Матрица жесткости геометрическая

На рассматриваемом этапе по известному из предыдущего этапа НДС вычисляют вектор а по геометрическим характеристикам элементов и текущим величинам функции F формируют матрицу жесткости [/С]. [c.23]

Если расположение волокон материала в типичном объеме подчиняется определенному геометрическому закону или известны характеристики его случайного поля, то вычисление средних значений компонент матрицы жесткости (или податливости) материала не представляет труда. Их усреднение по типичному объему АУ осуществляется как среднее интегральное [c.54]

Диагональный элемент t-й строки матрицы G представляет собой сумму жесткостей ветвей, сходящихся в i-м узле схемы. Следовательно, матрицу жесткостей динамической схемы можно достаточно просто построить непосредственно по ее геометрическому образу. Из выражения G = S S следует, что матрица жесткостей всегда является симметрической, так как [c.62]

Решение задач геометрической нелинейности приводит к перестройке на каждом шаге матрицы производных [В], а решение задачи физической нелинейности требует формирования на каждом шаге итерации матрицы упругих характеристик [/)]. Таким образом, временные затраты на переформирование матрицы жесткости конструкции [/<] окупаются возможностью учета обоих видов нелинейностей. Как показывает опыт, метод последовательных приближений дает хорошие результаты при решении с помощью метода конечных элементов задач температурной пластичности, а также ползучести, когда происходит постепенное накопление пластической деформации в конструкции, находящейся под нагрузкой при повышенной температуре в течение некоторого периода времени. [c.67]

Здесь [i "] - изгибная матрица жесткости элемента и - вектор узловых перемещений элемента, включающий смещения и углы поворота в узлах - матрица, учитывающая изменение положения элемента в пространстве, является функцией только геометрии элемента - его длины и положения в пространстве, типа элемента и приложенной нагрузки. Матрица [X ] называется геометрической или дифференциальной матрицей жесткости элемента. [c.37]

Здесь [К] - глобальная матрица жесткости, а [J J - глобальная матрица геометрической жесткости. [c.37]

Приведенный алгоритм анализа устойчивости стержней распространяется на другие виды упругих конструкций, а геометрические матрицы жесткости могут быть построены для произвольного типа конечного элемента. [c.38]

На втором этапе вычисляется геометрическая матрица жесткости конструкции, соответствующая этим внутренним усилиям, и затем находятся один или несколько корней уравнения (1.8) и соответствующие им формы потери устойчивости. Задача вычисления корней уравнения (1.8) называется проблемой собственных значений, которая рассмотрена в разделе 1.4.2. Теория устойчивости деформируемых систем и применение метода конечных элементов к решению задач устойчивости конструкций подробно изложены в [10, 12, 15, 17, 20]. [c.38]

При решении задач устойчивости и колебаний имеем однородную систему и Я = 0. Для краевых задач механики, описывающихся дифференциальными уравнениями вида (3.74), разработаны эффективные алгоритмы численных решений [8, 20, 33]. Рассмотрим способ решения, основанный на делении одномерной системы по координате S на отдельные элементы и стыковки отдельных элементов по геометрическим и силовым факторам с использованием матриц жесткости. [c.93]

Полученные таким образом уравнения равновесия всех сече- ний одномерной конструкции с учетом геометрических граничных условий задачи представляют разрешающую систему линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных узловых перемещений. Полученную матрицу системы называют глобальной матрицей жесткости или матрицей жесткости конструкции. Эта ма- [c.96]

При стыковке отдельных элементов с учетом однородных геометрических граничных условий формируются глобальная матрица жесткости и матрица приведенных начальных напряжений конструкции. При этом используются стандартные процедуры метода конечных элементов. Полученная система линейных уравнений, однородная относительно обобщенных перемещений для п-й гармоники разложения, представляет задачу на собственные значения. Для этой задачи ищется наименьшее по модулю собственное значение Ап. Критическое значение параметра нагружения Л определяется как наименьшее из всех Л , т. е. Л =min A . Соб- [c.147]

