Матрица дифференциальная

Какое соответствие имеется между матрицами дифференциальных уравнений механических и электрических систем в матричной форме [c.229]

Принцип возможных перемещений носит стати ко-геометрический характер, и матрица дифференциальных операторов [L ] в уравнениях равновесия (3.9) полностью определяется исходными кинематическими связями, задаваемыми соотношениями типа (3.4). Поэтому использование принципа возможных перемещений оказывается весьма удобным при построении методов расчета многослойных конструкций, когда в качестве исходных берутся достаточно сложные кинематические соотношения по толщине пакета. [c.75]

Здесь и=(и, V, ш)—вектор перемещений g = qi, q2 t —А з ) — вектор заданных поверхностных усилий L — матрица дифференциальных операторов L= Z,ij с компонентами [c.257]

Эти решения, в истинности которых можно убедиться их подстановкой в уравнения (5.3.9), получены тем же методом, каким для уравнений изгиба пластинки были получены решения (5.1.23) — (5.1.25). Метод требует представления уравнений (5.3.9) в форме (5.1.26) и вычисления определителя Л матрицы дифференциальных операторов 1у выражение для этого определителя таково [c.145]

Отметим еще, что классические уравнения устойчивости цилиндрической оболочки получаются из системы (6.4.9) путем вычеркивания в матрице дифференциальных операторов Л двух последних строк и столбцов. Соответствующая система трех дифференциальных уравнений относительно трех искомых функций и , f/j, f/j интегрируется при краевых условиях (6.4.6), из которых исключаются условия на функции, связанные с учетом поперечных сдвигов. [c.187]

Расчеты на ЭВМ показывают, что матрица решений Х(1>) соответствующей системы дифференциальных уравнений при г — 2тт будет такой [c.131]

Для получения матрицы Ь при каком-либо значении V нужно интегрировать на ЭВМ систему линейных дифференциальных уравнений шестнадцатого порядка. Таким образом, нормализованная система дифференциальных уравнений запишется в виде (2.94), где [c.132]

Таким образом, относительно каждого вектора е( имеем одно векторное дифференциальное уравнение. В координатной форме оно эквивалентно системе из трех скалярных дифференциальных уравнений. Для того чтобы найти все столбцы матрицы оператора А, имеем систему из трех векторных (1 = 1,2,3) или из девяти скалярных дифференциальных уравнений. Скалярные произведения е( е остаются постоянными для решений указанной системы. В само М деле [c.134]

Оператор в левой части формулы (2.269) (оператор Ламе) будем считать тензором-оператором второго порядка в трехмерном пространстве и обозначать через А результат воздействия этого оператора на вектор и будем считать сверткой А-и. В декартовой системе координат оператор А задается матрицей, коэффициенты которой—дифференциальные операторы первого и второго порядка в действительности А проще записать в виде суммы таких матриц. Для получения соответствующих выраже- [c.89]

За новое дифференциальное уравнение (5.49) возьмем такое, матрица коэффициентов которого является нормальной формой ЖорданА для матрицы А исходного [c.143]

Отметим, что для перехода к каноническим переменным формула преобразования (5.47) не нужна — нужно знать только элементарные делители матрицы А — Дифференциальные уравнения в. канонических переменных разобьются на т независимых друг от друга групп, каждая из которых соответствует своему элементарному делителю или своей клетке Жордана Выпишем одну первую группу (остальные имеют аналогичную структуру) [c.144]

После подстановки выражений (б) и их производных в дифференциальную матрицу (см. табл. 9.1) получим для определения значений параметров Ui и Vh систему шести алгебраических уравнений. [c.341]

Основная сложность при решении уравнений заключается в том, что задачи статики стержней относятся к двухточечным краевым задачам, когда решение должно удовлетворять определенным условиям в начале и в конце интервала интегрирования, в отличие от одноточечных краевых задач — задач Коши, когда все условия, которым должно удовлетворять решение, известны в начале интервала интегрирования. Поэтому хорошо разработанные методы решения систем дифференциальных линейных (и нелинейных) уравнений для одноточечных задач использовать для решения двухточечных задач в общем случае нельзя. В настоящее время имеется ряд методов численного решения линейных двухточечных задач (имея в виду стержни), которые получили распространение в расчетной практике метод начальных параметров, метод прогонки [2], метод конечных элементов [15]. Точное аналитическое решение линейных уравнений равновесия стержня, например (1.112) — (1.115), возможно только для случая, когда элементы матрицы Ах— постоянные числа [этот случай будет рассмотрен в 5.2, где изложены теория и методы расчета винтовых стержней (цилиндрических пружин)]. Для уравнений с переменными коэффициентами возможны только численные или приближенные методы решения. [c.61]

