Ангармонические члены

Наконец, остановимся коротко на том, каким образом могут быть составлены уравнения движения с учетом ангармонических членов. Тензор деформации должен определяться теперь полным выражением (1,3) [c.147]

Рис. 6.13. Зависимость потенциальной энергии взаимодействия между двумя атомами с учетом ангармонических членов Ti

Таким образом, при учете ангармонических членов в формуле для потенциальной энергии при повышении температуры увеличивается не только амплитуда колебаний атомов, но также происходит увеличение средних расстояний между ними, что ведет к расширению твердого тела. [c.186]

Ангармонический характер колебаний обычно учитывают в разложении потенциальной энергии [см. (6.72)] ангармоническим членом gx . Вводя в разложение потенциальной энергии ангармонические члены, мы тем самым учитываем наличие в реальной ситуации взаимодействия между модами колебаний, которое проще всего описать как рассеяние фононов друг на друге. Вероятность рассеяния фононов моды (кь Ш]), характеризуемых волновым вектором ki и частотой oi при учете в потенциальной энергии ангармонического члена gx , зависит от процессов, которые включают взаимодействия трех мод. Например, энергия мод (к,, aii) и (кг, (02) может перейти за счет взаимодействия в моду (кз, шз). Этот процесс может протекать и в обратном направлении — энергия моды (кз, шз) может перейти в энергию мод (к,, toi) и (кг, шг) или энергия моды (ki, oi)—в энергию мод (кз, (02) и (кз, з). Таким образом, рассеяние фононов на фононах сопровождается рон<дени-ем и исчезновением фононов — либо два фонона превращаются в один, либо один фонон распадается на два (рис. 6.14). [c.188]

Амплитуды колебаний решетки меняются с температурой, поэтому роль ангармонических членов также зависит от температуры. Только при низких температурах, когда амплитуды колебаний становятся малыми, можно пренебречь ангармоническими членами и считать, что колебания атомов происходят в соответствии с рассмотренной выше простой схемой. [c.318]

Нормальные процессы и процессы переброса. Пусть сталкиваются два фонона и образуется третий. Вероятность такого процесса определяется ангармоническими членами в (1.43). Характеристики образовавшегося третьего фонона задаются законами сохранения энергии и импульса. Важный [c.45]

В то же время, раскладывая u R) в ряд, мы видели, что в этом разложении могут присутствовать и следующие члены. Поэтому следует рассмотреть вопрос о возможной роли этих ангармонических членов. [c.226]

При небольших смещениях атомов из положения равновесия в узлах кристаллической решетки можно в первом приближении потенциальной энергии пренебречь ангармонизмом (энергия, связанная с ангармонизмом, мала). Покажем, что при этом условии в случае всестороннего сжатия и расширения (ниже макроскопического предела текучести) химический потенциал атомов металла, возбужденных деформацией, будет одинаково возрастать независимо от знака деформации (т. е. знака, приложенного извне гидростатического давления) в отличие от кинетической модели системы свободных молекул (идеального газа), где знак прира-щ,ения давления определяет направление изменения химического потенциала. Напротив, термоупругие эффекты в твердых телах связаны с ангармоническими членами в выражении потенциальной энергии взаимодействия атомов, но здесь они не рассматриваются. В литературе этому вопросу не уделено должного внимания, так как все опыты по изучению поведения твердых тел под высоким давлением относятся к деформации тела сжатием. [c.15]

Анализ ангармонического расширения [34] показывает, что чисто гидростатическое давление и напряжения любого вида (в том числе касательные) вызывают дилатацию, пропорциональную запасенной энергии. Следовательно, в случае и краевых, и винтовых дислокаций дилатация, обусловленная ангармоническими членами, пропорциональна энергии дислокации AWV W. Отсюда расчеты дают оценку увеличения объема А У ЗЬ /2 на отрезке длиной Ъ (вектор Бюргерса) вдоль дислокаций, хорошо согласующуюся с экспериментальными данными измерения дилатация в сильно деформированных металлах [6]. Хотя средняя по кристаллу величина дилатации невелика, локальные значения дилатации при краевых дислокациях (в отличие от винтовых) достигают большой величины, так что на этих дислокациях возникает электрический диполь [35] вследствие перераспределения электронов проводимости, обусловленного изменением гидростатического давления в окрестности дислокации [5]. Локальное возмущение самосогласованного поля свободных электронов, вызываемое появлением потенциала деформации с нарушением локальной электронейтральности, должно оказать влияние на различные физические процессы в крис-сталЛе [5]. В случае же винтовой дислокации гидростатическое давление связано только с ангармоническим расширением и мало [6]. [c.45]

