Суперпозиции интеграл

Соотношения вида (7) и (8) называются законами наследственного типа. Для интегрального представления (8) употребляются различные названия интеграл суперпозиции, интеграл суперпозиции Больцмана, интеграл Дюамеля, интеграл типа свертки. [c.106]

Из структуры решения (1.41) (вернее, из формулы для функции Р(г)) сразу следуют ограничения ), которым должна удовлетворять функция g i). Пусть точки, в которых функция g t) имеет особенность, отличны от точки i. Тогда в силу свойств интеграла Коши следует, что если плотность имеет разрыв первого рода, то решение будет иметь логарифмическую особенность (см. (1.23)), а если функция имеет степенную особенность, то решение — также степенную особенность. Если же точка, в которой функция g t) имеет особенность, есть i, то разрыв первого рода не влияет на решение, для степенной же особенности происходит суперпозиция особенностей функции (t—в связи с чем необходимо потребовать, чтобы суммарная особенность была меньше 1. Заметим, что в этом случае решение всегда окажется неограниченным. Изложенная выше теория автоматически распространяется на случай нескольких точек разрыва коэффициента G(t), причем разрезы следует проводить из одной точки через каждую из точек разрыва в бесконечность. Допускается, что в каждой из точек разрыва может быть свое ограничение на поведение решения. [c.25]

Из уравнений (8.3.6) видно, что для систем с разделяющими переменными полный интеграл уравнения в частных производных Гамильтона — Якоби можно получить в квадратурах. Возникает такая необычная ситуация, что сопряженные переменные qk,Pk в каждой паре связаны непосредственно друг с другом без участия остальных переменных. Механическая система с п степенями свободы может рассматриваться как суперпозиция п систем с одной степенью свободы. Однако истинные уравнения движения такие [c.278]

Выше получены общие выражения для передаточных функций машинного агрегата, схематизированного в виде простой цепной разомкнутой системы. Аналогичные выражения можно получить также для разветвленных цепных систем. Различные варианты таких систем, встречающиеся в практике, и методы составления для них интегро-дифференциальных уравнений движения при принятых в и. 9 допущениях подробно рассмотрены в работах [27, 107]. Отметим лишь, что в случае разветвленных цепных систем с несколькими заданными моментами сил сопротивлений, приложенными к исполнительным звеньям, необходимо отыскивать передаточные функции для каждого /-го (/ = 1,2,...) входа. Так как рассматриваемая система линейна, то, воспользовавшись методом суперпозиции, можно определить изображение по Лапласу функции на выходе (например, относительной скорости массы / ,) по формуле [c.65]

Если известен импульсный, отклик временного линейного фильтра, то задача фильтрации (нахождение отклика по заданному входному сигналу) решается с помощью интеграла суперпозиции [c.386]

Приемы включения в расчет циклов интегрирования кинетических уравнений зависят от вида обобщенных данных по неизотермической вулканизации рассматриваемой резиновой смеси. Различные варианты обобщения данных описаны в разделе 2.5. Наиболее удобным оказывается использование построенной графически изотермической эквивалентной кривой кинетики вулканизации в сочетании с одним или двумя параметрами температурно-временной суперпозиции — энергией активации процесса или коэффициентами Ко, ki или Ко, К в уравнениях (2.53) или (2.54). В указанном случае совместный расчет поля температуры и кинетики вулканизации численными методами позволяет ввести в исходную информацию для выполнения основного этапа расчета только эти параметры кинетических свойств материала. Расчет кинетики вулканизации при этом сводится к вычислению интеграла (2.51) или (2.52) для эквивалентного времени вулканизации. Окончательное определение степени вулканизации производится непосредственно по эквивалентной кривой нахождением относительного динамического модуля сдвига либо другого показателя свойств материала или сравнением эквивалентного времени вулканизации с оптимальным его значением, найденным по той же кривой. [c.201]

Новое состояние m,t) в общем случае будет суперпозицией множества атомных состояний, среди которых имеется, например, состояние ). Тогда, согласно основному принципу квантовой механики, интеграл (/ т, it) является амплитудой вероятности обнаружить систему по прошествии времени t в 1-м состоянии, хотя она в начальный момент времени с вероятностью равной единице находилась в тп-м. Амплитуду вероятности будем обозначать так [c.19]

