Уравнения движения в ортогональных координатах

Дифференциальные уравнения движения в ортогональных криволинейных координатах приводятся в курсах теории упругости. В результате интегрирования этих уравнений по толщине оболочки с учетом равенств (2) и (4) можно получить следующие уравнения движения, описывающие как слоистые, так и однородные оболочки [163] . [c.219]

Уравнения движения в естественных координатах. Рассмотрим плоское установившееся движение. Пусть s и п обозначают длину дуги линий тока и их ортогональных траекторий. Поставим своей задачей найти вид уравнений движения, записанных в производных по переменным s и и. Удобно начать наши рассмотрения с формулы для дивергенции вектора скорости на этом примере станет ясным также обший метод, используемый в этом пункте. В декартовой системе координат х, у ) с началом в неподвижной относительно жидкости точке Р и осями, направленными по проходящим через Р линии тока и ортогональной траектории, [c.58]

Пользуясь уравнениями (IV.59), можно составить уравнения движения в какой-либо определенной системе координат, например, в цилиндрических, сферических и иных ортогональных координатах. [c.499]

Пример 58. Рассмотрим движение частицы, к которой не приложено активных сил, по цилиндру вращения, радиус ортогонального сечения которого равен I, Геодезической линией на цилиндре служит винтовая линия. Пусть касательная к ней образует с плоскостью ортогонального сечения цилиндра угол а. Тогда уравнения траектории в цилиндрических координатах будут [c.208]

Полагая в общих уравнениях установившегося движения вязкой несжимаемой жидкости в ортогональных координатах [40] 2 [c.449]

Для вывода уравнений движения выберем ортогональную систему координат, в которой а) первое координатное семейство есть сферы -Ь б) поверхность тела совпадает с одной из координат- [c.251]

Запишем уравнения движения в криволинейной ортогональной системе координат [c.125]

Общие уравнения неизоэнтропического течения, которое мало отличается от изоэнтропического, можно получить, подставляя такие величины, как nUV, nU , nV уравнений (19), (29) 3.6 и (11) 3.7, в уравнения переноса (8), (10) 1.9. Результат такой подстановки можно представить в векторной форме, которая вместе с обеспечением удобной и краткой записи облегчает вывод частных форм уравнений движения в любой заданной ортогональной системе координат. Подробности, касающиеся векторных обозначений, используемых в механике сплошных сред, можно найти в литературе (6]. [c.122]

При рассмотрении уравнения движения в пленках, покрывающих криволинейные поверхности, на координаты последних не накладывалось никаких ограничений, за исключением 1. Изотермическая условия их ортогональности. Однако специ- [c.157]

Подставляя индексы =1, 2, 3 в уравнение (2.45), приходим к релятивистским уравнениям движения в произвольной ортогональной системе криволинейных координат [c.32]

Мы рассмотрели основные законы движения заряженных частиц в электрическом и магнитном полях. Сначала мы определили лагранжиан частиц (уравнение (2.15)). Закон сохранения энергии позволил представить скорость частицы в виде функции потенциала (уравнение (2.31)). Затем были получены релятивистские уравнения движения (2.50) — (2.52) в обобщенной ортогональной криволинейной системе координат. Были рассмотрены частные случаи уравнений движения в декартовой (уравнения (2.53) — (2.55) и цилиндрической (2.60)—(2.62) системах координат. Уравнения движения были затем преобразованы в траекторные уравнения (2.76) —(2.77), (2.80), (2.81) и (2.84) — (2.85) соответственно. Мы ввели релятивистский потенциал (уравнение (2.89)) и показали, что он позволяет использовать нерелятивистские уравнения в магнитных полях даже в случае высоких энергий частиц. Затем был введен электронно-оптический показатель преломления (соотношение (2.92)) и установлены аналогии между геометрической оптикой, с одной стороны, и электронной и ионной оптикой, — с другой. Были определены траектории частиц в однородных электростатическом и магнитном полях посредством точного решения траекторных уравнений. В качестве практических примеров рассмотрены плоские конденсаторы, длинные магнитные линзы, электростатические и магнитные отклоняющие системы, простые анализаторы масс и скоростей. Наконец, были приведены законы подобия электронной и ионной оптики (соотношения (2.183) — (2.188) и (2.190)). [c.63]

Выведем уравнения движения среды в биполярных координатах (а, р, г). Из уравнений движения в случае ортогональных криволинейных координат (5Л9), опуская вектор массовых сил (Х = 0), учитывая (27.52), а также (27.41) и (27.43), получим систему двух уравнений [c.255]

