Устойчивость, анализ по линейному

В линейной постановке задачи потери устойчивости (анализ по Эйлеру) предполагается, что [c.416]

Устойчивость по линейному приближению. В предыдущих разделах этого параграфа анализ устойчивости положения рав- [c.383]

Нелинейная система. Все предыдущие рассмотрения относились к линейной системе. Положим теперь, что линейная система имеет смысл первого приближения некоторой истинной нелинейной системы. Суждение об устойчивости последней по результатам анализа соответствующих линеаризованных уравнений основывается на следующих теоремах. Ляпунова 1). [c.433]

Для анализа динамики линейных систем и в решениях задачи об их устойчивости большую ценность представляет прямой метод А. М. Ляпунова, позволяющий по так называемой квадратичной V-функции судить об устойчивости системы, в которой одно или несколько звеньев описываются нелинейными дифференциальными уравнениями. Ниже для решения задачи о достаточных условиях устойчивости гидравлического следящего привода применяется этот метод. [c.497]

При нелинейном статическом анализе устойчивости приложенная нагрузка должна быть заведомо больше критической. Очевидно, что для линейного и нелинейного поведения материала критические нагрузки будут существенно отличаться. Для анализа с линейным материалом оценку критической нагрузки даст анализ устойчивости по Эйлеру. [c.427]

При а>0 уравнение (1.13.1) допускает решение 7 = 0 то же д = Ь остается решением и при а<0. Взглянув на рис. 1.13.2, мы сразу же заметим, что положение д = О при а<0 неустойчиво. Однако во многих случаях, представляющих практический интерес, мы можем не опираться на существование потенциальной кривой (например, такой, как показано на рис. 1.13.2), а использовать другой подход — анализ устойчивости по линейному приближению. Введем для этого небольшое зависящее от времени возмущение и и запишем решение д уравнения (1.13.1) в виде [c.60]

Так как а = —а>0, и (/) возрастает экспоненциально. Это свидетельствует о том, что состояние <7о = О неустойчиво. В гл. 2 и 3 мы изложим анализ устойчивости по линейному приближению в общем виде. В частности, мы рассмотрим случай, когда неустойчивым становится не только константа-решение <7о, но и движение по предельному циклу или по тору. Последняя проблема приводит нас в весьма странную область квазипериодических движений, где было сделано еще больше открытий (в число которых вносит свой вклад и эта книга). После того как анализ устойчивости произведен, возникает очередной вопрос в какие новые состояния перейдет система. При ответе на него для синергетики наибольшее значение имеют два понятия параметр порядка и принцип подчинения. Для того чтобы пояснить их, рассмотрим два дифференциальных уравнения [c.61]

В этом случае единственно возможный аттрактор есть устойчивая неподвижная точка ( одномерный узел ), а траектория этого аттрактора есть постоянная д = соответствующая положению особой точки. Для того чтобы доказать устойчивость точки д = выполним анализ устойчивости по линейному приближению, изложенный нами в общих чертах в разд. 1.13. Для этого подставим в (1.14.15) [c.70]

Итак, под ы и 5 надлежит понимать моды, которые при анализе устойчивости по линейному приближению характеризуются свойствами (8.2.1), (8.2.2). После этих предварительных замечаний мы разобьем уравнение (8.1.18) по индексам 1, 2,. .. на уравнения [c.266]

Следует указать также, что классический линейный анализ устойчивости может дать лишь результаты, касающиеся устойчивости по отношению к бесконечно малым возмущениям. [c.298]

Поскольку режим течения, устойчивый по отношению к бесконечно малым возмущениям, может оказаться неустойчивым по отношению к конечным возмущениям, линейный анализ дает в лучшем случае верхнюю границу критерия устойчивости. Это справедливо, конечно, как для ньютоновских, так и для неньютоновских жидкостей. [c.298]

Цель анализа динамики машин и станков — оценка их устойчивости и качества. При расчете линейных систем на устойчивость наибольшее распространение получили алгебраический критерий Гурвица, частотные критерии по годографу Найквиста и по логарифмическим частотным характеристикам (ЛЧХ). Частотные критерии используются для оценки устойчивости по частотной передаточной функции разомкнутой системы и (1со) (со — круговая частота, I — мнимая единица) [c.55]