При решении задач устойчивости и колебаний для дополнительных перемещ,ений геометрические условия сопряжения остаются такими же, как и при решении задачи статики (5.57), поэтому для трехслойного элемента его матрица приведенных начальных напряжений и матрица приведенных масс преобразуются таким же образом, как и матрица жесткости элемента, т. е. с использованием соотношений (5.58). [c.218]

Имеются алгоритмы (59], основанные на расчленении матрицы жесткости на несколько групп по видам перемещений. Так, например, для трехмерного параллелепипеда выделяется группа жесткостных характеристик (реактивных усилий, возникающих по направлению оси х от перемещений по направлению этой же оси), затем группа Rvv, Rvw и т. п. Для каждой группы вводится стандартная цифровая матрица, снабженная множителем, который зависит от физических н геометрических характеристик КЭ. Обилие цифровых матриц и группировка жесткостных характеристик не по узловым перемещениям, а по их видам (как правило, это оказывается неудобным при построении общего алгоритма расчета, так как сильно увеличивает ширину ленты уравнений) делает такие алгоритмы недостаточно приемлемыми. Приведем алгоритм [16], в котором формула вычисления жесткостной характеристики связана с ее адресом в МЖ — /у. Идея алгоритма [c.97]

Если принять, что соотношения (2.3.18) выполняются на всем пути деформирования тела, т.е. задача является геометрически линейной, то соотношения (2.3.11) и (2.3.18) позволяют установить матрицу жесткости конечного элемента. С этой целью принцип возможных перемещений (2.3.1) применяют к конечному элементу, находящемуся в равновесии, т.е. [c.99]

Удаление малых элементов и учет однородных граничных условий. Достаточно часто конечно-элементная модель состоит из одинаковых (геометрически и физически) элементов либо нескольких групп таких элементов. В этом случае глобальная матрица жесткости является результатом суперпозиции нескольких групп совершенно одинаковых локальных матриц жесткости. Поскольку локальные матрицы соседних элементов частично перекрывают одна другую (вследствие наличия у соседних элементов общих узлов), в глобальной матрице возможны очень малые элементы, являющиеся результатом сложения двух близких по абсолютному значению и противоположных по знаку чисел. Теоретически такие элементы должны быть равны нулю, но практически вследствие погрешностей округления это далеко не всегда так. Как показывают результаты численных экспериментов, таких лишних элементов может быть до 20—25 % общего числа элементов матрицы. Следует выявить и удалить эти элементы из связного списка, что позволит сократить число арифметических операций и потребность в памяти на этапе решения системы. [c.44]

Исходная информация для элемента имеет стандартный вид и включает в себя координаты узлов, а также упругие и геометрические характеристики сечения. Для вывода матрицы жесткости используется местная система координат, оси которой X, у лежат в плоскости стенки, а начало находится в среднем сечении. Направление оси х определяется точками [c.290]

Отметим некоторые преимущества смешанной вариационной формулировки задачи (1.82), (1.83) по сравнению с классическим методом перемещений. При решении задач прикладной теории упругости и строительной механики методом конечных элементов сходимость решений в ряде случаев определяется реакцией элемента на смещения как жесткого целого и геометрической изотропией (когда не отдается предпочтение какому-либо направлению) аппроксимации деформаций. Плохая сходимость решений, в первую очередь, характерна для криволинейных элементов оболочечного типа, поскольку аппроксимация перемещений полиномами низкой степени является грубой для описания смещений как жесткого целого. Такие элементы могут накапливать ложную деформацию и вносить существенные погрешности в решение задач. При учете деформаций поперечных сдвигов и обжатия в многослойных оболочечных элементах учет смещения как жесткого целого становится особенно важным, поскольку при уменьшении параметра тонкостенности (A/i ) указанные деформации стремятся к нулю, а коэффициенты их вклада в общую потенциальную энергию стремятся к бесконечности. Таким образом, погрешности в вычислении деформаций усиливаются и могут дать значительную ложную энергию, превосходящую энергию изгиба или энергию мембранных деформаций. Независимая аппроксимация полей деформаций в пределах конечного элемента при использовании смешанного метода позволяет обеспечить минимальную энергию ложных деформаций и требуемый ранг матрицы жесткости. [c.23]

