Стационарные решения нелинейных уравнений для

СТАЦИОНАРНЫЕ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ДЛЯ АМПЛИТУД 36. Введение [c.114]

Глава VII. Стационарные решения нелинейных уравнений для амплитуд........114 [c.177]

В связи с повышенными требованиями к теплотехническим расчетам вопрос о решении нелинейного уравнения теплопроводности становится исключительно важным. Этот вопрос приобретает решающее значение для тепловых устройств и установок, работающих в не- стационарном тепловом режиме. Аналитическое решение таких задач, как уже отмечалось, представляется сложным. Применение расчетных методов требует большой затраты времени. Принципиальная возможность решения нелинейного уравнения нестационарной теплопроводности на специализированных электрических моделях из сопротивлений, емкостей и индуктивностей была изложена в гл. 7 и 8. Решение нелинейных задач тепло-переноса может оказаться более перспективным и результативным, если будут найдены пути практической реализации нелинейности в электрических моделях с сосредоточенными параметрами. Практическая реализация нелинейности сводится к обеспечению переменности сосредоточенных параметров модели и может быть осуществлена двумя различными методами. [c.328]

Состояние вопроса. В настоящее время можно считать, что физические основы лазеров на динамических решетках развиты достаточно хорошо. Установлены основные закономерности и построена теория стационарной генерации для различных нелинейных сред и различных резонаторов. В большинстве случаев на основании строгого решения укороченных уравнений для комплексных амплитуд взаимодействующих волн (без использования приближения заданного поля) получены соотношения, свя- [c.38]

В то же время возникновение и кинетика генерации и особенно теория зтих процессов до сих пор остаются слабо исследованными. Основной причиной этого является, конечно, сложность решения системы нелинейных уравнений для зависящих 01 времени величин даже при простейшем двухпучковом взаимодействии. Реально же в этом случае на начальном этапе развития генерации единственная волна накачки взаимодействует с большим числом шумовых рассеянных волн, из которых лишь одна или несколько остаются в стационарном режиме. [c.39]

Более трудные и содержательные результаты связаны с изучением течений, близких к равновесным. Линеаризованное уравнение Больцмана дает первое приближение для описания таких течений. Краевые задачи для этого уравнения оказались достаточно сложными. Сейчас, однако, эти задачи изучены настолько полно, что стало возможным их эффективное применение при исследовании решений нелинейного уравнения. На этом пути получены теоремы, гарантирующие разрешимость стационарных задач и разрешимость нестационарных задач в целом. [c.285]

Отсутствие точного решения нелинейного уравнения (2), гл. XI, п. 1, для проверки возможной применимости сделанного допущения к системам газового потока не может явиться, повидимому, основанием, почему допущение о непрерывной последовательности установившихся состояний не должно давать такого же хорошего представления реальных условий потока при движении газа, как и при течении сжимаемой жидкости. Наоборот, благодаря более высоким градиентам давления в системе газового потока у эксплоатационной скважины и соответственно более низким градиентам на внешнем контуре, по сравнению С системой сжимаемой жидкости, при равных общих перепадах давления ошибка, связанная с экстраполяцией логарифмического распределения давления, при стационарном режиме до замкнутого внешнего контура должна быть меньше на этом основании для первого случая TIO сравнению со вторым . Кроме того, длительный период основного переходного этапа при последовательности стационарных состояний для систем газового потока устанавливается гораздо быстрее. Кратко- [c.586]

Остановимся на общей структуре пособия. В первой главе рассматривается часто встречающаяся в инженерной практике задача расчета средних температур по моделям с сосредоточенными параметрами. Здесь же изложены методы решения систем линейных и нелинейных алгебраических уравнений и обыкновенных дифференциальных уравнений, дано описание соответствующего стандартного программного обеспечения. Подробно разобраны примеры программ расчета стационарных и нестационарных температур для системы, состоящей из твердых тел и движущихся жидкостей. Изучение первой главы необходимо для понимания материала следующих. [c.4]

