Устойчивость стационарных решений

По-прежнему будем искать только стационарные решения этих уравнений. При u = v = Q могут реализоваться два режима состояние покоя системы i/g = Ug Ag = 0 и состояние с отличной от нуля амплитудой колебаний и фО, v 0, Лд О. Рассмотрим условия существования этих режимов и исследуем устойчивость состояния покоя (анализ устойчивости стационарных решений, отличных от нуля, из-за громоздкости выкладок проводить не будем). [c.169]

Общий характер устойчивости стационарных решений для параметрических генераторов всех типов следует из анализа вещественной и мнимой частей характеристического показателя Я. Если вещественная часть для ненулевых решений отрицательна, то соответствующий стационарный режим является устойчивым по Ляпунову, причем наличие или отсутствие мнимой части характеристического показателя выявляет характер этой устойчивости. [c.181]

Устойчивость стационарных решений можно определить при исследовании поведения малых отклонений от стационарных решений (см., например, 4.2). Однако в данном случае устойчивость стационарных состояний можно исследовать с помощью фазовой плоскости. [c.364]

Следует отметить, что эти же результаты можно было бы получить более строго, исследуя известным методом малых возмущений устойчивость стационарных решений уравнения [c.270]

Таким образом, если начальные значения находятся в области притяжения устойчивых стационарных решений уравнения [c.27]

За исключением некоторых особых случаев, в том числе наличия у уравнения Ф (а) = О кратных корней, результаты качественного исследования (устойчивости стационарных решений, самовозбуждения колебаний и др.) могут быть получены при рассмотрении уравнений первого приближения. [c.70]

Если известна спектральная плотность Sq (со), т. е. стационарное решение уравнения (5.104), то характеристическое уравнение (5.108) принимает конкретную форму, и исследование устойчивости сводится к проблеме Рауса—Гурвица. На рис. 5.9 представлены результаты анализа устойчивости стационарных решений задачи (5.104) при узкополосном случайном воздействии q t). [c.168]

Выясним вопрос об устойчивости стационарного решения (5.1.2). Для этого рассмотрим малое возмущение стационарного решения [c.105]

Анализ устойчивости стационарного решения уравнения (5.1.1) в линейном приближении показывает, что малые возмущения первоначально будут нарастать по экспоненциальному закону, определяемому уравнением (5.1.9). Ясно, что экспоненциальный рост не может продолжаться до бесконечности, поскольку спектральные компоненты на частотах Oq + Q растут за счет излучения накачки на частоте сОр истощение накачки в конце концов замедляет скорость роста [26]. Динамика модулированного состояния определяется уравнением [c.110]

ЧТО введение усиливающей среды даже со слабым коэффициентом усиления приводит к неустойчивым колебаниям в резонаторе, которые нельзя считать физически обоснованными решениями АР. Для сравнения можно отметить, что аналогичные колебания в распределении фазы поля по апертуре зеркала наблюдаются в неустойчивых резонаторах [5]. Анализ показывает, что с увеличением коэффициента усиления среды неустойчивости в решении возрастают. Это можно объяснить следующим образом. Аналитические [23] и особенно численные [106] методы расчетов открытых пустых резонаторов определяют устойчивые стационарные решения задачи как результат д-го количества итераций поля резонатора с зеркала на зеркало. В результате, начиная с д + 1 итерации, распределение поля на зеркалах повторяется с точно- [c.97]

УСТОЙЧИВОСТИ СТАЦИОНАРНОГО РЕШЕНИЯ [c.369]

Эти операторы являются вещественными, непрерывными, самосопряжёнными и положительно-определёнными, что обеспечивает асимптотическую устойчивость стационарного решения (8.1) как в случае линейного (а = 1), так и нелинейного (а > 1) вида уравнения износа (7.6). [c.405]

