения фазовых точек в системе Лоренца — хаотические. Вид одной из фазовых траекторий, соответствующей такому сложному движению, показан на рис. 1.14. Эта картинка получена на экране осциллографа путем высвечивания проекции фазовой точки через равные промежутки времени. [c.18]

Как и в случае системы Лоренца, на секущей плоскости, во всяком случае, приближенно с большой точностью, последовательные точки преобразования, спустя некоторое их число, ложат- [c.48]

Напомним еще, что простой пример такого движения ужо рассматривался и отмечалось, что именно гомоклиническая структура порождает стохастичность движений системы Лоренца (1.23) (гл. 1). [c.90]

Гомоклиническая структура, обнаруженная в системе Лоренца, сравнительно очень проста. В ней нет той непостижимой сложности, о которой писал А. Пуанкаре, и в этом смысле она уникальна. Упрощение вызвано особенностями структуры трехмерного фазового портрета, находящими отражение в наличии линии разрыва точечного отображения на секущей плоскости, и возможностью разделения переменных, о че>м вкратце уже говорилось. Ниже дается более подробное изложение результатов исследования системы Лоренца [c.184]

Перейдем к непосредственному исследованию системы Лоренца (3.1), разбив его на пункты. [c.184]

Подведем краткий итог соображениям о причинах и путях возникновения хаоса и стохастичности в диссипативных динамических системах. Приводимые выше примеры системы Лоренца и ротатора с параметрическим возбуждением будут существенно пополнены в гл. 9, содержащей описания и анализ конкретных систем, допускающих стохастические и хаотические колебания. [c.209]

График отображения (1.5) приведен па рис. 8.2. Отображение (1.5) имеет такой же общий вид, как и одномерное отображение для системы Лоренца, и во многих случаях может быть получено из последнего подходящим выбором переменной и. [c.220]

В отличие от обычной системы Лоренца (4.1), в системах (4.16) и (4.17) переход к хаосу может происходить через рождение и последующее разрушение тора. Так, для системы (4.17) при 6 = 0,5 0 = 1 г=2Ш, где Z) — действительный бифуркационный параметр, схема бифуркаций выглядит следующим образом [533]. При 0устойчивое решение х = у = z = 0. В области D> I это решение становится неустойчивым, но имеется устойчивый предельный цикл, который существует до Д = 2,07. При этом значении D пара [c.295]

В первом случае физический механизм быстрого сброса энергии, необходимого для возникновения хаоса, такой же, как у системы Лоренца, и обусловлен модуляцией частоты колебаний переменной х колебаниями переменной у. По зтой причине такой механизм назван в [54, 220, 392] параметрическим. В отличие от него механизм сброса энергии во втором случае назван силовым [54, 392]. В обоих случаях система уравнений (4.2) является диссипативной, поскольку (11у х, х, г/ = — (26 + ) < 0. [c.296]

Аналогичные явления наблюдались и при внешнем воздействии на систему Лоренца. Исследование синхронизации колебаний в системе Лоренца, по-видимому, впервые было проведено в [c.324]

Как известно [2], замечательное свойство системы Лоренца состоит в том, что она описывает режим странного аттрактора, в котором универсальная траектория представляет фрактальное множество, характеризуемое дробной размерностью (см. [18]). Легко заметить, что обнаруженные в режимах (е), (1) двумерные затухающие колебания отвечают срезам странного аттрактора плоскостями 5, т/ и 8, к (но не сводятся к ним). Для перехода от этих колебаний в режим странного аттрактора следует включить движение вдоль перпендикулярной оси (к — ъ режиме (е) и — в режиме (1)). Как видно из соотношений (1.64), это может быть достигнуто только в случае соизмеримости времен релаксации г,. Таким образом, переход в режим странного аттрактора следует ожидать [c.46]