При решении задач методом конечных элементов (в варианте независимых перемещений) аппроксимация поля перемещений конструируется в виде (1.27). В качестве функций формы, как правило, используют полиномы, обеспечивающие в пределах элемента геометрическую изотропию аппроксимации, а на границах элементов — необходимую гладкость сопряжения. В соответствии с (1.27) поле деформаций в конечном элементе при решении методом перемещений определяется как e=Bq, где В=ЬФ, а соответствующая матрица жесткости элемента вычисляется согласно (1.30). [c.23]

При построении конечных элементов с независимой аппроксимацией деформаций в элементе необходимо обеспечить геометрическую изотропию полей перемещений и деформаций, а также выполнение условия согласованности размерностей (1.86). Наиболее опасно нарушение условия (1.86) при па<.п,—п,. В этом случае матрица жесткости будет содержать лишние нулевые собственные значения и конечный элемент превратится в механизм. [c.25]

После выполнения процедур построения матриц фундаментальных решений для отдельных элементов (1.109), матриц жесткости (1.11) и стыковки элементов по геометрическим и силовым факторам с учетом однородных граничных условий получим однородную систему алгебраических уравнений относительно дополнительных перемещений. Формально эту систему представим в виде [c.43]

Характерной особенностью матрицы жесткости конструкции А является то, что ее диагональные элементы апи, кроме ап, зависят от жесткости силового шпангоута при растяжении—сжатии и изгибе (с учетом жесткости элементов конструкции), геометрических и жесткостных параметров сопряженных с оболочкой локальных включений и элементов, связывающих их с конструкцией, а недиагональные элементы аип кфп) и Яц зависят только от параметров локальных включений и связывающих элементов. [c.180]

Матрица С зависит только от геометрии тела в состоянии S геометрическая матрица жесткости G (симметрическая) зависит, кроме того, линейно от Q, как это указано в (2), но не зависит 01 Qt п Ut. [c.77]

Условные обозначения А — площадь в мм Ат. — площадь замкнутой фигуры, ограниченной средней линией в мм Ь — ширина в мм с — жесткость в кгс/мкм й — деформация (перемещение) в мм О — коэффициент демпфирования (безразмерный) Е — модуль упругости в кгс/мм /г(о) — безразмерное отклонение в точке а, относящееся к л-й собственной частоте [г(х) — безразмерное отклонение в точке I, относящееся к г-й собственной частоте С — модуль сдвига в кгс/мм / — момент инерции в мм 1т — геометрическая жесткость сечения при кручении в мм Ь— длина в мм М — момент в кгс мм т — масса в кг с /мм Р — сила в кгс Ра — сила в точке а в кгс Р — поперечная сила в кгс 5 — статический момент инерции в мм 5 — длина (путь) в мм 5 =/(1) — оператор Лапласа х — координата (отрезок) в мм X — скорость в мм/с х — ускорение в мм/с у—координата (отрезок) в мм г — координата (отрезок) в мм б — толщина стенки в мм в — маховый момент инерции в кгс мм с А — коэффициент касательных напряжений К — собственное значение (число) <р — угол между главной осью инерции и нейтральной осью в град Ф — угол поворота при кручении в град или радиан (О — собственная частота в с- [А] — произвольная матрица [Д] — матрица демпфирования [ ] — единичная матрица [ ] — матрица податливости — матрица податливости для системы с несколькими защемлениями (заделками) [/ ея] — матрица податливости для системы с несколькими местами заделки и дополнительными связями [/ и] — матрица для системы со связями [/С] — матрица жесткости [Л1] — матрица общей массы [т]— матрица массы элемента Т] — матрица преобразования [у] — матрица приведения нагрузок (I — вектор перемещения — вектор внутренних сил О — нуль-вектор р — вектор нагрузки [c.57]

