Решение асимптотически 2Г-периодическое

Пусть все собственные числа матрицы А имеют отрицательные действительные части. Тогда система (10) при достаточно малых е и 1) имеет единственное периодическое решение С ( 5 с периодом 2тг/0, допускающее оценку С ( , ) КеО, при любом . Здесь — евклидова норма, К — положительная постоянная. Это решение асимптотически устойчиво. Из доказательства теоремы следует, что чем меньше тем ближе решение е) к решению линейной [c.612]

Согласно результатам KAM-теории, траектории типичных эллиптических периодических решений окружены инвариантными торами. Гиперболические периодические решения имеют две инвариантные поверхности (сепаратрисы), заполненные решениями, асимптотически приближающимися к периодической траектории при t — +00 или t — -00. Различные асимптотические поверхности могут пересекаться, образуя в пересечении довольно запутанную сеть. Поведение асимптотических поверхностей будет подробно обсуждаться в следующей главе. [c.230]

И теоретические и практические стремления приводят к разысканию других решений задач небесной механики, уже не являющихся периодическими, но в известном смысле близких к ним, например, решений асимптотических, двояко-асимптотических, квазипериодических, условно-периодических- и т. п., которые лучше представляют действительные движения небесных тел и пополняют наши знания о структуре области всех решений задачи. [c.356]

Уравнения (4.20), (4.21) описывают асимптотические решения к периодическим движениям при условиях (4.17) (см. рис. 45). [c.122]

Рис. 45. Траектории на сфере Пуассона для решений, асимптотических к неустойчивым периодическим решениям.

Кстати сказать, это условие геометрически означает отсутствие перегиба у кривой Яо(7) =Л в точке /=/о. Таким образом, уравнение йН =а будет иметь столько же корней, для которых а > О, сколько корней, для которых а, <0. Это равносильно тому, что при малых значениях е О возмущенная система будет иметь ровно столько периодических решений эллиптического типа, сколько она имеет решений гиперболического типа. В этой ситуации обычно говорят, что при распаде невозмущенного инвариантного тора /=/° рождаются пары изолированных периодических решений. Согласно результатам КАМ-те-ории, траектории типичных эллиптических периодических решений окружены инвариантными торами. Гиперболические периодические решения имеют две инвариантные поверхности (сепаратрисы), заполненные решениями, асимптотически приближающимися к периодической траектории при /- - оо. Различные асимптотические поверхности могут пересекаться, образуя в пересечении довольно запутанную сеть (см. рис. 44). Поведение асимптотических поверхностей будет подробно обсуждаться в следующем параграфе. [c.231]

Заметим, что основное содержание методов малого параметра [34] и асимптотических методов [20] может трактоваться как исследование специфических бифуркаций и возмущений. Так, теория периодических движений Пуанкаре решает вопрос о рождении периодических движений от семейств периодических движений, теория квазилинейных систем с быстровращающимися фазами — вопрос о рождении интегральных тороидальных многообразий от многопараметрических семейств тороидальных многообразий, теория дифференциальных уравнений с малыми параметрами при старших производных исследует сингулярные возмущения решений дифференциальных уравнений и т. д. [c.267]

Первые четыре члена разложений для Ге дают асимптотические при Х- оо формулы Дородницына [б9], [70] для периода Гя, и амплитуды Х>, периодического решения уравнения Ван дер Поля [c.191]

Следовательно, периодическое решение Г=Т ( р) уравнения движения (1. 35) экспоненциально устойчиво в целом при tp -> + оо. Поэтому оно является асимптотически устойчивым предельным режимом движения машинного агрегата. [c.38]

Это вытекает из двух положений 1) z (t) О при t оо, следовательно, и у (t) О при < —> оо 2) у (t) — существует и является периодической функцией. Для реальных приводов машин условие Re рй < О в линейной постановке задачи обычно выполняется, т. е. существует решение периодическое с периодом Т. Любое решение системы дифференциальных уравнений (6.35) асимптотически стремится к у" (t) при достаточно большом t. [c.190]

Описанная выше процедура усреднения на текущем периоде колебаний по сути дела привела к тому, что относительно новых переменных Л о, Л/, В,- система стала автономной (т. е. не зависящей в явном виде от времени). Этой системе соответствуют уравнения в вариациях с постоянными коэффициентами (2.44). Тогда, применяя к системе (6.101) критерий Гурвица (см. п. 6), получаем условия, при которых исследуемое периодическое решение оказывается асимптотически устойчивым [c.289]

