Уравнения движения в гармоническом приближении

Уравнения движения в гармоническом приближении [c.174]

Модель одномерного кристалла. Найти решение уравнений движения атомов, расположенных в узлах кристаллической решетки, в гармоническом приближении [66]. [c.147]

Модель одномерного кристалла. Пайти гамильтониан одномерной цепочки атомов в гармоническом приближении и решение уравнений движения (см задачу 4.2.14). [c.357]

Уравнение движения (7.5) для атомов цепочки в [18] решались численно для случая, когда она подвергается стационарному сжатию с одного из концов. Это достигалось тем, что первому атому цепочки задавалась некоторая постоянная скорость и. Такое сжатие вызывает появление ударной волны, которая будет распространяться по цепочке. В гармоническом приближении фронт ударной волны имеет осциллирующий профиль с увеличивающейся по мере распространения шириной импульса. Авторы отмечают, что гармоническая цепочка по многим физическим причинам непригодна для описания распространения ударных волн в реальных кристаллах. В частности, это связано с тем, что в такой системе энергия каждой гармонической компоненты является константой движения и не существует механизма перераспределения энергии среди различных компонент. Кроме того, только ангармонические члены в выражении для потенциала ответственны за обострение начального импульса сжатия. Следовательно, любая реальная модель распространения ударных волн должна основываться на ангармонической модели цепочки, т. е. нелинейность потенциала взаимодействия атомов принципиально важна. [c.210]

Функция Вигнера в гармоническом приближении. Оставаясь в рамках гармонического приближения раздела 20.3.1, мы видим, что в сумму, стоящую в правой части уравнения движения (20.11) для вносит вклад только один член с / = О, поскольку д П/дх = О при всех п > 2, и, следовательно, приходим к классическому уравнению Лиувилля [c.646]

Все эти свойства, однако, исчезают при переходе к следующим приближениям. Эффекты следующих приближений хотя и являются малыми, но для некоторых явлений могут играть основную роль. Эти эффекты обычно называют ангармоническими в связи с тем, что соответствующие уравнения движения нелинейны и не допускают простых периодических (гармонических) решений. [c.145]

Всякое периодическое движение частоты ш может быть представлено в общем случае бесконечной (а в частных случаях или в допустимом приближении конечной) суммой гармонических колебаний с частотами, кратными основной частоте ш. Такое представление осуществляется с помощью приемов гармонического анализа в рассматриваемом случае можно с вполне удовлетворительной точностью представить уравнение движения ползуна в виде суммы двух гармоник. [c.153]

Влияние линейного трения на динамическую устойчивость механизма. Пусть стойка механизма, представленного на рис. 6.1, совершает возвратно-поступа-тельное движение по гармоническому закону. Тогда дифференциальное уравнение движения механизма относительно вибрирующей стойки при пренебрежении воздействием сил трения (т. е. в первом приближении) имеет вид (4.33). [c.196]

Наиболее трудной задачей является получение точных решений для имеющих более одной степени свободы систем с демпфированием, обусловленным трением в некоторой точке, однако приближенные решения могут быть получены без особого труда с помощью метода гармонического баланса. Рассмотрим систему, показанную на рис. 2.19, а. Динамические податливости в интересующих нас точках 1 и 2 находятся либо из эксперимента, либо расчетом по методу конечных элементов. Рассматриваемая дискретная модель с двумя степенями свободы позволяет учесть две первые формы колебаний. При этом соответствующие динамические податливости будут иметь достаточно точные значения, если, как уже говорилось в гл. 1, правильно подобраны параметры mi, шг, k и кг- Если эти параметры известны, то можно воспользоваться моделью, показанной на рис. 2.19, б, для которой уравнения движения при = оо имеют вид [c.98]