Для системы цилиндрических штампов с плоским основанием задача сведена к исследованию системы нелинейных дифференциальных уравнений эволюционного типа для определения перераспределения усилий между штампами Pj(t) [9]. Доказана асимптотическая устойчивость стационарного решения системы для случаев постоянной скорости сближения и постоянной нагрузки, действующей на систему штампов. Показано, что установившееся решение характеризуется одинаковой скоростью изнашивания каждого штампа, из чего следует существование установившейся формы изношенной поверхности системы штампов (соотношения между высотами штампов в установившемся режиме изнашивания). [c.428]

Если Р (г) имеет один положительный корень, равновесие неустойчиво и имеется одно устойчивое стационарное решение (1.2.97) (см. рис. 1.2.2, а). Когда Е (г) имеет два положительных корня, равновесие устойчиво в малом, при этом имеются еще два стационарных решения, из которых одно (меньшее) неустойчиво (см. рис. 1.2.2, б). И, наконец, если Г (г) не имеет положительных корней, то, как видно из рис. 1.2.2, в, любое начальное возмущение эволюционирует к равновесию. [c.39]

Устойчивость стационарных решений. Из приведенных выше результатов следует, что во всех случаях, когда имеется неоднозначность амплитудной кривой, нижняя ветвь неустойчива, а верхняя устойчива. При этом речь идет лишь об устойчивости по отношению к возмущениям с тем же периодом, что и найденное основное решение. [c.41]

Полученные эволюционные уравнения позволяют легко исследовать устойчивость стационарных решений по отношению к возмуш е-ниям той же геометрической структуры, что и сами основные решения. Покажем это на примере исследования устойчивости плоского рельефа. Как видно из (4.2.39), кроме симметричного стационарного решения (4.2.37) система имеет решение в виде плоского рельефа Л = = Ло из (4.2.35) и Со = 0. [c.176]

Таким образом, горизонтальные вибрации круговой поляризации приводят к нетривиальной картине возбуждения квазистационарного рельефа на поверхности раздела сред. Из линейного анализа устойчивости стационарных решений следует, что в случае глубоких слоев [c.179]

Исследуем теперь устойчивость стационарных решений уравнения Эйлера (по Ляпунову). [c.129]

Таким образом, линейная неустойчивость переходит во взрывную, вызванную взаимодействием параметрических связанных мод на диссипативной нелинейности (ст ди/дТ). Ограничение неустойчивости происходит за счет кубичной нелинейности в зависимости вязкости от температуры. Система (24.14) имеет устойчивое стационарное решение Ах = 2 = 3 которое и соответствует шестигранным призматическим ячейкам(см. рис. 24.1а). [c.526]

Система (3.12.10) позволяет определить области неустойчивости режима синхронизации мод по отношению к малым возмущениям путем исследования на устойчивость стационарного решения системы ). Характеристическое уравнение системы (3.12.10) имеет вид [c.410]

Замечание 2. Устойчивость (и асимптотическая устойчивость) стационарного решения — локальное свойство векторного поля, задающего дифференциальное уравнение, в изучаемом положении равновесия они не теряются и не приобретаются при изменении поля вне окрестности этого положения равновесия. [c.28]

Перейдем теперь к исследованию устойчивости стационарных решений (3) цепочки (4) для произвольного а. Линеаризуя уравнения относительно (3) (м, = + ), получаем систему первого приближения [c.190]

Из теоремы Ляпунова об устойчивости по первому приближению следует, что необходимое условие устойчивости стационарных решений системы (4) состоит в неотрицательности всех коэффициентов характеристического уравнения [c.191]

На рис. 61 выбор значений с и из области, ограниченной кривой а, обеспечивает устойчивость стационарных решений цепочек при всех рассмотренных значениях п. Кривые, ограничивающие области устойчивости этих решений при разных п, отличающиеся главным образом четностью, заключены между кривыми а и б, т. е. для длинных цепочек (п > 3) соответствующие диаграммы устойчивости мало отличаются друг от друга. На рис. 62 приведены стационарные решения при п = 7, с = с1 и с = Са, которые отве-устойчивости Д 1Я данного [c.192]

Рис. 62. Устойчивые стационарные решения цепочки с простым 3 -цеплением с квадратичным трением.

