Произвольная ортогональная система криволинейных координат

Для удобства дальнейшего использования приведем записи уравнения неразрывности (1.26), уравнений движения (1.10) или (1.25), уравнений Громеки - Ламба (1.12) или (1.28) и уравнений Гельмгольца (1.14) или (1.29) в произвольной ортогональной системе криволинейных координат, а также в наиболее часто используемых случаях в декартовых, цилиндрических и сферических координатах. Отметим, что переход к уравнениям движения идеальной жидкости для любой формы записи уравнений формально получается, если положить v = О. [c.36]

Произвольная ортогональная система криволинейных координат [c.36]

Подставляя индексы =1, 2, 3 в уравнение (2.45), приходим к релятивистским уравнениям движения в произвольной ортогональной системе криволинейных координат [c.32]

Имея в виду дальнейшие преобразования основных уравнений движения идеальной (т. е. невязкой и нетеплопроводной) сжимаемой жидкости, приведем их сразу в произвольной правой ортогональной системе криволинейных координат д с соответствующими [c.275]

Исходя из данной двумерной ортогональной системы криволинейных координат, построим трехмерную систему. Для этого опустим из произвольной точки М, не лежащей на координатной поверхности, перпендикуляр на эту поверхность. Тогда положение рассматриваемой точки в пространстве будет фиксировано тремя параметрами координатами а1 и аг основания упомянутого перпендикуляра и его длиною г. Координату г условимся считать положительной, если точка лежит со стороны центров отрицательной кривизны координатной поверхности (со стороны выпуклости координатной поверхности, если ее точки суть эллиптического типа). Пространственная система криволинейных [c.10]

Естественно, что построение тензора деформаций возможно и в случае, когда смешения заданы в криволинейных координатах. В произвольной ортогональной системе координат а, р, у) компоненты тензора малых деформаций можно определить следующим образом [c.215]

Уравнения 6.41—6.43 сохраняют силу при любой системе координат, установленной на срединной поверхности, так как все они имеют тензорный характер. В частности, их можно расшифровать для случая, когда срединная поверхность отнесена к произвольной ортогональной, не сопряженной системе криволинейных координат. Для этого надо иметь в виду правила перехода к физическим компонентам 6.37 и учитывать формулы (6.38.1), [c.91]

Для оболочки вводится система ортогональных координат г. Система криволинейных координат щ, П2 характеризует срединную поверхность, координата аз = 2 отсчитывается по нормали к срединной поверхности.. Положение произвольной по толщине оболочки точки А характеризуется радиусом-вектором [c.8]

Рассмотрим многослойную оболочку общего вида, закреп- ленную в пространстве, ограниченную произвольным гладким контуром и нагруженную системой внешних консервативных сил. Стационарное температурное поле оболочки будем считать известным. Свяжем с оболочкой систему ортогональных криволинейных координат 1, 2, Z. Оболочку будем считать до- статочно тонкой, чтобы изменение по толщине коэффициентов первой квадратной формы не учитывать.. [c.267]

Количественное изучение явлений связано обычно с введением системы координат. При этом во многих случаях достаточно декартовых (прямолинейных ортогональных) координат. Введение произвольных криволинейных координат потребовало бы применения тензорного исчисления в общем виде, что, однако, здесь не предусматривалось. Для тех, кому необходимы более глубокие знания тензорного анализа, можно рекомендовать ос- [c.524]

Для записи этих зависимостей в произвольной системе криволинейных ортогональных координат составим предварительно выражение тензора третьего ранга УТ — градиента тензора Т- Имеем [c.57]

Пусть х представляют систему ортогональных декартовых координат в евклидовом трехмерном пространстве, а — любую другую систему ортогональных прямолинейных или криволинейных координат (например, цилиндрических или сферических) в том же самом пространстве. Вектор х, имеющий декартовы компоненты х , называется радиусом-вектором произвольной точки Р (х1, х , х ) в декартовой системе. Квадрат дифференциала расстояния между близкими точками Р (х) и (х + йх) дается формулой [c.25]