Одна из важных особенностей исследования характера решений системы в вариациях (52) связана с наличием в ней малого пара.метра. Если система, получающаяся из (52) при ц = О, т. е. система (46), имеет только затухающие при t оо решения, то изучаемое движение асимптотически устойчиво и при достаточно малых ц. Если система (46) имеет хотя бы одно неограниченно возрастающее при /-> оо решение, то рассматриваемое движение при достаточно малых (х неустойчиво. Когда система (46) имеет периодические решения, для ответа на вопрос об устойчивости движения (даже при достаточно малых i) необходимо рассмотреть члены уравнений (52), содержащие J.. [c.54]

Сформулированные выше утверждения относились к случаю, когда линейное приближение приводит к дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами. Это типично для задач об устойчивости состояний равновесия или стационарного движения. В общем случае матрица 6 уравнений первого приближения зависит от 7. При этом нельзя утверждать, что из асимптотической устойчивости решений уравнений первого приближения следует устойчивость решений нелинейной системы. Ляпунов выделил класс так называемых правильных систем, для которых справедлив аналог теоремы об устойчивости по первому приближению. Среди этих систем - системы с переменными коэффициентами, которые являются ограниченными периодическими функциями времени с одинаковым вещественным периодом. [c.460]

Ясно, что при малых значениях параметра е штампы будут располагаться относительно далеко друг от друга. Заметим, что асимптотическое решение контактной задачи для системы штампов периодически плотно размещенных в пределах ограниченной площадки на границе упругого полупространства было получено в работе [c.133]

Гамильтоновы системы являются наиболее подходящей моделью для описания движений в динамических системах с потенциальными полями, когда существует так называемая характеристическая функция, зависящая от обобщенных координат и скоростей (импульсов) [159], которая порождает дифференциальные уравнения движения поэтому можно сказать, что она исчерпывающим образом описывает движения в динамических системах. Асимптотическое интегрирование канонических систем так или иначе связано с нахождение. периодических или условно-периодических решений, с изучением окрестности таких решении и с проблемой устойчивости частных решений гамильтоновых систем [12, 91, 160]. [c.195]

Предлагаемая схема опирается на работы [80, 81]. Решение исходной задачи представляется в виде суперпозиции решений более простых задач для кольца, которые эквивалентны соответствующим задачам для сектора кольца с одним или несколькими штампами с известными условиями на торцах и могут быть сведены к парным (тройным и т.д.) рядам-уравнениям и далее к бесконечным системам линейных алгебраических уравнений первого рода с сингулярной матрицей. Последние урезаются специальным образом с учетом асимптотического поведения их решения [305, 319] и решаются любым прямым методом. Приводятся результаты численной реализации решения задачи с четырьмя штампами, когда три штампа неподвижны, а перемещение четвертого задано. Исследована зависимость величин контактных напряжении, сил и моментов для каждого штампа в зависимости от параметров задачи. Периодические контактные задачи для кольца рассматривались в работах [66, 98, 187, 280] и др. [c.131]

Работы Пуанкаре стали основой для многочисленных исследований других ученых. В частности, очень большое внимание было уделено изучению периодических орбит Оказалось, что для исследования периодических и асимптотических решений можно применять не только аналитические, но и численные методы. [c.108]

Теорема 9.2. Если изолированное периодическое решение X = i t) уравнения (9.1) устойчиво по Ляпунову, то оно асимптотически устойчиво. [c.122]

Доказательство. По h, взятому из определения изолированного периодического решения, найдем такое 8 > О, что все решения с начальными данными л (0) — х(0) < удовлетворяют неравенствам (9.8) при i 0. Пусть x — — решение уравнения (9.1), такое, что <р(0) — Х( ) < - Это решение не может быть периодическим, так как x — x(i) изолировано. Следовательно, периодическому решению, лежащему в полосе (9.8). Но таким периодическим решением может быть только х(0- Таким образом, все решения уравнения (9.1) с начальными данными при t = 0, мало отличающимися от х(0)> стремятся к х(0 при i—> + 00. [c.122]