Численное исследование устойчивости системы (26) при Ф 1 показывает, что система оказывается неустойчивой, т. е. уравнения (20) имеют устойчивое стационарное решение лишь при Ьд = —1. Этот случай может реализоваться только при специальном способе возбуждения исследуемой цепочки уравнений. В общем же случае решение имеет нестационарный характер. [c.207]

Рассмотрим вопрос о значениях параметров уид, при которых описанный выше процесс переброса возможен. На рис. 74 область II, которая расположена над кривой в, построенной на основе результатов численных экспериментов [198], содержит параметры и у, при которых происходила смена знака у Кривая а —это граница устойчивости стационарных решений (5) системы (4) при у > д д — 2) / решения (5) устойчивы. При значениях параметров д и у из области I решение системы (4) (при / = 0) асимптотически приближается к решению [c.262]

Она описывает движение триплета (гироскопа) с линейным трением, возбуждаемого силой, действующей на неустойчивую моду, имеющей как регулярную составляющую Н, так и случайную f (1). Если Л < 1, то в отсутствие случайной составляющей силы имеется устойчивое стационарное решение [c.89]

Исследуем устойчивость стационарных решений (3,55), (3,56) по отношению к бесконечно малым возмущениям. Для этого представим Е в виде [c.61]

При этом следует соблюдать определенную осторожность. Если нестационарные конечно-разностные уравнения сходятся к устойчивому стационарному решению, то еше нельзя считать, что соответствующие дифференциальные уравнения в частных производных имеют устойчивое стационарное решение. Как мы уже видели, дискретизация иногда приводит к появлению схемной вязкости. Эта и другие ошибки аппроксимации могут привести к тому, что конечно-разностные уравнения окажутся более устойчивыми, чем дифференциальные уравнения в частных производных. Выяснение отличия гидродинамической устойчивости от завышенной численной устойчивости представляет трудную задачу (см. разд. 6.5). [c.165]

Сравнивая выражения для стационарных амплитуд в случае одноконтурного параметрического генератора с нелинейной реактивностью и параметрического генератора на ПД с автосмещеннем, можно заметить их сходство это, естественно, приводит к аналогии в положении и виде областей параметрического возбуждения. Поэтому в рассматриваемом случае можно использовать полученные ранее результаты исследования устойчивости стационарных решений. [c.180]

Сдвш фазы зависит от мошности обеих волн. Уравнение (7.3.1) показывает, что обе волны распространяются без изменения, за исключением сдвига фазы, линейно нарастаюшего с расстоянием. Прежде чем сделать такой вывод, следует рассмотреть устойчивость стационарного решения к малым возмушениям. Воспользуемся методом, аналогичным описанному в разд. 5.1. Напомним, что там было показано, что одна непрерывная волна становится неустойчивой в области отрицательной дисперсии световода из-за модуляционной неустойчивости. Оказывается, что при совместном распространении двух непрерывных волн модуляционная нед стойчивость может развиться не только в области отрицательной дисперсии, но так же и в области положительной дисперсии из-за взаимодействия двух волн при ФКМ [54]. [c.193]

Хотя групповая скорость одинакова для волны накачки и стоксовой волны, их относительная скорость равна 2v , так как они распространяются навстречу друг другу. Релаксационные колебания возникают как следствие этой эффективной расстройки групповых скоростей. Частоту и скорость затухания релаксационных колебаний можно получить, анализируя устойчивость стационарного решения уравнений (9.2.7) и (9.2.8) аналогично тому, как это делалось в разд. 5.1 в случае модуляционной неустойчивости. Действие внешней обратной связи можно учесть, взяв соответствующие граничные условия на концах световода [23]. Такой линейный анализ устойчивости дает также условия, при которых непрерывный сигнал становится неустойчивым. Расс.мотрим небольшое возмущение уровня непрерывного сигнала, затухающее как ехр(-Лг), где комплексный параметр Л можно определить, линеаризуя уравнения (9.2.12) и (9.2.13). Если действительная часть Л положительна, возмущение затухает экспоненциально с релаксационными колебаниями частотой = 1т(Л)/2л. Если же действительная часть h отрицательна, возмущение возрастает со временем и непрерывный сигнал становится неустойчивым. В этом случае ВРМБ ведет к модуляции интенсивностей накачки и стоксова излучения даже в случае непрерывной накачки. На рис. 9.4 показаны области устойчивости и неустойчивости при наличии обратной связи в зависимости от фактора усиления tj L, определенного [c.266]