Количественное изучение явлений связано обычно с введением системы координат. При этом во многих случаях достаточно декартовых (прямолинейных ортогональных) координат. Введение произвольных криволинейных координат потребовало бы применения тензорного исчисления в общем виде, что, однако, в этой книге не предусматривалось. [c.304]

Уравнения равновесия в произвольной криволинейной ортогональной системе координат см. в работах [2, 4]. [c.16]

Формулы для компонентов деформации в произвольной криволинейной ортогональной системе координат и соответствующие условия сплошности см. в работе [2]. [c.19]

В настоящей главе результаты предыдущих глав распространяются на случай, когда положения точек тела до деформации задаются в произвольной криволинейной ортогональной системе координат. Неортогональные криволинейные координаты не рассматриваются, поскольку они приводят, как правило, к весьма громоздким уравнениям, затруднительным для решения. [c.158]

Отметим, что система уравнений, описывающих движение вязкой теплопроводной сжимаемой жидкости в произвольной криволинейной ортогональной системе координат, выписана в [3]. Из этих уравнений в частности могут быть получены и уравнения в так называемых естественных координатах, s и п, связанных с линиями тока и нормалью к ним при соответствующем выборе коэффициентов Ляме. [c.15]

Это равенство дает линейное (с коэффициентами ") преобразование от компонент вектора п к компонентам вектора р > Оно было получено с использованием ортогональной декартовой системы координат, и, следовательно, р были определены в произвольных ортогональных декартовых системах координат. Равенство (2.10) является соотношением между векторами р и п и поэтому может быть написано в любой криволинейной системе координат. Отсюда следует, что не только в ортогональных декартовых осях, но и в произвольных криволинейных системах координат с помощью равенства (2.10) можно ввести величины которые следует рассматривать как контравариантные [c.144]

Отсюда легко сообразить, что равенство (5.2) приближенно выполняется на любом достаточно малом участке произвольной поверхности, если соответствующим образом выбрана система ортогональных криволинейных координат а, р, т. 6. если система координат выбрана так, что выполняется сильное неравенство [c.67]

Коэффициенты a определяются из граничных условий. После того как найдено решение для функции П (Uj, z) и может быть записано совершенно аналогичное решение для ПГ щ, щ, z), запишем выражение для всех компонент векторов Е ш Н ъ произвольной цилиндрической системе координат. Для этого нужно воспользоваться выражением для ротора произвольного вектора в ортогональной криволинейной системе координат. Если поле определяется электрическим вектором Герца П , то согласно формулам (1.1) и (1.2) получим [c.307]

На любой поверхности в достаточно малой окрестности какой-нибудь точки, не являющейся точкой округления, можно выбрать криволинейные координаты, совпадающие с линиями кривизны поверхности. Координатная сеть зависит от произвольного выбора криволинейных координат на поверхности, но координатная система, связанная с линиями кривизны, строится вполне однозначно. На поверхности вращения линии кривизны совпадают с ее меридианами и параллелями. Главные направления в каждой точке касаются меридиана и параллели. А если поверхность развертывающаяся, то линии кривизны совпадают с образующими и ортогональными им линиями. [c.45]

Такой вид система уравнений и граничные условия принимают в произвольной криволинейной системе координат, связанной с поверхностью тела. Расчет сверхзвукового идеального обтекания гладких тел обычно производится в ортогональной криволинейной системе координат, например, сферической. Однако если центр системы координат сместить относительно оси симметрии тела, как это иногда делают при численных расчетах сверхзвукового идеального обтекания пространственных тел, то пересечение ортогональной системы координат с поверхностью тела приводит к неортогональным сеткам. Поэтому естественно рассматривать общий случай криволинейной системы координат, связанной с поверхностью тела. Вид уравнений (5.8) упрощается в системе координат, связанной с линиями тока внешнего течения. В этом случае сое = 0, а следовательно, и ф = 0. Отсюда Ni =Ni, М, =Мг, Р = Р ( = [c.255]