Изложенный алгоритм матричной прогонки не всегда может быть использован для расчетов. Иногда для обеспечения устойчивости прогонки и разрешимости возникающих при этом процессе систем уравнений необходим углубленный анализ поля характеристических направлений. Ограничимся некоторыми эвристическими соображениями по этому вопросу. Рассмотрим систему (2.3) — (2.5) и заморозим коэффициенты. Имеем следующую линейную систему (черточки обозначают замороженные значения) [c.102]

Прямолинейный стержень. Критическая нагрузка как минимум функционала. Применение энергетического метода, изложенного в предыдущем разделе, к анализу устойчивости равновесия континуальной системы рассмотрим на примере стержня. Пусть тонкий прямолинейный стержень из линейно упругого материала находится под действием сил, направленных вдоль его оси и распределенных произвольным образом по его длине (рис. 18.58, а во внутренних точках оси может быть приложена не одна сила, как показано, а несколько). Предполагается, что стержень закреплен в пространстве от перемещений как жесткого целого. Прямолинейная форма равновесия возможна при [c.386]

Для кранов второй группы изложенные ранее рекомендации по определению допустимых путей торможения применить нельзя, так как для одного и того же крана этой группы, работающего на разных вылетах с одной и той же угловой скоростью, будут меняться линейная скорость головки стрелы (груза) и величина замедлений, а, следовательно, и силы инерции при торможении. Эти силы инерции могут оказаться настолько большими, что приведут к потере устойчивости крана. В стреловых кранах, грузоподъемность которых меняется с изменением вылета стрелы, влияние величин веса груза, вылета стрелы и скорости поворота на устойчивость крана весьма сложно и требует тщательного анализа действия всех сил. Поэтому применение указанных выше однозначных рекомендаций для всех типов кранов будет неправильным. Кроме того, эти рекомендации не учитывают особенностей процесса пуска и пуск, и торможение могут создавать различные по величине инерционные усилия и различные условия работы для элементов механизма, что нецелесообразно. [c.368]

Рассмотрим более простые для анализа астатические системы. Их линейная модель является частным случаем (10)—(11) при = 0. Параметры а я К будем считать пренебрежимо малыми. ППО типа А2 (рис. 2) имеют, согласно (14), границу устойчивости по допустимой величине чувствительности/ 2, которая опре- [c.119]

Расхождение в результатах объясняется различием критериев устойчивости решений стохастических дифференциальных уравнений и выбором методики исследования. Отметим, что данная методика дает возможность исследовать приближенными методами движение систем в переходных режимах как при стационарных, так и нестационарных возмущениях, а в сочетании с методом статистической линеаризации перенести изложенные выше результаты на случай существенно нелинейных параметрических систем. В работе [54] исследование подобных систем приведено с использованием асимптотического метода и нестационарных уравнений ФПК. Из у.равнений (6.58), (6.59) следует, что наличие флюктуаций при линейных членах f н f приводит к увеличению дисперсии движения системы. Из рис. 70 видно, что наличие флюктуаций в нелинейных членах также приводит к изменению дисперсии системы по сравнению с системой с постоянными параметрами. Однако, как нетрудно показать из анализа выражения (6.54), увеличение дисперсии флюктуаций в нелинейных членах приводит к уменьшению дисперсии. В работе [27 ] рассмотрена проблема снижения резонансных амплитуд за счет введения флюктуаций при линейном члене /. При этом введение флюктуаций предполагалось кратковременным. Выражение (6.54) показывает новые возможности при решении подобных проблем в сочетании с принципом управления по возмущению (компенсация возмущений). [c.249]

В качестве примера определим условия динамической устойчивости системы (6.105) в полосе частот 2 ( oj + toj). В этом случае, как это следует из непосредственного анализа уравнений (6.107), (6.108), наличие параметрического возмущения при нелинейных функциях от фазовых координат приводит к новому по сравнению с линейной моделью (5.73) динамическому эффекту — Субгармоническому комбинационному резонансу. Аналогично могут быть рассмотрены и другие полосы частот субгармонического комбинационного резонанса. [c.272]

Обстоятельное изложение теории свободных колебаний линейных систем с переменными параметрами содержится в монографии Ф. А. Михайлова [47]. Суш ественные результаты получены автором по анализу устойчивости линейных систем с периодически изменяющимися коэффициент тами. [c.10]

