Координаты ортогональные произвольные

Естественно, что построение тензора деформаций возможно и в случае, когда смешения заданы в криволинейных координатах. В произвольной ортогональной системе координат а, р, у) компоненты тензора малых деформаций можно определить следующим образом [c.215]

Обратимся к трехмерной матрице, изображенной на рис. 21 в изометрической проекции, что позволит нам с большей наглядностью представить себе те исследования, которые потребуются для дальнейших разработок. Все годографы и преобразования для баллистических траекторий представлены плоской матрицей i — п координаты, ортогональные к плоскости этой матрицы, определяют размерность произвольных программ ускорений, действующих на объект, которые могут соответствовать любой данной модели динамической системы. Каждый столбец представляет векторное пространство определенного порядка в частности, орбита материальной точки в пространстве векторов положения обозначается отрезком прямой при п = 1, годограф скорости в пространстве скоростей — следующим отрезком прямой также при л = 1, и годограф ускорения — следующим отрезком. Преобразование годографа из пространства векторов положения в пространство скоростей обозначается через TV в пространство ускорений — через нижние индексы определяют порядок преобразований векторных пространств, а верхние индексы — количество притягивающих центров. Построенная таким образом матрица служит двум целям 1) выявлению свя- [c.75]

Количественное изучение явлений связано обычно с введением системы координат. При этом во многих случаях достаточно декартовых (прямолинейных ортогональных) координат. Введение произвольных криволинейных координат потребовало бы применения тензорного исчисления в общем виде, что, однако, здесь не предусматривалось. Для тех, кому необходимы более глубокие знания тензорного анализа, можно рекомендовать ос- [c.524]

Произвольная ортогональная система координат. В произвольной ортогональной системе координат векторы базиса ортогональны [c.37]

Y располагались в ортогональных меридиональных плоскостях. Начало координат поместим в центр зеркала 1 (рис. 2.3). Произвольный оптический луч оказывается однозначно заданным, если известны его координаты в произвольном поперечном сечении z резонатора и углы наклона луча к координатным меридиональным плоскостям Xz, Уг, фг, [c.28]

Количественное изучение явлений связано обычно с введением системы координат. При этом во многих случаях достаточно декартовых (прямолинейных ортогональных) координат. Введение произвольных криволинейных координат потребовало бы применения тензорного исчисления в общем виде, что, однако, в этой книге не предусматривалось. [c.304]

Возьмем в пространстве натуральную ортогональную систему координат Охуг с заданными единичными отрезками О А, ОВ, ОС на осях, где А , О, 0), В(0, 1, 0), С (О, О, 1) и вектор проецирования s с координатами т, п, р. Отнесем произвольную точку М к данной системе М(х, у, г) (рис. 185). [c.154]

Имеем векторное уравнение винтовой оси. Как и следовало ожидать, оно не дает однозначно значение г, а определяет его лишь с точностью до произвольного смещения вдоль вектора ш. Поэтому три проекции этого уравнения на оси произвольной ортогональной системы координат будут линейно зависимыми. [c.129]

Рассмотрим влияние гироскопических сил. Такие силы могут возникать, например, вследствие действия кориолисовых сил в неинерциальной системе отсчета. Они также могут быть следствием процедуры Рауса игнорирования циклических координат. Рассмотрим случай // = 2 + 0- Если лагранжевы координаты системы ортогональны в том смысле, что форма Ьо есть сумма членов, содержащих только квадраты обобщенных скоростей, то (см. 8.5) функция Рауса также будет представлять собой сумму положительно опреде,пен-ной квадратичной формы по позиционным скоростям и свободного от скоростей члена. Однако если 2 — произвольная положительно определенная квадратичная форма, то отсутствие линейного по скоростям члена в функции Рауса гарантировать нельзя, так что функцию Рауса следует принять в виде [c.593]

При произвольных ортогональных координатах qi и q2 рассматриваются как криволинейные координаты выбранной поверхности. Течение происходит в слое, закон изменения толщины которого H j.= H qu q2). Эта толщина мала по сравнению с наименьшим радиусом кривизны поверхности в данной точке. Если при этом в [c.257]

