Гармонические Комплексное представление

Предварительные замечания. В этой главе показано применение операторных и комплексных передаточных функций (ПФ) для описания свойств линейных механических систем. Термин операторные ПФ связан с операционным исчислением [7], использующим преобразование Лапласа, и с символическим методом анализа [7, 13] линейных систем, использующим оператор дифференцирования. Термин комплексные ПФ связан с комплексным представлением гармонических функций и преобразованием Фурье. Операторные ПФ, характеризующие свойства системы при воздействии произвольного вида, используют для теоретического рассмотрения динамических задач. Комплексные ПФ характеризуют свойства системы при гармоническом воздействии на нее, т, е, они являются размерными п безразмерными частотными характеристиками системы. На практике их используют как для теоретического, так и для экспериментального исследования механических систем. В эксперименте значения комплексных ПФ всегда находят через пару первичных механических величин — сил, перемещений, скоростей, ускорений и т. д. Измеряемые Комплексные ПФ всегда являются результатом косвенных измерений, основанных на прямых измерениях первичных механических величин, т. е. являются вторичными механическими величинами. [c.41]

Частотные характеристики (импеданс и подвижность, комплексные жесткость и податливость, комплексные масса и восприимчивость (см. гл II)), используют прежде всего для расчета колебаний сложных систем исходя из свойств их составных частей Во многих случаях эти составные части (подсистемы) сложны. Их характеристики легче определять экспериментально в виде частотных зависимостей вибрации в точках соединения подсистем при определенных искусственных силовых или кинематических воздействиях. Полученные данные, а также известные вынуждающие силы в рабочем режиме позволяют вычислить ожидаемую вибрацию механической системы с помощью алгебраических уравнений при использовании комплексного представления гармонических функций. Формулы для расчета приведены в гл. II. [c.314]

Комплексное представление гармонических колебаний. Формула Эйлера [c.20]

Возможны другие варианты комплексного представления гармонических колебаний. Например, закон колебаний в форме (8) получается из комплексного представления [c.20]

В расчетах удобно пользоваться комплексным представлением плоской гармонической волны [c.19]

Затухающая сила характерна для дозаторов жидкости и сыпучих материалов, у которых при подходе к дозе уменьшается производительность питателя. При образовании комплексной возмущающей силы P (t) по заданной действительной силе P(f) ее принимают за вещественную часть комплексной силы. Правило образования комплексной силы по заданной действительной силе вытекает из формулы комплексного представления гармонического процесса, описываемого уравнением (48). Например, если действительная гармоническая сила [c.175]

Покажем, что при соблюдении известных условий, налагаемых на временную зависимость волны р (t, г), которые будем читать выполненными, можно представить волну в виду суперпозиции гармонических волн различных частот путем разложения по Фурье функции р. Эти условия таковы если функция периодична по времени, то она разлагается в ряд Фурье если функция не периодична, но достаточно быстро убывает при —оо и/—>-f оо (например, является ограниченным по времени импульсом), то она разлагается в интеграл Фурье. Если спадание на бесконечности недостаточно быстрое, то разложение в интеграл Фурье неосуществимо. Будем пользоваться комплексным представлением волн. [c.70]

Форма гармонической волны сохраняется при отражении только при комплексном представлении волн. Действительно, если коэффициент отражения есть комплексное число, <2/ = <2/ то, переходя к вещественной записи, найдем, что падающей волне р = os ti>t— kz) соответствует отраженная волна вида [c.129]

Рассматривать гармонические волны (в комплексном представлении) в задаче об отражении очень удобно, так как отражение всегда получается правильное. Но сама постановка задачи об отражении гармонических волн отличается от случая падения волны произвольной формы, например ограниченного импульса. В самом деле, пока ограниченный импульс не достиг препятствия, он бежит так, как если бы препятствия не было. Когда импульс достигнет препятствия, вблизи границы возникнет некоторое сложное звуковое поле, зависящее от граничных условий это — процесс отражения. Через некоторое время падающая волна исчезнет и перед препятствием останется только одна бегущая от препятствия отраженная волна. Таким образом, до отражения имеется только падающая волна, а после отражения — только отраженная. Падающую волну можно считать причиной., а отраженную — следствием в таком же смысле, как камень, падающий в воду, можно считать причиной всплеска. [c.129]

Мы видели, что все случаи отражения плоских волн любой формы от плоского однородного препятствия сводятся к задаче об отражении плоских гармонических волн. Эта последняя задача решается, как мы видели, если известна частотная зависимость проводимости или импеданса препятствия. Для гармонических волн удобно пользоваться комплексными представлениями как самих падающих и отраженных волн, так и углов скольжения. Мнимый угол скольжения соответствует неоднородной волне. Проводимость препятствия в общем случае— комплексная. Особый интерес представляет нахождение для препятствия с заданной входной проводимостью такой гармонической волны, которая одна может удовлетворить граничному условию на поверхности препятствия. Такой случай соответствует обращению коэффициента отражения от препятствия в нуль или в бесконечность. [c.195]

