Матрица жесткости элемента конечного

Проделать для получения матрицы жесткости второго конечного элемента (рис 65) [c.143]

Как упоминалось ранее, для каждого элемента определены соответствующее ему количество степеней свободы в том пли ином направлении и соответствующая ему матрица жесткости. Согласно основной процедуре метода конечных элементов, матрица жесткости всей конструкции определяется как сумма матриц жесткости отдельных конечных элементов. При этом она является квадратной матрицей, размерность которой равна числу степеней свободы всей конструкции с учетом того обстоятельства, что каждая сила связана соотнощением с каждым перемещением в конструкции. Перед вычислением каждому коэффициенту жесткости для конечного элемента приписываются два нижних индекса (Кг ). Первый индекс ( ) определяет силу, для которой записывается уравнение, второй индекс (/) — соответствующую степень свободы. Таким образом, в матрице конструкции первый индекс соответствует некоторой строке, а второй — столбцу. [c.47]

Предложенные в данной работе итерационные методы позволяют хранить полностью заполненные матрицы жесткости каждого конечного элемента. Следовательно, применение известных методов и приемов работы с разреженными матрицами в данном случае нецелесообразно. Эти методы в отличие от многих других позволяют легко реализовать практически все необходимые варианты граничных условий. [c.43]

Покажем, как с использованием системы (4.133) можно получить матрицу жесткости элемента [/С ] и вектор приведенных узловых сил Яп - Для этого с помощью методов численного интегрирования получим на участке кольцевого элемента частотное и фундаментальные решения и представим компоненты кинематических и силовых факторов в конечном и начальном сечеииях (см. 3.6) в виде связи [c.155]

Кг — матрица жесткости г конечного элемента. [c.4]

Это выражение является основным при построении матриц жесткости г конечного элемента для нелинейно упругого тела. [c.69]

Она устанавливает связь между усилиями и перемещениями в узлах сетки и, можно сказать, оказывается некоторым аналогом матрицы жесткости метода конечных элементов. Рассмотренный вариант прямоугольной сетки не единственный. Для областей сложной конфигурации сетку удобно выбирать так, чтобы она совпадала с граничным контуром. В этом случае треугольные [c.83]

Подставив выражения (3.103) и (3.105) в соотношение (3.104), получим матрицу жесткости треугольного конечного элемента для тела, находящегося в плоском напряженном состоянии [c.99]

Осесимметричное нагружение дисков рассмотрим как наиболее типичное при оценке статической прочности. В качестве расчетного метода использован метод конечных элементов (МКЭ). Это не единственный возможный метод расчета известно применение и других методов дискретизации пространственной задачи к расчету дисков (метод конечных разностей, вариационно-разностный [2, 43, 100]). МКЭ наиболее широко применяют в прикладных задачах 47]. Можно отметить простоту формулировок основных принципов, ясность физической интерпретации, свободу размещения узловых точек, симметрию матриц жесткости элементов и системы уравнений, облегчающую контроль расчетов. При выборе в качестве неизвестных узловых перемещений матрица разрешающей системы будет симметричной, положительно определенной (при исключении перемещения диска как жесткого целого) и иметь ленточную структуру. Это способствует быстрому решению системы разрешающих уравнений прямыми или итерационными методами. Методу конечных элементов посвящено большое число работ [3, 46, 53, 114, 119]. Приведенные в гл, 4 результаты получены ДЛЯ простейшего кольцевого элемента треугольного сечения, однако основные соображения, использованные в решении, имеют достаточно общий характер и применимы как для плоской задачи, так и при более сложных элементах в осесимметричном случае. [c.153]

Матрицу жесткости каждого конечного элемента в локальной системе координат получим на основании принципа возможных перемещений. Примем в качестве возможных перемещений величины, пропорциональные возможным скоростям угловых перемещений б <7 . Допустим, что на конечный элемент действуют внешние силы, приложенные к его узлам. Тогда в пределах шага по времени получим [c.189]

Полученная матрица жесткости [k ] конечного элемента записана в локальной системе координат, так как компоненты сил и скоростей перемещений выражены в локальных координатах. [c.189]