Полученные в настоящей работе результаты показывают, что применение методов теории цепей к расчету гидравлических и механических систем позволяет изучать даже весьма сложные по структуре системы. Использование графа распространения сигнала дает эффективный метод построения электронных моделей с учетом линейных и нелинейных элементов системы, а для линейных систем — метод расчета необходимых для анализа системы передаточных функций. Полученные в работе выражения передаточных функций для системы с сосредоточенными параметрами (9) и (10) и с распределенными параметрами (17) и (18) и составленные программы для аналоговых электронно-вычислительных машин (см. рис. 14 и 19) могут быть использованы для анализа устойчивости и качества переходных процессов конкретных гидравлических силовых следящих систем. [c.92]

Метод счета с автоматическим скачком, который усовершенствует метод скорейшего спуска. Устойчивость итерационного процесса обеспечивается ценой сравнительно малых приращений перемещений на каждой итерации. В то же время анализ проведенных расчетов показал возможность прогнозировать величину перемещений, ожидаемых через значительное число итераций. Именно эта возможность и заложена в основу рассматриваемого метода. Итерационный процесс разбивается на этапы по п итераций. По окончании трех таких этапов в памяти ЭВМ содержатся, в частности, поля перемещений, полученные в конце двух последних этапов, и величины характерных перемещений, определяющих ход итерационного процесса, рассчитанные на всех трех этапах. По этим перемещениям оценивается характер процесса, его монотонность. Затем путем линейной экстраполяции по значениям двух полей перемещений, хранящихся в памяти ЭВМ, вычисляется поле перемещений, ожидаемое через значительное число итераций. Такой режим ведения итерационного процесса, названный режимом счета с автоматическим скачком, позволяет в 2,0—2,5 раза сократить время счета. [c.39]

Анализ линейной устойчивости слабо расходящегося течения [1.28] качественно согласуется с наблюдениями, выделяя моду с наибольшим коэффициентом усиления по амплитуде давления, которая соответствует числу Струхаля fd/uo ss 0,4. Как указано в [1.18], в этих теориях содержится в неявном виде нелинейность, поскольку измеряемые в эксперименте профили средней скорости, использованные в расчетах, уже включают результат действия рейнольдсовых напряжений. Этим значениям чисел Струхаля соответствует так называемая предпочтительная мода. Как показано в экспериментах [1.38], при d/26o > 120 число Струхаля предпочтительной моды остается постоянным и равным 0,44. [c.24]

Гидродинамические силы. При анализе динамики роторов, опирающихся на подшипники скольжения, необходимо решать совместную задачу теории колебаний и гидродинамики. Гидродинамическая сторона задачи сводится к решению ряда уравнений гидродинамической теории смазки при неустановившемся течении, окончательной целью решения которых, как правило, является определение так называемых статических и динамических характеристик. Статические характеристики определяют кривую стационарных положений цапфы, расход смазки, потери мощности на трение. Динамические характеристики (коэффициенты) определяют действующие на цапфу дополнительные силы, возникающие при малых перемещениях цапфы из стационарного положения. Знание этих коэффициентов позволяет решать задачи устойчивости и линейные задачи вынужденных колебаний при внешних периодических нагрузках, малых по сравнению со статической нагрузкой. [c.160]

Эта система допускает следующие решения а = Ь = Л = 0, что соответствует отсутствию в системе установившегося периодического движения (состояние покоя). Такое состояние является возможным равновесным состоянием системы, и вопрос о его осуществимости при данных значениях параметров системы и характере внешнего воздействия можно решить только на основе рассмотрения вопроса об устойчивости данного состояния. Анализ устойчивости системы по отношению к малым отклонениям от состояния покоя приводит к линейному уравнению с периодически изменяющимся коэффициентом (типа уравнения Матьё). Для этого уравнения, как мы [c.136]

Метод исследования малых колебаний относительно равновесного состояния позволяет свести задачу динамической устойчивости движения к задаче нахождения условий устойчивого решения системы линейных уравнений с постоянными коэффицнента.ми и тем самым, по существу, свести решение к анализу корней соответствующего характеристического уравнения. В случае устойчивости движения корни этого уравнения должны быть в лево части плоскости Гаусса. Полином, обладающий такими свойствами, называется полиномом А. Гурвица [97]. Для того чтобы полином [c.382]