Далее в этой главе будем рассматривать только случай гг = 3. Мы хотим доказать, что три постоянные плош адей а, /3, 7 только в том случае могут быть все равны нулю, если движение трех тел происходит в некоторой неизменной плоскости. Так как + /3 + 7 и уравнения движения при ортогональных преобразованиях координат остаются инвариантными и, кроме того, центр инерции Ро находится в начале координат, то можно принять, что при Ь = т три материальные точки лежат в плоскости г = 0. Тогда из (5 8) при а = /3 = 7 = О получаем, в частности, уравнения [c.49]

Иногда применяют уравнения движения материальной точки в ортогональных криволинейных координатах. [c.319]

В настоящее время известны три вида уравнений, описывающих движение сред из тех или иных предположений (в ортогональных декартовых координатах, здесь d/dt - полная производная) уравнения Эйлера 1 2, 135, 183, 191,261/ [c.14]

В инженерной практике имеют дело не с векторами и УИ, а с их проекциями на оси какой-либо системы координат. Наиболее широко в аэродинамике используется скоростная ортогональная система координат (рис. 1.1.1). В этой системе обычно задают аэродинамические силы и моменты, так как многие исследования динамики полета и прежде всего траекторные задачи связаны с применением осей координат именно такой системы. В частности, уравнения движения центра масс летательного аппарата удобно записывать в проекциях на эти оси. В скоростной системе продольная (скоростная ) ось Оха (ГОСТ 20058—74) направлена всегда по вектору V скорости движения центра масс аппарата, а вертикальная ось (ось подъемной силы) Оуа расположена в плоскости симметрии. Ее положительное направление будет таким, как показано на рис. 1.1.1. Боковая ось ОХа этой системы направлена вдоль размаха правого крыла так, что образуется правая система координат. В обращенном движении продольная ось совпадает с направлением скорости потока, а ось расположена вдоль размаха левого крыла так, чтобы сохранилась та же правая система координат. Такую систему координат обычно называют поточной. [c.10]

В произвольных ортогональных координатах а, р, у уравнения движения (1.11) приобретают форму Ра,Р ,Ру — проекции массовых сил на оси координат) [c.226]

Требуется определить дифференциальные уравнения движения свободной материальной точки в сферических координатах (см. пример 3 на стр. 43 и рис. 22). Скорость точки равна векторной сумме скоростей 1) радиальной 2) вращательной от вращения радиуса в плоскости меридиана и 3) вращательной от вращении плоскости меридиана. Слагаемые скорости попарно ортогональны, и потому [c.51]

Глава 4 предоставила нам необходимый кинематический аппарат для исследования движения твердого тела. Углы Эйлера дают нам систему трех координат, которые, хотя и не вполне симметричны, однако удобны для использования их в качестве обобщенных координат, описывающих ориентацию твердого тела. Кроме того, метод ортогональных преобразований и связанная с ним матричная алгебра дают мощный и изящный аппарат для исследования характеристик движения твердого тела. Мы однажды уже применили этот аппарат при выводе уравнения (4.100), связывающего скорости изменения вектора в неподвижной системе координат и в системе, связанной с телом. Теперь мы применим этот аппарат для получения динамических уравнений движения твердого тела в их наиболее удобной форме. Получив эти уравнения, мы сможем рассмотреть несколько простых, но важных случаев движения твердого тела. [c.163]

Когда исходные данные, служащие для образования уравнений движения системы, т. е. определение системы и функция сил, не зависят ни от направления осей координат, предполагаемых ортогональными, ни от положения их начала, то дифференциальные уравнения движения не содержат величин, относящихся к направлению осей, и не изменяются, когда рассматривается прямолинейное и равномерное движение начала. Из этого мы заключаем, что среди величин, введенных при интегрировании этих уравнений, содержится девять величин, относящихся к направлению осей координат, положению в данный момент их начала и прямолинейному и равномерному движению этого начала. Этого заключения нельзя сделать при криволинейном или неравномерном движении, так как тогда вследствие сил инерции вид дифференциальных уравнений будет зависеть от характера этого движения. [c.387]

В произвольной ортогональной системе координат уравнения движения сплошных сред в случае малых деформаций в напряжениях имеют вид [c.11]

Имея в виду дальнейшие преобразования основных уравнений движения идеальной (т. е. невязкой и нетеплопроводной) сжимаемой жидкости, приведем их сразу в произвольной правой ортогональной системе криволинейных координат д с соответствующими [c.275]

Выбранную систему ортогональных криволинейных координат, совпадаюш.ую с линиями тока жидкости и семействами ортогональных им кривых, называют естественной системой координат. Удобство этой системы координат заключается в то.м, что в ней уравнения движения предельно упрощаются. Известный недостаток применения естественной системы координат, как и переменных Лагранжа, связан с тем, что эта система заранее не известна и должна определяться в процессе решения путем последовательных приближений. В рассматриваемом случае течения газа в турбомашинах выбор первого приближения облегчается тем, что известны граничные координатные поверхности, а промежуточные поверхности могут быть сразу заданы с достаточной точностью. [c.280]