Если чересчур смягчить условие в напряжениях, то ранг матрицы жесткости элемента понижается и элемент допускает побочные кинематически допустимые формы деформирования ). Плохая обусловленность проявляется в тех случаях, когда форма элементов нли модель сетки допускают одну или несколько кинематических мод, не закрепленных в конечно-элементной модели всей конструкции. [c.417]

Uz x, у)- Применим эти формулы для вывода матрицы жесткости прямоугольного конечного элемента с четырьмя узлами в вершинах, показанного на рис. 7.5. Стороны прямоугольника имеют размеры а, Ь к параллельны координатным осям х, у. [c.237]

Таким образом, определены отдельные вклады в матрицу жесткости к конечного элемента лонжерона. Блоки этой матрицы [c.308]

Использование формулы к —завершает вычисление матрицы жесткости рассматриваемого конечного элемента. В блочном представлении [c.319]

Последнее совпадает с правилом формирования матрицы жесткости конструкции из матриц жесткости отдельных конечных элементов. [c.334]

При решении задач методом конечных элементов (в варианте независимых перемещений) аппроксимация поля перемещений конструируется в виде (1.27). В качестве функций формы, как правило, используют полиномы, обеспечивающие в пределах элемента геометрическую изотропию аппроксимации, а на границах элементов — необходимую гладкость сопряжения. В соответствии с (1.27) поле деформаций в конечном элементе при решении методом перемещений определяется как e=Bq, где В=ЬФ, а соответствующая матрица жесткости элемента вычисляется согласно (1.30). [c.23]

Для вычисления матрицы жесткости К конечного элемента многослойной оболочки (4.49) необходимо располагать информацией о матрицах В, Н, G (4.47). [c.193]

ПОДПРОГРАММЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ КАНОНИЧЕСКИХ СИСТЕМ И ПОЛУЧЕНИЯ МАТРИЦ ЖЕСТКОСТИ ОДНОМЕРНЫХ КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ [c.286]

Подпрограмма STF вычисляет матрицу жесткости одномерного конечного элемента и вектор-столбец приведенных узловых сил. В алгоритме используются зависимости (1.112), (1.113). [c.287]

На основании выражений (7.100)-(7.104) возможно получение матрицы жесткости каждого конечного элемента исходной системы. [c.233]

Для вычисления матрицы жесткости Ж конечного элемента многослойной оболочки (4.120) необходимо располагать информацией о матрицах Я, [c.402]

Метод прямой жесткости построения глобальной матрицы жесткости является очень важным алгоритмом реализации метода конечных элементов на ЭВМ, потому что он значительно сокращает загрузку запоминающего устройства. В частности, он исключает необходимость запоминания больших матриц элементов, которые содержат всего несколько ненулевых коэффициентов. Число строк и число столбцов сокращенной матрицы жесткости элемента равны числу степеней свободы элемента. [c.108]

При построении глобальной матрицы жесткости не обязательно следовать методике, описанной в разд. 3.2. Одна из альтернатив заключается в образовании несвязанного массива, состояш,его из всех матриц жесткости элементов, и последующего введения связей между элементами посредством построения и применения преобразования координат, в котором степени свободы элементов и узлов включают преобразованные векторы. Назовем этот подход методом конгруэнтных преобразований. Рассмотрим сначала конструкцию, задаваемую с помощью р конечных элементов, для которых индивидуальные уравнения жесткости записываются в виде (3.1). Объединим уравнения жесткости элементов [c.80]

Второе замечание, касающееся вышеизложенной процедуры, заключается в том, что кинематическая неустойчивость конечно-элементной модели выявляется по наличию нулевых строк, причем их число соответствует числу степеней свободы указанной неустойчивости. С помощью процедуры исключения Гаусса — Жордана формируются диагональные матрицы. Напомним, что, согласно разд., 2.9, в матрице жесткости элемента можно выявить степени свободы, отвечающие движению тела как твердого целого, если преобразовать матрицу жесткости к диагональному виду и выделить ее нулевые диагональные элементы. В настоящем рассмотрении ненулевые элементы диагональной матрицы состоят из коэффициентов всех независимых уравнений. [c.86]