Обсудим в заключение характер принятых приближений. Прежде всего следует иметь в виду, что система Лоренца описывает индуцированные шумом переходы, при которых упорядочение возникает под стохастическим воздействием внешней среды [19]. Примером такого рода превращений могут служить фазовые переходы, обусловленные ростом давления, которое играет роль управляющего параметра (см. [20]). В термодинамических системах интенсивность шума определяется температурой и энтропией. Однако, поскольку процесс самоорганизации отвечает большим значениям управляющего параметра 5, то он сводится скорее к энтропии, чем температуре. [c.47]

В безразмерном виде уравнения (1.76), (1.78), (1.79) сводятся к системе Лоренца [c.53]

Дробная система Лоренца [c.62]

Второй период можно назвать периодом динамического хаоса. В эту эпоху удивлялись тому, что простые системы могут вести себя сложно. Исходя из анализа простейших динамических систем с несколькими степенями свободы, были поняты принципиальные ограничения на получение динамического прогноза. Символы эпохи - система Лоренца, логистическое отобра- жения, канторово множество, теория универсальности [12]. [c.29]

При уменьшении фазового объёма траектории могут стремиться к нск-рой гговерхности в исходном фазовом пространстве, имеющей размерность D = n — k, к—целое, к п. Ъ частном случае к = п это отвечает приближению к нек-рому стационарному состоянию — особой точке в Ф. п. В то же время известно, что и при f - 0 может существовать предельное множество (аттрактор), мера к-рого имеет размерность d> 1 (как правило, дробную, т. и. фрактальную размерность). Такая ситуация реализуется, напр., когда Ф. п. содержит странный аттрактор. Объект с такими свойствами всегда содержится в системе Лоренца (15) при f=10, й = 8/3, /->24,74. [c.268]

В лекциях Р. Фейнмана [353] есть очень образное описание возникновения турбулентности с ростом числа Рейнольдса. Нарисованная там картина и ее возросшая сложность по сравнению с более ранними описаниями как нельзя лучше соответствует параллельно и независимо идущему процессу усложнения представлений теории бифуркаций. Последующее изложение имеет целью прояснить все возможные метаморфозы фазового портрета, которые могли бы отвечать переходу ламинарного течения в турбулентное и вообще устойчивого равновесного состояпия в хаос. Ото изложение не носит исчерпывающего характера, оно лишь в общих чертах описывает картину. После описания дерева возможных бифуркаций более подробно рассматриваются серии бифуркаций. Затем описываются бифуркации в двух конкретных и достаточно детально изученных динамических системах — системе Лоренца и нелинейном параметрически возбуждаемом осцилляторе и ротаторе. Эти примеры позволяют достаточно подробно проследить пути возникновения порядка и хаоса. [c.163]

С помощью преобразования прямой в прямую (3.11) пове,до-ние фазовых траекторий уравнения Лоренца можно отобразить в виде серии точечных отображений прямой в прямую, показанных па рис. 7.28. Первый рис. 7.28, а отвечает устойчивости состояния равновесия О (0<г<1), второй рис. 7.28,6 — появлению двух устойчивых состояний равновесия О, и О2, третий рис. 7.28, в — рождению неустойчивых периодических движений Г1 и Гг и появлению разрыва непрерывности, четвертый рис. 7.28, г — возникновению стохастического аттрактора, пятый рис. 7.28, д — влинанию периодических движений Г1 и Гг в состояпия равновесия О1 и Ог и последний 7.28, е — появлению у графика точечного отображения горизонтальных касательных и в связи с этим устойчивых неподвижных многократных точек. Мы видим, что в этой интерпретации возникновение стохастичности и системе Лоренца похоже на то, как возникает стохастичность в неустойчивом осцилляторе с отрицательным трением и ударами, рассмотренном в гл. 3. [c.194]

Наряду с системой Лоренца значительную известность получила система уравнений, предложенная Рёсслером [618] [c.301]