Таким образом, симметричный тензор второго ранга можно определить не только шестью его компонентами ац в произвольных ортогональных координатах но и тройкой главных направлений и тремя независимыми инвариантами. В качестве последних можно выбрать либо три главных значения тензора fli, йь Оз. либо их комбинации, например модули а, d и фазу ф тензора. [c.15]

Рассмотрим начальное (недеформированное) и конечное (деформированное) состояния тела, отнесенные к совмещенным ортогональным декартовым системам координат х, и Xi (i = l, 2, 3) (рис. 3.1). Положение произвольной точки М тела до деформации определяется вектором х, после деформации положение этой же точки М — вектором х. Материальное волокно MN будем характеризовать вектором (lx=dxv, это же волокно M N после деформации— вектором Ах—йхх. Тогда относительное удлинение волокна MN [c.63]

Направляющие косинусы. Пусть х, у, z —три ортогональных ) единичных вектора, которыми определяется прямоугольная декартова система координат. Произвольный вектор А можно выразить следующим образом (рис. 2.14) [c.50]

Систему координат выберем следующим образом ось г совпадает с осью кручения, т. е. осью, которая при закручивании стержня остается неподвижной, оси х, у взаимно ортогональны и произвольным образом располагаются в плоскости крайнего поперечного сечения. [c.132]

В п. 2.4 выведено уравнение неразрывности для произвольной ортогональной системы координат. Далее установим выражения для основных операторов в такой же системе. [c.269]

Приведем без вывода аналогичные (3.30) соотношения для закона Гука в произвольных криволинейных ортогональных координатах а, р, у. [c.224]

В произвольных ортогональных координатах а, р, у уравнения движения (1.11) приобретают форму Ра,Р ,Ру — проекции массовых сил на оси координат) [c.226]

Для оболочки произвольной формы применяются криволинейные ортогональные координаты аир (рис. 80). Бесконечно малые [c.209]

Вводят ортогональную систему координат. Если из условий симметрии можно определить положение центра тяжести и направления главных центральных осей инерции, то начало координат О нужно совместить с центром тяжести, а оси Ох и Оу направить по главным осям инерции. Если такой возможности нет, то, выбрав произвольные оси координат О х у , нужно [c.331]

Аксиальными векторами являются, например, угловая скорость, угловое ускорение, момент силы, момент импульса. Они изображаются при помощи соответствующей оси с указанием направления и величины вращения. Если же мы хотим изобразить их с помощью отложенной на этой оси стрелки соответствующей длины, то мы должны вполне произвольно условиться относительно направления стрелки, например, установить правило правого винта. Прямоугольные слагающие аксиального вектора преобразуются при чистом вращении системы координат так же, как и слагающие соответствующей стрелки, т. е. ортогонально однако при инверсии системы координат они не изменяют своих знаков. [c.161]

Резюме. Движение произвольной механической системы вблизи положения устойчивого равновесия удобно изучать с помощью пространства конфигураций. В этом случае пространство евклидово, а переменные qi служат в нем прямолинейными координатами. Главные оси квадратичной формы потенциальной энергии определяют п взаимно ортогональных направлений в пространстве конфигураций, которые могут быть выбраны в качестве осей естественной системы координат. С-точка совершает гармонические колебания вдоль этих направлений с частотами, меняющимися от одной оси к другой. Амплитуды и фазы этих колебаний, называемых нормальными , произвольны и зависят от начальных условий. Произвольное движение системы является суперпозицией нормальных колебаний. В результате такого движения С-точка описывает фигуры Лиссажу в пространстве конфигураций. Для устойчивости равновесия требуется, чтобы корни характеристического уравнения были положительны, так как в противном случае нарушается колебательный характер движения. [c.189]

Главные радиусы кривизны всегда действительны и линии кривизны взаимно ортогональны. При доказательстве этого утверждения мы сделаем некоторое предположение относительно системы координат, которая до сих пор оставалась произвольной. Это позволит нам в приводимом ниже доказательстве получить для главных радиусов кривизны и линий кривизны значения, не зависящие от системы координат. Из уравнений (1), представляющих рассматриваемую поверхность, вообще, следует [c.120]