Предположим теперь, что уравнение (9.13) с четным п имеет периодические решения и пусть х = (р(() — наибольшее , а х = < ( ) — наименьшее из них. Тогда любое решение, начинающееся в полосе ф ( Х х < ср ( ), при всех i остается в этой полосе и либо само является периодическим, либо стремится к некоторым периодическим как при >-- -оо, так и при -> — оо. Если лТд > ( о)> то решение л ( . Хо, о) нри /—> — оо асимптотически приближается к л = ср(0. 1 при возрастании времени уходит в бесконечность. Если же х < ]1((о), то решение х —х( , лГд, д) при ->- -оо стремится к д = < ( ), а при убывании времени уходит в бесконечность. [c.127]

Сейчас мы будем предполагать, что на поверхности ц располагаются йш-периодические (к — целое) решения системы (14.1) с е = 0 и что оба характеристических показателя каждого из этих решений отличны от нуля. Кроме того, будем считать, что инвариантная поверхность Ед асимптотически устойчива. [c.219]

Нетрудно видеть, что Н есть односвязная область. Эта область представляет собой область асимптотической устойчивости при t-> — оо 211-периодического решения уравнения (15.6), т. е. если yi(0 есть это периодическое решение и Уо- о — точка плоскости у, v, то соотношение [c.246]

Доказательство. Необходимость [35]. Пусть система (7.1) обладает свойством конвергенции, тогда она имеет (о-периодическое решение X = Ф t). По определению это решение асимптотически устойчиво. Но хорошо известно (см., например, [15]), что асимптотически устойчивое ш-пе-риодическое решение системы (7.1) будет и равномерно асимптотически устойчиво. Таким образом, решение Л = Ф( ) равномерно асимптотически устойчиво. Покажем, что и любое решение X t, Xq, to) будет равномерно при асимпто- [c.94]

Из теории возмущеиий периодических решений хорошо известно (см., например, монографию И. Г. Малкина [67] ), что если Р х) — (Ji) и Р х)—1 достаточно малы при . с <0,95, то уравнение (15.6) имеет периодическое решение, близкое к y = b ost. Это решение асимптотически устойчиво при t->— оо, и для него выполняется соотношение [c.245]

Уравнение для стационарных движений формально эквивалентно уравнению параметрически возбуждаемого нелинейного осциллятора и обладает следующими типами финитных решений периодические решения с периодом, равным или соизмеримым с 2тт1Ко, квазипериодические решения решения, асимптотически приближающиеся к периодическим при Z оо хаотические решения. При этом устойчивыми оказываются 1) периодические течения с периодом 2тг/А о и постоянным знаком амплитуды А (этот знак определяет направление вращения жидкости в поперечном сечении цилиндра) 2) движения с единственной сменой знака А ( доменной стенкой ), которая имеет место в одной из точек [c.280]

В заключение мы отметим метод, созданный Н. Н. Боголюбовым. В 1945 г. Боголюбов предложил для систем весьма общего вида новый метод доказательства существования интегрального многообразия и изучения качественной картины поведения интегральных кривых в окрестности этого многообразия. Метод Боголюбова позволяет и фактически построить решение в окрестности интегрального многообразия, т. е. этог метод является значительным развитием первого метода или новым первым методом. Кстати, здесь у Боголюбова, как и у Ляпунова, возникают характеристические числа, совокупность которых и определяет качественную картину вблизи некоторой точки или периодического решения. И если имеется т характеристических чисел с отрицательной вещественной частью, то имеется т-параметрическое семейство решений, асимптотически приближающихся к стационарной точке или периодическому решению. Работы в этом направлении, объединяемые так называемой киевской школой, сейчас нелегко и обозреть. По изучению интегральных многообразий глубокие исследования провел Ю, А. Митропольский и его ученйки, которые рассматривали вопросы существования интегральных многообразий и их устойчивость как в смысле Ляпунова, так и при вариации правых частей дифференциальных уравнений и притом для весьма разнообразных > колебательных систем. Здесь устойчивость интегральных многообразий в смысле Ляпунова является аналогом того, что мы видели во всех сомнительных случаях у Ляпунова (но у Боголюбова и Митропольского рассматриваются системы более общего вида). Устойчивость же интегральных многообразий при вариации правых частей уравнений является задачей нового типа. [c.82]