Частное решение уравнения (2.7) можно получить двумя способами численным решением уравнения (2.8) при нулевых начальных данных и с использованием матрицы Грина. Остановимся более подробно на втором способе получения частного решения линейных дифференциальных уравненпй. Частное решение уравнения (2.5), если воспользоваться методом вариаций произвольных постоянных, можно представить в виде [c.63]

Матрица амплитуд переходов (матрица амплитуд, Л/-матрица),— матрица, с помощью которой дифференциальное сечение перехода в канал Ь из начального состояния а находится в виде [c.269]

С такими матрицами часто приходится иметь дело при числовом решении дифференциальных уравнений (см., например, п. 1 1.5). Матрица называется нижней треугольной, если все ее элементы, расположенные выше главной диагонали, равны нулю [c.22]

В большинстве задач система алгебраических уравнений, возникающих при аппроксимации дифференциальных уравнений разностными, имеет очень большой порядок (как правило, iV lOO), но обладает разреженной матрицей. В случае нелинейных систем итерационные процедуры, как правило, сводят к линейным системам. [c.74]

Но о = ди дх, вследствие сделанного предположения о том, что матрица работает только на сдвиг, т = хи/ R — r), поэтому получим следующее дифференциальное уравнение [c.697]

После подстановки выражений (б) и их производных в дифференциальную матрицу (табл. 8.1), получим для определения значе- [c.247]

Если применить матрицы, то дифференциальные уравнения свободных колебаний системы (29.1) можно представить в следующем виде [c.146]

Матрицу а называют матрицей коэффициентов влияния. Если восстанавливающие силы являются силами упругости, то все коэффициенты влияния, т. е. элементы матрицы а = i можно получить непосредственно, не прибегая к матрице коэффициентов жесткости с , а следовательно, к потенциальной энергии системы, что значительно упрощает составление дифференциальных уравнений (30.2). [c.147]

Пример 45. Составить дифференциальные уравнения свободных колебаний механической системы, состоящей из балки на двух опорах с четырьмя сосредоточенными грузами, массы которых т , Ш2, пц, т и определить матрицу /4 массой балки пренебречь. [c.147]

Оба вида колебаний определяются неоднородными линейными дифференциальными уравнениями второго порядка с постоянными коэффициентами. Причем, второе дифференциальное уравнение соответствует первой системе электромеханических аналогий, а именно аналогии сила — напряжение. В этой системе матрице коэффициен- [c.204]

Здесь [В] — матричный дифференциальный оператор, [О] — матрица упругости, бт. — вектор термических или других начальных деформаций. [c.83]

В математическом обеспечении вычислительных машин существуют пакеты научных программ, обеспечивающие интегрирование систем дифференциальных уравнений перемножение матриц вычисление обратных матриц и т. д. [c.183]

Элементы нормальной фундаментально матрицы легко установить из уравнений (190). Решение (191) называется решением дифференциального уравнения (185) в матричной форме. [c.432]

Из всех возможных методов определения собственных частот многомассовых систем рассмотрим только два метод непосредственного анализа систем дифференциальных уравнений движения и метод матриц переноса. Оба метода поясним на примере трехмассовой динамической модели, состоящей из трех сосредоточенных масс с моментами инерции /2, /з, соединенных упругими элементами, имеющими коэффициенты жесткости l и q (рис. 72). Эта модель может быть использована для анализа крутильных колебаний валов зубчатых механизмов, образующих цепную систему. В последнем случае при определении углов закручивания отдельных элементов надо учитывать передаточные отношения так, как было указано при вычислении [c.243]

Если хотя бы одно характеристическое число матрицы А имеет положительную вещественную часть (ReX , 0), то нулевое решение системы дифференциальных уравнений (1) неустойчиво ). [c.218]

Можно показать, что уравнения принципа возможных изменений напряженного состояния (1.65), (1.66) приводят к условиям совместности. Для этого напряжения 8а нужно выразить через функции напряжений (функции Эри, Максвелла, Морера), т. е. представить 5o=W6s (где W — прямоугольная матрица дифференциальных операторов, такая, что L W = 0 6s — вектор-столбец независимых функций напряжений) и выполнить интегрирование по частям. [c.19]