Нелинейная схема можег быть применена и для решения стационарных задач. В этом случае шаги по времени не выполняются, а лишь проводятся итерации до сходимости решения нелинейной системы разностных уравнений, соответствующих стационарной задаче, т.е. системы (3.67) — (3.69) при ф 0. В качестве начального приближения можно, например, задать решение разностной схемы при постоянных коэффициентах, вычисленных при какой-либо постоянной температуре Т из рассматриваемого интервала изменения температур. Программа решения нестационарной задачи по нелинейной схеме может быть использована для решения стационарной задачи, если положить ф = 0. [c.111]

Для определения qit) необходимо найти стационарное решение системы нелинейных дифференциальных уравнений (4.41), (4.42), содержащей две неизвестные функции qlt) и Для [c.78]

Приближенное решение системы нелинейных уравнений (1), описывающее вынул<денные колебания, получено для стационарных режимов движения в области резонанса и имеет следующий вид [c.80]

Так, если для решения линейных задач стационарной теплопроводности могут быть применены модели — сплошные среды, любые сетки резистивных элементов (даже сетки с постоянной структурой), комбинированные модели (] -сетки в сочетании со сплошной средой), структурные и гибридные модели, в состав которых входят указанные выше простейшие пассивные модели, то для решения нелинейных задач с использованием этих же моделей необходимо таким образом преобразовать нелинейное уравнение стационарной теплопроводности, чтобы освободить его от нелинейности, переводя ее в граничные условия (о способах подобного изменения математической модели речь будет идти ниже). [c.17]

Далее излагаются некоторые методы решения нелинейных задач в применении к задачам стационарной теплопроводности, которые распространяются затем на другие нелинейные задачи. Общим для этих методов является сочетание метода подстановок, позволяющего линеаризовать нелинейное уравнение теплопроводности, с другими аналитическими и численными методами, такими, как метод итераций (метод последовательных приближений), метод конечных разностей (метод сеток), метод прямых, реализация которых может быть осуществлена как на цифровых, так и на аналоговых (а значит, и гибридных) вычислительных системах. [c.74]

В связи с вышеизложенным становятся актуальными разработка и реализация математических моделей для автоматизации планирования и оперативного управления режимами СЦТ на базе теории оптимального управления. При этом необходимо разработать условия выбора постановки задач в стационарных и нестационарных условиях с позиций системного анализа, требования к точности и адаптивности математических моделей для различных структур СЦТ, моделированию различных типов регуляторов, методам решения и др. Наибольшую трудоемкость при этом вызывает совершенствование методов решения нелинейных систем уравнений в реальном времени. [c.8]

Уравнение (81) является нелинейным относительно давления р, что существенно усложняет решение стационарной задачи. Уравнения для дополнительных давлений р при малых смещениях будут линейными. Однако из-за того, что в правую [c.163]

Сформулированные выше утверждения относились к случаю, когда линейное приближение приводит к дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами. Это типично для задач об устойчивости состояний равновесия или стационарного движения. В общем случае матрица 6 уравнений первого приближения зависит от 7. При этом нельзя утверждать, что из асимптотической устойчивости решений уравнений первого приближения следует устойчивость решений нелинейной системы. Ляпунов выделил класс так называемых правильных систем, для которых справедлив аналог теоремы об устойчивости по первому приближению. Среди этих систем - системы с переменными коэффициентами, которые являются ограниченными периодическими функциями времени с одинаковым вещественным периодом. [c.460]

Исследованию уравнений Колмогорова посвящена обширная литература. Применительно к задачам статистической динамики эти вопросы освещаются в монографиях [2, 10, 221. Однако известно по существу единственное аналитическое решение, описывающее случайные колебания нелинейной системы. Это стационарное распределение Максвелла—Больцмана для скорости и координаты [c.19]

