Ортогональные траектории

Направление роста кристаллита совпадает с направлением максимального теплоотвода, т. е. с нормалью к изотерме кристаллизации. Следовательно, ось кристаллита, определяющая форму и направление его границ, представляет собой ортогональную траекторию семейства изотерм плавления (см. рисунок). [c.448]

Дифференциальное уравнение ортогональной траектории семейства эллипсов (12.22) можно записать в виде [c.448]

Дифференциальное уравнение оси кристаллита как ортогональной траектории семейства изотер%1 получается исключением [c.448]

Поперечная волна — волна, направление распространения которой ортогонально траекториям колеблющихся точек среды. [c.148]

Волокна располагаются вдоль кривых, являющихся ортогональными траекториями семейств прямых. Следовательно, они располагаются вдоль параллельных (конгруэнтных) кривых] например прямых или концентрических окружностей. Расстояние между двумя кривыми одного семейства, измеряемое вдоль прямой нормальной линии, является одним и тем же для каждой нормальной линии. Таким образом, при любой кинематически допустимой деформации первоначально прямолинейные и параллельные волокна остаются параллельными, хотя и не прямолинейными. Расстояние между двумя волокнами остается таким же, каким оно было в недеформированном состоянии. [c.304]

Лучевая оптика является механикой световых частиц их траектории (в оптически неоднородных средах они ни в коем случае не будут прямолинейными) определяются обыкновенными дифференциальными уравнениями Гамильтона или эквивалентным им принципом наименьшего действия. Напротив, с точки зрения волновой теории световые лучи получаются как ортогональные траектории системы волновых поверхностей. Последние, согласно принципу Гюйгенса, являются параллельными поверхностями. Гамильтон описывал семейство волновых поверхностей с помощью дифференциального уравнения (по необходимости — в частных производных) и распространил этот метод на мно- [c.301]

Лучевые свойства некоторого выделенного семейства механических траекторий ни в коем случае не являются тривиальными. Произвольное непрерывное семейство кривых в пространстве более чем двух измерений не может, вообще говоря, рассматриваться как семейство ортогональных траекторий по отношению к какому-нибудь семейству поверхностей. Аналитически лучевые свойства механических траекторий появляются лишь благодаря тому, что они подчиняются вариационным принципам. Без принципа наименьшего действия лучевые свойства механических траекторий не могли бы быть установлены. [c.306]

Такая интерпретация S-функции сильно напоминает главную функцию Гамильтона 57. Единственное различие заключается в том, что в случае И -функции мы начинаем от некоторой точки, а не от поверхности. Действие вычисляется вдоль произвольной механической траектории, исходящей из точки А-, у, Z, вплоть до точки X, у, Z. в рассмотренном же выше случае S-функции можно начать с произвольной базисной поверхности, двигаясь затем от этой поверхности вдоль произвольной ортогональной траектории. [c.312]

В более обш,их случаях —таких, как движение электрона в магнитном поле, неконсервативные системы, релятивистская механика, распространение света в кристаллах — уже нет пропорциональности элемента ds внутренней геометрии и обычного элемента rfs. Ортогональность траекторий и волновых поверхностей сохраняется поэтому лишь в особом внутреннем смысле. [c.328]

С ТОЙ же самой ситуацией, которая существует в оптике при изучении распространения света в оптически однородной среде. Оптические лучи являются прямыми линиями, т. е. кратчайшими линиями. Элементарные волны в построении Гюйгенса представляют собой сферы, причем не только в бесконечно малых, но п в конечных областях. Огибающие этих сфер, т. е. волновые поверхности, являются параллельными поверхностями, а оптические лучи—либо траектории механической системы — ортогональными траекториями для этого семейства параллельных поверхностей. Все это остается справедливым для произвольных оптических или механических систем при условии, что мы оперируем соответствующим образом определенным метрическим пространством. [c.329]

Ортогональная траектория пересекает кривые семейства под углом у =. [c.271]

Дифференциальное уравнение ортогональных траекторий получится исключением параметра с из системы уравнений [c.271]

Эвольвента кривой есть ортогональная траектория касательных к этой кривой. [c.271]

Ортогональная траектория семейства кривых 271 [c.580]

Ортогональная траектория 271 Орты 250 [c.557]

Сначала, исходя из тензорного представления пограничного слоя, с помощью тензоров составляются уравнения импульсов в обобщенных криволинейных координатах, для которых поверхность тела является координатной поверхностью. В качестве специальных координат поверхности тела выбираются координатные линии, являющиеся линиями тока и их ортогональными траекториями. [c.360]