При высоких температурах смещения атомов в решетке становятся значительными, и начинают играть существенную роль эффекты ангармоничности колебаний, что приводит, в свою очередь, к изменениям термодинамических функций. В частности, явление теплового расширения кристаллических твердых тел получает рациональное объяснение только при учете ангармонических членов в потенциальной энергии. Для того чтобы раскрыть физическую сущность этого эффекта, рассмотрим в качестве простой модели цепочку , состоящую всего из двух атомов. [c.262]

При условии, что амплитуды достаточно малы, чтобы можно было пренебречь ангармоническими членами в гамильтониане. [c.181]

Колебательно-вращательные взаимодействия в пределах каждого электронного состояния, обусловленные центробежным искажением и кориолисовым взаимодействием, смешивают вра-щ,ательные уровни одинакового типа симметрии Frv Эти взаимодействия удовлетворяют правилам отбора Дуз — четное и АКа = 0 или Av3 — нечетное и А/(а== 1 (симметрия не накладывает ограничений на значения Awi, Дг 2 и АКс). Чисто колебательные возмущения, обусловленные ангармоническими членами в потенциальной функции, в каждом электронном состоянии смешивают уровни одинакового типа Fv. Поэтому для таких возмущений Avi — четное. Так как все рассматриваемые состояния относятся к различным типам электронной симметрии, между ними отсутствуют чисто электронные взаимодействия. Однако конфигурационное взаимодействие может смешивать каждое электронное состояние с более высоковозбужденными электронными состояниями. [c.341]

Выше на примере простой классической модели было показано, что нелинейные восприимчивости появляются за счет ангармонических членов в потенциальной энергии оптического электрона. Электронный механизм возникновения нелинейности преобладает в твердых телах. Но зависимость оптических характеристик среды от интенсивности световой волны может быть обусловлена не только влиянием поля волны на поляризуемость молекулы (ее внутренние степени свободы), но и воздействием на концентрацию и ориентацию молекул, т. е. на внешние степени свободы. Эти факторы играют главную роль в жидкостях. [c.484]

Уравнение движения (7.5) для атомов цепочки в [18] решались численно для случая, когда она подвергается стационарному сжатию с одного из концов. Это достигалось тем, что первому атому цепочки задавалась некоторая постоянная скорость и. Такое сжатие вызывает появление ударной волны, которая будет распространяться по цепочке. В гармоническом приближении фронт ударной волны имеет осциллирующий профиль с увеличивающейся по мере распространения шириной импульса. Авторы отмечают, что гармоническая цепочка по многим физическим причинам непригодна для описания распространения ударных волн в реальных кристаллах. В частности, это связано с тем, что в такой системе энергия каждой гармонической компоненты является константой движения и не существует механизма перераспределения энергии среди различных компонент. Кроме того, только ангармонические члены в выражении для потенциала ответственны за обострение начального импульса сжатия. Следовательно, любая реальная модель распространения ударных волн должна основываться на ангармонической модели цепочки, т. е. нелинейность потенциала взаимодействия атомов принципиально важна. [c.210]

Возмущающая функция IV определяется в основном ангармоническими членами (третьей, четвертой и более высоких степеней) потенциальной энергии ), а функции и есть собственные функции двух взаимодействующих колебательных уровней в нулевом приближении. Мы видели выше, что функция является полносимметричной по отношению к любым операциям симметрии точечной группы, к которой относится молекула. Отсюда следует, что < /) и должны принадлежать к одному и тому же типу симметрии. В противном [c.234]

Такое отступление от аддитивности впервые обнаружено на основании экспериментальных данных для НоО Мекке и его сотрудниками [612, 130]. Дарлинг и Деннисон [263] вывели точные теоретические формулы для Д как функции V. Было показано, как этого и можно было ожидать на основании предыдущего, что в первом приближении величина Д не зависит от ангармонических членов в выражении для потенциальной энергии. Разумеется, для значений моментов инерции в положении равновесия Г соотношение (4,94) должно быть выполнено, хотя даже для наиболее низкого колебательного уровня имеется небольшая погрешность Д, что и было наблюдено в случае молекулы Н,0. Подобные рассуждения применимы также для плоских молекул с числом атомов больше трех однако в этом случае возможны колебания, перпендику- [c.490]

Роль ангармонических членов будет увеличиваться с ростом амплитуды колебаний, т. е. с повышением температуры. В картине с фононами при повышении температуры увеличивается число фононов, что приводит к повышению роли актов взаимодействия между фононами. Поэтому само понятие фононов как свободно движущихся частиц применимо лишь к области не слишком высоких температур (значительно меньших температуры плавления). [c.13]