Преобразование уравнения Дф = О к произвольным ортогональным координатам. Эллиптические координаты. Течения по линиям, пересекающим, нормально систему софокусных эллипсоидов. Представление потенциала скоростей этих течений как потенциала слоя. Объем жидкости, протекающей через сечение в единицу времени. Сопротивление. Линии тока, пересекающие нормально систему [c.167]

Дифференциальное уравнение герполодии. Отнесем герполодию в ее плоскости t к полярным координатам р, а, имеющим в качестве полюса ортогональную проекцию Oj точки О на и условимся отсчитывать угол а от некоторого ориентированного произвольного неподвижного направления в плоскости г против часовой стрелки, если смотреть с конца вектора К (нормального к х). [c.175]

Отыскание главных координат. Выше говорилось, что функции 1, jf, у и (О называют главными координатами, если они ортогональны. Ортогональность функций 1, X, у достигается, если в качестве системы координатных осей Оху принимается система главных центральных осей инерции (см. Дополнение). Остается найти такую функцию ш, которая ортогональна каждой из функций 1, X, у, т. е. удовлетворяет условиям равенства нулю интегралов (14.32)i,, ,д. С этой целью отнесем поперечное сечение тонкостенного стержня к системе главных центральных осей инерции X, у и установим зависимость между секторными площадями, соответствующими двум полюсам А н В при одной и той же произвольной точке начала отсчета секторной площади. Напомним (см. рис. 14.9), что дифференциал секторной площади выражается формулой d u=hds. Если полюс располагается в точке А (рис. 14.1.5), имеем [c.400]

Аналогично уравнение (4.33) можно записать в другой произвольной ортогональной системе координат [12]. [c.151]

Рассмотрим консольную балку АВ, изогнутую силой F, приложенной на ее конце (рис. 11.1). Ось х ортогональной системы координат X, у, Z совместим с осью балки в ее недеформиро-ванном состоянии, а начало координат поместим на свободном конце балки (рис. 11.1). На расстоянии х от начала координат укажем произвольное сечение С. В процессе нагружения ось балки искривляется и занимает положение Ai iB. Вертикальное перемещение центра тяжести произвольного сечения обозначим и, т. е. СС = V. Перемещение v обычно называют лро-гибом. Нетрудно видеть, что в данном случае прогиб является переменным по длине, т. е. имеем [c.186]

Все приведенные выше выкладки по существу справедливы для любой ортогональной системы координат. Ортогональной называется такая система, в которой все три координатные линии в любой точке пространства пересекаются под прямым углом. Координатная линия — кривая, уравнение которой qi = onst (7, — координата в криволинейной системе координат). В общем случае координатные линии являются произвольными пространственными кривыми (рис. 13). Наиболее распространенными криволинейными системами координат являются цилиндрическая (полярная для плоской задачи) и сферическая. [c.24]

Решение. При произвольном (не ортогональном) преобразовании координат надо различать ко нтра- и ковариантные компоненты векторов и тензоров первые преобразуются к к сами координаты х (их принято обозначать с верхними индексами), а второе — как операторы дифференцирования д/дх (их обозначают с нижними индексами). Скаляр (10,1) надо записывать при этом как [c.58]

Для механики сплошной среды вообще и механики деформируемого твердого тела в частности аппарат теории тензоров является естественным аппаратом. В большинстве теорий выбор системы координат, в которых ведется рассмотрение, может быть произвольным. Проще всего, конечно, вести это рассмотрение в ортогональных декартовых координатах. Очевидно, что доказательство общих теорем и установление обнщх принципов при написании уравнений именно в декартовых координатах не нарушает общности. Что касается решения задач, то иногда бывает удобно использовать ту или иную криволинейную систему координат. Однако при этом почти всегда речь идет о простейших ортогональных координатных системах — цилиндрической или сферической для пространственных задач, изотермической координатной сетке, порождаемой конформным отображением, для плоских задач. В некоторых случаях, когда рассматриваются большие деформации тела, сопровождаемые существенным изменением его формы, система координат связывается с материальными точками и деформируется вместе с телом. При построении соответствующих теорий преимущества общей тензорной символики, не связанной с определенным выбором системы координат, становятся очевидными. Однако в большинстве случаев эти преимущества используются при формулировке общих уравнений, не открывая возможности для решения конкретных задач. Поэтому мы будем вести основное изложение в декартовых прямоугольных координатах, случай цилиндрических координат будет рассмотрен отдельно. [c.208]