Естественными называют ортогональные криволинейные координаты, в которых в качестве координатных линий выбираются линии тока и их ортогональные траектории (т. е. семейство линий, ортогональных к линиям тока). Если движение безвихревое,, т. е. существует потенциал скорости, то ортогональные траектории совпадают с эквипотенциальными линиями. [c.91]

Рассмотрим плоское установившееся течение идеальной сжимаемой жидкости, Обозначим 5 и л длины дуг, из.ме-ряемых соответственно вдоль линий тока и их ортогональных траекторий от некоторой точки А (рис. 4.20). Поместим в точку А систему координат и отождествим направление осей с направлениями 5 и п. Запишем. уравнения Эйлера (4.6) [c.92]

Стенки канала являются линиями тока, и, следовательно, две граничные линии тока известны. На стенке скорость должна быть направлена по касательной. Ортогональными траекториями линий тока в потенциальном потоке являются ли- [c.95]

Ортогональная траектория к семейству нормалей, если она замкнута, дает нам очертания контура С стержня. [c.128]

Эвольвента X есть ортогональная траектория "Касательных эволюты L. [c.9]

Резные поверхности впервые были исследованы Г. Монжем [7]. Плоскости геодезических линий кривизны резной поверхности огибаются некоторой торсовой поверхностью. Линии кривизны второго семейства являются ортогональными траекториями однопараметрического семейства касательных плоскостей торса. Геодезические линии кривизны резной поверхности называют меридианами, а их ортогональные траектории — параллелями. Если семейство плоскостей вырождается в пучок, то ортогональные траектории будут представлять собой окружности и резная поверхность будет поверхностью вращения. [c.213]

Поэтому сетка ортогональных траекторий главных напряжений при чистом сдвиге, вызванном крутящим моментом Л4кр. обратится в сетку двух семейств винтовых линий (рис. 6.7), наклоненных на угол 45° к образующей трубы. [c.151]

Так как волокно Y = D после деформации совпадает с известной кривой, можно сразу построить перпендикулярные к нему прямые нормальные линии. В соответствующим образом выбранной полярной системе координат это будут радиальные прямые 0 = onst. Остальные волокна направлены вдоль ортогональных траекторий данного семейства нормальных линий и, следовательно, расположены на концентрических окружностях. Поскольку расстояние между любыми двумя волокнами после деформации должно быть тем же, что и до деформации, волокно У = onst лежит на окружности радиуса [c.305]

Поскольку импульс Р = т имеет направление касательной к траектории, мы получаем следующую теорему механическая траектория движущейся точки перпендикулярна поверхностям S = onst. При помощи этой теоремы, строя ортогональные траектории к поверхностям S= ons,i, получаем семейство возможных механических траекторий. [c.305]

Эта теорема имеет следующий смысл. Представим себе семейство механических траекторий, каждая из которых соответствует одной и той же полной энергии Е и все они начинаются на некоторой заданной поверхности 5 = 0. Для этих траекторий можно найти бесконечное семейство поверхностей S = onst, к которым траектории будут перпендикулярны. Мы говорим, что механические траектории обладают свойством лучей , потому что они ведут себя точно так же, как лучи света в оптике. Световые лучи характеризуются тем, что они везде перпендикулярны волновым поверхностям (фронту волны). То же самое справедливо для механических траекторий консервативной системы их можно рассматривать как ортогональные траектории семейства поверхностей S= onst. [c.305]

На рис. 21 изображен луч света, идущий вдоль ортогональной траектории Т, которая начинается в точке М на волновой поверхности ф = О и заканчивается в точке N на поверхности ф = пе. Вместе с ним рассмотрим другой луч С, с теми же самыми конечными точками М и N, который не является ортогональной траекторией.Из геометрического построения поверхностей ф= onst следует, что путь от М до tV вдоль ортогональной траектории Т займет время [c.309]

Подобный же дуализм проявляется в механических задачах. Можно определить механические пути как ортогональные траектории к волновым поверхностям S= onst, определив S из решения уравнения в частных производных [c.311]

Резюме. Механические траектории консервативных систем могут быть получены из частного решения уравнения в частных производных Гамильтона — Якоби с помощью построения ортогональных траекторий к поверхностям S = onst. Это построение аналогично построению волнового фронта и световых лучей в геометрической оптике. Поверхности равного времени в оптике соответствуют поверхностям равного действия в механике, а принцип наименьшего времени Ферма — принципу наименьшего действия или принципу Якоби. И оптические и механические явления могут быть описаны как с помощью волн, так и с помощью частиц. При описании с помощью волн мы оперируем с бесконечным семейством поверхностей, которое определяется уравнением в частных производных Гамильтона. При описании же с помощью частиц мы оперируем с ортогональными траекториями к этим поверхностям, и они определяются принципами. Ферма и Якоби. Аналогия распространяется только на траектории механических частиц, не касаясь того, как движение происходит во времени. Кроме того, ири этой аналогии среди всех возможных механических траекторий выделяются те, по которым движение начинается перпендикулярно к заданной поверхности. [c.314]

