Анализ преобразования Лапласа

Перечисленные допущения характерны для функционального моделирования, широко используемого для анализа систем автоматического управления. Элементы (звенья) систем при функциональном моделировании делят на три группы 1) линейные безынерционные звенья для отображения таких функций, как повторение, инвертирование, чистое запаздывание, идеальное усиление, суммирование сигналов 2) нелинейные безынерционные звенья для отображения различных нелинейных преобразований сигналов (ограничение, детектирование, модуляция и т. п.) 3) линейные инерционные звенья для выполнения дифференцирования, интегрирования, фильтрации сигналов. Инерционные элементы представлены отношениями преобразованных по Лапласу или Фурье выходных и входных фазовых переменных. При анализе во временной области применяют преобразование Лапласа, модель инерционного элемента с одним входом и одним выходом есть передаточная функция, а при анализе в частотной области — преобразование Фурье, модель элемента есть выражения амплитудно-частотной и частотно-фазовой характеристик. При наличии нескольких входов и выходов ММ элемента представляется матрицей передаточных функций или частотных характеристик. [c.186]

Частным случаем преобразования (6С), которое используют для анализа линейных звеньев и систем в радиотехнике и теории автоматического регулирования, является преобразование Лапласа. В этом случае передаточная функция[12] [c.71]

Анализ вибрации и распространения волн в вязкоупругих композитах проведен в [1]. Причем основное внимание уделено расчету поведения при стационарном гармоническом нагружении. Хорошо известно, что, используя свойство интеграла Фурье, решения для стационарного случая можно применить для расчета поведения при нестационарных воздействиях произвольного вида. Обсудим вкратце этот подход с точки зрения применения к решению задачи алгоритма FFT [20]. В динамическом анализе композитов используются и другие методы, например преобразование Лапласа [1] и метод характеристик [21]. Однако есть основания полагать, что точность и вычислительная эффективность алгоритма РТТ плюс легкость получения стационарного поведения при помощи упругих решений делают этот подход наиболее привлекательным. Здесь представляет интерес также удобство применения численных или очень общих аналитических представлений комплексных модулей (податливостей). [c.196]

На основе работ, выполненных в 1936 г. в ВЭИ, в 1938—1939 гг. были опубликованы исследования А. В. Михайлова, который предложил использовать в теории регулирования частотные методы, ранее применявшиеся в радиотехнике, и сформулировал новый критерий устойчивости линейных систем автоматического регулирования. В 1939 г. в ВЭИ В. В. Солодовников применил преобразование Лапласа для решения задач теории регулирования и провел анализ устойчивости системы регулирования с распределенными параметрами. [c.238]

С. П. Тимошенко [199] дает подробный анализ тех соотношений, которые наблюдаются в случае упругого удара. Для вычисления колебаний, возникающих после удара или после резких изменений нагрузки, удобны методы операционного исчисления и преобразование Лапласа [18]. Рассмотрим колебания бесконечно длинной балки, лежащей на упругом основании, на которую в точке, принимаемой за начало (х = 0), действует в течение очень короткого времени /о сила P t), меняющаяся во времени, причем импульс силы [c.104]

Сущность аналитического подхода к построению динамической модели заключается в том, что интегральное уравнение (10.50) при определенных условиях может быть сведено в интегральному уравнению Вольтерра первого рода типа свертки, которое просто решается при помощи преобразования Лапласа. Пусть по результатам теоретического анализа или статистической обработки экспериментальных данных заданы корреляционная функция Кхх (О входной случайной функции X (t) и взаимная корреляционная функция Кух (О входной X (t) и выходной Y (О случайных функций. Представим корреляционную функцию Кхх W в виде [c.336]

Уравнение (7.122) в частных производных позволяет определить искомые передаточные функции. Однако такая форма выражения динамических свойств мало пригодна для использования при анализе систем регулирования. Поэтому на основании частных решений уравнения (7.122) будут найдены частотные характеристики и передаточные функции для отдельных случаев, представляющих практический интерес. При решении уравнений используется метод преобразования Лапласа. Ниже в общих чертах без деталей будет рассмотрен только ход решения уравнений, а громоздкие промежуточные вычисления будут опущены. В качестве исходных приняты уравнения (7.120) и (7.121). [c.171]