Подставим (109.43) в (109.7) и упростим полученное вырал<е-ние. Рассмотрим типичный кубический ангармонический член [c.336]

Во-первых, мы требуем, чтобы кубический ангармонический член Ф был, как обычно, инвариантен при трансляциях [c.336]

Рассмотрим выражение для ангармонического члена Ф , когда в качестве динамических переменных в нем использованы декартовы компоненты смещений ионов, преобразованные с помощью преобразования из группы . Другими словами, [c.339]

Члены третьего и четвертого порядка в (113.26) являются ангармоническими членами. Ход рассуждений здесь ясен получается уже известное адиабатическое разделение многочастичной системы на электронную и ионную части, связанные в уравнении [c.357]

Уравнения (113.36) и (113.37) являются полными уравнениями движения ядер в предположении, что членами с v ф , описывающими межэлектронные переходы, можно пренебречь либо они точно равны нулю. В,этом уравнении имеются ангармонические члены всех степеней, так что потенциальную энергию Uv X) этого параграфа можно отождествить с полной ангармонической потенциальной энергией Ф из 108. [c.359]

В выражении (12.10) опущен малый член, пропорциональный 3 ст-Если иметь дело со слабым световым полем, то оно не вызовет нелинейных эффектов, что позволяет пренебречь ангармоническим членом в уравнении (12.10). Тогда движение электрона опишется уравнеимем [c.286]

Поскольку ангармонические члены Рх , ух ,. .. имеют характер небольших поправок, уравнение (235.6) можно решать методом последовательных приближений вначале это уравнение решается без ангармонических членов, и получаемое таким способом выражение для X = Хо ( ) подставляется в Рх , ух ,. .., после чегр ищется решение уравнения [c.836]

При рассмотрении колебаний атомов кристаллической решетки а также теплоемкости твердых тел, связанной с этими колебания ми, предполагалось, что силы, действующие между атомами, упру гие и атомы совершают гармонические колебания с малыми ам плитудами около их средних положений равновесия. Это позволи ло разделить весь спектр колебаний на независимые моды, рассчи тать в этом приближении тепловую энергию кристалла и получить формулу для теплоемкости, хорошо описывающую ее поведение при низких и высоких температурах. Однако для объяснения ряда явлений, таких, например, как тепловое расширение твердых тел и теплопроводность, сделанных предположений уже недостаточно и необходимо принимать во внимание тот факт, что силы взаимодействия между атомами в решетке не совсем упругие, т. е. они зависят от смещения атомов из положения равновесия не линейно, а содержат ангармонические члены второй и более высоких степеней, влияние которых возрастает с ростом температуры. [c.183]

В расчетах Температурного коэф-фнци-ента линейного расширения факт асимметрии учитывается введением в формулу для потенциальной энергии взаимодействия ангармонических членов. Это делается так. Так как при колебаниях решетки ее атомы испытывают небольшие отклонения от положений равновесия, то энергию раскладывают в ряд, ограничиваясь членами до четвертого порядка включительно [c.185]

Если в выражении для межатомного потенциала содержатся ангармонические члены (силы, пропорциональные квадрату, кубу и более высоким степеням межатомных расстояний), то приведенное выше рассмотрение уже не является правильным. Однако, если ангармонические члены малы, оно может быть выбрано в качестве первого приближения, а ангармонические члены, которые вносят свою долю в теплоемкость [30], можно затем учесть, пользуясь методом теории возмущений. При учете ангармонических членов теп.лоемкость С/, будет больше 3/ , что, впрочем, трудно проверить экспери-меитальпо, так как они начинают играть существенную роль только при [c.317]

В последнем случае реакция должна ускоряться независимо от знака напряжений (растягивающих или сжимающих), поскольку они увеличивают химический потенциал вещества. Это будет далее рассмотрено на основе анализа соотношения гармонических и ангармонических членов в выражении энергии Деформируемого твердого тела. Линейность зависимости химического потенциала от сжимающего давлещая экспериментально прослежена вплоть до сверхвысоких давлений. [c.6]

К вращательно-колебательной задаче для двухатомной молекулы при учете ангармонических членов в энергии связи придется поэтому еще возвратиться. Красивый прием, избранный Кратцером при классическом рассмотрении задачи, является простейшим также и в случае волновой механики. При этом, однако, чтобы дойти до вычисления деталей полосатых [c.703]