Метод статистической линеаризации применим для стационарных нелинейных колебаний, которые возможны только в том случае, когда внешняя сила /q (t) является стационарной случайной функцией. Кроме того, предполагается, что решение (х, х) имеет нормальное распределение. Для линейного уравнения (например, для уравнения (5.26)) при стационарной случайной функции Уо (О, имеющей нормальный закон распределения, его стационарное решение было бы обязательно нор- [c.219]

Аналитические методы определения динамических характеристик объектов основаны на составлении их дифференциальных уравнений, которые базируются на использовании физических законов сохранения массы, энергии и количества движения. Таким путем удается получить нелинейное уравнение динамической характеристики, однако решить его аналитически не удается. Следующим этапом является линеаризация уравнения, т. е. переход к линейной математической модели объекта. Линеаризацию обычно проводят разложением нелинейных зависимостей в ряд Тейлора в приближении исходного стационарного режима с сохранением только линейной части разложения и последующим вычитанием уравнений статики. Полученная таким образом линейная модель объекта справедлива при малых отклонениях от исходного стационарного режима. Решение уравнения при ступенчатом или импульсном изменении входных величин позволяет получить переходные функции — кривые разгона или импульсные временные характеристики объекта. Рещение часто приводит к области изображений Лапласа или Фурье. В этом случае получаются передаточные функции или амплитудно-фазовые характеристики. Для выявления динамической характеристики котла аналитическим путем необходимо построение его математической модели. [c.498]

Для системы цилиндрических штампов с плоским основанием задача сведена к исследованию системы нелинейных дифференциальных уравнений эволюционного типа для определения перераспределения усилий между штампами Pj(t) [9]. Доказана асимптотическая устойчивость стационарного решения системы для случаев постоянной скорости сближения и постоянной нагрузки, действующей на систему штампов. Показано, что установившееся решение характеризуется одинаковой скоростью изнашивания каждого штампа, из чего следует существование установившейся формы изношенной поверхности системы штампов (соотношения между высотами штампов в установившемся режиме изнашивания). [c.428]

Для решения этой проблемы необходимо, очевидно, рассматривать задачу о надкритических движениях в нестационарной постановке. При этом возможны и развиваются в литературе два близких по идее подхода. Один из них связан с рассмотрением эволюции начального возмущения и требует решения нелинейных нестационарных уравнений с начальными условиями. Другой подход основан на исследовании устойчивости стационарных надкритических движений. [c.147]

Если не требуется находить нестационарное решение для давления, то в (т ), )-системе приходится решать одно уравнение переноса вихря параболического типа и одно уравнение для функции тока эллиптического типа V ф = с условиями Дирихле на некоторых (возможно, на всех) границах. (Стационарное решение эллиптического уравнения для давления находится только на последнем слое по времени, и поэтому выбор метода решения этого уравнения не имеет особого значения.) В (и, у, Р)-системе надо решать два уравнения переноса количества движения, имеющих параболический тип, и одно уравнение эллиптического типа для давления V P = 8р с граничными условиями Неймана на всех границах. При решении уравнения переноса вихря необходимо дополнительно выполнить две операции дифференцирования функции тока 1 ) для нахождения составляющих скорости, но уравнения переноса количества движения усложняются из-за членов с дивергенцией О/, / (в методе МАС эти члены значительно сложнее) и из-за специальных приемов, которые здесь требуются для обеспечения сохранения массы (объема). Решать уравнение переноса вихря можно по неявным схемам, хотя при этом может потребоваться дополнительный итерационный процесс для неявного вычисления значений на стенках ири условии прилипания. В случае же (и, у, Р)-системы значения и у"+ известны точно в течение всего времени, но здесь существует трудность, связанная с неустойчивостью из-за нелинейности (см. разд. 3.7.2). Достижение итерационной сходимости при решении уравнения У Р = 8р эллиптического типа требует значительно больше времени. [c.306]