Синхронизация колебаний в системе Лоренца при силовом внешнем воздействии исследовалась Г. Г. Шаталовой. Для этого уравнения Лоренца были затгасаны в форме (4.2) и в первое уравнение была введена гармоническая внешняя сила. Таким образом, моделировалась (численно)- следующая система уравнений [c.324]

Как уже говорилось, система уравнений Лоренца является простейшей (трехмодовой) моделью конвективной турбулентности. В классической задаче о плоском слое жидкости, подогреваемом снизу, эта система выделяется из более полной системы уравнений, если ограничиться первыми прос гранственными гармониками компонент скорости, нулевыми, первыми и вторыми пространственными гармониками температуры [217]. Очевидно, что вследствие этих ограничений система Лоренца справедлива лишь вблизи порога возникновения конвективных валов, т. е. при значениях г, близких к единице. При больших г надо учитывать более высокие пространственные гармоники, и уравнения типа Лорепца становятся неадекватными. Такой учет произведен в работе [574], где показано, что характер решения существенно зависит от числа учитываемых мод. [c.334]

Параграф 2 главы 1 посвящен синергетическому исследованию явления самоорганизуемой критичности, которое отличается от фазового перехода тем, что система претерпевает критическую перестройку в отсутствие внешнего воздействия. Основная особенность такого режима состоит в том, что эволюция стохастической системы протекает самоподобным образом, в связи с чем ее функция распределения имеет степенную асимптотику. В п. 2.1 показано, что такое поведение наблюдается при течении сыпучей среды по наклонной плоскости (модель зап(1рПе). Образование одиночной лавины представляется системой Лоренца, параметризуемой компонентами скорости и наклоном поверхности, величины [c.7]

В 3 главы 1 синергетический подход используется для описания термодинамических (п. 3.1) и кинетических (п. 3.2) переходов. При описании первых в качестве параметра превращения используется плотность сохраняющейся величины, а во втором случае — сопряженный ей поток. Наше рассмотрение основывается на уравнении непрерывности и соотношении Онзагера, обобщение которых на нестационарный случай приводит к системе Лоренца. В этой связи можно предполагать, что развитый формализм представляет синергетическое обобщение физической кинетики. В п. 3.3 показано, каким образом уравнения Лоренца следуют из полевого подхода. Важная особенность сильно неравновесных систем состоит в том, что их поведение определяется как одиночными возбуждениями фермиевского типа, так и коллективными — бозевско-го. Поэтому последовательная микроскопическая теория таких систем должна носить суперсимметричный характер. Соответствующая техника изложена в 4 главы 1, где сначала (п.4.1) проведена микроскопическая интерпретация модели Лоренца. Показано, что она отвечает простейшему выбору гамильтониана бозон-фермионной системы. В п. 4.2 представлен суперсиммефичный лафанжев формализм, позволяющий воспроизвести уравнения Лоренца, в которых роль управляющего параметра ифает энтропия (см. также Приложение В). Использование корреляционной техники в п. 4.3 позволяет самосогласованным образом описать эффекты памяти и потери эргодичности в процессе самоорганизации. Получены [c.8]

Кинетические особенности фазового перехода, найденные на основе модельных соображений [13], легко объясняются в рамках синергетического подхода, если ослабить стандартный принцип соподчинения [1], принимая, что наибольшим временем релаксации обладает не одна, а две гидродинамические степени свободы. В результате фазовый переход представляется системой двух дифференциальных уравнений, и задача сводится к исследованию возможных сценариев превращений второго (п. 1.1) и первого (п. 1.2) родов. Существенным преимуществом синергетического подхода является то обстоятельство, что он позволяет, не обращ1аясь к узким модельным соображениям, учесть действие обобщенного принципа Ле-Шателье. В этом смысле полученные ниже результаты носят достаточно общий характер. Что касается использования системы Лоренца, то известно, что она выделена в синергетике как одна из простейших схем, позволяющих учесть эффект самоорганизации. В частности, гамильтони-. ан, воспроизводящий недиссипативные слагаемые уравнений Лоренца, имеет простейший вид фрелиховского типа (см. 4). Что касается диссипативных вкладов, то они представляются в рамках полевой схемы ( 3) удлинением производных по времени, определяющих диссипативную функцию. [c.20]