Следует подчеркнуть, что принцип минимума потенциальной энергии можно применить при построении матрицы жесткости элемента как присущее конструкции свойство без учета условий, которые должны выполняться при переходе через границы элемента, если элемент включен в глобальное представление конструкции. Если при построении глобального конечно-элементного представления эти условия нарушаются, то аналитическая модель характеризуется межэлементной несогласованностью, при этом нет уверенности в том, что при решении будет достигнут нижний предел. На практике несогласованные элементы применяют из-за того, что они проще согласованных элементов. Можно проверить, позволяет ли использование указанных элементов найти в пределе при измельчении сетки правильное решение [6.5]. Примеры таких элементов даны в последующих главах. [c.172]

Альтернативой к формулировкам на базе принципов минимума потенциальной и дополнительной энергии с непрерывными и разрывными полями на границе соседних элементов служат подходы, вытекающие из принципов минимума обобщенной потенциальной и дополнительной энергии, применение гибридных подходов и функционала со многими полями. Метод, опирающийся на принцип минимума обобщенной потенциальной энергии, используемый при построении соотношений для отдельного элемента, дает корректирующую матрицу жесткости элемента. В гл. 7 показано, что уравнения, соответствующие этой матрице, можно использовать и в глобальном конечно-элементном представлении, полученном на базе принципа минимума потенциальной энергии с разрывными вдоль границ элементов полями перемещений. [c.199]

Поэтому элементы матрицы R o данного элемента должны будут попасть в соответствующие клетки общей матрицы кесткости R. Такая рассылка элементов матриц жесткости отдельных конечных элементов с их суммированием в клетках общей матрицы R производится автоматически на основе общей логической процедуры. Оси х, у могут быть повернуты по отношению к общим осям х, у. Тогда требуется предварительное преобразование матрицы R. Эти вопросы изучаются в курсе строительной механики. [c.270]

Основные соотношения МКЭ. Метод конечных элементов основан на предположении, что тело можно представить в виде набора элементов, соединенных друг с другом только в узлах. Связь узловых усилий с узловыми перемещениями задается с помощью матрицы жесткости элемента. Объединение матриц жесткости отдельных элементов в глобальную матрицу жесткости тела позволяет записать условия равновесия тела. При заданных действующих нагрузках или перемещениях и при известной глобальной матрице жесткостзг решение системы алгебраических уравнений равновесия позволяет найти все узловые усилия, а по ним — напряжения и перемещения в пределах каждого элемента. Тем самым напряженно-деформированное состояние тела становится определенным [59]. [c.83]

Оставим эту работу заинтересованному читателю, а для остальных отметим, что для большинства изопара-метрических криволинейных конечных элементов (в дальнейшем назовем их слоокными изопараметрическими конечными элементами) явное интегрирование матрицы [/С] невозможно. Поэтому используются различные приемы численного интегрирования, а это, как известно, ведет к значительным затратам процессорного времени ЭВМ, в то время как матрицы жесткости регулярных конечных элементов могут быть получены аналитически и требуют незначительных затрат машинного времени. [c.45]

С другой стороны, использование сложных изопара-метрических конечных элементов приводит к значительным затратам машинного времени, связанным с тем, что матрицы жесткости таких элементов, как упоминалось ранее, могут быть получены чаще всего путем численного интегрирования. В то же время матрицы жесткости элементов с линейными функциями формы вычисляются очень быстро с помощью аналитических расчетов. Использование плоских треугольных и четырехугольных конечных элементов, а также в форме тетраэдров и парал- [c.51]

Вычисление глобальной матрицы жесткости [X] осуществляется в два этапа. Вначале вычисляются матрицы жесткости каждого конечного элемента. Затем матрицы элементов [X ] объединяются путем суммирования коэффициентов Kf. с совпадающими индексами. Этот способ отличается от вывода уравнения (1.2) только алгоритмически. [c.25]

Законтурный одноузловой элемент упругого основания (элемент третьего типа). Для получения матрицы жесткости этого конечного элемента (рис. 2.8) выражение потенциальной энергии запишем в полярной системе координат [c.52]

Эти недостатки можно избежать, если матрицу жесткости г конечного элемента обработать специальным образом -для Qt,i степени свободы, по направлению которой присоединение имеет определенную податливость, на матрице Кг и векторах узловых усилий (к которым приведена местнаяг нагрузка) производится Жорданово исключение с предварительной засылкой в элемент Ки значения податливости присоединения. Если происходит только снятие связи (нулевая жесткость присоединения), то в элемент Кп ничего не засылается. [c.108]