Для многих механизмов в рабочем режиме движения начальных звеньев могут быть близкими к стационарным, т. е. не зависящими от времени. Эти движения могут, в частности, рассматриваться как гармонические с медленно меняющимися параметрами (амплитудами, фазами и т. п.). Тогда для огыскач ния приближенных решений нелинейных уравнений движения И исследования их устойчивости применим метод медленно меняющихся параметров или метод Ван-дер-Поля, основанный па усреднении медленно меняющихся параметров за каждый цикл движения. [c.199]

Гидродинамическая аналогия, основанная на тождественности в формально математическом смысле между функцией тока "и потенциалом скорости идеальной жидкости в иевихревом потоке и функцией теплового потока и тем пературы в системе без источников тепла, была использована Муром и другами авторами для решения двухмерных задач стационарной теплопроводности [Л. 39]. В дальнейшем область применения этой модели была расширена на системы с распределенными источниками [Л. 43]. В 1928 г. Эмануэлем и несколько позднее Д. В. Будриным были сконструированы и построены модели, основывающиеся на аналогии математических соотношений, описывающих распределение температуры в твердом теле и распределение напоров в воде, движущейся через капиллярные трубки [Л. 49]. Установки, названные гидравлическими интеграторами, позволили решать задачи нестационарной теплопроводности и массопроводности. В. С. Лукьяновым позднее был разработан ряд ицтеграторов для решения двух- и трехмерных задач тепло- и массопроводности [Л. 50], а Будриным [Л. 51] — гидростатические интеграторы для решения нелинейных уравнений переноса параболического типа. [c.90]

Принципиально более высокая ступень использования УВМ возможна только ирн наличии в вычислительном устройстве нелинейной математической модели динамики блока, которая отличается от линейной тем, что коэффициенты уравнений сохранения (3-18) — (3-22) становятся функциями времени. Аналитически решить нелинейную задачу для парогенератора в целом удается лишь при очень существенных упрошениях (см. 8-2). В принципе нелинейную модель блока можно получить из линейной при непрерывной перестройке коэффициентов линеаризованных уравнений в соответствии с ироходи-мыми стационарными состояниями. Справедливость этого предположения более вероятна при медленном изменении нагрузки описание динамики резкопеременных режимов (аварийные ситуации) требует привлечения более совершенного математического аппарата. Так, Т. Краус описал [Л. 43] метод решения нелинейных уравнений динамики для поверхности нагрева парогенератора с помощью двумерных передаточных функций и рядов Воль-терра. Подходы к созданию нелинейной модели динамики паротурбинного блока обсуждаются в (Л. 82]. Нелинейности в обоих исследованиях представлены в виде квадратичных членов разложения нелинейной функции в ряд Тейлора. Нелинейной заменой зависимой [Л. 35] и независимой [Л. 29] переменных исходную систему уравнений для отдельных конкретных случаев иногда удается привести к виду, разрешимому аналитически или численно. [c.358]

Несмотря на то, что осталось всего три оператора вместо практически бесконечной последовательности корреляционных матриц в исходной цепочке уравнений, получить общее решение нелинейных уравнений (7.4.55) - (7.4.57) не удается. Ситуация несколько упрощается в стационарном случае, когда операторы и не зависят от времени. Некоторые важные свойства стационарного решения уравнений (7.4.55) - (7.4.57) были рассмотрены в работе Покровского [33]. Мы не будем повторять здесь довольно громоздкие построения из этой работы. Более поучительно будет показать, как из операторных уравнений (7.4.55) - (7.4.57) получается уравнение Фоккера-Нланка для поля излучения. [c.135]