Рассмотрим случай несохраняющегося параметра порядка, для которого можно пренебречь координатной зависимостью и система Лоренца принимает вид [1] [c.20]

Выше мы исследовали процесс формирования одиночной лавины. Перейдем теперь к рассмотрению самоподобного ансамбля лавин, характеризуемого распределением (1.71). Следуя методу, изложенному в п. 2.2, мы будем учитывать шумы всех степеней свободы, а также дробную обратную связь, введенную в п. 2.3. Основой нашего рассмотрения является система Лоренца, однако теперь синергетические параметры характеризуют не сыпучую среду, а ансамбль лавин, который в рамках подхода Эдвардса [40, 41], обобщенного на неадцитивную систему, представляется по аналогии с термодинамической системой. Это позволяет описать изменение размера лавины, неаддитивной сложности ( omplexity) и кинетической энергии сыпучей среды. В рамках синергетического подхода указанные степени свободы играют роль параметра порядка, сопряженного поля и управляющего параметра соответственно. [c.65]

Очевидная причина указанных противоречий состоит в неправомерном использовании обычных скейлинговых соотношений (1.72) для дробной системы Лоренца (1.130), обладающей фрактальным фазовым пространством. Для подсчета размерности этого пространства учтем, что каждой из стохастических степеней свободы s, S, и число которых п = 3, отвечает сопряженный импульс, так что гладкое фазовое пространство должно иметь размерность D = 2п. Такое пространство реализуется в простейшем случае отсутствия обратной связи, когда определяющий ее показатель о = О, и шум является аддитивным. С ростом показателя а > О, величина которого задает эффе1стивную силу и интенсивность шума в равенствах (1.120), обратная связь усиливается, и флуктуации приобретают мультипликативный характер. Согласно [45], при этом фазовое пространство становится фрактальным, и его размерность уменьшается в (1 - о) раз. В результате размерность пространства, в котором происходит эволюция самоорганизующейся системы, сводится к значению [c.72]

Ответим наконец на вопрос почему мы везде предпочитаем использовать систему Лоренца, а не какую-либо другую схему самоорганизации (например, систему Ресслера и т.д.) Анализу этого вопроса посвящен 4, где в рамках суперсимметричного полевого подхода будет показано, что система Лоренца отвечает уравнению Ланжевена, представляющему простейшую стохастическую систему. С другой стороны оказывается, что микроскопическое представление системы Лоренца осуществляется простейшим гамильтонианом бозон-фермионной системы. На первый взгляд может показаться, что на феноменологическом уровне роль эффективного гамильтониана может играть синергетический потенциал, зависимый от полного набора степеней свободы. Однако в классическом представлении такая зависимость не может учесть различные правила коммутации разных степеней свободы. Преимущество Суперсимметричной схемы и микроскопического подхода состоит в том, что они открывают такую возможность. Укажем, что в общей постановке такая ситуация сводится к известной проблеме промежуточной статистики (см. [53]). [c.77]

Характерная особенность подходов, на которых основывается рассмотрение в п. 3.1 и 3.2, заключается в использовании известной схемы Лоренца. В пользу такого выбора говорит уже то обстоятельство, что он приводит к стандартным соотношениям термодинамики и физической кинетики. Вместе с тем в п. 3.3 показано, что оба подхода следуют из единой лафанжевой схемы для набора двухкомпонентных полей, который состоит из плотности и сопряженного потока, энтропии и градиента химического потенциала, внутренней энергии и градиента температуры. Показано, что лафанжиан и диссипативная функция, приводящие к системе Лоренца, имеют простейший вид первый содержит квадратичное и кубическое слагаемые, вторая только квадратичные вклады удлиненных производных по времени. [c.79]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...