Отсюда видно, что мы имеем дело с уравнениями нормалей к поверхностям S = onst. Таким образом, мы снова получили результат, согласно которому траектории механических. систем являются ортогональными траекториями к волновым поверхностям. [c.328]

Эта теорема стала теперь гораздо более обш,ей. Раньше ортогональность траекторий и волновых поверхностей рассматривалась лишь в обычной евклидовой геометрии. На самом же деле эта теорема справедлива для той неевклидовой и даже неримановой геометрии, которая внутренним образом связана с данной механической задачей. Поэтому наши прежние рассуждения были справедливы благодаря тому в какой-то мере случайному обстоятельству, что линейный элемент внутренней геометрии был пропорционален евклидову линейному элементу [см. (8.9.1)]. [c.328]

Резюме. Задачи динамики могут быть целиком сформулированы в геометрических образах. Для этого каждой заданной механической задаче нужно поставить в соответствие нужную форму метрической геометрии. В общем случае такая геометрия будет нери-манова типа. Пространство конфигураций при этом включает в себя время наравне с другими переменными. Механические траектории являются кратчайшими, т. е. геодезическими, линиями этого многообразия, а волновые поверхности превращаются в параллельные поверхности. Геодезические линии могут быть получены как ортогональные траектории волновых поверхностей. Механическая задача соответствует задаче о распространении света в оптически однородной среде. [c.330]

Из п поверхностей, пересечение которых определяет согласно (17) точку Q, все, кроме первой, закреплены (только первое из равенств (17) содержит время). Линия пересечения п — 1 закрепленных поверхностей определяет траекторию точки Q. Как нетрудно показать, эта линия пересечения является ортогональной траекторией семейства поверхностей W = onst. Функция W, по исходному предположению, удовлетворяет уравнению Гамильтона (Г) тождественно по Oj, .. ., а . Если продифференцировать теперь уравнение Гамильтона по (/с = 2, 3,. . ., п), то станет видно, что нормаль к [c.689]

Волновая теория делает теорему Малюса очевидной, ибо любое семейство волновых поверхностей имеет ортогональные траектории, которые и являются лучами. Это означает, что теорема Малюса заключена в скрытом виде в волновой теории света. Гамильтон залгечает по этому поводу ... более всего удивительно, что важная и оспаривавшаяся теорема была открыта и как нечто обыкновенное употреблялась Гюйгенсом более чем сто лет назад и затем была так полно забыта ). [c.806]

Задачи динамики могут быть формулированы языком высшей геометрии, если связать каждую динамическую проблему с соответствующей формой метрической геометрии. В общем случае — это нериманова геометрия, причем конфигурационное пространство включает время в качестве координаты, равноправной с другими переменными. Тогда траектории механического движения тел будут представлены кратчайшими или геодезическими линиями такого метрического многообразия, в то время как волновые поверхности (или поверхности действия) становятся параллельными поверхностями. Геодезические же линии могут быть построены как ортогональные траектории к этим поверхностям. Тогда динамические процессы движения корпускулярных систем совпадают с задачей распространения света в оптически неоднородной среде. [c.869]

Вундхейлеру удается придать уравнениям движения, также и в случае неголономной системы, форму равенств, сви-зывающих сильные тензоры. Он, однако, ошибается, полагая, что нет возможности идентифицировать точки поверхности после деформации. Линейный элемент (7.3) определяет абсолютную ортогональность в и, следовательно, ортогональные траектории в V ,(t) имеют абсолютный смысл. Выберем их в качестве параметрических линий t. Тогда в Т исчезнут члены, содержащие а , и мы получим, не теряя общности, что [c.28]

В области, где ar tga < в < тг/2, поверхности в = onst, равномерно заполняющие объем вне тела, и можно взять за поверхности второго семейства. Третье семейство найдем, составив уравнение ортогональных траекторий к семейству поверхностей (4.1). Окончательно оно определится равенством [c.258]

Ц Линейчатые поверхности, на которых ортогональные траектории прямолинейных образующих являются линиями откосов, изучаются в работе Г236]. Определяются все развертывающиеся и косые поверхности класса и соответственно С , на которых ортогональные траектории образующих совпадают с линиями откоса относительно некоторого направления а. Единственными искомыми развертывающимися поверхностями являются С -поверх-ности касательных линий откоса относительно а и геодезических на торсах откоса относительно а. [c.259]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...