В линейной теории вязкоупругости применим принцип суперпозиции. Поэтому представление процесса нагружения во времени как последовательного ступенчатого нагружения позволяет получить зависимость между деформацией и напряжением в виде интеграла наследственности [c.142]

Здесь нецелесообразно приводить подробное обсуждение вопроса о справедливости и обоснованности сеточной теории полимерных растворов. Однако может быть необходимо отметить как наиболее уязвимые для критики два положения обусловленность напряжения только деформацией сетки (п. 1, 3)) и произвольное допущение о возможности вычислить напряжения путем замены действительной сетки суперпозицией независимых сеток (п. 6). Необоснованность последнего допущения не позволяет надеяться на приемлемое количественное подтверждение теории. Все же на данной стадии исследования можно ожидать, что ценность теории такого типа (поскольку дело идет о растворах и, по-видимому, о расплавах полимеров) состоит скорее в указании на то, что вследствие большого разнообразия возможных реологических уравнений состояния имеет смысл сначала сосредоточиться на уравнениях типа соотношений напряжение — деформация, встречающихся в кинетической теории эластичности и учитывающих зависимость напряжения от истории деформации посредством одного временного интеграла. Кроме того, интерпретация реологического уравнения состояния (6.9) на основе концепции релаксирующей сетки создает практические преимущества при решении некоторых задач, в первую очередь задачи упругого последействия, которая иначе не поддается решению. [c.160]

В чем преимущества и недостатки метода суперпозиции гармонических течений по сравнению с методом интеграла К.Шварца-Э.Кристоффеля [c.233]

Легко видеть, что подынтегральная функция в этом интеграле не имеет разрезов выше С, поэтому этот интеграл распадается на бесконечную сумму вычетов, соответствующих затухающим и распространяющимся волнам в выражении (4.04) для тока. Это свойство сохраняется, как легко проверить, и для волн других типов, поэтому вообще можно сказать, что поле внутри полубесконечного волновода всегда может быть представлено как суперпозиция волн, существующих в бесконечном волноводе. Отсюда, в частности, следует, что ток, текущий по внутренней стороне стенок волновода (пропорциональный тангенциальной составляющей магнитного поля внутри волновода вблизи стенок), выражается в виде ряда вычетов и не содержит слагаемых типа Q z) в (4.04). Более того, ряд вычетов в выражении (4.04) и дает весь ток, текущий по внутренней поверхности. [c.29]

Пример 9.8. Теорему Кастилиано можно использовать для вывода интеграла Мора. Чтобы избежать громоздких выкладок, покажем, как это можно сделать, на примере изгиба балки. В примере 9.7 было определено перемещение точки приложения силы. В общем случае, когда нужно найти прогиб произвольной точки, например прогиб 8а точки А на рис. 9.44, введем фиктивную силу Ф, приложенную в этой точке. Идея состоит в том, чтобы найти 6а как функцию Р и Ф. Тогда искомый прогиб будет равен значению этой функции при Ф = 0. По принципу суперпозиции, М Р -Ь Ф) — М Р) -Ь М (Ф). [c.285]

Многослойная структура с полостью или упругим включением канонической формы. Рассмотрим случай, когда полость (упругое включение) целиком расположено в одном из элементов многослойной структуры и имеет границу, представляющую собой координатную поверхность в ортогональной криволинейной системе координат (цилиндрической, сферической, эллипсоидальной). В этом случае при исследовании задачи о динамическом воздействии плоского жесткого штампа на поверхность пакета слоев или многослойного полупространства с полостью или включением целесообразно использовать принцип суперпозиции. Это позволяет точным образом свести краевую задачу динамической теории упругости к системе интегро-функциональных уравнений, при решении которой можно использовать, в зависимости от расположения неоднородности, различные методы анализа. [c.311]

Таким образом, принцип суперпозиции позволяет исследовать сложную электромагнитную волну, заменяя ее суммой (в общем случае бесконечной) монохроматических составляющих. С математической точки зрения такая замена означает разложение функции в ряд или интеграл Фурье. [c.45]