Здесь матрица [к ] — обычная матрица изгибной жесткости элемента. Матрица [к ] относится к эффектам упругой потери устойчивости и характеризует приращение изгибной жесткости. Поэтому ее часто называют инкрементальной матрицей жесткости. Как может быть установлено на основании выражения (13.15) и проверено в дальнейшем при выводе явного вида матрицы [к 1, отдельные члены этой матрицы зависят исключительно от геометрических параметров (например, длины). Поэтому эта матрица часто называется геометрической матрицей жесткости. [c.397]

Матрица преобразования [Го1 используется теперь для преобразования обычной матрицы жесткости [к ] и геометрической матрицы [c.401]

Трудно, а подчас и невозможно сформулировать точную матрицу жесткости для элемента с переменным поперечным сечением. С другой стороны, можно использовать принцип минимума потенциальной энергии при формулировке приближенного суживающегося элемента, задавая при этом геометрические характеристики, точно (как это сделано в разд. 6.4 и 7.2) или близко аппроксимируя форму суживающегося элемента и выбирая то представление перемещений, которое использовалось для элемента с постоянным поперечным сечением. [c.405]

Основная 1к ] и геометрическая матрицы жесткости для этого случая изображены на рис. 13.8. [c.408]

Влиянием прогибов на распределение осевых нагрузок обычно пренебрегают в так называемом классическом подходе к линейному анализу устойчивости. В этом случае вначале проводится анализ осевой нагрузки конструкции до изгиба. Далее строится непосредственно геометрическая матрица жесткости Однако трудно, а подчас невозможно использовать специальным образом высоко автоматизированные процедуры имеющихся в наличии вычислительных программ конечно-элементного анализа. [c.413]

Таблица 13.2. Геометрическая матрица жесткости для прямоугольного пластинчатого элемента, основанная на 12-членном полиноме постоянные в плоскости напряжения 0 , а , %ху (подробности об элементе и матрицу [к ] см. в табл. 12.1).

Программа решения задач о собственных значениях, приведенная в этой главе, очень проста и не использует свойство симметрии матриц жесткости и масс (или геометрической жесткости). Читателям, интересующимся применением более совершенных методов и возможностями экономии памяти машины, следует обратиться к работе Андерсона [8], посвященной задачам о колебаниях и устойчивости. [c.509]

Известно, что для тел сложной формы и со сложным характером нагружения наиболее целесообразной является итерационная схема решения контактных задач, предусматривающая использование одного из численных методов, например вариационно-разностного, или метода конечных элементов. В данном случае связь между нагрузками и перемещениями на каждом шаге итерации находилась при помощи метода конечных элементов, который позволил при расчете учесть особенности геометрии диска, наличие сил трения в зоне контакта пальцев с диском, возможную геометрическую нелинейность, связанную с большими перемещениями, и некоторые другие особенности. При решении задачи использовались четырехугольные изопараметрические элементы, позволившие сравнительно просто осуществить автоматизированную подготовку исходной информации и несколько уменьшить ширину ленты глобальной матрицы жесткости, что весьма существенно в условиях дефицита оперативной памяти вычислительной машины. Не останавливаясь на подробностях способа нахождения связи между нагрузками и перемещениями, который в принципе уже описан ранее, изложим непосредственно метод нахождения контактных напряжений на контурах отверстий упругого диска. [c.76]

Матрицу g(") часто называют локальной матрицей жесткости или локальной матрицей теплопроводности, а вектор q><"> — локальным вектором нагрузок или локальным вектором тепловых потоков. Термины жесткость и нагрузка используются исторически потому, что сначала МКЗ развивался применительно к задачам прочностного расчета. В задачах теплопроводности в матрицы g<"> входят теплопроводности X и коэффициенты теплоотдачи а, а в векторы — свободные члены неоднородного уравнения теплопроводности и граничных условий, т. е. объемные и поверхностные плотности теплового потока источников теплоты. Геометрические параметры расчетной области учитываются коэффициентами Ьт Ст функций формы элементн, а также значениями Lij, Li , [c.140]

