Осцилляторы нелинейные

Если осциллятор нелинейный, как, например, рассмотренный в п. 2.1а, то в однородном решении присутствуют все гармоники с частотами, кратными основной частоте oq. В этом случае резонансы возникают всякий раз, когда отношение частот oq I является рациональным числом, т. е. имеет место всюду плотная система резонансов. Но, как мы уже знаем, частота колебаний является функцией их амплитуды. Резонансы же изменяют амплитуду, а значит, и частоту колебаний, нарушая тем самым точное выполнение резонансных условий. Таким образом, малые знаменатели, препятствующие сходимости классических рядов в окрестности резонансов, отражают определенное физическое явление, которое приводит к локальному изменению характера фазовых траекторий. [c.89]

Эти свойства гармонического осциллятора мы и рассмотрим в данной главе. Мы познакомимся как со свободным, так и с вынужденным движением, а также учтем влияние трения и небольшой ангармоничности или нелинейного взаимодействия, которые могут иметь место в системе. Кроме того, мы постараемся разобраться в том, что происходит, когда система уже не может считаться линейной, [c.206]

Полученное соотношение для г выражает закон уменьшения квадрата амплитуды колебаний в исследуемом нелинейном контуре, начиная от исходного значения г = го. Этот закон переходит в обычный экспоненциальный при у = 0, т. е. при переходе к линейному случаю (линейному осциллятору с постоянным затуханием). На рис. 2.25 в условном масштабе показано спадание квадрата амплитуды г для некоторого значения у. На том же рисунке приведен закон убывания г, соответствующий у==0. [c.79]

Движение линеаризованной системы представляет собой суперпозицию колебаний п гармонических осцилляторов с частотами бт/г , (/с = 1, 2,..., п). Если в разложении (44) формы при m 3 не равны тождественно нулю, то уравнения движения нелинейны. Чтобы исследовать движение в этом случае, упростим функцию Гамильтона (44) при помощи канонической замены переменных, носящей название преобразования Биркгофа. [c.399]

Полученное таким образом дифференциальное уравнение (4.13) соответствует некоторому осциллятору со знакопеременным демпфированием и жесткой нелинейной характеристикой. При этом роль возмущения играет функция, пропорциональная квадрату собственной частоты. Поскольку здесь переменная z может рассматриваться лишь в качестве аналога некоторой упругой деформации, этот осциллятор в дальнейшем изложении будем называть условным. [c.141]

Обратимся теперь к построению частного решения неоднородного дифференциального уравнения (4.3). Предположим, что нам известно какое-либо частное решение уравнения нелинейного осциллятора г. Тогда с точностью до постоянного множителя решение (4.10) может быть представлено так [c.141]

Как следует из таблицы, при й1 =sg 1 основная собственная частота условного осциллятора отличается от и (0) не более чем на 3,5%. При этом нелинейный осциллятор в зоне со = 1 практически описывается следующим линейным дифференциальным уравнением [c.151]

Микромодели Н. в. Наиб, универсальная причина нелинейных оптич. эффектов — нелинейный отклик атомарного или молекулярного осциллятора на световое воздействие. [c.310]

Консервативные Н, с. Простейшим примером поведения консервативной Н, с. являются колебания нелинейного осциллятора, описываемые ур-нием [c.312]

В отличие от линейных систем, в Н. с. возможно взаимодействие колебаний (или волн) между собой. Такое взаимодействие имеет, наир., место в системе трёх нелинейно связанных осцилляторов, описываемой системой ур-ний [c.313]

Как и при взаимодействии нелинейно связанных осцилляторов, здесь возможны распадная неустойчивость и слияние волн. [c.313]

Для исследования У. обычно применяют два метода Ляпунова. Первый (или прямой) метод основан на построении ф-ции (функционала) Ляпунова. Напр., для ур-ния нелинейного осциллятора с треннем [c.255]

Г Восстанавливающая сила нелинейных осцилляторов с зазором в общем случае [c.147]

Автономный осциллятор Вап-дер-Поля описывается нелинейным дифференциальным уравнением 2-го порядка [c.63]

Для понимания физических явлений нелинейной оптики рассмотрим традиционную в оптике модель среды, состоящей из неподвижных, взаимодействующих между собой, осцилляторов во внешнем световом поле. В ней учет нелинейных эффектов означает учет ангармонизма осцилляторов (либо нелинейную зависимость сил трения от поля). [c.7]