С ПОМОЩЬЮ рядов Фурье, причем скорость распространения, соответствующая каждому члену ряда, может быть найдена из кривых фазовых скоростей. Во второй постановке использован метод стационарной фазы Кельвина. В этом методе рассматривается распространение бесконечно короткого импульса бесконечно большой амплитуды. Такой импульс можно выразить через интеграл Фурье и рассматривать как результат суперпозиции синусоидальных волн напряжения, охватывающих спектр длин волн. Все пакеты волн берутся одинаковой амплитуды и считаются находящимися в фазе в начале координат и погашающими друг друга в любом другом месте в момент = 0. Распределение напряжений в любой последующий момент можно тогда исследовать по кривым групповой скорости. [c.74]

При использовании представления ядра в виде суперпозиции экспонент интеграл (18) может быть представлен в другом виде, с вещественной экспонентой. Для этого необходимо преобразовать контур интегрирования к особенностям функции /(р), которые лежат на вещественной оси. При г > О контур интегрирования можно преобразовывать только налево, так как в эту сторону экспонента убывает. При отрицательных т контур преобразовывается направо. Рассмотрим для определенности положительные т. [c.110]

Формулы сложения. Разобьем интеграл в (61) на два нуля до Ti и от Ti до То = Ti + Г2. Считая, что О < г < Ti, ставим во второй интеграл представление ядерной функции через суперпозицию экспонент п [c.134]

Метод дискретных ординат. Метод заключается в представлении ядерной функции не в виде суперпозиции, т. е. интеграла от экспонент, а в виде конечной суммы экспонент. Число слагаемых [c.200]

Выражение (3.104) является решением уравнения Лапласа для аксиально-симметричного поля. Однако оно не является общим, это всего лишь решение для произвольно выбранного значения X. Общее решение получим, если построим суперпозицию решений, соответствующих каждому возможному значению х. Так как х может принимать любое вещественное значение, для этого необходимо взять интеграл по всем значениям % от минус до плюс бесконечности [c.85]

Интеграл суперпозиции (3.1.5) при этом принимает вид интеграла свертки [c.143]

ТО интеграл суперпозиции (3.2.7) можно привести к виду [c.146]

Ввиду линейности явления распространения волн поле / можно представить в виде интеграла суперпозиции (3.1.5). Тем самым свойства системы, создающей изображение, будут полностью описаны с помощью импульсного отклика к (см. (3.2.8)). [c.147]

Стекло — эпоксид стеклоэпоксидный композит) 33, 73, 119, 120, 188, 236, 426. 427 Стоячие волны 391, 392 Суперпозиции интеграл 106 [c.556]

Когерентная оптическая система линейна относительно комплексной амплитуды поля, поэтому в случае пространственно инвариантной системы или для изопланатических зон пространственно неинвариантной системы справедлив интеграл суперпозиции [c.48]

Таким образом, моделирование оптической системы целесообразно выполнять на ЭВМ, вычисляя соответству ющий интеграл суперпозиции в частотной области, и в качестве ядра проблемного математического обеспечения использовать алгоритм преобразования Фурье. [c.55]

Смысл интегрального принципа суперпозиции заключается в том, что он позволяет узнать результат воздействия на объект некоторого произвольного входного возмущения u t), если известна реакция объекта на параметрическую систему элементарных возмущений выбранного типа Px(t)- При соответствующем выборе набора функций РхЩ можно любое входное возмущение u t) представить в интегральной форме (2.2.33). После этого достаточно один раз выяснить, как действует линейный оператор А на параметрическую систему функций P(t,x), т. е. 1 айти параметрическую систему функций Qr t)= Q(t,x) —AtP t,x). Затем для определения действия оператора на произвольную функцию u t) достаточно вычислять интеграл (2.2.34) с соответствующей функ- [c.57]