Соотношение (1.9) можно интерпретировать как результат сложения двух сдвинутых по фазе на 90° колебаний, что следует из соотношений (1-10). Сложение двух гармонических колебаний, которые имеют одинаковые частоты сох=со2, производится аналитически и в самом обш,ем случае. Используя комплексное представление, находим [c.16]

Основная идея изложенного в гл. 10 метода комплексной переменной для решения плоской задачи теории упругости состояла в том, чтобы представить искомые напряжения и перемещения через функции комплексной переменной, т. е. по существу через гармонические функции действительных переменных Ха.. Для этих функций формулируются те или иные краевые задачи, методы решения которых и составляют содержание соответствующего раздела теории упругости. Большая часть эффективных методов решения пространственных задач теории упругости представляет собою развитие той же идеи. Здесь мы приведем и будем в дальнейшем использовать одно такое представление решения задачи теории упругости через четыре гармонические функции. Это представление было открыто Папковичем в 1932 г. и независимо Нейбером в 1933 г. Будем отправляться от уравнений Ламе при отсутствии объемных сил [c.359]

Анализ вибрации и распространения волн в вязкоупругих композитах проведен в [1]. Причем основное внимание уделено расчету поведения при стационарном гармоническом нагружении. Хорошо известно, что, используя свойство интеграла Фурье, решения для стационарного случая можно применить для расчета поведения при нестационарных воздействиях произвольного вида. Обсудим вкратце этот подход с точки зрения применения к решению задачи алгоритма FFT [20]. В динамическом анализе композитов используются и другие методы, например преобразование Лапласа [1] и метод характеристик [21]. Однако есть основания полагать, что точность и вычислительная эффективность алгоритма РТТ плюс легкость получения стационарного поведения при помощи упругих решений делают этот подход наиболее привлекательным. Здесь представляет интерес также удобство применения численных или очень общих аналитических представлений комплексных модулей (податливостей). [c.196]

Уравнения можно получить опираясь на свойства гармонических функций (и, в частности, путем применения формулы Грина) или используя гидродинамический прием наложения течений, или, что проще всего, непосредственно из общих представлений аналитических функций в области решетки. Возьмем, например, приведенное выше выражение (5.13) комплексного потенциала ИГ(д) [c.49]

Формула Гурса. Эта формула дает представление би-гармонической функции через две функции комплексного переменного. Исходными служат соотношения (1.12.4) и (1.13.9) [c.479]

Следовательно, частотная характеристика системы равна отношению выходного гармонического процесса ф к входному гар-моническому процессу ехр (/ /), представленному в комплексном виде. Отсюда [c.108]

При анализе волновых процессов иногда удобно использовать представление гармонической функции с помощью комплексной функции действительного аргумента [c.166]

I. Некоторые гармонические функции, связанные с упругими смещениями. В плоской теории упругости существует тесная связь между решениями граничных задач (первой и второй) и теорией аналитических функций комплексной переменной. Эта связь основана на известных представлениях Колосова—Мусхелишвили (см. Мусхелишвили [1]) для составляющих смещений и напряжений, с помощью двух пар аналитических функций эти представления имеют следующий вид [c.595]

Представление (5.8) путем использования в ядре функции Ф ( — г а) 5.3) обобщается на случай гармонических колебаний с постоянным сдвигом а фаз колебаний соседних профилей (Г. С. Самойлович, 1962), а при использовании разложения (5.5) и формул Чаплыгина — Седова дает возможность получить общие выражения комплексных амплитуд нестационарных сил и моментов в виде конечных формул (квадратур), каждый член которых имеет определенный гидродинамический смысл (В. П. Ва-хомчик, 1965, 1966). Такие выражения имеют некоторые вычислительные преимущества перед простейшим вихревым методом и, кроме того, позволяют аналитически получить дЛя предельных значений геометрических и кинематических параметров асимптотические результаты, которые, как правило, ускользают от численных расчетов. [c.139]

При этом принимается, что в момент времени (о операторы в представлениях Шредингера и Гейзенберга совпадают. Поскольку существует одно-однозначная взаимозависимость между д, р, с одной стороны, и между а, а — с другой, то классический гармонический осциллятор может быть эквивалентным образом описан как координатами д, р, так и комплексной нормальной координатой. Аналогичные соответствующие заключения могут быть сделаны также и для квантовомеханических величин. [c.89]