Наличие нелинейной муфты создает особенности в работе агрегата при динамических режимах, в частности затягивание резонанса в область высоких частот, возможность возникновения колебаний с частотой в целое число раз меньшей, чем частота возбуждающего момента. Уравнение движения системы с нелинейной муфтой имеет точное решение лишь в отдельных случаях. При расчетах таких систем большое значение имеет зависимость частоты k от амплитуды при свободных колебаниях. Эта зависимость в графической форме носит название скелетной кривой. Виды скелетных кривых для некоторых нелинейных зависимостей вместе с формулами, связывающими частоту с амплитудой, даны в табл. III.2. Для построения скелетных кривых обычно пользуются приближенными способами [15]. При этом заранее предполагают (например, на основании эксперимента) существование дифференциального уравнения движения и форму его периодического решения. При гармонической линеаризации считают, что режим колебаний близок к гармоническому. Решение в общем случае получаем в виде (р = фо + Ф os (и + а). Частота свободных колебаний (скелетная кривая) может быть найдена из приближенных формул [c.61]

Улучшение квантовой теории теплоемкостей может быть достигнуто, если основываться на более правильной модели твердого тела, учитывающей взаимодействие атомов. Каждый атом в кристаллической решетке связан с окружающими атомами и не может колебаться независимо от них. В результате взаимодействия атомы в решетке совершают сложные движения, которые можно приближенно представить как сумму гармонических колебаний с различными частотами. При этом для системы из N атомов приходится рассматривать ЗЛ/ независимых частот колебаний, принимающих значения от нуля до некоторой максимальной частоты т, которая качественно определяется минимальной длиной волны, близкой к величине межатомного расстояния. Эти частоты настолько близко расположены друг к другу, что их распределение можно рассматривать как непрерывную функцию f(v), часто называемую спектром частот. Если функция распределения известна, то можно рассчитать теплоемкость, которая в этом случае выражается уравнением [c.265]

Характеристические свойства уравнения движения операторов динамической системы, находящейся под влиянием диссипативной системы, можно представить на простых конкретных моделях. В дальнейшем изложении мы будем описывать динамическую систему в одном случае как гармонический осциллятор (эта модель уже использовалась для приближенного рассмотрения молекулярных колебаний), а в другом случае как двухуровневую систему. Для диссипативной системы мы в обоих случаях исходим из модели системы излучающих осцилляторов, находящихся в тепловом равновесии. В соответствии с этим они создают в том месте, где находится атомная система, хаотическое излучение. Взаимодействие между атомной и диссипативной си- [c.110]

Такое изменение частоты гармонических автоколебаний со скоростью объясняется взаимосвязанностью ее с амплитудой, которая может быть обнаружена в результате приближенного решения нелинейных уравнений движения для системы с двумя степенями свободы. [c.123]

Обладая такой информацией, можно более подробно изучить поведение жидкой массы за критической фигурой Якоби. Если свободная поверхность получает смещение включающее гармонические функции третьего порядка), и если допустить, что любое общее (внешнее, Б. К.) физическое возмущение содержит подобные же члены, то амплитуды вне зависимости от трения начнут возрастать экспоненциально со временем. Эта система больше не сможет совершать колебания около равновесной формы, т. к. устойчивости нет, и вместо колебаний будет происходить динамическое движение до тех пор, пока система не достигнет нового устойчивого состояния. Уравнения движения системы в первом приближении позволяют проследить её развитие только до тех пор, пока скорости и смещения остаются малыми. Большего линейные уравнения дать не могут. По так или иначе, в конечном счёте система должна достигнуть какого-то другого устойчивого состояния, в котором не происходит дальнейшего рассеивания энергии. П тут возникает интересный вопрос какой будет конечная конфигурация. К сожалению, с помощью доступных точных методов детально этот вопрос исследовать невозможно. По вполне может быть, как раньше и предполагалось, что конечным результатом будет деление первоначальной [c.19]

Отмеченные выше существенные особенности диссипативных систем, заключающиеся в том, что любые свободные колебания в системе, предоставленной самой себе, неизбежно затухают, приводят к тому, что для количественного рассмотрения свободных колебаний с учетом потерь нельзя без существенных оговорок пользоваться методом последовательных приближений, в котором за нулевое приближение принимается гармоническое движение. Данный метод может применяться лишь для ограниченных временных интервалов в случае достаточной малости затухания, и поэтому его использование с подобными оговорками существенно снижает его практическую ценность. Это заставляет нас в тех случаях, когда не удается найти прямое и точное решение дифференциального уравнения, описывающего систему, искать другие пути нахождения приближенного решения, учитывающего специфику нелинейных диссипативных систем и пригодного для любого интервала времени. Из возможных методов нахождения приближенного решения следует в первую очередь указать на метод поэтапного рассмотрения н, в частности, на кусочно-линейный метод, а также на метод медленно меняющихся амплитуд. Кусочно-линейный метод, пригодный для любых типов трения и нелинейности, основывается на замене общего рассмотрения движения всей системы в целом решением ряда линейных задач — уравнений, приближенно описывающих различные этапы движения системы, на которых ее можно считать более или менее [c.45]