В настоящей работе развивается смешанный вариационный метод теории упругости применительно к расчету корпусных деталей машин и других инженерных конструкций на прочность, жесткость, виброустойчивость и термопрочность. Автором при помощи смешанного вариационного метода выведены системы новых дифференциальных уравнений в частных производных по двум переменным (одной из координат и времени) в произвольной ортогональной криволинейной системе координат при учете факторов температуры и времени. Эти уравнения обобщают все существующие другие уравнения по данному вопросу, в том числе и уравнения, полученные в ранних работах автора [32, 33]. В книге показано, что все основные приближенные уравнения прикладной теории упругости, а также широко применяемые технические расчеты получаются из общих уравнений при соответствующем, выборе аппроксимирующих функций. Для многих технических расчетов аппроксимирующие функции выбирают в виде линейных зависимостей, при которых обеспечивается необходимая для практиче- [c.11]

Важным частным случаем произвольной системы координат является ортогональная криволинейная система координат. Метрический тензор ё г имеет простой диагональный вид g t j=0, 1ф . Введем обозначения н = к (по / не суммировать). Нетрудно найти, НТО =/11 /12 /13% а символы Кристоффеля имеют такую форму [c.201]

Исходная теория трехслойных оболочек произвольной формы была построена Рейсснером [232]. На оболочки с ортотропными несущими слоями и заполнителем она, по-видимому, впервые была распространена в работе Стейна и Майерса [268], где рассмотрены цилиндрические оболочки. Общей теории оболочек с анизотропными слоями посвящено удивительно мало работ. Можно отметить только исследование Ву [311], посвященное нелинейной теории пологих оболочек с ортотропными несущими слоями и линейную теорию Мартина [183], в которой трехслойные оболочки с анизотропными слоями описываются в общей ортогональной системе криволинейных координат. Осесимметричное нагружение трехслойных цилиндрических оболочек с ортотропными несущими слоями рассмотрено в работах Бейкера [25] и Элдриджа [91]. [c.247]

Векторы в криволинейной системе координат 26 Евклидово пространство (26). Дифференциал вектора (30). Взаимный базис (31). Взаимный базис в криволинейной системе координат (34). О неголономности координат X. (35). Произвольная ортогональная система координат (37). Преобразование координат (38). [c.5]

Вся приведенная выше теория нанряженнй п деформаций сохраняется и при пользовании произвольной криволинейной, не обязательно ортогональной системой координат. В качестве базисных векторов принимают производные от радиуса-вектора точки по криволине1шым координатам j = rj, по отношению к этому базису вектор или тензор задаются контравариантными компонентами. По отношению к взаимному базису векторы и тензоры задаются ковариантными составляющими. [c.231]

Все приведенные выше выкладки по существу справедливы для любой ортогональной системы координат. Ортогональной называется такая система, в которой все три координатные линии в любой точке пространства пересекаются под прямым углом. Координатная линия — кривая, уравнение которой qi = onst (7, — координата в криволинейной системе координат). В общем случае координатные линии являются произвольными пространственными кривыми (рис. 13). Наиболее распространенными криволинейными системами координат являются цилиндрическая (полярная для плоской задачи) и сферическая. [c.24]

Для механики сплошной среды вообще и механики деформируемого твердого тела в частности аппарат теории тензоров является естественным аппаратом. В большинстве теорий выбор системы координат, в которых ведется рассмотрение, может быть произвольным. Проще всего, конечно, вести это рассмотрение в ортогональных декартовых координатах. Очевидно, что доказательство общих теорем и установление обнщх принципов при написании уравнений именно в декартовых координатах не нарушает общности. Что касается решения задач, то иногда бывает удобно использовать ту или иную криволинейную систему координат. Однако при этом почти всегда речь идет о простейших ортогональных координатных системах — цилиндрической или сферической для пространственных задач, изотермической координатной сетке, порождаемой конформным отображением, для плоских задач. В некоторых случаях, когда рассматриваются большие деформации тела, сопровождаемые существенным изменением его формы, система координат связывается с материальными точками и деформируется вместе с телом. При построении соответствующих теорий преимущества общей тензорной символики, не связанной с определенным выбором системы координат, становятся очевидными. Однако в большинстве случаев эти преимущества используются при формулировке общих уравнений, не открывая возможности для решения конкретных задач. Поэтому мы будем вести основное изложение в декартовых прямоугольных координатах, случай цилиндрических координат будет рассмотрен отдельно. [c.208]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...