Таким образом, строго говоря, в этом случае не сохраняет свою форму и гармоническая волна однако нарушение формы сводится только к сдвигу по фазе по отношению к падающей волне. При комплексном же представлении сдвиг фазы нарушением формы не считают его относят к коэффициенту отражения и отражение считают правильным. [c.129]

Рис. 2.11. Представление гармонических сигналов в комплексной форме

При решении многих плоских задач удобно принимать гармонические функции fi (Xi, х в выражениях (9.85) в форме однородных гармонических полиномов, определяемых вещественной Re и мнимой Гт частями функции ю = г" комплексного переменного z = Xi + ix . В этом случае представления (9.85) бигармонической функции Ф принимают вид [c.240]

Здесь будет показано, что использование комплексного модуля является удобным методом описания поведения вязко-упругого материала, причем в одних случаях он более удобен, чем обобщенная стандартная модель или модель с обобщенными производными, в других — менее, однако его можно связать с рядом наблюдаемых в экспериментах и до сих пор не обсуждавшихся фактов. Прежде всего следует вспомнить, что, применяя комплексное представление exp(ift)0. мы просто используем удобный математический аппарат, позволяющий комбинировать две функции os at и sin o , каждая из которых одинаково хорошо представляет гармоническое движение во временном пространстве. Если деформации и напряжения изменяются но закону e = eosin или e = eo os( i, соотношение (2.62) можно представить в виде [c.92]

В отличие от обычных виброиспытаний абсолютные уровни сил и параметров вибрации не имеют существенного значения. Их выбирают произвольно в пределах линейности объекта, но по возможности выше уровня помех. Как правило, достаточны вынуждающие силы 10—50 Н. Аппаратура отличается способом крепления возбудителей к объекту и применением силоизмерительных датчиков, а также специальных комбинированных датчиков—импедаисиых головок Кроме простейших исследований обязательно измерение сдвига фазы гармонических сигналов силы и вибрации или их действительной и миимой частей при комплексном представлении сигналов [c.315]

О кинематических характеристиках гармонических котебанпй и их комплексном представлении см. т. 1, гл. I, параграф 4. [c.13]

Рассмотрим динамическую модель виброэащитной системы, представленную на рис. 1. Свойства каждого из одноосных виброиэоляторов описываются его динамическими жесткостями, связывающими комплексные амплитуды гармонических сил и возникающих в точках крепления т-го виброизолятора к источнику и к объекту при гармонических воздействиях частоты со с комплексными амплитудами перемещений этих точек [c.226]

Подчеркнем, что размеры и положение в пространстве нормировочного параллелепипеда могут быть любыми, например, L = 1 см или 1 км . При этом для данного реального поля Е г) в зависимости от объема и его расположения будет изменяться гармонический состав Ён. Совокупность комплексных гармоник Ей (t) точно определяет поле внутри выбранного ящика периодичности (и не имеет отношения в общем случае к полю вне X ) или, как говорят, образует if i-представление электрического поля. Аналогично функция Е г, t) образует ri-представление. [c.81]

Решение плоской задачи теории упругости зависит от двух координат и может быть выражено через две произвольные (с точки зрения выполнения уравнений равновесия и условий неразрывности) двухмерные гармонические функции, определяющиеся путем подчинения решения двум краевым условиям на плоском граничном контуре. То обстоятельство, что ортогональные преобразования координат на плоскости и теория двухмерных гармонических функций тесно связаны с теорией функций комплексного переменного, позволило разработать общий метод решения плоской задачи, основанный на аппарате теории аналитических функций (Г. В. Колосов [10], Н. И. Мусхелишвили [20] и его школа). Этот путь в принципе позволяет подойти к решению любой плоской задачи, но наиболее эффективен для односвязных и (в меньшей мере) для двухсвязных областей. Основная идея, которой при этом руководствуются, состоит в отображении рассматриваемой области на одну из канонических областей (на полуплоскость, круг единичного радиуса или круговое кольцо) с последующим использованием аппарата интегралов типа Коши для нахождения двух неизвестных функций по заданному краевому условию. Если ограничиться только односвязными областями (каковые по существу главным образом и рассматриваются [20], [27]), то можно обойтись и без аппарата интегралов типа Коши, оперируя лишь самыми элементарными представлениями теории аналитических фунщий. В нашей книге, носящей общий характер, мы даем только этот наиболее простой и в то же время достаточно эффективный способ, отсылая читателя за более полным и общим изло- [c.292]

Важнейшим формальным приемом, облегчаюш,им расчеты и вообще изучение гармонических волн, является представление их в комплексном виде, к которому сейчас и перейдем. [c.67]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...