Предварительные замечания. В этой главе показано применение операторных и комплексных передаточных функций (ПФ) для описания свойств линейных механических систем. Термин операторные ПФ связан с операционным исчислением [7], использующим преобразование Лапласа, и с символическим методом анализа [7, 13] линейных систем, использующим оператор дифференцирования. Термин комплексные ПФ связан с комплексным представлением гармонических функций и преобразованием Фурье. Операторные ПФ, характеризующие свойства системы при воздействии произвольного вида, используют для теоретического рассмотрения динамических задач. Комплексные ПФ характеризуют свойства системы при гармоническом воздействии на нее, т, е, они являются размерными п безразмерными частотными характеристиками системы. На практике их используют как для теоретического, так и для экспериментального исследования механических систем. В эксперименте значения комплексных ПФ всегда находят через пару первичных механических величин — сил, перемещений, скоростей, ускорений и т. д. Измеряемые Комплексные ПФ всегда являются результатом косвенных измерений, основанных на прямых измерениях первичных механических величин, т. е. являются вторичными механическими величинами. [c.41]

Эти результаты получены Лоджем [ ]. Приводимые ниже прямые доказательства просты, но обладают двумя новыми особенностями, отсутствовавшими до сих пор в нашем анализе. Будет использован как наиболее удобный базис, не ортонормальный или не ортогональный в некоторых состояниях, для которых компоненты напряжения не равны нулю. Кроме того, для получения результатов (7.37), (7.42) и (7.46) при решении интегрального уравнения мы будем пользоваться преобразованием Лапласа. [c.189]

Для того чтобы выполнить анализ линейной системы автоматического управления или другой динамической системы по временным характеристикам, необходимо решить уравнение (16) динамики САУ. В теории автоматического управления для решения уравнений динамики используется операторный метод на основе преобразования Лапласа. Если f (/) = О при / < О, то ее преобразование по Лапласу [c.67]

Следует заметить, однако, что в общем случае множество всех значений со и к, для которых уравнение (8.2) имеет решение, слишком велико в том смысле, что не все решения из него являются линейно независимыми. Это обстоятельство затрудняет получение выводов из анализа задачи на собственные значения для более чем двух комплексных параметров. Альтернативой является использование преобразования Лапласа — Фурье [c.231]

Интенсивное развитие современных средств вычислительной техники привело к широкому распространению цифровых систем управления, которые в настоящее время используются в различных отраслях промышленности. Внедрению цифровых систем управления в значительной степени способствовало создание микропроцессоров и построенных на их основе микро-ЭВМ. Методы проектирования подобных систем существенно отличаются от классических методов, применяемых при анализе и расчете систем непрерывного типа. Во-первых, это связано с тем, что основой математического аппарата проектирования цифровых систем являются разностные схемы, которые заменяют дифференциальные уравнения, описывающие непрерывные системы. Соответственно методы, связанные с использованием обычного преобразования Лапласа, заменяются различными формами г-преобразования. Во-вторых, алгоритмы, применяемые при расчете цифровых систем, в частности построение дискретных моделей, зачастую могут быть реализованы только с помощью ЭВМ. [c.5]

Приведенные примеры иллюстрируют методику получения г-преобразований для некоторых простейших функций. Аналогичным способом составляются таблицы, содержащие наиболее часто употребляемые функции. Небольшая таблица такого рода помещена в приложении к данной книге. В ней для нескольких непрерывных функций времени даны преобразования Лапласа и г-преобразования. Анализ этой таблицы позволяет заключить следующее [c.35]

Книга может оказаться полезной для студентов технических высших учебных заведений, а также для инже-неров-практиков. При этом предполагается, что читатель знаком с основами математического анализа и теорией линейных дифференциальных уравнений. Кроме того, предполагается, что читатель изучит преобразование Лапласа, так как большинство рассматриваемых в книге уравнений и задач записывается в обозначениях преобразования Лапласа. Преобразование Лапласа рассматривается в гл. 2 приведенные там простейшие правила легко воспринимаются. Используемый в книге математический аппарат делает ее доступной для студентов младших курсов, однако сведения по динамическим характеристикам объектов рассчитаны на студентов, которым уже известны принципы работы химических аппаратов, законы тепло- и массообмена. При обсуждении динамических характеристик теплообменников, дистилляционных колонн и реакторов предполагается, что читатель уже имеет некоторое представление о работе этих агрегатов в установившемся режиме- [c.5]