Выполнив преобразования (1.22) и (1.23), мы получили систему уравнений равновесия, записанную в ортогональном пространстве обобщенных координат Из выражения (1.24) следует, что если демпфирование не учитывается, то в пространстве обобщенных координат уравнения движения системы разделяются, поскольку матрица обобщенной жесткости [Л] диагональная. Это означает, что связанная система уравнений относительно физических перемещений и становится набором независимых уравнений относительно обобщенных переменных к которым применимы все решения из предыдущего раздела [c.49]

Для получения решений уравнений движения = О в частных координатных системах полезно кратко рассмотреть методы, используемые для решения более простых родственных уравнений в частных производных. Это может оказаться ценным в последующем. Как станет ясно из дальнейшего, обш,ие методы для решения задач об осесимметричных течениях в любой ортогональной сопряженной системе координат враш ения можно свести к методам решения уравнения второго порядка [c.138]

В этом случае уже не получается осесимметричного движения. Уравнение Лапласа, определяющее потенциал скоростей, будет в ортогональной системе криволинейных координат, согласно (111.16), иметь вид [c.296]

Основные уравнения движения ионов электролита в щелях. Пусть две поверхности металла образуют узкую щель, заполненную раствором электролита. Обозначим через 5 срединную поверхность, т. е. поверхность, равноудаленную от поверхностей металла (берегов щели). Ширина щели считается малой по сравнению с радиусом кривизны поверхности 5 в каждой точке. Пусть и, V — неподвижные ортогональные гауссовы координаты точки на 5. В растворе присутствуют ионы п сортов, концентрация каждого сорта равна С (и, v). Под с/ будем понимать число ионов i-ro сорта в единице объема, усредненное по толщине щели. [c.410]

Введем ортогональную декартову систему координат xyz так, чтобы плоскость yz совпадала с плоскостью какого-либо поперечного сечения туннеля Sj (см. рис. 176). В этой системе координат запишем трехмерные уравнения движения раствора электролита (они совпадают с (7.64), если в них положить Gj == О и векторные операции подразумевать по всем пространственным переменным). Введем следующие допущения а) скорость жидкости V в каждой точке сечения Sj не зависит от у и Z, причем компоненты вектора v по осям у я г равны нулю, [c.420]

Форма (8) удобна для преобразования уравнения движения к любой системе ортогональных криволинейных координат с помощью приемов, изложенных в п. 2.72. [c.533]

Уравнения в естественных координатах. Рассмотрим в установившемся плоском движении линию тока ОР и ее ортогональную траекторию ОМ (рис. 339). [c.564]

Геометрическое представление движения в пространстве 2к измерений впервые предложил американский физик Д. Гиббс (1839—1903), который и ввел понятие фазового пространства, считая, что ряд являются ортогональными координатами 2й-мерного евклидова пространства. Использование фазового пространства вносит ряд преимуществ при изучении движения механических систем. Так, например, на многие вопросы механики нельзя дать удовлетворительный ответ, рассматривая одно частное решение системы, соответствующее определенным начальным данным. Необходимо знать все множество траекторий. Движение может начинаться из любой точки /г-мерного пространства в произвольном направлении. В фазовом пространстве задание одной точки Р однозначно определяет всю траекторию. Для полного решения канонических уравнений Гамильтона необходимо знать величины <7,- и р как функции времени 1 я 2к постоянных интегрирования, которые можно интерпретировать как значения 2к координат фазового пространства в момент = 0. Рассматривая 2к координат как различные измерения в фазовом пространстве, можно изобразить полное решение канонических уравнений в упорядоченном виде без пересечений в виде бесконечного множества кривых, заполняющих 2 - -1-мерное пространство (пересечение кривых означало бы, что в одной и той же точке возможны две касательные к кривой, а канонические уравнения при отсутствии особых точек определяют единственную касательную). [c.468]

Для удобства дальнейшего использования приведем записи уравнения неразрывности (1.26), уравнений движения (1.10) или (1.25), уравнений Громеки - Ламба (1.12) или (1.28) и уравнений Гельмгольца (1.14) или (1.29) в произвольной ортогональной системе криволинейных координат, а также в наиболее часто используемых случаях в декартовых, цилиндрических и сферических координатах. Отметим, что переход к уравнениям движения идеальной жидкости для любой формы записи уравнений формально получается, если положить v = О. [c.36]

В изотермических координатах уравнения движения (7.1.7) имеют симметричный вид, который не имеет места, если взять в качестве координатных кривых геодезические линии и их ортогональные траектории. [c.150]