Простейшей моделью среды, обладающей нелинейной зависимостью поляризации,от приложенных полей, является совокупность N ангармонических осцилляторов [19]. Модель позволяет выявить все основные свойства нелинейной поляризуемости второго порядка. Она полезна как для выяснения физического смысла более общих свойств нелинейных поляризуемостей, так и дад установления особенностей молекулярных кристаллов. [c.8]

Глава 7 (Гармонический осциллятор). Очень важны линейные задачи и, в частности, задача о вынужденных колебаниях гармонического осциллятора. Даже в объеме минимальной программы необходимо разобрать первый из трех примеров нелинейных задач, потому что он дает студентам понятие о том, как они могут оценить ошибки, обусловленные линеаризацией задачи о колебаниях маятника. Понятие о сдвиге фаз при вынужденных колебаниях гармонического осциллятора не сразу воспринимается большинством студеп-тов. Здесь помогает хорошая лекционная демонстрация. Электрические аналогии плохо воспринимаются на этой стадии преподавания, и их, может быть, следовало бы оставить для лабораторных работ. В демонстрации входят гармонические колебания камертонов (следует усилить их, чтобы звук был хорошо слышен, а также показать форму волны на экране) вынужденные колебания груза на пружине задаваемые генератором сигналов вынужденные электрические колебания контура, состоящего из сопротивления, индуктивности и емкости прибор Прингсхейма колебания связанных осцилляторов. [c.15]

Пример. Нелинейные эффекты. Теперь мы рассмотрим маятник, который колеблется с амплитудой настолько большой, что мы не можем пренебрегать членом, содержащим 0 в разложении в ряд sin 0, как мы это делали выше в (22). Какое влияние на движение маятника оказывает член, содержащий 03 Это элементарный пример ангармонического осциллятора. Ангармонические, или нелинейные, задачи обычно с трудом поддаются точному решению (за исключением тех случаев, когда используются электронновычислительные машины), однако во многих случаях приближенные решения дают нам достаточно ясное представление о рассматриваемом явлении. Разложение sin 0 в ряд с сохранением членов, содержащих 0 , обычно называемое разложением до порядка 0 , имеет вид [c.211]

При малых амплитудах колебания многоатомной молекулы, как и двухатомной, гармонические. Поскольку колебания отдельных атомов в молекуле связаны друг с другом, то многоатомную молекулу можно представить как совокупность набора осцилляторов, движения которых связаны между собой. Энергия, попадающая на один из осцилляторов, например на отдельную связь в молекуле, перераспределяется через некоторое время по другим связям, и все атомы и связи вовлекаются в колебание. Из механики известно, что движение связанной системы как целого может быть представлено наложением ее нормальных колебаний, т. е. таких колебаний, в которых все элементы системы движутся с одинаковой частотой и фазой в тех или иных направлениях. Именно нормальные колебания проявляются в спектрах и число их равно числу степеней свободы. В общем случае Л -атомпой нелинейной молекулы число степеней свободы и число нормальных колебаний равны ЗА —6. Это означает, что, например, в спектре трехатомной молекулы воды Н2О должны быть представлены три частоты и три нормальных колебания. Может оказаться, что некоторые из ЗМ—6 колебаний имеют одинаковые частоты и поэтому разным нормальным колебаниям соответствует одна и та же спектральная линия (полоса). [c.241]

Вынужденные колебания ). Выше (в 9.10) мы уже рассматривали вынужденные колебания осциллятора с затуханием. Уравнение движения такой системы является линейным. Переход к исследованию вынужденных колебаний нелинейных систем связан с весьма большими трудностями, и обычно, чтобы достигнуть прогресса, приходится вводить упрощаюш ие предположения, которые часто бывает трудно оправдать. Поясним это на примере движения математического маятника (пример 5.2А), на который действует дополнительная малая горизонтальная сила таг sin pt, где 8 — малый параметр. Уравнение движения маятника запишется в виде [c.481]

В настоящее время по теории сейсмостойкости сооружений наибольшее распространение получили два вида расчетных моделей сейсмического воздействия. Первая модель использует огибающие максимальных ординат спектров динамических реакций линейных осцилляторов. Вторая модель использует акселерограммы зарегистрированных землетрясений, осредненные спектральные характеристики которых приближенно отражают свойства инструментальных записей. Первая модель неприемлема в расчетах нелинейных, параметрических и нестационарных динамических систем. Вторую модель можно использовать при расчетах и исследованиях любых систем, но эта модель не отражает физически возможного разнообразия спектральных и других характеристик сейсмических колебаний грунта. [c.61]

Нелинейный отклик связанного электрона, как правило, гораздо сильнее он обусловлен, в первую очередь, нелинейным характером удерживающего его силового поля. Простейшая модель, проясняющая качественную сторону дела,— классич. ангармонич. осциллятор. [c.293]