Решения (VI.26) и (VI.27) уравнений первого приближения представляют собой гармонические колебания гироскопа и не содержат постоянной составляющей собственной скорости прецессии гироскопа. Следуя методу последовательных приближений, найдем второе приближение решения нелинейных дифференциальных уравнений (VI.13) движения гироскопа, определяя его в виде [c.133]

Система приближенных уравнений (15.45) может быть использована для определения переменных ш, Л и в переходных режимах путем численного интегрирования. В дальнейшем ограничимся исследованием стационарных режимов движений, пол которыми будем понимать режимы движения при постоянных значениях величин , Л и т. е. при постоянной угловой скорости двигателя и гармонических колебаниях ползуна вибратора. [c.295]

Если материальная точка, находящаяся в силовом поле, выведена из состояния покоя в точке а, в которой функция V (х) класса С2 имеет минимум, то ее движение приближенно является гармоническим. Для невозмущенного движения уравнение энергии (1.2.9) имеет вид [c.22]

КАВИТАЦИЯ — образование в капельной жидкости полостей, заполненных газом, паром или их смесью, исчезновение которых сопровождается кратковременным возрастанием давления, разрушающего твердые тела КОЛЕБАНИЯ [характеризуют движения или процессы, обладающие той или иной степенью повторяемости во времени автономные описываются уравнениями, в которые явно не входит время случайные имеют место при тепловом движении связанных частиц твердых тел в колебаниях их относительно узлов кристаллической решетки внутримолекулярные возникают при смещении положений атомов в молекуле от их равновесных положений время когерентности двух рассматриваемых гармонических колебаний с различными циклическими частотами приближенно] [c.241]

Для гидравлических следящих приводов характерны значительные массы подвижных частей и существенная упругость кинематических звеньев, определяемая сжимаемостью рабочей масляной среды. Поэтому движение этих приводов описывается дифференциальными уравнениями третьего и выше порядков. Точному математическому решению поддается лишь небольшое количество нелинейных задач теории автоматического регулирования [3], причем для нелинейных дифференциальных уравнений выше второго порядка, даже если решение и получено, оно обычно оказывается слишком сложным для применения в инженерных расчетах. Поэтому целесообразными для исследования устойчивости гидравлических следящих приводов представляются приближенные методы и, в частности, метод гармонической линеаризации нелинейностей, предложенный в известных работах Н. М. Крылова и Н. Н. Боголюбова [65] и развитый в [c.107]

В качестве выходного сигнала записывалось перемещение поршня. На этом же рисунке приведены частотные характеристики, полученные путем расчета по соотношению (28). Хорошее совпадение расчетных и экспериментальных характеристик показывает, что при небольших гармонических входных сигналах уравнения линейного приближения достаточно точно описывают движение исполнительного механизма. [c.202]

Исследования 227—234 касаются частного типа волн, когда профиль просто гармонический и волны простираются в бесконечность по обоим направлениям. Но так как все наши уравнения (до тех пор, пока мы ограничиваемся первым приближением) являются линейными, то мы можем, согласно теореме Фурье, наложением получить решение, обусловленное произвольными начальными условиями. Так как результирующее движение, вообще говоря, будет составлено из систем волн всех возможных длин, распространяющихся в том и в другом направлении, причем всякая отдельная волна распространяется со скоростью, свойственной ее длине, то форма свободной поверхности будет постоянно меняться. Единственное исключение представляет случай, когда длина волны каждой системы заметной амплитуды велика сравнительно с глубиной жидкости. Скорость распространения, именно / gh, не зависит тогда от длины волны, так что в случае волн, которые распространяются только в одном направлении, профиль волны во время своего движения вперед остается неизменным ( 170). [c.475]