Фурье-преобразование координат, описанное в разд. 8.4, часто рассматривают вместе с обобщенным анализом Флоке линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами. Действительно, эти направления анализа связаны между собой общим фактором — вращением системы. Однако, поскольку любое из них может потребоваться при анализе несущего винта без использования другого, они различны по существу. Например, фурье-преобразование координат необходимо для представления движения лопасти несущего винта в осевом потоке при возникновении связи с невращающейся системой (движение вала или отклонение управления), но несущий винт при этом остается стационарной системой. С другой стороны, при полете вперед и неподвижном вале винта приемлемо представление движения лопасти во вращающейся системе координат, однако в уравнениях движения появляются периодические коэффициенты, и для оценки устойчивости системы требуется применение анализа Флоке. [c.350]

В течение XVII в,, в эпоху формирования классической механики, статические задачи, побуждавшие в той или иной мере заниматься проблемой устойчивости, были оттеснены на задний план задачами динамики. В новых задачах динамики вопрос об устойчивости, принципиально более сложный и гораздо менее наглядный, чем в задачах статики, поначалу вовсе не ставился. В результате в течение примерно столетия в проблему устойчивости не было внесено ничего существенно нового. Обновление приходит вместе с развитием в XVIII в. аналитических методов механики. Новыми существенными успехами учение об устойчивости обязано Л. Эйлеру Стимулом было, как и прежде, исследование проблемы плавания. В 1749 г. в Петербурге была издана двухтомная Корабельная наука (на латинском языке) Леонарда Эй- лера Этот труд был закончен в основном еще в 1740 г. Его третья глава — Об устойчивости, с которой тела, погруженные в воду, упорствуют в положении равновесия ,— начинается с утверждения, что устойчивость, с которой погруженное в воду тело упорствует в положении равновесия, должна определяться величиной момента восстанавливающей силы, когда тело будет наклонено из положения равновесия на данный бесконечно малый угол. Здесь дается обоснованная предыдупщм изложением мера устойчивости, четко введена устойчивость равновесия по отношению к бесконечно малым возмущениям, а в дальнейшем изложении устойчивость равновесия исследуется с помощью анализа малых колебаний плавающего тела около положения равновесия. Дифференциальное уравнение второго порядка, описывающее эти колебания, составляется в соответствии с введенной мерой устойчивости, путем отбрасывания малых величин порядка выше первого и поэтому оказывается линейным уравнением с постоянными коэффициентами (без слагаемого с первой производной, так как трение не учитывается, и без правой части). Это позволяет сопоставить его с хорошо изученным к тому времени уравнением малых колебаний математического маятника при отсутствии сопротивления среды. Качественная сторона дела тоже учитывается введенной Эйлером мерой момент восстанавливающей силы зависит от оси, относительно которой он берется, и для одних осей он может быть положителен (устойчивость равновесия), для других отрицателен (неустойчивость), для [c.118]

Отметим, что для стохастических систем Ито, в отличие от систем со случайными возмущениями более общего вида, существует достаточно продвинутая теория устойчивости по линейному приближению [Хасьминский, 1969]. Имеется некоторый анализ данной проблемы [Воротников, 1983Ь, 1991а, 1998 применительно к ЧУ-задаче. [c.272]

Серия работ по качественному исследованию напряженных состояний в оболочках была открыта А, Л. Гольденвейзером (1945—1947) впоследствии изложенные в его статьях методы были использованы при анализе задач линейной теории устойчивости и колебаний, а также в нелинейной теории оболочек. [c.229]

Несмотря на объективные нелинейности, разработчику, тем не менее, при первой прикидке целесообразно обратиться к грубой линейной модели диссипативных сил и п)гтем математического анализа эксперимента (на основе, например, метода корневого годографа) вычислить требуемые для устойчивости коэффициенты демпфирования с учетом необходимых запасов. Далее среди известных технологически оправданных решений следует выбрать способ реализации этого демпфирования (,дассивное или активное ) и затем, оценив выбранный вариант по линейной модели, произвести корректный расчет амплитуды предельных циклов. [c.212]

До сих пор мы рассматривали качественные изменения времен" ного поведения систем возбуждение колебаний, колебания с несколькими частотами, субгармонические колебания и т. д. Однако во многих физических, химических и биологических системах не следует пренебрегать пространственной зависимостью переменных системы. Например, в разд. 1.2.1 было показано, что пространственные структуры могут возникать в жидкости. В простейшем случае исходное состояние пространственно однородно. При некотором значении параметра управления однородное решение, как показывает анализ устойчивости по линейному приближению, может стать неустойчивым. Итак, требуется рассмотреть линейные уравнения вида [c.75]