При построении системы КОР используется метод Винера-Хопфа. Первоначально полученные замкнутые решения выражаются тройными интегралами, и при их реализации возникают различные вычислительные проблемы, связанные с медленной сходимостью обращений преобразования Лапласа. Спектральный анализ соответствующих характеристических функций позволил преодолеть эти трудности и построить эффективное решение, в котором все ряды и интегралы имеют экспоненциальную сходимость. Для сингулярных точек области получены асимптотические представления решений и явные формулы для коэффициентов интенсивности. Получены простые формулы для временных осадок штампа на прямоугольнике. Выполнены численные проверки сходимости, приводятся численные результаты по исследованию изменения коэффициента интенсивности напряжений в процессе консолидации. [c.574]

Для анализа течения в данном случае применяется та же процедура, что и ранее. После замены независимых переменных и преобразования Лапласа по Т получается система обыкновенных дифференциальных уравнений, общее решение которой в области разрушения, ограниченное при д - оо, имеет вид [c.179]

Анализ процесса хроматографической адсорбции с точки зрения кинетики [Л. 235] свел задачу к решению уравнения (3-14) с краевыми условиями (3-15). Пусть f( , 5) есть изображение функции 7( , ц) по переменной т]. Приложение метода преобразования Лапласа по т) к дифференциальному уравнению в частных производных (3-14) дает [c.87]

Метод граничных интегральных уравнений при решений динамических задач теории упругости широко используется [29, 41, 42, 374, 408, 439, 442 и др.]. В контактных задачах прямая формулировка метода граничных интегральных уравнений более предпочтительна по сравнению с непрямой. Динамические задачи можно решать в реальном пространстве — времени, а можно использовать преобразования Лапласа или Фурье по времени. Сравнительный анализ таких подходов с точки зрения эффективности численной реализации [517, 556] показал, что с точки зрения скорости и объема вычислений методы использующие преобразования Лапласа или Фурье по времени, более эффективны. Предпочтение отдается методу, использующему преобразование Лапласа. Дополнительное преимущество этого метода по сравнению с методом решения в реальном пространстве — времени состоит в том, что при небольших изменениях он позволяет решать задачи о гармоническом нагружении. Это обстоятельство и явилось решающим при выборе варианта метода граничных интегральных уравнений. Таким образом, при,решении динамических контактных задач с односторонними ограничениями для упругих тел с трещинами использовалась прямая [c.106]

В идейном плане алгоритм решения задачи основан на результатах и методах выпуклого анализа [72, 338, 420] и заключается в нахождении седловой точки граничного функционала (4.56) на множествах допустимых вариаций (4.55) и (4.57), т. е. основан на второй формулировке задачи. При численной его реализации используются граничные интегральные уравнения и прямое и обратное преобразования Лапласа, т. е. третья формулировка. [c.131]

При анализе эволюционной задачи удобно использовать преобразование Лапласа или Фурье по времени, если, конечно, коэффициенты уравнений не являются функциями времени. В результате получается обыкновенное дифференциальное уравнение с правой частью, дополненное граничными условиями. Решение такого уравнения можно получить методом функции Грина, Однако применение этого метода нуждается в дополнительном исследовании. Дело в том, что вид функции Грина принципиально зависит от того, существует или нет нетривиальное решение однородного уравнения. Если его нет, то неоднородная задача всегда имеет определенное единственное решение. Если же однородная задача имеет нетривиальное решение, то это не так. Во втором случае вводится понятие обобщенной функции Грина [9]. Ее построение не приводит к однозначному решению, и даже в простейшем случае довольно громоздкое. В физических приложениях обычно ограничиваются построением классической (необобщенной) функции Грина. При этом всякий раз приходится решать вопрос о существовании собственного решения однородной задачи. [c.90]