На этой стадии мы прерываем изложение теории групп и обращаемся к обсуждению классической теории колебаний решетки. После получения уравнений движения в гармоническом приближении в гл. 8 мы применяем теоретико-групповой анализ для того, чтобы продемонстрировать следующее положение собственные векторы образуют линейное векторное пространство представления накрывающей группы, т. е. группы симметрии . Затем, в гл. 9, мы излагаем теорию влияния антиунитарной симметрии. Вследствие сравнительно малой известности этого вопроса мы довольно подробно останавливаемся на анализе пространственно-временной группы симметрии которая содержит обычные унитарные операторы пространственной симметрии плюс антиунитарные операторы, включающие опера- [c.19]

Для многих механизмов в рабочем режиме движения начальных звеньев могут быть близкими к стационарным, т. е. не зависящими от времени. Эти движения могут, в частности, рассматриваться как гармонические с медленно меняющимися параметрами (амплитудами, фазами и т. п.). Тогда для огыскач ния приближенных решений нелинейных уравнений движения И исследования их устойчивости применим метод медленно меняющихся параметров или метод Ван-дер-Поля, основанный па усреднении медленно меняющихся параметров за каждый цикл движения. [c.199]

О методах решения задачи. С математической точки зрения рассматриваемая задача сводится к изучению решений нелинейных дифференциал ,ных уравнении, которые в каждой из определенных частей фазового пространства являются линейными, однако имеют в каждой такой части различную аналитическую запись и даже различный порядок [см. (1) и (2) при F = N = О и уравнение (7)]. Аналитическое решение подобной задачи может быть выполнено точными методами — так называемым обратным методом [6], а также методами поэтапного интегрирования, припассовывания, точечных отображений Могут быть использованы и приближенные методы — гармонического баланса и прямого разделегшя движений (см. т. 2, гл. II). Помимо аналитических методов используют графические построе1шя, а также цифровые и аналоговые вычислительные машины. [c.16]

Эти же авторы рассмотрели аналогичную задачу, но с соединительной прокладкой между слоями [3.114] (1968), которая беэинерционна и характеризуется только конечной, жесткостью на сдвиг. Условия равновесия прокладки приводят к равенству прогибов, а также нормальных и касательных напряжений на поверхностях примыкающих слоев. Для случая распространения гармонических волн в осевом направлении получено дисперсионное уравнение (определитель пятого порядка), в которое входит безразмерный параметр жесткости прокладки B = GH b Eyh +E2h2), где G и Ь — модуль сдвига и толщина прокладки Е[ и 2, и /12 — модули Юнга и толщины слоев. ]Дель работы состоит в исследовании влияния параметра В на колебания оболочки. В случае предельных частот (волновое число равно нулю) получены аналитические формулы для пяти фазовых скоростей (осевое и радиальное движения, три типа осевых сдвиговых движений). В общем случае вычисления выполнены на ЭВМ. Показано, что существует промежуточная область критиче- ских значений Бкр, которая разделяет области мягких и жестких В. При и Б>Б р применимы приближен- [c.206]

Начнем с определения второго приближения решения уравнения (60) ). Поскольку а мало, логиано в первом приближении предположить для х простое гармоническое движение с угловой частотой pi, незначительно отличающейся от частоты р. Положим [c.149]

Нелинейные колебания. Как мы видели, свободные упругие колебания являются гармоническими, если они происходят под действием квазиупругой силы, которая зависит от координаты линейно (отсюда другое их название - линейные колебания). Однако обьршо линейная зависимость от координаты описывает реальные силы лишь приближенно - при сравнительно малых смещениях тел от положения равновесия. Так, формула (36.7), которая использовалась для упругой силы в задаче о колебаниях пружинного маятника, справедлива лишь при малых деформациях, для которых вьтолняется закон Гука, а замена значения синуса значением угла в уравнении движения физического маятника (36.11) также возможна лшш. при малых углах отклонения от положения равновесия. Поэтому гармоническими обы шо являются лишь малые колебания. [c.119]

Задачи исследования динамики нелинейных автоматических систем решаются на основе приближенных аналитических методов, в частности метода гармонической линеаризации, или путем численного интефиро-вания систем нелинейных дифференциальных уравнений движения. [c.246]