Для тел, подчиняющихся требованиям одного из вариантов принципа соответствия, приведенных в разд. III, вязкоупругий анализ выполняется сразу, если имеется упругое решение. Для таких случаев обычно удобно сначала получить квазиупругое решение для переходной проводимости, а затем — если нагружение переменно во времени — использовать интеграл суперпозиции. При этом наибольшая точность получается в том случае, когда при заданных поверхностных и/или массовых силах в упругом решении используются функции ползучести, а при заданных перемещениях — функции релаксации. Однако даже если последние условия не выполняются (т. е. если при заданных силах берутся функции релаксации и применяется приближенное соотношение (95), то ошибка все равно остается малой, особенно в случае, когда вязкоупругими фазами являются жесткие полимеры (Мак-Каммонд [66], Симс [106]). Для других видов фаз с резко выраженными вязкоупругими свойствами, когда необходимо выразить фувкцию ползучести через функцию реллксации, желательно использовать точное соотношение (93) и обратное преобразование Лапласа. [c.162]

ВОЛНОВОЙ ПАКЁТ — волновое oopasoBaiine из колебаний произвольной природы, представляющее собой суперпозицию (наложение) плоских монохроматич. волн с близкими значениями частот (со) и волновых векторов (Л). В случае одного пространственного измерения (х) и скалярного комплексного волнового поля В. п. 1 )(л , t) можно представить в виде интеграла Фурье [c.314]

Зная отклики прибора на два осп. вида тестовых сигналов — б-фуикцпю и сплошной фон,. можно применять интеграл (1) к описанию измерений двух оси. видов спектров — излучения и поглощения (точнее — пропускания, т. к. обычно измеряется не поток, поглощённый в веществе, а прошедший или отражённый поток). Спектр потока Фвх ( i) представляется суперпозицией линий или полос, описывае.чых произведениями нек-рой пост, величины на нормированную к единице ф-цию распределения /(А.) 1 [c.622]

ФУРЬЕ ИНТЕГРАЛ (фурье-интеграл) — ра31южение ф-ции f(x), заданной на всей оси j или ка полуоси х, в суперпозицию гармоник с частотами, заполняющими всю полуось Хе[0, оо) [c.385]

Считая стержни пря1Л>ши, все деформации и перемещения малыми, а также справедливым пришшп суперпозиции, в общем случае для перемещения получаем интеграл Мора [c.78]

Обратимся теперь к продольному фазовому множителю в выражении (4.95). Вначале сделаем замечание относительно того, что, как и в интеграл Френеля — Кирхгофа (4.73), в выражение (4.95) не входит временная зависимость электромагнитного поля. Интеграл Френеля — Кирхгофа можно рассматривать как интегральное представление дифференциального уравнения Гельмгольца [см. (2.5а)]. Следовательно, как и в последнем случае, зависящая от времени и пространственных координат напряженность поля получается простым умножением части выражения (4.95), которая зависит от пространственных координат, на зависящий от времени множитель ехр [ (t2nv0]. в котором величина v дается выражением (4.94). Выбор знака + или — в экспоненте отвечает, как это следует из (4.95), волне, распространяющейся соответственно в положительном или отрицательном направлении оси z. Поэтому стоячую волну внутри резонатора можно рассматривать как суперпозицию двух этих волн. Таким образом очевидно, что входящая в (4.95) функция т з (г) = kz — (1 + т + I) ф г) = Аг — (1 + от + /) ar tg (2z/L) описывает изменение фазы волнового фронта в зависимости от координаты Z. Следовательно, с помощью этой величины можно найти, например, набег фазы, который приобретает волна при ее распространении в положительном направлении оси z от левого до правого зеркала на рис. 4.31. Заметим, что этот набег фазы не равен точно набегу фазы плоской волны, который равен kz. Данное обстоятельство приводит к двум взаимо.связан- [c.204]

Отмеченные сложности определяют также и многообразие подходов к решению задач. Наиболее распространен при их исследовании метод, опираюш,ийся на использование принципа суперпозиции, позволяюш,его для неоднородности канонической формы, целиком расположенной в одном из слоев структуры, точным образом свести краевую задачу к системе интегро-функциональных уравнений. В случае, когда неоднородность пересекает границу слоя (полупространства), или имеет произвольную форму, наиболее перспективно использование методики граничных интегральных уравнений (ГИУ) и реализуюш,их ее на ЭВМ метода граничных элементов (ГЭ). Использование метода конечного элемента в данной проблематике практически ограничено исследованием задач нестационарного контактного взаимодействия при относительно малых временах и некоторых ограничениях на импульс силового воздействия (его частотный спектр). [c.311]

