Кривая геодезическая

Коэффициенты Ламе 21 Кривая геодезическая 343 [c.410]

Если выбрать в качестве опорной кривой геодезическую линию, для которой pt, = О, то для принятой координации [c.277]

В изотермических координатах уравнения движения (7.1.7) имеют симметричный вид, который не имеет места, если взять в качестве координатных кривых геодезические линии и их ортогональные траектории. [c.150]

Следует заметить, что угол 6 ме кду нормалью к поверхности и радиусом кривизны кривой только тогда равен нулю, когда кривая геодезическая т. е. представляющая кратчайшее расстояние между двумя точками на поверхности. Для шара (фиг. 270) такой кривой будет круг главного сечения, когда и / , радиус шара, и р, радиус этого круга, совпадают. Другое сечение хотя и будет окружностью проходящей через те же точки Ж и М, но [c.368]

Начнем с примера, когда данное риманово многообразие двумерное, т. е. поверхность, а данная кривая — геодезическая на этой поверхности. [c.266]

Рассмотрим систему координат на поверхности, связанную с геодезическими линиями на поверхности. Геодезической линией на поверхности называется кривая, геодезическая кривизна которой в каждой точке равна нулю. Смысл определения геодезической линии заключается в том, что геодезическая линия, соединяющая какие-нибудь две точки, всегда является прямой линией на поверхности и кратчайшей среди всех кривых, соединяющих эти точки на плоскости, геодезическими линиями являются прямые. Для того чтобы линия на поверхности была геодезической, необходимо и достаточно, чтобы проекция ее вектора кривизны на касательную плоскость равнялась нулю. Линия на поверхности — геодезическая, если ее главная нормаль совпадает с нормалью к поверхности или эта линия прямая. [c.46]

Кривые линии на торсе, имеющие при сю развертке преобразованиями прямые линии, называют геодезическими линиями торса. [c.340]

Пространственная кривая линия, таким образом, является геодезической линией ее спрямляющего торса. [c.340]

В нормальной плоскости, на которую произведена развертка полярного торса, через точку С, описывающую при качении этой плоскости рассматриваемую кривую линию, проведем прямую и будем ее считать преобразованием геодезической линии, взятой на полярном торсе. [c.351]

При качении нормальной плоскости точка С описывает заданную кривую линию, а прямая катится без скольжения по геодезической линии полярного торса. Таким образом, эта геодезическая кривая линия полярного торса является эволютой рассматриваемой пространственной кривой линии. Таких эволют пространственной кривой Линии, очевидно, можно наметить на полярном ее торсе произвольно много. [c.351]

Какие кривые линии торса называют геодезическими [c.358]

Фронтальная проекция гелисы — синусоида с уменьшающейся высотой витков ( Затухающая кривая ), горизонтальная — спираль Архимеда. Винтовая линия на конусе не является геодезической, как это видно из развертки поверхности конуса, на которой гелисы преобразовались в спирали Архимеда, пересекающие образующие конуса под постоянным углом а. [c.219]

Траекторией точки, движущейся по поверхности, будет, очевидно, кривая, лежащая на этой поверхности всеми своими точками. Возьмем поверхность Q (рис. 365), и пусть аа будет элемент траектории, точки. Проведем в точке М касательную к траектории Mr, нормаль к поверхности MJV и главную нормаль к траектории Мп. Проведем теперь через касательную т и нормаль /V к поверхности плоскость, которая пересечет поверхность по некоторой кривой элемент ЬЬ этой кривой будет принадлежать геодезической линии данной поверхности, касающейся траектории в точке М Проведем [c.422]

Геодезической линией на поверхности называется линия, в каждой точке которой главная нормаль совпадает с нормалью к поверхности поскольку ЬЬ есть элемент- кривой, лежащей в плоскости xMN, то главная нормаль к этой кривой в точке М направлена по MN. Следовательно, ЬЬ — элемент геодезической линии. [c.422]

Тензорные поля. Абсолютный дифференциал и ковариантная производная. Геодезические кривые [c.385]

Рассмотрим кривую х ==х (в). Допустим, что касательные во всех точках этой кривой между собой параллельны. Такую кривую линию можно назвать прямейшей . Ее называют также геодезической кривой. [c.388]

На основании формулы (IV. 157) найдем, что геодезическая кривая определяется дифференциальными уравнениями [c.388]

Составим другим способом дифференциальные уравнения движения материальной точки по поверхности Р (рис. 190). Пусть аа — отрезок траектории точки М, т — единичный вектор касательной к траектории в точке Л]. Проведем через точку М элемент геодезической кривой ЬЬ поверхности Р, касающейся орта т. Здесь мы воспользуемся известным из дифференциальной геометрии определением геодезических кривых поверхности, согласно которому главные нормали к геодезическим линиям во всех ее точках совпадают с нормалями к поверхности ). Это свойство соответствует определению геодезических кривых, приведенному выше, в 210 [c.425]

Пусть N — единичный вектор нормали к поверхности Р и одновременно — единичный вектор главной нормали к геодезической линии ЬЬ. Введем единичный вектор бинормали р к геодезической линии. Этот вектор расположен в касательной плоскости к поверхности Р. Векторы N. X и Р образуют естественный триэдр геодезической кривой ЬЬ. [c.426]

Рассмотрим местный естественный триэдр геодезической кривой в точке М. Проектируя левую и правую части равенства (IV.207) на оси этого естественного триэдра, получим три скалярных дифференциальных уравнения движения точки по поверхности Р [c.426]