В течение последних 20 лет известные успехи были достигнуты в численном моделировании волн конечной амплитуды (нелинейная теория). Линейная теория способна ответить только на вопрос о границе устойчивого и неустойчивого состояний и не может предсказать реальную форму волн и их эволюцию во времени. Экспоненциальный рост амплитуды волн при возникновении неустойчивости, предсказываемый линейной теорией, сам по себе предполагает, что эта теория выходит за пределы своих возможностей, как только такой рост начинается. В реальном процессе восстанавливающие силы (поверхностного натяжения, инерции, массовые) быстро нарастают с увеличением амплитуды волн, которая всегда остается конечной в гравитационных пленках. На основании численных исследований в рамках нелинейной теории были получены некоторые практически полезные результаты [43], однако они, как правило, не могут быть представлены в виде прость(х аналитических соотношений основные тенденции, следующие из численных решений, описываются обычно качественно. В частности, важный качественный вывод делается Холпановым и Шкадовым [43] в отношении влияния трения со стороны газового потока (т " ) на форму волновой поверхности жидкой пленки. Оказывается, начиная с некоторого значения т" (при заданном расходе жидкости Fq), увеличение касательного напряжения приводит к уменьшению амплитуды волн, чего никак нельзя было бы предположить на основе анализа в рамках линейной теории Кельвина—Гельмгольца. [c.171]

Анализ устойчивости управляемых линейных (и нелинейных) систем частотными методами базируется на частотных характеристиках разомкнутой линейной модели системы [106]. Для одноконтурных систем регулирования машинных агрегатов по принципу стабилизации с тахометрической обратной связью частотная характеристика разомкнутой САР скорости определяется простейшим образом в виде произведения частотных характеристик ио-следовательнои цени звеньев направленного действия [. 59, 106]. В более общнх случаях частотную характеристику линейной модели САР скорости часто также целесообразно определять, не решая для этой модели проблему собственных спектров. Обобщенная задача такого рода с одним входом % и одним выходом а решается на основе модели вида [38, 106] [c.246]

Анализ выясняет чувствительность системы, склонность её к колебаниям, предел устойчивости системы, получающееся отклонение скорости и т. д. Этот анализ отличается некоторой сложностью [27, 53]. При несколько упрощённом рассмотрении процессов и их линеаризации обычно получается семейство линейных диференциальных уравнений с постоянными коэфициентами 3, 4, 5 и высших порядков. Так как решение алгебраических (характеристических) уравнений выше 4-й степени невозможно, то при анализе обычно ограничиваются выяснением пределов условий устойчивости системы на базе критерия Гур-вица. При этом неизбежно приходится нтти на упрощения, пренебрегая иногда при наличии нескольких членов в отдельных равенствах членами, имеющими по сравнению с другими малую величину. [c.73]

В проблеме АВП число нерешенных задач гораздо больше, чем число хорошо установленных фактов. Практически отсутствуют математические методы получения решений типа АВП и анализа их устойчивости. Весьма важен вопрос о критических линейных размерах системы, при превышении которых могут возникать АВП. Существуют, по-видимому, в другие критические размеры, при превышении которых и Г с высокой точностью независят от размеров системы, как это наблюдается в эксперименте. [c.168]

Мгтойчивость линейных колебаний. При анализе устойчивости поперечных колебаний записанные в натуральной системе координат ур-ния движения прежде всего линеаризуются по переменным х, z, х, г x = dxlds, z — dzjds). Предположим, что нет искажений ведущего и фокусирующего полей, и ограничимся наиб, распространённым случаем, когда продольное магн. поле отсутствует. Тогда ур-ния движения по двум поперечным степеням свободы разделяются и приводятся к виду [c.333]

На рис. 28, а показаны амплитудные зависимости, построенные по решению (70) — прямая 2 и по решению (71) — прямая 3, в случае, когда коэффициенты сил трения не зависят от частоты (прямая 1 соответствует автономном системе). На рис. 28, б кривая 2 характеризует решение (71) в случае, когда линейные силы внутреннего трения подчиняются гипотезе Сорокина. Из анализа решений следует, что при выбранном характере нелинейных сил внешние нагрузки повышают устойчивость и уменьшают амплитуды автоколебаний. Дополнительный анализ показы-ваег, что при ином характере нелинейных сил внешние вибрационные нагрузки могут иногда приводить к понижению устойчивости. [c.159]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...