Движение вблизи сепаратрисы

Хаотическое движение вблизи сепаратрисы возникает при условии пересечения сепаратрис, т. е. когда d xo) меняет знак. Из формулы (34) следует, что это происходит при [c.380]

Особенности движения вблизи сепаратрисы. Построение преобразования. [c.87]

Хотя работы Пуанкаре и Биркгофа продемонстрировали чрезвычайную сложность топологии фазового пространства, вопрос об эргодичности движения, т. е. о том, покрывает ли траектория всю энергетически доступную область фазового пространства или же она ограничена какими-то интегралами движения, оставался до недавнего времени без ответа. Теорема Колмогорова [229], доказанная при различных ограничениях Арнольдом [10] и Мозером [308] (теорема KAM), утверждает, что при возмущении интегрируемых систем инвариантные поверхности сохраняются для большинства начальных условий. Хотя движение вблизи сепаратрисы каждого резонанса и является стохастическим, оно ограничено соседними инвариантными поверхностями и не является эргодическим. В гл. 3 мы рассмотрим теорию KAM и связанные с ней топологические результаты, которые служат обоснованием многих методов, описанных в этой книге. [c.15]

Некоторое указание на причину возникновения стохастичности вблизи сепаратрисы можно получить из картины перекрытия резонансов, которое приводит к чрезвычайно запутанному движению, в особенности с учетом резонансов высоких порядков. К такому же заключению можно прийти и с другой точки зрения, рассмотрев траекторию самой сепаратрисы. Как из теоретического анализа, так и из численных экспериментов следует, что с учетом возмущения сепаратриса не является уже такой гладкой кривой, как в интегрируемой системе (рис. 1.4), а напротив, также оказывается чрезвычайно сложной. Движение вблизи сепаратрисы подробно обсуждается в п. 3.26. При достаточно малом возмущении инвариантные поверхности ограничивают область стохастического движения (см. 3.2а), однако с увеличением возмущения резонансы более высоких порядков отодвигают инвариантные поверхности от сепаратрисы и тем самым расширяют область сложного движения. [c.63]

Рис. 3.19. Движение вблизи сепаратрисы маятника.

Движение вблизи сепаратрисы [c.457]

В этом разделе мы рассмотрим метод Мельникова [299 ], позволяющий исследовать движение вблизи сепаратрисы системы, близкой к интегрируемой. Этот метод позволяет получить критерий возникновения стохастичности в окрестности сепаратрисы при наличии диссипации. Мы уже видели (см. п. 3.26 и рис. 3.4), что в типичной гамильтоновой системе движение около сепаратрисы всегда хаотическое. Однако в присутствии диссипации это уже не так. Поэтому важно найти условия, при которых возникает хаос. [c.457]

Метод Мельникова можно обобщить и на многомерные системы [196 ]. В частности, его можно использовать для изучения движения вблизи сепаратрисы вторичных резонансов. Этот метод привел также к важным математическим результатам в теории диффузии Арнольда [197[ ). [c.465]

Из (2.46), (2.47) следует, что в вариантах R1- 1, R2- 2, R3- 1, R4- 2 модуль эллиптических интегралов к = 0. Можно показать, что в этом случае выражения (2.46), (2.47), будучи подставленными в (2.42) и (2.43), после ряда преобразований приводят к одной и той же форме общего решения, в которой эллиптические функции заменены обычными тригонометрическими. Варианты R3- 0, R4- 0, которые могут иметь место только при выполнении необходимых условий (2.36), (2.37), соответствуют движению по сепаратрисе. При этом согласно (2.46) и (2.47) модуль к = , откуда следует, что частота колебаний угла атаки Ша = О, а период является бесконечно большой величиной. Это объясняется асимптотическим замедлением движения вблизи седловой особой точки. [c.81]