Как следует из формулы (3.228), в диапазоне подведенного давления < Рп < р пп, возможно существование двух периодических решений в соответствии с участками кривых СД и ДЕ. Как показывает анализ, нижняя кривая соответствует неустойчивому, а верхняя — устойчивому решению. При дальнейшем росте амплитуды А периодического решения происходит также рост соответствующего ей подведенного давления, причем кривая ДЕ асимптотически стремится к пунктирной кривой. Таким образом, в результате применения управляющего золотника с переменным коэффициентом усиления в приводе образовалась область 111 устойчивости в малом , и произошло расширение области устойчивости равновесия / на дополнительную область II, что привело к повышению устойчивости привода. Определение граничного подведенного давления (границы области автоколебаний) рпг = Рпп , ниже которого при внешнем воздействии любой величины привод приходит к состоянию устойчивого равновесия, можно произвести по миниму- [c.229]

Моделирования композита эквивалентной однородной средой бывает недостаточно для исследования локальных пластических деформаций или разрушения, дисперсии волн и решения других задач, определяемых как раз неоднородностью свойств материала по координатам 29). Из асимптотических методов, используемых для решения задач такого типа, наибольшее распространение и обоснование получили метод гомогенизации 30) и метод Бахвалова —Победри [31, 32]. Главная идея метода гомогенизации состоит в использовании в качестве малого параметра характерного размера ячейки, при этом предполагается, что решение статической краевой задачи теории упругости представляет собой медленно меняющуюся функцию координат, на которую накладываются локальные периодические пульсации. Метод Бахвалова —Победри основан на разделении медленных и быстрых переменных в аналогичных задачах. [c.19]

Уравнение (111.95) получено ранее [337] для определения асимптотического решения интегрального уравнения периодической задачи [50] в случае системы параллельных трещин большой длины. При а (х) = —а = onst найдено численное решение этого уравнения с помощью квадратурных формул Гаусса —Эрмита для обычного (см. [236], с. 687) и сингулярного интегралов. Покажем, что уравнение (II 1.95) может быть численно решено также на основе квадратурных формул Гаусса —Чебышева. [c.97]

В последние годы появились результаты, содержащие строгое математическое обоснование моделей композитов, которые позволяют не только с большой точностью определять эффективные характеристики приведенных сред, но и анализировать попя напряжений на микроуровне. Поскольку процессы в композитах описываются дифференциальными уравнениями с быстро осциллирующими коэффициентами, то исследование их решений проводится с помощью стандартной процедуры асимптотических методов [ 35 ]. С математической точки зрения применение указанных методов основано на предположении о наличии в неоднородной композиционной среде периодической структуры с масштабом неоднородности а (а - малый параметр). [c.200]

Решение (4.9) описывает асимптотическое поведение любой знакопеременной периодической волны. При Re 1 такая волна проходит шшообра> ный этап, а затем превращается в затухающую синусоиду с основной частотой, причем амплитуда последней уже не зависит от начальной амплитуды -эта зависимость теряется на пилообразной стадии. [c.45]

Пусть опять x = x(i) — изолированное периодическое решение. Покажем, что любое решение, которое при 1 = 0 оказывается достаточно близким к лг = х( )> асимптотически приближается к х=х(0 либо при /->-1-оо, либо при t—> — 00. По числу h из соотношения (9.8) найдем 8 > О, такое, что если лг(0) — х(0) < то решение j (i) лежит в полосе (9.8) при —Пусть j = ср(i)—решение (9.1), такое, что ср(0) — X( )i< Д- Ч определенности будем считать ср(0)<х(0)- Так как л = х(0 — изолированное периодическое решение, то ясно, что (р(О)тЬср(т). Пусть сначала ср (0) < ср (т). В этом случае последовательность ср(Аш) определена и возрастает вместе с k. Положим а = Птср(Ат). Нетрудно видеть, что а<х(0)- Но решение [c.122]

Из предположения о том, что любое периодическое ре-н1сние, лежащее на Но. имеет характеристические показатели, отличные от нуля, следует, что на Но имеется лишь конечное число периодических решений. Действительно, ссли бы на Е было бесконечно много периодических решеиий, то среди них имелось бы такое, в каждой окрестности которого сунюствомпло бы периодическое решение, отличное от него самого. Эго противоречит тому, что оба характеристических показателя этого решения отличны от нуля. Так как поверхность Ец асимптотически устойчива, то хотя бы один из характеристических показателей периодического решения, лежащего на Ео. отрицателен. Действительно, если бы это было не так, т. е. если бы существовало периодическое решение с положительными характеристическими показателями, то существовали бы решения, стремящиеся к Но при — оо и не лежащие на Иц. Это невозможно из-за устойчивости [c.221]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...