Mнoжитeль е в этом выражении является весьма медленно изменяющейся функцией времени — ее период, как указано выше, весьма велик по сравнению с периодом колебаний даже столь длинного маятника, как маятник Фуко. Разделяя в t вещественную и мнимую части, убеждаемся, что траектория точки, движущейся по закону Si(0. представляет собой эллипс (результат слол<ения двух взаимно перпендикулярных гармонических колебаний одинаковой частоты - fglL ). Наличие при множителя указывает, что этот эллипс весьма медленно вращается с угловой скоростью oi = = (О siii ф. Это вращение в северном полушарии происходит по часовой стрелке, а в южном — против часовой стрелки его не следует смешивать с тем вращением оси эллипса, которое имеет место при движении сферического маятника в отсутствие вращения Земли. Как уже было указано в 161 (пример 143), последнее вращение происходит всегда в ту же сторону, что и движение точки по эллипсу, а угловая скорость его зависит от начальных условий движения. Заметим, что принятое при составлении системы уравнений (58) приближение недостаточно для обнаружения этого вращения оси эллипса. Действительно, при со = О последнее из уравнений (58) дает [c.441]

В случае пассивных пневмодемпферов внешнее возбуждение выбиралось в виде суммы гармонических составляющих с рационально независимыми частотами. Это позволит (п. 4) равномерно пройти фазовой траекторией исследуемую область определения модели и, регулируя амплитуды гармонических составляющих, осуществить различные движения (большие, средние и малые). Как показывают результаты, приведенные в табл. 1, 2, линейная модель дает удовлетворительное приближение лишь на малых движениях. Оценки параметров для этих случаев показывают, что они нечувствительны к появлению нелинейных членов-в характеристике жесткости, а погрешности при этом практически не снижаются. Следовательно, полученные в этих случаях погрешности могут быть отнесены к ошибкам воспроизведения таких классов уравнений на АВМ. [c.82]

КОЛЕБАНИЯ (вынужденные [возникают в какой-либо системе под влиянием внешнего воздействия переменного пружинного маятника (характеризуется переходным режимом и установившимся состоянием вынужденных колебаний резонанс выявляется резким возрастанием вынужденных механических колебаний при приближении угловой частоты гармонических колебаний возмущающей силы к значению резонансной частоты) электрические осуществляют в электрическом колебательном контуре с включением в него источника электрической энергии, ЭДС которого изменяется с течением времени] гармонические относятся к периодическим колебаниям, а изменение состояния их происходит по закону синуса или косинуса затухающие характеризуются уменьшающимися значениями размаха колебаний с течением времени, вызываемых трением, сопротивлением окружающей среды и возбуждением волн когерентные должны быть гармоническими и иметь одинаковую частоту и постоянную разность фаз во времени комбинационные возникают при воздействии на нелинейную колебательную систему двух или большего числа гармонических колебаний с различными частотами кристаллической решетки является одним из основных видов внутреннего движения твердого тела, при котором составляющие его частицы колеблются около положений равновесия крутильные возршкают в упругой системе при периодически меняющейся деформации кручения отдельных ее элементов магнитострикционные возникают в ферромагнетиках при их намагничивании в периодически изменяющемся магнитном поле модулированные имеют частоту, меньшую, чем частота колебаний, а также определенный закон изменения амплитуды, частоты или фазы колебаний неавтономные описываются уравнениями, в которые явно входит время некогерентные характерны для гармонических колебаний, частоты которых различны незатухающие не меняют свою энергию со временем нормальные относятся к гармоническим собственным колебаниям в линейных колебательных системах [c.242]