Уравнение Дуффинга (29) при (5 = 0 всегда имеет хаотические решения вблизи сепаратрисы. Хаотическое движение в этом случае происходит в узком слое и ограничено инвариантными кривыми. При > О уравнение (29) является аналогом уравнения Дуффинга во времени с учетом диссипации и, следовательно, возможно суш ествование стохастических аттракторов. Действительно, при (5 > О происходит разрушение инвариантных линий, ограничиваюш их стохастичность вблизи сепаратрисы, и фазовые траектории могут уходить от нее достаточно далеко и попасть в область притяжения устойчивого фокуса или цикла. Таким образом, как показано с помогцью аналогового моделирования [17], при выполнении условия (35) и (5 > О траектория блуждает в окрестности сепаратрисы, пока не попадет на какой-либо аттрактор, простой или странный (стохастический). [c.380]

Уравнение Дуффинга (70) при = О всегда имеет хаотические решения вблизи сепаратрисы. Хаотическое движение в этом случае происходит в узком слое и ограничено инвариантными кривыми. При <5 > О уравнение (70) является аналогом уравнения Дуффинга во времени с учетом диссипации и, следовательно, возможно суш ествование стохастических аттракторов. Действительно, при <5 > О происходит разрушение инвариантных линий, ограничиваюш их стохастичность [c.816]

Рис. 49. Возмущение случая Горячева-Чаплыгина при фиксированной энергии (Н = 1.5) и увеличении константы площадей (приведено сечение плоскостью д = тг/2, серым цветом закрашены области невозможности движения). На рисунках видно, что вблизи сепаратрис возникает стохастический слой, который сначала увеличивается затем уменьшается вместе с областью возможного движения. Любопытно, что при дальнейшем увеличении с, ОВД уменьшается вместе со стохастическим слоем до полного исчезновения.

Описанное свойство движения характерно вблизи сепаратрисы. Частота нелинейных колебаний < (/) при изменении Я от [c.15]

Траектории вблизи сепаратрисы очень похожи на саму сепаратрису, за исключением того, что период движения стремится к бесконечности при приближении к сепаратрисе (1.3.13). [c.42]

Стохастическое движение всегда возникает возле сепаратрис, которые разделяют инвариантные кривые различной топологии. Действительно, вблизи сепаратрисы частота колебаний со стремится к нулю, см. (1.3.15). Поэтому условие резонанса с частотой невозмущенных колебаний озп. [c.62]

Изменение топологии фазового пространства вблизи резонансов, хаотические области и характер движения в них составляют основное содержание последующих глав этой книги. В данной главе мы рассмотрим методы теории возмущений, которые используются для получения решений, аппроксимирующих в некотором смысле реальное движение в многомерных нелинейных системах. Решение в форме ряда может приближенно правильно отражать грубые черты истинного движения даже тогда, когда реальная траектория является хаотической или изменяет существенно свою топологию, но при этом целиком содержится в узком слое вблизи сепаратрисы и окружена регулярными траекториями. С другой стороны, теория возмущений не в состоянии дать хотя бы качественное описание хаотического движения в тех областях фазового пространства, где перекрываются основные резонансы. [c.82]

В гл. 3 мы видели, что в системах с двумя степенями свободы, близких к интегрируемым, вблизи сепаратрис резонансов возникают области хаотического движения. Эти области сохраняются для любого ненулевого возмущения е, хотя их площадь и стремится к нулю при Е 0. Следовательно, не существует резкого перехода к стохастичности для какого-то критического значения е, и поэтому смысл любого такого критерия должен быть определен более четко. [c.244]

Захват в резонанс, когда возможен колебательный режим движения маятника. Этот режим соответствует траекториям, находящимся внутри сепаратрисы и постоянно остающимся вблизи резонанса. [c.126]

Период фазовых колебаний (время обращения по фазовой траектории) в электронных ускорителях для области вблизи равновесной фазы имеет величину, сравнимую с периодом высокочастотных колебаний. По мере удаления от равновесной фазы период фазовых колебаний увеличивается и для электронов, находящихся на сепаратрисе, он неограниченно возрастает. Движение изображающей точки по сепаратрисе неравномерное и с приближением к особым точкам 3 [c.23]