Было предложено несколько вариантов расчета потока в гидротрансформаторе. Наиболее проработанными являются варианты, предложенные С. М. Трусовым и А, И. Шерстюком [65] и Л. П. Грянко [14]. В обоих вариантах используется уравнение движения потока в естественной системе координат. Естественная система координат — это такая система ортогональных криволи- [c.88]

Радиальная и ионеречная скорость. Угловая скорость. Положим, что в плоскости относительно системы осей Оху декартовых ортогональных координат происходит движение точки Р, выражаемое уравнениями [c.106]

Чтобы пояснить это утверждение, заметим, что (4.1) определяет систему прямоугольных декартовых координат только в пределах ортогональных преобразований (ср. 9). Приведенная выше аксиома требует инвариантности уравнений движения относительно таких ортогональных преобразований, при условии, что это — собственные преобразования (т. е. группа преобразований не включает отражений). Инвариантность относительно переноса начала координат означает однородность пространства, а инвариантность относительно вращения — его мзотротгкость. Инвариантность по отношению к отражению относительно плоскости (несобственное преобразование) означала бы эквивалентность винтов с правой и левой резьбой. [c.27]

Воспользуемся этой оценкой толщины пограничного слоя для вывода уравнений пограничного слоя из уравнений газовой динамики. Рассмотрим переход от уравнения для -компоненты в системе Навье—Стокса [первое уравнение системы (1-4)] к уравнению для дг-компоненты пограничного слоя в потоке газа с большой скоростью. Как показано на рис. 1-1, х и (/ — ортогональные координаты. Скорость в направлениях х и у обозначим соответственно через ими. При отсутствии массовых сил и стационарном двумерном течении уравнение движения для х-ко.мпоненты можно написать в виде [c.20]

Решение. Выберем неподвижную систему ортогональных координат xyz с началом в точке А так, чтобы ось Ау проходила через точку О и плоскость yAz совпадала с плоскостью движения базового четырехшарнирника ОАВЕ. В этой системе координат составим параметрические уравнения траекторий движения точек, ограничивающих отрезки продольных осей звеньев, относительное движение которых исследуется. [c.80]

Итак, произведем осреднение основных уравнений в общем случае абсолютного движения газа через турбомашииу, пользуясь осесимметричной системой ортогональных координат q , по [c.282]

Уравнения установившегося движения идеальной жидкости на поверхности тока в ортогональной системе координат на поверхности <7 , ((7з= onst) получаются из общих уравнений гл. 8 при — [c.338]

Осесимметричные течения или обтекание тела враш,ения параллельно его оси враш ения, представляют пример трехмерных течений, которые могут быть охарактеризованы при помош и единственной скалярной функции тока, как это имеет места и в случае двумерных течений. Разделение переменных в этом случае возможно для более широкого класса систем ортогональных координат, что обсуждается в гл. 4. В другом обш,ем методе получения решений линеаризованных уравнений движения используются обобш енные функции Грина. Так как получаемые решения содержат интегралы, они во многих случаях не так удобны, как решения в виде рядов. В других более специальных методах используются зеркальные отражения и аппарат вариационного исчисления. В последующих разделах этой главы некоторые из этих методов рассматриваются подробно, причем особое внимание уделяется тем из них, которые наиболее широко используются для целей этой книги. [c.78]

Не всякое произвольно заданное поле скоростей удовлетворяет уравнениям гидродинамики, — другими словами, не всякое поле скоростей дает возможность определить по нему, пользуясь уравнениями гидродинамики, давление и удельный объем (или плотность) как функции координат и времени. Фридман вы-эажает этот факт следуюгцими словами не всякое кинематическое движение есть движение динамически возможное. Для того чтобы последнее имело место, между кинематическими элементами движения должны сугцествовать некоторые соотногаения. Например, в случае несжимаемой жидкости в качестве условий динамической возможности движения мы получаем известные соотногаения, нриводягцие к двум основным теоремам Гельмгольца о вихрях Обгций метод для вывода необходимых условий динамической возможности движения, указанный Фридманом, заключается в исключении давлений и удельного объема из уравнений гидромеханики, после чего и получаются нужные соотногаения между кинематическими элементами. Необходимое условие динамической возможности движения в случае сжимаемой жидкости требует ортогональности динамического градиента — [c.144]

Уравнение (3.1) есть дифференциальноа уравнение движения сплош ной среды в векторной форме в криволинейных ортогональных координат-ах, представленное через напряжения. Это уравнение можно получить и иным путём, применяя закон Ньютона к фиксированной массе внутри параллелепипеда с рёбрами и Звд. [c.78]

Уравнения движения точки в ортогональных криволинейных координатах. В ортогональных кри волинейных координатах уравнение движения свободной точки (5.18) для координаты имеет вид [c.299]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...