Ранние работы по термодинамическим свойствам кластеров и малых частиц обсуждались в книге [8]. Здесь мы рассмотрим только результаты недавних вычислений термодинамических свойств кластеров инертных газов, выполненных методом возмущений с использованием ангармонических членов (вплоть до третьего порядка) разложения потенциальной энергии системы по степеням смещений атомов из положений равновесия [175]. На рис. 75, 76 показаны температурные зависимости межатомных расстояний в треугольной би-лирамиде ( = 5) и в центре икосаэдра (тг = 13). Рисунки 77, 78, 79, соответственно представляют температурную зависимость энтропии, удельной теплоемкости и среднеквадратичного смещения атомов (поверхностных) 13-атомного икосаэдра. Кроме того, в работе [175] были вычислены равновесные положения атомов икосаэдра АГ55 при Т = О К. Как оказалось, расстояние d между ближайшими соседями увеличивается от 3,769 А в центре до 4,081 А на поверхности этого кластера. [c.183]

Аналогичная тенденция возрастания d при переходе из центра на поверхность обнаружена и у 13-атомного икосаэдра (см. рис. 76), но у последнего d на поверхности меньше, чем у АГ55, что обусловлено учетом ангармонических членов в разложении потенциальной энергии. Если пренебречь этими членами, то для межатомных расстояний икосаэдрических кластеров Аг з и Агзб вычисления дают следующие значения 3,-678 и 3,584 А в центре, 3,867 и 3,866 А на поверхности соответственно. [c.183]

На рис. 88 показана температурная зависимость интенсивности рентгеновского излучения, рассеянного аэрозольными частицами свинца диаметром 200 А [564, 512]. Как видно, экспериментальные данные сильно отличаются от теории Марадудина и Флинна [579], учитывающей тепловое расширение решетки и ангармонические члены разложения потенциальной энергии до 4-го порядка включительно. Можно было бы отнести экспериментальные результаты за счет понижения дебаевской температуры у малых частиц РЬ, но тщательное одновременное измерение параметра решетки и температурного хода относительной интенсивности рентгеновского излучения, рассеянного аэрозольными частицами Ап и Си, опровергает это объяснение [565]. Результаты работы [565] сведены в табл. 17. Согласно соотношению Грюнайзена А9/0 = — yAF/F, где у — постоянная Грюнайзена (7 = 3,0 для Ли и 7 = 2,0 для Си [580]), AF/F — относительное изменение объема частицы, эффективному уменьшению должно соответствовать следующее увеличение параметра решетки Да 0,066 А для Ап и 0,061 А для Си. Поскольку параметры решетки мелких и крупных частиц Аи и Си совпадают в пределах погрешно- [c.204]

Аналогично линейным могут быть введены и ангармонические члены, что, однако, излишне ввиду ограничения задачи гармоническим приближением. Очев-идно, что в рассматриваемом случае весь этот произвол не приведет к частотам и формам колебаний, отличным от частот и форм, получаемых в исходном пространстве конфигураций. [c.95]

Следует подчеркнуть, что возмущение обусловлено теми же ангармоническими членами в выражении потенциальной функции, от которых зависят члены в сериальной формуле для уровней энергии. Эти последние члены связаны с суммарным эффектом от возмущения данного уровня большим числом других колебательных уровней, причем каждый из них дает, по формуле (2,292), добавочную энергию ] 1 /S. С другой стороны, резонансное возмущение обусловлено воздействием только одного особенно близко расположенного уровня. Далее, при вычислении членов xntViVf, всегда используют значения энергии и собственные функции, полученные в приближении гармонического осциллятора. В противоположность этому для вычисления возмущений по формулам (2,289) и (2,291) можно также использовать значения энергии уровней с учетом ангармоничности по (2,271) и (2,281) и соответствующие им собственные функции. [c.236]

Если в операторе 1 амил1,тона обпито вида (2,27о) ми пренебрегаем колебательными. моментами количества движения рх, Ру, Pz, также ангармоническими членами в выражении для потенциальной энергии, ио не пренебрегаем зависимостью моментов инерции от нормальных координат, то мы получае.ч гармоническую часть постоянных а . Учитывая затем ангармоничность, но попрежнему пренебрегая колебательным моментом количества движения, мы получаем дополнительный член в постоянных а,-, который, вообще говоря, как и для двухатомных молекул, является самым большим из трех членов, составляющих а . [c.404]

Если учесть малые ангармонические члены в потенциальной энергии колебл.ющейся решетки, то приведенное выше выражение для энергии перестает быть точным. Появляется некоторая вероятность перехода между состояниями с различными наборами чисел Это может быть интерпретировано и на языке фононов как различные процессы взаимодействия между фононами, приводящие к рассеянию их друг на друге и к рождению новых фононов. Иначе говоря, при строгом рассмотрении фононы лишь приближенно можно считать свободно движущимися частицами. [c.13]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...