Если мы более подробно рассмотрим отображение в окрестности периодических точек на рис. 3.3, то заметим, что существуют два различных типа поведения. Вблизи эллиптической точки (см. рис. 3.3) соседние точки как бы вращаются вокруг нее. В противоположность этому вблизи гиперболической точки соседние точки уходят из ее окрестности. Мы уже встречались с поведением такого типа при рассмотрении движения в фазовом пространстве простого маятника в 1.3. Там мы нашли цепочки чередующихся эллиптических и гиперболических точек, причем первые окружены регулярными траекториями, а вторые соединены между собой сепаратрисами. Такая картина является типичной для нелинейных колебаний при малом возмущении. [c.197]

Поясним последнее обстоятельство подробнее. Сепаратрисы на секущей состоят из точек, которые получаются в результате последовательного применения отображения. Если точка принадлежит сразу двум сепаратрисам (устойчивой и неустойчивой), то и все ее образы (при и —> оо) и прообразы (при п —> —оо) также должны принадлежать двум сепаратрисам сразу. Следовательно, устойчивая и неустойчивая сепаратрисы должны иметь счетное множество общих точек, т. е. точек пересечения. Ясно, что вблизи неподвижной точки, где движение экспоненциально замедляется, точки пересечения инвариантных многообразий должны сгущаться. В результате на секущей поверхности получается картина, подобная той, что на рис. 15.16. Точки пересечения сепаратрис на секущей принадлежат двоякоасимптотической траектории, которую Пуанкаре назвал гомоклинической. При I оо эта траектория сматывается и наматывается на исходное периодическое движение. Окрестность гомоклинической траектории в фазовом пространстве называют гомоклинической структурой. В такой структуре имеется бесконечное разнообразие траекторий, среди которых наряду с периодическими есть и случайные. Полное описание траекторий, принадлежащих гомоклинической структуре, было дано сравнительно недавно на языке символической динамики [14]. [c.326]

Особенностью представления кинетической энергии в форме (4.29) является ее независимость от переменной д. Она позволяет сразу проинтегрировать задачу Эйлера — движение свободного волчка, для которого и = О (см. 1 гл. 2). Соответствующим циклическим интегралом является G = onst, представляющий собой величину кинетического момента = М . Это обстоятельство делает переменные Андуайе-Депри полезными для геометрической интерпретации и анализа возмущенной ситуации. Фазовый портрет случая Эйлера на цилиндрической развертке сферы представлен на рис. 5. При наложении возмущения, например, поля тяжести, на фазовом портрете появляются хаотические движения вблизи сепаратрис, соединяющих неустойчивые равномерные вращения (рис. 6). Остановимся на методах визуализации фазового потока более подробно. [c.55]

Мы уже видели, что хаотическое движение может возникать в диссипативных потоках с размерностью фазового пространства не меньше трех, или в соответствующих этим потокам обратимых отображениях Пуанкаре, размерность которых не менее двух. В общем случае хаотическое движение имеет место лишь для узких интервалов параметров. В этом существенное отличие от гамильтоновых систем, где хаотическое движение сохраняется, как правило, в широком диапазоне параметров. Ниже описаны два критерия локальной стохастичности для диссипативных систем. В п. 7.3а метод квадратичной ренормализации применяется к двумерным обратимым отображениям и показывается сходимость последовательности бифуркаций удвоения периода и возникновение локального хаотического движения. В п. 7.36 получен критерий перехода к хаотическому движению вблизи сепаратрисы на примере вынужденных колебаний осциллятора с затуханием. Наконец, в п. 7.3в pa ютpeнa модель ускорения Ферми с диссипацией и используется описание хаотического движения с помощью уравнения ФПК. Это уравнение позволяет получить первое приближение для инвариантного распределения на странном аттракторе. [c.453]