Метод прогонки. Примерами сильно разреженных матриц являются матрицы Якоби в системах конечных уравнений, получаемых по методам конечных разностей или конечных элементов из дифференциальных уравнений в частных производных. Если алгебраизация дифференциального уравнения производится на основе регулярной сетки, то разреженная матрица Якоби оказывается ленточной, т. е. матрицей, у которой ненулевые элементы располагаются только на k главных диагоналях. Специфические особенности структуры ленточных матриц можно использовать для упрощения алгоритмов учета разреженности. [c.231]

Замена переменных, приводящая систему (2.92) к системе линейных уравнений с постоянными коэффициентами, определяется матрицей G(t) неоднозначно. Изложим алгоритм построения линейного вещественного, 2я-периодического по t, канонического преобразования, приводящего систему дифференциальных уравнений (2.92) к нормальной форме [18]. Будем предполагать,чтохараюеристические показатели Ху системы (2.92) чисто мнимые, Ху lOj, а все мультиштикаторы [c.129]

Здесь Ifi] — матричный дифференциальный оператор, [D] — матрица упругости, ej — вектор термических или других начальпы.х деформаций. [c.77]

Уравнение (2.50) называется уравнением направлений характеристик, а уравнение, получающееся приравниванием нулю определителя, который составлен из любых т—1 столбцов матрицы (2.49) и столбца fdATi—Adu,— дифференциальным соотношением на характеристике или условием совместности. [c.44]

Ниже кратко изложены некоторые аспекты устойчивости данной разностной схемы без ее детального математического обоснования. Для устойчивости схемы требуется, чтобы была устойчива как прогонка, так и итерационный процесс. Условие устойчивости прогонки для получаемой в результате преобразования дифференциальной задачи к разностной системе нелинейных алгебраических уравнений совпадает с условием хорошей обусловленности системы алгебраических уравнений для определения Zm на лучах т] = onst. Последнее условие, в свою очередь, определяется знаками собственных значений матрицы А, среди которых должны быть как отрицательные, так и положительные. Число различных но знаку собственных значений связано с направлением характеристического конуса и согласуется с количеством граничных условий при g=0 и =1. В практических расчетах из-за сильного изменения направления потока в расчетной области условие хорошей обусловленности может нарушаться, что при1юдит к неустойчивости или разбалтыванию разностного решения. В этом случае для стабилизации четырехточечной схемы приходится, например, сдвигать систему координат таким образом, чтобы собственные значения не изменяли знаков. [c.141]

Второй подход предусматривает использование известных свойств структурных компонентов материала и путем усреднения, сглаживания и применения энергетических методов позволяет построить модель среды, в которой все константы выражаются через характеристики компонентов материала. Примером может служить теория Ахенбаха и Херрманна [3, 4], в которой в качестве микроструктурных элементов рассматриваются волокна, заключенные в упругую матрицу. Предполагается, что поведение волокон подчиняется гипотезам, предложенным Тимошенко для балок. В каждой точке такой эквивалентной среды вводятся две кинематические переменные — среднее перемещение в точке и и вектор вращения волокна, не зависящий от вектора и. В результате теория сводится к шести дифференциальным уравнениям движения, которые должны быть удовлетворены в каждой точке. Такой подход позволяет предсказать дисперсию сдвиговых волн. Если нормаль волны направлена вдоль волокон, а движение осуществляется поперек волокон, имеет место следующее соотношение дисперсии [c.292]

Аналогичные теории и представления о прочности поверхности раздела при растяжении и сдвиге были развиты применительно к композитам первого класса. Приведенные Купером и Келли примеры композитов (таких, как медь — вольфрам) подтверждают справедливость выполненного ими анализа поведения систем с металлической матрицей. В системах второго и третьего классов на границе волокно — матрица появляется зона конечной ширины, отличающаяся по свойствам как от матрицы, так и от волокна. Анализ систем второго класса был начат Эбертом и др. [16]. Они использовали дифференциальные методы для оценки влияния диффузии в зоне раздела на механические свойства компонентов. Эта работа является одновременно и первым анализом немодельных систем, хотя она и была ограничена лишь системами с химическим континуумом, т. е. непрерывным изменением состава (см. гл. 2). В системах третьего класса наличие продукта реакции приводит к химическому дисконтинууму — прерывистому измене- [c.19]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...