При локальном источнике возмущения в упругой системе в любой момент времени будут также локальными, т. е. будут содержаться в некоторой ограниченной области. Преобразование Лапласа по времени / вследствие запаздывания прихода возмуш,ений с удалением от их источника будет экспоненциально убывать при стремлении пространственной координаты к бесконечности. Отсюда вытекает, что преобразование ЬР (преобразование Фурье над преобразованием Лапласа) существует и является аналитической функцией переменных р и Из указанного свойства следует также законность перемены порядка интегрирования в прямом и обратном преобразованиях ЬР. В общем случае обращение двойного преобразования производится последовательно [4], однако при некоторых условиях возможны существенные упрощения. Приведем здесь ряд приемов, облегчающих анализ (обращение) преобразования ЬР. [c.78]

При анализе свойств резольвентного оператора возникают определенные трудности [17]. Тем не менее, применяя совершенно формально [18] обратное преобразование Лапласа к уравнению (1.43), можно получить [c.34]

Расчет динамической жесткости масляного слоя удобно проводить, используя математический аппарат теории автоматического регулирования. Передаточная функция гидростатической опоры представляет собой отношение преобразования Лапласа величины зазора к преобразованию Лапласа величины усилия. На рис. 25, а приведены составляющие давлений для разомкнутой опоры при анализе динамической жесткости в соответствии с [7]. [c.47]

В работе [92] приводится применение преобразования Лапласа для получения реакции в металле или катушке около металла. Первый приведенный пример содержит анализ поля в виде ступеньки во времени, параллельного поверхности плоского проводящего полупространства. В качестве исходного использовалось решение для установившегося синусоидального поля, применение обратного преобразования к которому дает решение для неустановившегося поля. Второй пример касается импульсного магнитного поля, направленного параллельно оси очень длинного проводника с прямоугольным поперечным сечением. [c.420]

Применение преобразования Фурье к Лапласа упрощает анализ не только линейных систем, но и нелинейных [c.99]

Условие равенства нулю функции при значениях се аргумента т < О вьшол-няется далеко не всегда. Примером такич функций являются многомерные моменты случайного процесса, которые используются при статистическом анализе систем [12]. Поэтому наряду с преобразованием Лапласа для анализа линейных систем применяют преобразование Фурье. Передаточная функция в этом случае связана с импульсным откликом следующими соотношениями [c.71]

Для тел, подчиняющихся требованиям одного из вариантов принципа соответствия, приведенных в разд. III, вязкоупругий анализ выполняется сразу, если имеется упругое решение. Для таких случаев обычно удобно сначала получить квазиупругое решение для переходной проводимости, а затем — если нагружение переменно во времени — использовать интеграл суперпозиции. При этом наибольшая точность получается в том случае, когда при заданных поверхностных и/или массовых силах в упругом решении используются функции ползучести, а при заданных перемещениях — функции релаксации. Однако даже если последние условия не выполняются (т. е. если при заданных силах берутся функции релаксации и применяется приближенное соотношение (95), то ошибка все равно остается малой, особенно в случае, когда вязкоупругими фазами являются жесткие полимеры (Мак-Каммонд [66], Симс [106]). Для других видов фаз с резко выраженными вязкоупругими свойствами, когда необходимо выразить фувкцию ползучести через функцию реллксации, желательно использовать точное соотношение (93) и обратное преобразование Лапласа. [c.162]

В заключение коснемся работы Хегемира [52], в которой детально изучались стационарные и нестационарные колебания в слоистых и волокнистых композитах. В этой работе основное внимание уделяется анализу явлений рассеяния в упругих материалах, однако приводится и решение для нестационарных волн в вязкоупругих слоистых композитах, распространяющихся перпендикулярно слоям. Это решение было получено при помощи принципа соответствия и обращения преобразования Лапласа. [c.182]