Движение вблизи сепаратрисы и по самой сепаратрисе. Именно эти сильно нелинейные волны и представляют для нас интерес. Периодические движения вблизи сепаратрисы (рис. 19.76) называются кноидальными волнами. Сепаратрисе соответствует локализованное в пространстве решение в виде одиночного возвышения или уединенной волны — солитона (рис. 19.7в) с амплитудой Итах = ЗУ. Это решение аналитически записывается в виде [c.398]

Все выводы, сделанные выше, можно перенести без существенных изменений и на случай произвольного потенциала, имеющего вид, похожий на рис.6, если нас интересует движение с энергией, близкой к высоте потенциальной ямы, т.е. вблизи сепаратрисы. Расстояние между солитонами определяется в основном областью вблизи верхнего положения равновесия, а потому не столь существенно, как ведёт себя потенциальная энергия вдали от этого положения. Поэтому с логарифмической точностью формула (9) для периода колебаний остаётся справедливой и для достаточно произвольного потенциала. При этом велм.чина в случав произвольного потенциала определяется кривизной потенциальной энергии в точке верхнего равновесия (на ш нижнегоЕ) В случае математического маятника обе кривизны- были, разумеется, одинаковы. [c.11]

Этот примечательный результат показывает, что движение вблизи любого резонанса ) подобно движению маятника с его колебаниями вращением и сепаратрисой. Приближение (2.4.27) использовалось Чириковым [70] и другидш авторами для описания типичного поведения гамильтоновых систем вблизи резонанса оно же является основой нашего подхода при изучении хаотического движения в окрестности сепаратрисы резонанса. Гамильтониан (2.4.27) дает в некотором смысле универсальное описание движения вблизи резонанса, поэтому мы будем иногда называть АЯ стандартным гамильтонианом. [c.127]

Сами по себе гомоклинные точки еще не дают полной картины всей этой очень сложной области вблизи сепаратрисы. Так как период фазовых колебаний обращается в бесконечность на сепаратрисе, то в ее окрестности имеется бесконечно много вторичных резонанов, соответствующих высоким гармоникам частоты фазовых колебаний. Каждый из этих резонансов имеет свою собственную систему чередующихся эллиптических и гиперболических точек, со своим сложным движением в их окрестности и многократными пересечениями как своих сепаратрис, так и сепаратрис первичного резонанса в гетероклинных точках. Все эти сепаратрисы, по-видимому, всюду плотно заполняют доступное им фазовое пространство. Пересечение сепаратрис фактически показывает, что в этой области не могут существовать инвариантные торы вследствие изменения топологии траекторий ). Подробное обсуждение этих вопросов дано Драгтом и Финном [107]. Однако для малых возмущений все это чрезвычайно сложное поведение происходит лишь в ограниченной инвариантными кривыми области фазового пространства (рис. 3.4, а). [c.200]

Чтобы исследовать структуру вторичных резонансов вблизи сепаратрисы, нужно сначала найти выражение для переменной действия. Это можно сделать либо по теории возмущений, отправляясь от движения по невозмущенной сепаратрисе, либо вычислить действие прямо из точного решения для маятника вблизи сепаратрисы (см. п. 1.3а). Хотя оба метода требуют довольно сложных вычислений, выражение для переменной действия было найдено многими авторами, и мы приведем полученные результаты, не вдаваясь в детали самих вычислений. Ниже мы будем следовать работе Смита [383 ] и Смита и Перейры [387 ], где действие было получено непосредственно из точного решения. [c.267]

Стационарное хаотическое движение. Нужно подчеркнуть, что условие пересечения сепаратрис (7.3.38) является локальным критерием стохастичности и применимо только вблизи невозмущенной сепаратрисы. Поэтому такой критерий ничего не говорит о появлении странного аттрактора, который представляет стационарное хаотическое движение в большой области фазового пространства. Уравнение Дюффинга без диссипации (б = 0) является гамильтоновым и всегда имеет хаотические решения вблизи сепаратрисы. Мы знаем, что хаотическое движение в этом случае происходит в узком слое и ограничено инвариантными кривыми. Однако при б>0 все инвариантные кривые разрушаются и траектория, хаотическая вблизи сепаратрисы, может уйти далеко от нее и захватиться устойчивым фокусом или предельным циклом. Такое поведение наблюдал Холмс [195] при аналоговом моделировании уравнения Дюффинга ). Поэтому единственное, что можно ожидать при выполнении условия пересечения сепаратрис (7.3.38), — это нерегулярное блуждание траектории в течение некоторого времени, пока она не попадет на какой-либо аттрактор, простой или странный. [c.463]