В работе Г.Ф. Теленина (1959 г.) применительно к задаче сверхзвукового обтекания колеблющегося конуса бьш сформулирован метод линейной теории тел конечной толщины для определения нестационарных аэродинамических характеристик ЛА. В рамках этой теории решение нестационарной задачи сводится к системе нелинейных уравнений для параметров стационарного обтекания и системы линейных уравнений по каждому из кинематических параметров. Этим методом Ю.М. Липницким (1967, 1968 г.г.) была решена задача об обтекании различных типов ЛА тонких притупленных конусов, сегментально-конических тел и тел с положительными и отрицательными изломами образующей. При этом внутренние разрывы на изломах вьщелялись в явном виде. В работах Г.Г. Скибы (1980 г.) в такой же постановке была рассмотрена задача расчета характеристик тонкого притупленного конуса, колеблющегося вокруг некоторого балансировочного угла атаки, и получены аэродинамические характеристики в широком диапазоне чисел Маха набегающего потока и углов атаки. Исследования [c.5]

Исследовательский институт им. Мехты совместно с Индийским математическим обществом с 17 мая по 15 июня 1976 г. организовал четырехнедельный курс лекций на тему Гиперболические системы уравнений в частных производных и нелинейные волны . Они были ориентированы на научных работников, желающих познакомиться с этой увлекательной и вместе с тем полезной областью современной науки, в которую за последние годы было вложено много творческих сил. Автор прочитал ряд лекций по некоторым аспектам нелинейных волн. В основном он сосредоточил внимание на стационарных решениях знаменитых уравнений Бюргерса к Кортевега — де Фриза (КдФ), на взаимодействии солито-нов, на понятии групповой скорости для нелинейных диспергирующих волн и более кратко коснулся общего уравнения эволюции, частным случаем которого является уравнение КдФ. Из многих эволюционных уравнений, привлекавших внимание выдающихся ученых последние два десятилетия, мы выделили два указанных выше модельных уравнения, поскольку уравнение Бюргерса является простейшим при изучении диссипирующих волн, а уравнение КдФ — простейшая модель для диспергирующих волн. Причем последнее уравнение особенно важно благодаря существованию решений типа уединенной волны. [c.7]

Стационарные решения кинетических уравнений. При поиске общих решений нелинейных дифференциальных уравнений важную роль играют так называемые стационарные, или установившиеся, решения, не зависяише от времени. Для этого частного случая имеем = О, [c.16]

Система уравнений (12.10.3), (12.10.5) и (12.10.6) описывает деформацию пластины с большими прогибами. Эти уравнения называются уравнениями Кармана. Вывод соответствующих уравнений для анизотропных пластин не встречает никаких затруднений, выписывать эти довольно громоздкие выражения мы здесь не будем. Система оказывается нелинейной, поэтому известны только численные решения ее для отдельных частных случаев путем непосредственного отыскания стационарного значения функционала (12.10.2) по способу, аналогичному тому, зшторый был описан в 12.9. Сложность состоит в том, что коэффициенты в предполагаемом выражении для прогиба w или функции напряжений F теперь ищутся из нелинейных алгебраических уравнений. Для симметричной деформации круглой пластинки уравнения (12.10.2) и (12,10,6) становятся обыкновенными дифференциальными уравнениями, которые можно интегрировать любым численным методом. [c.413]

Схемотехническое проектирование радиотехнических (RF) схем отличается рядом особенностей математических моделей и используемых методов, прежде всего в области СВЧ-диапазона. Для анализа линейных схем обычно применяют методы расчета полюсов и нулей передаточных характеристик. Моделирование стационарных режимов нелинейных схем чаще всего выполняют с помощью метода гармонического баланса, основанного на разложении неизвестного рещения в ряд Фурье, подстановкой разложёния в систему дифференциальных уравнений с группированием членов с одинаковыми частотами тригонометрических функций, в результате получаются системы нелинейных алгебраических уравнений, подлежащие решению. Сокращение времени в случае слабо нелинейных схем достигается при моделировании СВЧ-устройств с помощью рядов Вольтерра. Анализ во временной области для ряда типов схем выполняют с помощью программ типа Spi e путем интегрирования систем обыкновенных дифференциальных уравнений. [c.136]