Проблемы, связанные с вращением деталей машин, с которы-ии ранее сталкивались на практике лишь отдельные лица, стали задачами ежедневной действительности. Много задач было решено, однако много еще остается решить. Практически невозможно написать книгу о динамике машин, которая дала бы читателю представление обо всем том, что содержится в данной области. Поэтому я решился изложить динамику машин в нескольких статьях, имея в виду познакомить читателя в первую очередь с новейшими методами расчета, которые, конечно, молено применить и для решения специальных задач, не приведенных в книге. Я стремился приблизить описываемые методы к уровню знания инженеров. Поэтому я остановился на тех методах, включая собственные методы, которые могут найти применение у широкого круга инженеров, занятых в области динамики машин методы при этом не являются слишком слолсными и затруднительными в математическом отношении. Я рассчитывал только лишь на знание основной теории дифференциальных уравнений, преобразования Лапласа, основ алгебры,—другими словами, тех методов математического анализа, которые в настоящее время в работах этого вида обычно применяются. Многочисленные ссыл- [c.5]

Методика аппроксимации основана на анализе характеристик мнимых частот (ХМЧ), построенных для исследуемых передаточных функций f201. ХМЧ выражают реакцию системы на экспоненциальные возмущения Авхр(it/ в отличие от обычных часточных характеристик, которые описывают Повед е системы при изменении входного сигнала по гармоническому закону ft 6Хр1 1 i tj. Построение ХМЧ сводится к замене р ш в передаточных функциях, при этом О - о . Это означает проведение исследований изменения передаточной функции вдоль действительной полуоси комплексной переменной р преобразования Лапласа. [c.20]

Указанные положения будут применены далее при решении уравнений динамики радиационных и конвективных теилообменников. Решение выполняется методом преобразования Лапласа. Передаточные функции, получаемые уже на первом этапе решения, часто являются конечной целью анализа. Исследование передаточных функций позволяет иногда без нахождения epeiMenHbix зависимостей проследить за влиянием ряда режимных и конструктивных параметров на инерционные свойства теплообменника. Однако передаточные функции не наглядны, и лишь для простейших динамических звеньев по образу можно представить изменение параметра во времени. [c.128]

Исходную систему компонентных и топологических уравнений (3.1) и (3.2) можно рассматривать как окончательную ММС, которая и подлежит численному решению. Численное решение этой системы уравнений предполагает ал-гебраизацию дифференциальных уравнений, например, с помощью преобразования Лапласа или формул численного рштегрирования. В программах анализа нелинейных объектов на макроуровне, как правило, применяются формулы численного интегрирования, примером которых может служить неявная формула Эйлера [c.96]

Рассмотрим результаты численных расчетов для материала бор-эпоксид, который характеризуется угшугими константами = = 224,06-10 Н/м", 2 = 12,69-10 Н/м , = 4,43-10 H/м t< = = 0,256. Зависимости безразмерных коэффициентов интенсивности напряжений от времени представлены на рис. 7.1. Анализ этих зависимостей показьшает, что, как и в случае изотропных материалов, в орто-тропных материалах наблюдается некоторое увеличение динамических коэффициентов интейсивности напряжений A i(r) и A u(f)no сравнению со статическими значениями, которое обусловлено приходом в вершину волн Рэлея. Кривые K t) и А ц(0 в этот момент оказались сглаженными вследствие численного обращения преобразования Лапласа. Заметим, что более значительное (в 2. .. 8 раз) превышение динамических коэффициентов интенсивности напряжений значений А ](0 и А ц(0 над статическими значениями наблюдается в случае трещины на границе раздела разнородных материалов [110] (при условии, что сингулярность напряжений имеет порядок yJ7-, это имеет место, например, для комбинаций никель-железо, цинк-алюминий, никель-золото). [c.184]

Методом преобразования Лапласа получено аналитическое решение, и дается анализ распространения волн напряжений в разрушившемся волокне в случае упругого деформирования компонентов (разд. 3). Решение уравнений и их стьпсовка для различных стадий упругопластического де-фэрмирования матрицы на сдвиг построены путем применения численного метода расчета (разд. 4), Также методом сеток решаются уравнения и исследуются динамические эффекты, сопутствующие отслоению разрушившегося волокна от матрицы (разд. 5). [c.94]

Заслуживают внимания и некоторые другие приемы, используемые в книге, например, улучшение сходимости рядов и интегралов Фурье с помои ью экспо-ненциальной весовой функции ( 9, 11). Данный прием обладает еш е и тем преимуш еством, что в некоторых случаях он суи ественно упрощает обращение двойных преобразований Лапласа—Фурье ( 18). Рациональность этого предложения продемонстри рована, в частности, при изложении классической задачи Лемба ( 33), решение и анализ которой автору удается провести короче и проще, чем это делалось ранее. [c.3]