Для 0<сб < 1 неподвижные точки в центрах областей устойчивости становятся притягивающими фокусами и можно ожидать, что хаотическая компонента движения будет полностью разрушена. Останется, однако, переходной хаос вблизи сепаратрис ), как описано в п. 7.36. Численное моделирование отображения (7.3.55) подтвердило эти представления. Например, при М = 100 для 0< б< 0,02, в том числе и для очень малых б 10 , наблюдался переходной хаос. Полное разрушение стационарного хаотического движения при малой диссипации является, по всей видилюсти, типичным для таких систем. Исследование масштаба времени, в те- [c.468]

Вопрос о судьбе инвариантных торов решается теоремами 14 и 17. Движение вблизи резонанса может быть описано системой со снятым собственным вырождением вида (34), только роль малого параметра играет Уе фазовые переменные в этой системе — время и переменные действие—угол на портрете рис. 43а. Поэтому вдали от сепаратрис имеются е найденные при усреднении торы, кроме доли 0(ехр(—г/Уе)), с= = onst>0. Вблизи сепаратрис нужно специальное исследование. Оно показывает, что торы имеются экспоненциально близко к сепаратрисам, так что сепаратрисы заперты в экспоненциально узкой зоне [108]. [c.203]

На рис. 1 приведено сечение Пуанкаре рассматриваемой системы на нулевом уровне энергии Н = О плоскостью д = 0. Как видно из него, при отличной от нуля скорости набегающего потока V вблизи сепаратрис возникает стохастический слой, который увеличивается при увеличении V. Кроме того, как видно из рисунка, при увеличении V в системе появляются рассеивающиеся траектории (для них ar tg Ь). Точки (0,0) и ( тг, 0) на портрете соответствуют особенности (сингулярности) гамильтониана, в которой вихри сливаются, вблизи нее всегда (при любых V) расположены ограниченные траектории, соответствующие движениям вихрей вблизи цилиндра, при которой вихри расположены очень близко к друг другу. При больших V все ограниченные траектории подобного типа, остальные траектории рассеивающие, при этом либо один вихрь остается и вращается вокруг цилиндра, а второй относится на бесконечность, либо оба вихря сносятся потоком на бесконечность. [c.426]

Тот же приём линеаризации применяют для изучения поведения траекторий в окрестности периодич. движения L ae a(t), где а (/+т) а /). Фундам. матрица решений линеаризованной вблизи ж —ос системы ур нин имеет вид с(()ехрЛ(0, где с (/) —периодич. ф-ция с периодом т. Поведение траекторпй характеризуют мультипликаторы [собств. значения yi,. .., у,, матрицы ехрЛ(т)] один из них, скажем у , равен 1. Если I Vr I < 1 ( Yi I > для всех —1, то периодич. движение устойчиво (неустойчиво). Если р мультипликаторов лежат внутри, а <7 — вне единичного круга в комплексной плоскости, p- -q n — , то имеем периодич. движение седлового тина. В этом случае L. лежит в пересечении двух поверхностей (рl)-Mepuoii и 9 + 1)-мерной Wt (устойчивой и неустойчивой сепаратрис). [c.626]

В докритической ситуации ответвляющееся решение соответствует сходящемуся течению вблизи экваториальной плоскости и восходящей струе в приполярной области. По это решение неустойчиво н принадлен ит сепаратрисе, отделяющей область притяжения исходного решения — покоя от области притяжения конвективного движения большой амплитуды. Оба ответвляющихся режима конвекции симметричны относительно экваториальной плоскости. Такая симметрия допускается системой уравнений (29), (30) и в случае не малых амплитуд, при этом у х)—антисимметричная, а 0 (х) — симметричная функции. Свойство симметрии, как нетрудно убедиться, сохраняется для всех решений, ветвящихся при Ва п для нечетных п. [c.181]