Остановимся подробнее на получении системы интегро-функциональ-ных уравнений контактной задачи. Использование принципа суперпозиции предполагает возможность получения аналитического решения краевой задачи динамической теории упругости с однородными граничными условиями в напряжениях для составляющих многослойную область с каноническим включением элементов. Таковыми являются однородный упругий слой, однородное упругое полупространство, полость в безграничном пространстве и упругое включение, граница которого тождественна границе полости. Решение задач для однородного слоя (полупространства) строится методом интегральных преобразований с использованием принципа предельного поглощения и может быть получено в виде контурного несобственного интеграла [2,4,14]. В зависимости от постановки задачи (пространственная, плоская, осесимметричная) получаем контурные интегралы типа обращения преобразования Фурье или Ханкеля [16]. Решение задачи для пространства с полостью, описываемой координатной поверхностью в ортогональной криволинейной системе координат, получаем в виде рядов по специальным функциям (сферическим, цилиндрическим (Ханкеля), эллиптическим (Матье)) [17]. При этом важно корректно удовлетворить условиям излучения, для чего можно использовать принцип излучения. Исключение составляет случай горизонтальной цилиндрической полости при исследовании пространственной задачи. Здесь необходимо использовать метод интегральных преобразований Фурье [16] вдоль образующей цилиндра и принцип предельного поглощения [3] для корректного удовлетворения условиям излучения энергии вдоль образующей. [c.312]

Но имеются и другие соотношения, невозможные для полубесконечной среды. Это прежде всего уравнения, содержащие производные по оптической толщине го- Для получения такого уравнения продифференцируем (103) по то. Получится уравнение для производной от функции источников по Го такого же вида, что и исходное. При этом исчезнет исходное внеинтегральное слагаемое, но добавится слагаемое, происходящее от дифференцирования второго интеграла справа по верхнему пределу. Это слагаемое имеет вид суперпозиции внеинтегральных слагг1емых исходного уравнения, так что [c.92]

Представление поля в виде контурного интеграла основывается на наших интуитивных знаниях о том, какое влияние оказывают границы апертуры. Из эксперимента известно, что при наблюдении из области тени границы освещаемой апертуры кажутся светящимися. Это наблюдение обсуждалось уже Ньютоном, который объяснил его отталкиванием корпускул света границами [И. Ньютон, Оптика , кн. 3, наблюдение I, рис. 1 и 2]..Позднее Юнг сформулировал волновую теорию, согласно которой дифрагированная волна образуется при отражении падающей волны на элементах границы, вызывающей дифракцию. Френель же объяснял дифракционные эффекты на основе принципа Гюйгенса если поле определяется в столь далекой области от геометрической тени, что открыты фактически все зоны Френеля (см. разд. 4.2.2), то освещенность остается той же самой, что и в отсутствие препятствий. И наоборот, если поле определяется в точке, лежащей глубоко в области геометрической тени, то вклад от колец низкого порядка отсутствует. Как следствие, сумма вкладов от частично освещенных колец равна приблизительно нулю, поскольку поле каждого из них компенсируется входящими с другим знаком полями от половинок ближайших соседей. В промежуточной области между светом и тенью из-за суперпозиции полей от разных колец можно ожидать осциллирующего поведения интенсивности. [c.314]

В заключение заметим, что при преобразовании с помощью этой формулы Мэгги — Рабиновича интеграла Гельмгольца — Кирхгофа в контурный интеграл отверстие, освещаемое сферической волной, дает поле, которое представляет собой суперпозицию вкладов поля геометрической оптики ( р, стационарных граничных точек 1) и углов (если таковые имеются) J) [c.393]

Бартенева — Голланда — Тернера закон 197 Безразмерный коэффициент нелинейности 158 Бейли интеграл 73 Бейли критерий для расчета индукционного периода вулканизации 246, 247, 250 Больцмана суперпозиция 43 Буссе — Журкова — Бики зависимость между долговечностью и напряжением 187 [c.350]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...