Вынужденное комбинац. рассеяние (ВКР) происходит на когерентно возбуждённых оптич. фононах. Для классич. описания процесса ВКР используют модель нелинейно связанных осцилляторов. Обозначим через X нормальную координату колебаний атомов в молекуле изотропной среды, а через у — нормальную координату колебаний оптических электронов. В линейном приближении колебания атомов и определяющие поляризацию среды колебания электронов совершаются независимо друг от друга. При учёте нелинейной связи потенц. энергию молекулы можно представить в виде [c.303]

Микроскопии, модель НОА-1 может быть построена на основе молекулярной модели Куна, по к-рой кпраль-яая молекула представляется в виде упругосвязанных ортогональных классич. нелинейных осцилляторов, разнесённых на конечное расстояние й. Гиротропия ансамбля таких молекул зависит от интенсивности света, причём угол ф пропорционален параметрам нелинейности осцилляторов и расстоянию й между ними. В реальных средах в качестве <1 могут быть характерный размер молекулы, параметр кристаллич. решётки, боровский радиус экситояа, шаг холестерин, или белковой спирали в растворах макромолекул. [c.305]

Если ф-ция fix) линейна [fix)— х], то осциллятор линейный. Ур-ние нелинейного осциллятора описывает, напр., колебания матем. маятника, изменения тока и наоряжения в колебат. контуре, в к-ром индуктивность катушки зависит от величины тока и (или) ёмкость конденсатора зависит от напряжения, а также движение иона в пространственно неоднородном электрич. поле и др. На рис. 1 приведены вид потенциального рельефа ф(а ) и соответствующие ему фазовые траектории — траектории движе- [c.312]

При малом (X — эго слабонелинейная система. Поведение её близко к суперпозиции квазигармонич. колебаний осцилляторов с медленно меняющимися амплитудами. Благодаря нелинейной связи колебания двух осцилляторов с частотами и соц порождают в системе колебания с комбинац. частотами Шг Юа. Действие иалой нелинейности накапливается, если выполнено условие резонанса частот [c.313]

К задаче о взаимодействии нелинейно связанных осцилляторов сводятся во мн. случаях задачи о взаимодействии квазимовохроматич. волн в безграничных Н. с., таких, как линии передачи и волноводы с нелинейными элементами, нелинейные среды и т. п. В Н. с. с дисперси- [c.313]

Кусочно-линейные уравнения второго порядка. Во всем рассматриваемом диапазоне изменения переменных уравнения нелинейны, одиако отдельных участках их можно считать линейными. Поэтому рассматриваемую нелинейную задачу можно свести к согласованному решению нескольких линейных уравнений (методом при-пасовывания получаемых решений) Такого вида уравнением, например, описывается механический осциллятор с сухим трением [22] [c.46]

Частный случай уравнения (115) Уравнение, описывающее колебания нелинейного осциллятора, находящегося под воядейстаием внешней синусоидальной силы с переменной амплитудой и частотой, имеет вид [c.83]

Пример. Рассмотрим задачу о прохождении через основной резонанс нелинейного осциллятора, находящегося под воздействием ннешнен синусоидальной силы с переменной частотой, колебания FiOTOporo описываются уравнением [c.84]

Осцилляторы с нелинейной восстаиавливаюгцей силой. Уравнение движения таких осцилляторов имеет вид [c.146]

В настоящее время имеется большое число работ, посвященных изучению захватывания и синхронизации квазилинейных квазиконсервативных осцилляторов применительно к задачам радиоэлектроники. Первые из этих исследований, принадлежащие Эпплтону [39], Ван-дер-Полю [18], Л. И. Мандельштаму и И, Д. Папялекси [33], А, А. Андронову и А, А. Витту ] —3], А. Майеру [41], сыграли существенную роль в развитии теории нелинейных колебаний. [c.221]

Здесь Qo — собственная частота осциллятора, Т, у и q — коэффициенты, характеризующие соответственно затухание, нелинейность и действие поля. В случае электронной нелинейности q=Nelm, где е, т— заряд и масса электрона, N — число электронов в единице объема. Для интересующего нас импульсного воздействия уравнение (10) можно упростить, используя метод возмущений. [c.75]

Отметим, что изложенный расчет дает зависимость времени от частоты (о т л=2Г/(Й —ш ). Разумеется, вблизи резонанса классическая модель ангармонического осциллятора не пригодна и нелинейный отклик описывается уравнениями типа уравнений Блоха самовоздей-ствия в этих условиях носят сложный характер ( 2.7). [c.75]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...