Из этого вытекает, что движение тела будет вечно близким к комбинации движения Эйлера — Пуансо с азимутальной прецессией, исключая, однако, случай, когда начальные значения кинетической энергии и полного момента близки к таким, для которых тело может вращаться вокруг средней оси симметрии. В этом последнем случае, реализующемся лишь при специальных начальных условиях, вследствие расщепления сепаратрис вблизи средней осп возникает более сложное кувыркание около средней осп, чед1 в движении Эйлера — Иуансо. [c.381]

Классы Аппельрота определяют наиболее простые движения как в приведенном, так и в абсолютном фазовом пространстве. Остальные движения волчка Ковалевской имеют квазипериодический характер и зависят от соответствующей области бифуркационной диаграммы. При возмущении случая Ковалевской вблизи неустойчивых решений и их сепаратрис возникает стохастический слой (рис. 63). К сожалению, приведенные в этом параграфе (асимптотические) решения по разным соображениями не позволили пока продвинуться в аналитическом исследовании неинтегрируемости возмущенного волчка Ковалевской (вариационными методами при с = О доказательство неинтегрируемости получено в [22]). [c.123]

Если начальное состояние луча таково, что его действие I лежит в области Щ4.21), то это значит, что его движение в пространстве вдоль г носит диффузионный характер. Диффузия луча приводит к тому, что он достигает области вблизи невозмущенной сепаратрисы и высвечивается из волноводной области. Таким образом, действие неоднородности как возмущения приводит к уменьшению эффективной ширины волноводного канала. В область стохастического слоя попадают моды колебаний поля с боль-птими номерами. Поэтому излучение поля из стохастического слоя означает также процесс фильтрации высоких мод в волноводном канале [c.263]

В этом параграфе мы рассмотрим вторичные резонансы вынужденных колебаний маятника с гамильтонианом (4.1.26). Вследствие нелннейности свободных колебаний маятника в движении присутствуют гармоники основной медленной частоты Oq- Эти гармоники могут оказаться в резонансе с быстрым внешним возмущением частоты 2я, который называется поэтому вторичным резонансом. Поскольку исследование в общем виде является довольно громоздким, мы рассмотрим отдельно вторичные резонансы вблизи центра первичного резонанса и вблизи его сепаратрисы. [c.263]

Попытки решения задачи трех тел привели попутно к получению многих интересных математических результатов. Мы уже обсуждали общую теорию периодического движения, связанную с именами Пуанкаре [337 ] и Биркгофа [29 ], а также развитие теории KAM. Изучение стохастичности тоже было обусловлено попыткой понять хаотическое поведение траекторий вблизи гомоклинных точек (см., например, [374, 310]). В одном из вариантов ограниченной задачи трех тел Ситников [379 ] и Алексеев [6 ] показали, что в окрестности сепаратрисы (параболической траектории легкого тела) существуют траектории с произвольно большими и случайными временами возврата. Аналогичные результаты более абстрактного топологического характера были получены также Смей-лом [381 ]. [c.487]

Остальные траектории, кажущиеся на рис. 5.21 непрерывными, соответствуют квазипериодическим рещениям, когда частота соударений щарика о стол несоизмерима с частотой колебаний стола. Наконец, на рис. 5.21, б (Л = 1,2) представлены движения третьего типа вблизи тех мест, где при меньщих значениях параметра К существовали сеяла и сепаратрисы, идущие из седла в седло, мы видим облако точек. Это облако точек соответствует консервативному хаосу. При К < 1 оно локализовано в окрестности седловых точек. Но при К 1 блуждающая траектория становится глобальной — размазывается по всему фазовому пространству. [c.191]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...