Вся приведенная выше теория нанряженнй п деформаций сохраняется и при пользовании произвольной криволинейной, не обязательно ортогональной системой координат. В качестве базисных векторов принимают производные от радиуса-вектора точки по криволине1шым координатам j = rj, по отношению к этому базису вектор или тензор задаются контравариантными компонентами. По отношению к взаимному базису векторы и тензоры задаются ковариантными составляющими. [c.231]

Диск, предполагаемый абсолютно жестким, прикреплен упругими стержнями в своей плоскости. Жесткости kj=EjFjllj стержней на растяжение — сжатие известны. Определить поступательные перемещения и и и диска вдоль произвольно взятых ортогональных осей х, у и угол поворота его ф относительно начала координат С иод действием силы Р, заданной ее проекциями Рх, Pfi и моментом ее Мс относительно С. [c.25]

Вычислительный аппарат векторною исчисле1П1я. Конечной целью решения практических задач, в частности, анализа или синтеза (проектирования) механизмов, является числовое, а не символическое, представление параметров механизмов, поэтому от векторных обозначений необходимо перейти к числовым предславлениям параметров. Наиболее просто векторы преобразуются к проекциям в прямоугольной декартовой системе координат, широко используемой в аналитической геометрии. Метод скалярных ортогональных проекций в сочетании с алгеброй чисел является предпочтительным математическим аппаратом векторного исчисления. Выбрав прямоугольную систему координат Оху>2, осям абсцисс, ординат и аппликат которой соответствуют орты I, j и к, представим произвольные векторы a, Ь, с и т. д. через их скалярные проекции [c.43]

Рассмотрим материальную точку М с массой, равной 1, находящуюся под действием силы F, проекции которой на три прямоугольные оси координат равны частным производным силовой функции U (х, у, z). Уравнение и = onst представляет поверхность уровня, пересечение которой с произвольной поверхностью S можно назвать линией уровня на поверхности S. Определить эту последнюю поверхность таким образом, чтобы точка Л4, вынужденная на ней оставаться и предоставленная без начальной скорости действию силы F, описывала траекторию С, ортогональную всем линиям уровня. Если, например, на точку М действует только вес, то она должна падать на искомой поверхности вдоль линии наибольшего ската. [c.443]

Исходная теория трехслойных оболочек произвольной формы была построена Рейсснером [232]. На оболочки с ортотропными несущими слоями и заполнителем она, по-видимому, впервые была распространена в работе Стейна и Майерса [268], где рассмотрены цилиндрические оболочки. Общей теории оболочек с анизотропными слоями посвящено удивительно мало работ. Можно отметить только исследование Ву [311], посвященное нелинейной теории пологих оболочек с ортотропными несущими слоями и линейную теорию Мартина [183], в которой трехслойные оболочки с анизотропными слоями описываются в общей ортогональной системе криволинейных координат. Осесимметричное нагружение трехслойных цилиндрических оболочек с ортотропными несущими слоями рассмотрено в работах Бейкера [25] и Элдриджа [91]. [c.247]

Общие линейные соотношения между напряжениями sij (/,/=1,2,3) и деформациями ец в ортогональной декартовой системе координат (хиХ2,Хз) для нестареющего вязкоупругого материала с произвольной анизотропией сразу получаются из формулы (9). Используя функции (модули) релаксации iju(t) (г, 1, 2,3), можно записать [c.107]

МОЩЬЮ интеграла (8.7.22), взятого вдоль траекторий, ортогональных к волновому фронту. Соответствующим интегралом в механике является действие (8.7.23). Интеграл (8.7.23) берется, начиная от заданной базисной поверхности, вдоль истинных механических траекторий с одной и той же полной энергией Е, которые идут перпендикулярно к этой поверхности. Записав это действие в виде функции координат л , у, г конечной точки траектории, получим функцию S. Поверхности S = onst будут, таким образом, поверхностями равного действия, а действие измеряется, начиная от произвольной базисной поверхности, для которой принято, что 5 = 0. [c.312]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...