Обращение в нуль декремента невырожденной монотонной моды в случае, когда основное движение и возмущение не обладают различными свойствами симметрии, означает исчезновение устойчивого стационарного решения вследствие его слияния с неустойчивым (рис. 174, л) при этом в системе могут возникать колебания конечной амплитуды с большим периодом (бифуркация рождения цикла из сепаратрисы седлоузла), либо происходит переход на какой-либо иной устойчивый режим. В задачах конвекции распространена ситуация, когда в результате монотонной неустойчивости развивается новое стационарное движение, не обладающее симметрией исходного. Прежнее движение при этом продолжает существовать как неустойчивое. В частности, эта ситуация имеет место при потере устойчивости равновесия в полости, подогреваемой снизу. Если параметры жидкости являются постоянными, то амплитуда в припороговой области описывается вещественным аналогом уравнения (38.1) при этом имеет место бифуркация типа вилки (рис. 174, б). При нарушении [c.281]

В случае отсоса картина течения претерпевает существенные изменения. Первое, что необходимо отметить, это наличие нескольких стационарных устойчивых режимов течения (см. рис. 90). Так, кроме одноячеистых решений тина А со знакопостоянной азимутальной скоростью существуют устойчивые одноячеистые решения типа В2 и со знакопеременной (г). Наличие нескольких устойчивых стационарных решений тесно связано с упоминавшейся ранее бифуркацией вращения. Кривая 2 на рис. 90, ограничивающая область существования дополнительного устойчивого решения, начинается в точке К==0, Ке = Ке =6,5. В области правее кривой 2 решения бистабильны. В зависимости от того, является ли начальное распределение соо(г) знакопостоянным или меняет знак внутри области течения, эволюция приводит к тому или иному стационарному решению. [c.249]

Пусть i(i) = o osOi, 7 <С wq. В режиме синхронизации решение (20.20) должно иметь вид u t) = ао os (Oi + ао), где ао, о — постоянные величины. Реализация этого эффекта, обусловленного нелинейностью системы, позволяет управлять процессом генерации автоколебаний частотой О, равной частоте внешнего стабильного генератора слабого сигнала. Наша задача — определить области устойчивости стационарного решения с постоянными амплитудой и фазой. Вводя расстройку = ujq — 0 , представим (20.20) в виде [c.191]

Необходимые условия устойчивости этих стационарных решений получены Г. Н. Дубошиным (1960), достаточные условия устойчивости — Ф. Л. Черноусько (1964). А. П. Маркеев (1965, 1967) на основании результатов А. Н. Колмогорова, В. И. Арнольда и Ю. Мозера доказал устойчивость стационарных решений почти для всех точек области, где выполнены лишь необходимые условия устойчивости, исследовал, используя методы осреднения, нелинейные колебания оси симметрии спутника в окрестности резонанса, рассмотрел возможность возникновения параметрического резонанса на эллиптических орбитах. [c.302]

Затухающую компоненту г+ можно исключить из рассмотрения. Уравнения для оставшихся компонент образуют триплет (1.3), который при имеет устойчивое стационарное решение и=1, го = г ==0, соответствующее ламинарному течению (2). При Re > Regp этот режим становится неустойчивым и устанавливается новый (вторичное течение) [c.106]

К сожалению, эта схема обладает недостатками, присущими другим схемам, использующим разности по времени типа чехарда (см. разд. 3.1.6), которые чувствительны к неустойчивости, связанной с расчленением рещения по временным шагам (см. Уильямс [1969]). Для достижения устойчивого стационарного решения Феста [1970] время от времени проводил усреднение по временным слоям. [c.161]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...