Первое уравнение этой системы утверждает, что движение точки по поверхности равномерное. Из третьего уравнения следует, что геодезическая кривизна траектории равна нулю. Следовательно, если на точку не действуют активные силы и поверхность Р — идеально гладкая, точка М движется равномерно по геодезической кривой. [c.427]

Если У равны нулю, то система уравнений (II. 10 ) определяет движение по геодезической кривой в многообразии неголономных координат. Это вытекает из содержания 210 первого тома. [c.169]

Одним из следствий принципа наименьшей кривизны является утверждение, что несвободная материальная точка, движущаяся по некоторой гладкой поверхности, при отсутствии активных сил описывает геодезическую кривую. Это было доказано в 225 первого тома. Принцип наименьшей кривизны обобщает ряд результатов, полученных при рассмотрении динамики точки. [c.194]

Здесь и далее под пространством следует понимать четырехмерный пространственно-временной континуум. Итак, свойства физического пространства должны исключить необходимость введения силовых полей. В этом случае материальная точка должна двигаться по инерции, описывая геодезическую кривую. [c.526]

Кроме больших кругов на сфере, к геодезическим относятся прямолинейные образующие поверхностей, меридианы поверхностей вращения, винтовые линии на круговом цилиндре и все плоские кривые, которые лежат в плоскостях симметрии поверхности. [c.327]

Итак, кривые, дающие для действия Л относительный минимум, т. е. значение, меньшее, чем вдоль всякой кривой, бесконечно близкой, нужно искать среди траекторий, идущих от А к В. Вопрос о том, дает ли найденная траектория, соединяющая две точки А к В, относительный. минимум для Л, в действительности не является суш.ественным с точки зрения самого принципа. Он аналогичен вопросу, дает ли в действительности геодезическая линия. [c.461]

Геодезические линии. Если силовая функция [7 равна нулю, т. е. если на систему, предполагаемую неголономной, не действуют никакие силы, то говорят, что траектории являются геодезическими линиями, распространенными на А-мерное пространство, обобщая наименование, данное кривым, описываемым на гладкой поверхности материальной точкой, на которую не действует никакая сила. В этом случае для получения траекторий нужно искать кривые, обращающие в минимум интеграл [c.392]

Остается, впрочем, возможность оценки, снизу числа точек возврата каустик (огибающих системы нормальных к кривой геодезических) римановых метрик (или, более общим образом, числа сборок на оптическом лагранжевой многообразии, см. [18], [39]). Для получения такой оценки достаточно доказать некоторый аналог неравенства Беннекена для контактных структур в полнотории S XD . [c.226]

Уравнения (IV.208а) можно представить в иной форме. Пусть О — центр кривизны траектории, тогда отрезок МО равен р. Через точку О в общей нормальной плоскости кривых аа и ЬЬ проведем перпендикуляр к вектору V. Пусть он пересечет главную нормаль и бинормаль геодезической кривой в точках L и Л. Отрезок МР называется радиусом нормальной кривизны траектории точки М, отрезок МК — радиус геодезической кривизны траектории [c.426]

Используя эти соотношения, можно, в частности, найти уравнения геодезических кривых в пространстве, арифметизированном координатами х Все сказанное приводит к заключению, что величины вместе с метри- [c.174]

Это же условие для многомерного пространства выражается равенством (II. 156Ь) ) Итак, приходим к выводу если определить метрический тензор в пространстве конфигураций равенствами (II. 155), то движение по инерции системы материальных точек соответствует движению изображающей точки по геодезической кривой в упомянутом пространстве. [c.207]

Рассмотрим движение материальной точки по поверхности сферы. Геодезическими кривыми на поверхности сферы являются, как известно, дуги больших кругов. Кинетическим фокусом для произвольной точки на поверхности сферы является диаметрально противоположная ей точка. В этом случае смысл условий существования экстремума действия на отрезке MiM траектории точки очевиден. Если точка М% лежит на дуге большого круга ближе к точке Ml, чем диаметрально противоположная ей точка на поверхности сферы, то дуга М1М2 будет действительно кратчайшей дугой среди тех, которые можно провести через точки Mi и М2 на поверхности сферы. [c.207]

Это означает, что в пространстве конфигураций с метрикой, определенной равенствами (II. 157Ь), изображающая точка всегда движется по геодезической кривой. [c.208]

Это и есть уравнение искомых геодезических линий в конечной форме. Если и Hi V рассматривать как прямоугольные координаты точки плоскости, то кривые будут параболами, имеющими директрису на оси v. Поверхность, для которой мы нашли геодезические линии, развертывается на поверхность вращения. (См. Дар б у. Theorie generale des surfa es, часть 3, гл. II.) [c.426]

Подставляя эти значения в общие уравнения (1), получим уравнение геодезических линий и дуги этих кривых в форме, данной Якоби. Эти уравнения содержат ультраэллиптические интегралы. Вейерштрасс дал обращение этих интегралов, выразив и a в виде однозначных функций некоторого параметра. [c.490]

Дана поверхность, линейный элемент которой мо>кет быть приведен к форме Лиувилля (п. 305). Обозначим через I угол, который образует в каждой точке определенная геодезическая линия с кривой д = onst., проходящей через эту точку. Доказать, что вдоль всей этой линии [c.503]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...