Выясним, каким периодическим перемещениям — устойчивым или неустойчивым — соответствует полученное решение. Физические сообра>г<ения (сравнение с соответствующими приводами з линейном виде без демпфера или с линейным демпфированием) говорят о том, что в рассматриваемом нелинейном приводе выше кривой ЕО будет область неустойчивости в большом , а ниже кривой ЕО — область устойчивости в малом . Последняя сохраняется при входных воздействиях со скоростями, меньшими обозначенных этой кривой. Следовательно, периодическое решение, соответствующее кривой ЕО, является неустойчивым, аналогичным решению, получаемому при учете в рабочем органе привода усилия Т сухого трения (см. рис. 3.27). Можно сделать приближенную проверку этих выводов. Применение критерия устойчивости Гурвица к уравнению (3.197) движения привода привело к условию соблюдения неравенства (3.198). Так как все параметры и коэффициенты, входящие в левую часть этого неравенства, положительны, причем кoэффищ eнт гармонической линеаризации q нелинейной характеристики демпфера стоит в числителе, то неравенство будет выполняться, очевидно, при подведенном давлении, определенном из выражения (3.200), [соответствующего условию существования периодического решения и полученного из равенства нулю левой части неравенства (3.198)] н значениях коэффициента q, больших, чем в формуле (3.200). Последнее может быть при отношении —, меньшем обозначенного ли-нией ЕО. Неравенство (3.198) нарушается при величине отноше-ния —, большей обозначенной линией ЕО. Следовательно, ни- [c.219]

Устойчивость вынужденных колебаний нелинейной системы. При гармоническом возбрхдении механической системы с нелинейной характеристикой восстанавливающей силы в некотором диапазоне частот решение задачи о вынужденных колебаниях неоднозначно — одному и тому же значению частоты возбуждения соответствуют несколько значений полуразмахов колебаний (см. с. 28), т. е. несколько разных режимов движения. Некоторые из этих режимов неустойчивы. При анализе устойчивости различных режимов коэффициенты уравнений первого приближения оказываются периодическими функциями времени (см. с. 39) для системы с одной степенью свободы уравнения первого приближения обычно приводятся к уравнению типа Хилла (или в частном случае к уравнению Матье), Задача устойчивости периодического режима движения нелинейной системы сводится к оценке свойств решений этого уравнения (см. т. 1). [c.41]

Очень похожее решение задачи о движении двух близко расположенных сфер дал Вакия [33]. В качестве системы координат он выбирал ту же систему, что и на рис. 6.2.1, так что результат выражается в виде, подобном полученному выше при решении двух задач о движении сфер вдоль и перпендикулярно их линии центров. Применяемый им метод решения несколько отличен от использованного здесь. Хотя также применяется разложение по сферическим гармоникам, гармоники для второй сферы выражаются непосредственно в координатах, связанных с центром первой сферы, после чего из граничных условий на первой сфере а получается одна система соотношений, связывающих определяющие коэффициенты. Таким же образом по граничным условиям на сфере Ъ получается другая система соотношений. Исключая из этих двух систем одну совокупность констант, можно получить бесконечную систему уравнений для другой совокупности констант, определяющих соответствующие гармонические функции. Эту бесконечную систему уравнений Вакия решает методом последовательных приближений, и поэтому расчетная часть у него такая же, как и здесь. Полученные им результаты согласуются с результатами Факсена для двух сфер, движущихся одна за другой, а также с приведенными выше данными для движения сфер как вдоль линии центров, так и в перпендикулярном направлении. [c.307]

Давление цикла являетея общим и одинаковым для всех полостей параметром. Цель анализа Шмидта заключается в том, чтобы получить уравнения, выражающие перенос энергии в системе. Для удобства анализа находятся соотношения между некоторыми параметрами, которые стали определяющими параметрами системы, и в ходе изложения мы уже встречались с некоторыми из них. Выражения для переменных объемов Уе(Ф) и Ус(ф), как показано в предыдущем разделе, могут иметь различную функциональную форму в зависимости от применяемого приводного механизма. Однако во всех случаях, исключая ромбический механизм и механизм Росса, можно получить достаточно точные приближения для этих выражений, используя предположение о простом гармоническом движении поршня. Это позволяет определить переменные объемы, зная величину вытесняемого объема и угол поворота кривошипа [c.293]

Дифференциальные уравнения решаются аналитически в явном виде редко. Использование ЭВМ дает приближенное решение дифференциального уравнения на конечном временном отрезке, что не позволяет понять поведение фазовых траекторий в целом. Поэтому важную роль приобретают методы качественного исследования дифференциальных яений. Используем введенное выше понятие фазового пространства для представления в нем совокупности движений гармонического и линейного осцилляторов. [c.83]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...