Городецкий А. С., Моянский В. В. Построение матрицы Жесткости для конечного элемента трехмерного континуума. — В кн. Расчет пространственных конструкций. Вып. 3. Куйбышев, 1973, с. 108—119. [c.138]

Это уравнение является основным при расчете конструкций с помощью МКЭ. Оно позволяет найти перемещения и, воспользовавшись соотношением (3.86), определить напряженное состояние в каждом элементе системы. Основная задача расчета конструкций методол, конечных элементов состоит в определении матриц жесткости элементов, общей матрицы жесткости [К и вектора узловых сил F , [c.90]

Отметим, что ко есть матрица жесткости исходного конечного элемента, так что первое слагаемое в формуле для U определяет энергию деформации этого базового элемента. Подчеркнутые члены в формуле для и , будучи скалярными неличинамн, получаются один из другого путем транспоиироваиня н поэтому равны между собой. С учетом этого перепишем окончательно выражение для W так [c.157]

Uy — 2t )rWrj/i в которых сумкифование ведется по всем узлам, и пользуясь описанной выше процедурой, можно построить матрицу жесткости данного конечного элемента. [c.175]

Формулы (7.2) —(7.5) можно взять за основу при выводе жесткостных характеристик конечных элементов, оеуществт ляя при этом независимую аппроксимацию функций Uz, Х и 9у по их узловым значениям. Как следует из (7.1), совместность перемещений обеспечивается, если каждая из этих функций непрерывна на границах между элементами. Так же как и в случае плоской задачи теории упругости, выполнить это условие можно, например, с помощью изопараметрической формулировки конечных элементов. Следовательно, здесь открываются широкие возможности для введения конечных элементов произвольной формы, в том числе криволинейных. Но применение подобных элементов к расчету тонких пластин до последнего времени было ограниченным из-за чрезмерной жесткости элементов, которая обусловлена ложными деформациями поперечного сдвига и появляющимися при чистом изгибе пластины. В работе [38] показано, что и в случае изгиба пластин эффективным средством борьбы с ложными деформациями поперечного сдвига является использование минимально допустимого порядка интегрирования соответствующих членов при вычислении матрицы жесткости элемента. Несколько конечных элементов, полученных таким способом, представлено в следующем параграфе. Они могут успешно использоваться при расчете как тонких, так и сравнительно толстых пластин. [c.230]

В результате работы подпрограммы ВЕАМ1 получим ST(4,4) —массив матрицы жесткости нзгнбного конечного элемента многослойного толстостенного цилиндрического стержня Р(4)—массив, в котором размещаются коэффициенты вектора приведенных узловых сил. [c.155]

При решении задач устойчивости и колебаний для дополнительных перемещений геометрические условия сопряжения остаются такими же, как и при решении задачи статики (5.93), лоэтому для многослойного конечного элемента его матрица приведенных начальных напряжений и матрица приведенных масс преобразуется таким же образом, как и матрица жесткости элемента, т. е. с использованием соотношений, аналогичных [c.266]

К. К. Kapur [1.217] (1966) с помощью метода конечных элементов определил частоты и формы свободных колебании однородных и неоднородных балок Тимошенко с различными условиями на концах. Приводится дифференциальное уравнение движения в матричной форме, представлены матрица жесткости элементов и матрица масс. Подсчитаны частоты низших форм колебаний шарнирно опертой и консольной балок. [c.93]

Для другой простой альтернативной схемы представим, что конечно-элементная модель разделена вдоль сеточной линии, как показано на рис. 9.9 (Ь). Силы взаимодействия Рх. и Ру., действующие в узлах вдоль этой линии, вычисляются в результате умножения соответствующих узловых перемещений на отвечающие им матрицы жесткости элементов с последующим суммированием так подсчитываемых сил в каждом узле. Эти силы распределяют, как показано на рис. 9.9(с) (штриховая линия), в виде ступенчатой диаграммы напряжений, которые затем представляются в полигональной форме (сплошная линия). При построении распределений касательных напряжений используется свойство близости. Так, в точке 2, например, Oy=PyJat, Xxy=P Jai. [c.284]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...