Однако треугольная декомпозиция лине изованной матрицы жесткости выполняется и при нелинейном статическом расчете на каждом шаге нагружения. Таким образом, предложенный метод отыскания критического параметра вносит мало дополнительных вычислений, что делает описанный выше алгоритм нелинейного расчета на устойчивость весьма эффективным. Этот алгоритм можно использовать при расчете как геометрически, так и физически нелинейных конструкций, если при вычислении линеаризованной матрицы на каждом шаге нагружения перевычислять матрицы [С] констант материала Предпочтительным оказывается при этом использование теории пластического течения в той или иной ее модификации. [c.117]

Прямоугольный конечный элемент оболочки нулевой кривизны. Матрица жесткости приведенного выше элемента несвободна от эффекта жесткого смещения, который обусловливается противоречиями гипотез технической теории оболочек. Использование гипотез общей теории оболочек приводит к значительным усложнениям, а попытка избавиться от эффекта жестких смещений при помощи определенной обработки матрицы жесткости приводит к вырождению элемента в плоский Ч В связи с этим естественно с точки зрения физического смысла использовать для расчета оболочек двоякой кривизны плоские элементы. Здесь элемент оболочки может быть получен простой комбинацией элементов для плоского напряженного состояния и изгиба пластины с удовлетворением всех необходимых требований. Учет же геометрических особенностей оболочки будет обеспечиваться учетом геометрии вписанного многогранника. Причем из чисто физиче-. ских соображений о том, что со сгущением сетки J5yдeт увеличиваться точность аппроксимации поверхности оболочки геометрией вписанного многогранника, можно судить, что сходимость М КЭ в этом случае будет обеспечена. При назначении расчетной схемы оболочки необходимо, чтобы плоские КЭ вписывались в геометрию оболочки. Поэтому для развертывающихся на плоскость поверхностей (цилиндрические поверхности) можно использовать прямоугольные КЭ, а при неразвертывающихся поверхностях (поверхности двоякой кривизны) —треугольные КЭ. [c.46]

Структура программы. Процедура расчета методом конечных элементов сводится к нескольким основным этапам. Меридиональное сечение диска разбивают на элементы и определяют координаты узловых точек, силы или перемещения, заданные в узлах и на границах (рис. 5.2). От способа разбиения области на элементы зависит вид матрицы жесткости, а следовательно, объем информации и скорость счета, поэтому он не должен быть произвольным. Существуют различные способы выделения элементов с помощью регулярных сеток, в частности использование изопараметриче-ских элементов [3, 46]. В осесимметричной задаче наиболее простым является построение сечений кольцевых элементов путем соединения узловых точек, выделенных на прямых линиях, параллельных оси вращения. Разбиение вдоль линии делают равной длины при необходимости неравномерного деления вводят весовой коэффициент и узловые точки нумеруют в определенной последовательности. Такой принцип позволяет осуществить автоматизацию определения геометрических параметров треугольника при задании минимальной исходной информации, например координат двух точек на границах одной прямой и числа узловых точек на этой прямой. Усилия многих исследователей направлены на создание оптимальной системы автоматического разбиения расчетной области (см., например, 123]). [c.163]

В настоящей главе дается описание известных искривленных конечных элементов тонких оболочек, поотроенных в предположении справедливости гипотез Кирхгофа-Лява. Исходным вариационным принципом для всех злементов из зтой главы является принцип Лагранжа, и вое они объединяются единым методом построения матрицы жесткости - классическим методом перемещений ( I.I). Большое внимание уделено качественным аспектам используемых аппроксимаций с точки зрения даваемой ими точности при изменении геометрических параметров злемента - толщины и степени непологости ( 1.2,4,7). Рассмотрены вопросы построения аппроксимаций, удовлетворяющих необходимым условиям глад- кости, как для треугольных ( 1.3,4), так и четырвхугольннх злементов ( 1.2,5). Описаны способы ослабления требований гладкости первых производных от прогиба с помощью методов штрафа и множителей Лагранжа и даются примеры их использования для оболочек ( 1.9,10). Много места уделено особенностям расчета оболочек сложной геометрии в отличив от оболочек канонических форм ( 1.4, 5,7). Затронуты вопросы параметризации поверхности оболочки в случае дискретного задания ее геометрии и приведены требования к аппроксимации радиуса-вектора средин-нйй поверхности ( 1.5,6). Дается сравнительный анализ точности, даваемой различными КЭ, на примере некоторых общепринятых задач ( 1.8). [c.16]