В то время как его оригинал при /— оо неограничен. Вместе с тем, в случае изображения сложного вида возможность обойтись без анализа его поведения на комплексной плоскости р очень заманчива. В связи с этим разработаны способы обращения на вещественной оси [53]. В соответствии со сказанным выше при проведении выкладок обычно требуется очень высокая точность. Приведем здесь одну любопытную формулу (Уиддера), основанную на дифференцировании изображения на вещественной оси. Продифференцируем п раз преобразование Лапласа под знаком интеграла (что законно при достаточно большом значении р). Получим [c.73]

М. Р. Mortell [3.1371 (1969) изучал реакцию сферической оболочки при симметричном относительно вертикальной оси деформировании. Рассмотрена оболочка с центральным вырезом (0 = 0о), к краю которой мгновенно прикладывается распределенный изгибающий момент Mq. Исследуется распространение волновых фронтов методом преобразования Лапласа при малых временах. В отличие от обычно применяемой процедуры искомые функции сразу представлены в виде асимптотических разложений по обратным степеням параметра преобразования р и подставлены в исходные уравнения, которые сильно упрощаются и поэтому легко решаются. Решение получено в промежутке 6o<0движения волнового фронта до 0=я и обратно. Выделены и исследованы сингулярные решения при 0 = л. Для больших времен решение выгодно строить методом разложения по собственным функциям, при этом, однако, анализ распространения волновых фронтов оказывается затруднительным. [c.226]

Преобразование Карсона используется в теории автоматического регулирования наравне с преобразованием Лапласа. В общей теории линейных систем применяется также двустороннее преобразование Лапласа, отличающееся от одностороннего преобразования (2.21) тем, что имеет нижний предел — сх> вместо О [20]. Методы прикладного математического анализа, позволяющие получать решения линейных дифференциальных и интегральных уравнений на основе интегральных преобразований, составляют содержание операционного исчисления. Отдельные стороны операционного исчис-л,ения будут затрагиваться в последующих разделах с использованием одностороннего преобразования Лапласа. [c.35]

Суть методики состоит в использовании прямого и обратного преобразований Лапласа и анализе точных уравнвшй моментов и координат. составленных для здаы застоя (т.е, разомкнутого по главной обратной связи гршода). Как известно, в пространстве оригиналов [c.343]

Пакет LADP [31. Кембриджский пакет анализа и проектирования линейных ( систем позволяет проектировать одномерные и многомерные системы с помощью классических частотных методов. К ним относятся методы, основанные на логарифмических частотных характеристиках, годографах Найквиста и Николса, корневых годографах, а также методы моделирования полученных линейных систем. Для многомерных систем используются метод характеристических годографов и метод годографов Найквиста. Робастность многомерных систем можно исследовать с помощью графиков вырожденных значений. В пакете предусмотрен ряд специальных команд, позволяющих пользователю переходить от описания, системы в пространстве состояний к преобразованию Лапласа и наоборот. Имеется возможность исследовать не только непрерывные, но и дискретные системы, строить графики на w-плоскости и переходить от описания дискретной системы в пространстве состояний к г-преобразованию. [c.196]

Возможности программного обеспечения интерактивная программа с графическими возможностями для классическбго анализа и проектирования линейных систем управления. Позволяет определять рациональные передаточные функции в виде преобразования Лапласа либо г-преобразования преобразовывать передаточные функции путем суммирования, вычитания, умножения и деле- [c.314]

Интерактивная графическая программа LSAP предназначена для анализа и синтеза линейных систем управления. В ней реализованы практически все классические методы проектирования, в том числе преобразование передаточных функций и вычисление корневых годографов, П Остроение временных и частотных характеристик систем. Программа LSAP позволяет исследовать как непрерывные, так и импульсные системы. Для описания непрерывных систем используется преобразование Лапласа, для импульсных систем2-преобразование. Имеется возможность определения z-преобразования по известному преобразованию Лапласа. [c.335]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...