Из условия стационарности полной потенциальной энергии (65 — 0) можно найти равновесные состояния изогнутого стержня и, исследуя знак второй вариации установить, какие из равновесных состояний устойчивы. Пока на значения перемещений и углов поворота не наложено никаких ограничений, приведенные зависимости, описывающие изгиб стержней с нерастяжимой осью, являются точными (в рамках теории гибких упругих стержней). Для ряда частных случаев нелинейное дифференциальное уравнение, к которому сводится задача изгиба стержня при конечных перемещениях, допускает аналитическое решение. В общем случае это нелинейное уравнение можно с любой степенью точности решить численно. Сейчас мы с помощью метода Рэлея—Ритца найдем приближенное аналитическое решение, позволяющее наглядно описать закритическое поведение любого произвольно нагруженного стержня при конечных, но не слишком больших прогибах. [c.208]

В приведенных выше примерах исследовалась устойчивость тривиального решения дифференциального уравнения типа (5.1), содержащего параметр в виде случайной функции времени. Перейдем к задачам об устойчивости стационарных случайных режимов, возникающ,их на выходе некоторых нелинейных систем. Уравнение устойчивости в таких задачах имеет смысл уравнения в вариациях, составленного для исходной нелинейной системы. [c.152]

Здесь h есть возможный сдвиг во времени максимума, вызванный действием усилителя и насыщающегося поглотителя. Комбинируя (6.16), (6.18) и (6.19), мы получим нелинейное инте-гродифференциальное уравнение, определяющее стационарную форму импульса = ii). Оно идентично (5.18), если считать, что коэффициент усиления G (rj) определяется равенством (6.17). Для решения этого уравнения можно также воспользоваться подстановкой (5.19), так как на фронтах импульса G (ri) лишь слабо зависит от времени. Так же, как и в разд. 5.2, мы с помощью этой подстановки получим шесть трансцендентных уравнений для определения параметров лазера. Добавим к ним в качестве седьмого уравнения (6.13), что позволит однозначно определить семь неизвестных величин S t, S o, /о, М-, Q, h я Vr для заданных параметров лазера Vo, Во, т, UrlTh и Ыг/Гз . Остальные величины Вг, Bi и Vi являются явными [c.194]

Остановимся теперь на некоторых результатах нелинейного расчета конечно-амплитудных режимов. Как уже указывалось, в области F > F стационарный плоскопараллельный режим течения невозможен. Однако в этой области могут в принципе существовать другие режимы, приводящие к увеличению теплоотвода. Вопрос этот может быть решен лишь на основе полных нелинейных уравнений (28.2). Двумерное периодическое по z решение этих уравнений находилось численно методом конечных разностей в работе [24]. Расчеты проделаны для Рг = 1 (реагирующий газ). Фиксировались параметр Z = О и волновое число периодасческой структуры = 1,4 в районе минимума нейтральной кривой (критическое значение слабо зависит от параметров задачи). В численных экспериментах При некоторых значениях Gr и F задавалось малое начальное возмущение и наблюдалась его эволюция со временем. Таким путем удается получить предельные установившиеся режимы, разумеется, в тех случаях, когда они существуют. [c.191]

Уравнение для стационарных движений формально эквивалентно уравнению параметрически возбуждаемого нелинейного осциллятора и обладает следующими типами финитных решений периодические решения с периодом, равным или соизмеримым с 2тт1Ко, квазипериодические решения решения, асимптотически приближающиеся к периодическим при Z оо хаотические решения. При этом устойчивыми оказываются 1) периодические течения с периодом 2тг/А о и постоянным знаком амплитуды А (этот знак определяет направление вращения жидкости в поперечном сечении цилиндра) 2) движения с единственной сменой знака А ( доменной стенкой ), которая имеет место в одной из точек [c.280]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...