Ускоренное прогрессирующее разрушение стержневых систем в связи с влиянием сжимающих нормальных усилий изучалось, в частности, Девисом [107, 108]. Майер [164] предложил учесть изменение геометрии в основных теоремах о приспособляемости путем введения геометрического члена в уравнения равновесия. Последний определяется как произведение матрицы жесткости, соответствующей некоторой (принимаемой за начальную) конфигурации при нагружении, и вектора перемещений от дополнительной, изменяющейся во времени нагрузки. Несмотря на ограниченность данного подхода, он приводит к существенному усложнению задачи. К сожалению, какие-либо конкретные примеры его применения пока неизвестны. Предложенный Майером подход распространен Корради и Донато [98, 99] на динамические задачи теории приспособляемости в статической и кинематической формулировках. - [c.29]

Работа [12.38] послужила толчком к построению матриц жесткости треугольных элементов для расчета изгиба пластин на базе метода разбиения на подобласти, в котором элемент разбивается на треугольные подэлементы. Эти авторы использовали неполный (девятичленный) кубический полином в каждом из трех подэлементов, выбирая систему координат в каждом подэлементе так, чтобы не возникли трудности из-за отсутствия геометрической изотропии, и в том виде, чтобы обеспечить квадратичный характер изменения [c.367]

Двумя основными функциями перемещений для прямоугольного элемента являются двенадцатичленная (12 32) и шестнадцатичленная полиномиальные функции, полученные при помощи полиномиальной эрмитовской интерпретации (12 31). Основное теоретическое соотношение для геометрических матриц жесткости элементов пластин задается выражением (13.21) (см. также комментарии к этой формуле). Подстановка двенадцатичленного полинома в эти уравне- [c.413]

Не повторяя подробно весь алгоритм расчета, отметим здесь лишь основные его этапы, а также укажем на некоторые исходные предпосылки и особенности задания граничных условий. Сжатие резинового бурта оболочки происходит при сближении двух жестких штампов. Предполагается, что весь объем деформируемого в узле зашемления материала может смещаться лишь в направлении от оси муфты. Возникающие при этом силы трения подчиняются закону Кулона. Напряженное состояние бурта оболочки при сближении штампов рассматривается как осесимметричное при этом матрицы жесткости кольцевых конечных элементов, на которые в процессе решения задачи разбивается бурт оболочки, определяются согласно зависимости (1.25). В общем случае поверхности штампов (фланца полумуфты и прижимного кольца) могут иметь конфигурацию, отличную от ответных поверхностей бурта оболочки. При проведении расчетов задача о нагружении бурта оболочки решалась методом сил, поскольку он обеспечивает большую точность, чем метод перемещений, хотя алгоритм расчета в этом случае оказывается более сложным. Процесс нагружения бурта оболочки во избежание ошибок, связанных с проявлением эффектов конструкционной и геометрической нелинейностей, разбивался на ряд последовательных шагов. В пределах каждого шага с помощью итерационной процедуры устанавливались величины и характер распределения нормальных и касательных сил на контактной поверхности бурта. Суть итерационной процедуры состоит в следующем. Задается шаговое сближение штампов путем задания новых значений координат точек поверхности штампов, а также начальная система распределенных нормальных и касательных сил, которая в каждой узловой точке на поверхности контакта бурта дает составляющие Fri и F i (рис. 5.2). [c.107]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...