Связь с теорией функций комплексного переменного

Изучение кинематики жидкости теснейшим образом связано с теорией функций комплексного переменного. При этом выбор некоторой аналитической функции можно связать с вполне определенным характером течения. В соответствии с этим такая функция позволяет найти потенциал скоростей и функцию тока. [c.40]

Связь с теорией функций комплексной переменной. Решение краевых задач для уравнения Лапласа от двух переменных существенно упрощается применением методов теории аналитических функций комплексной переменной Z = X +/у. Если /(г) = а +/w есть аналитическая функция, то функции и (х, у) и t (х, >() удовлетворяют уравнению Лапласа и связаны соотношениями Коши —Римана [c.250]

Движение жидкости называют плоскопараллельным, если все -частицы жидкости будут иметь траектории, параллельные некоторой неподвижной плоскости. Движение частиц во всех плоскостях, параллельных неподвижной плоскости, будет одинаковым. При изучении таких движений достаточно рассмотреть движение только в одной плоскости, которую для определенности мы будем обозначать хОу. В чистом виде плоскопараллельные течения можно наблюдать очень редко, однако многие области течений можно рассматривать с достаточной для практики точностью как плоскопараллельные. Выяснение основных свойств плоскопараллельных течений с математической стороны гораздо проще изучения движения жидкости в общем случае, так как для потенциальных течений решение задачи тесно связано с теорией функций комплексного переменного, хорошо разработанной в современной математике. [c.285]

В предыдущих параграфах (58—63) было выяснено важное значение гармонических функций от трех переменных х, у, г при построении решений основных уравнений теории упругости. Обращаясь к плоской задаче, заметим, что здесь мы будем иметь дело с гармоническими функциями на плоскости, которые весьма тесно связаны с аналитическими функциями комплексной переменной [c.277]

СВЯЗЬ ПЛОСКОЙ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ФИЛЬТРАЦИИ С ТЕОРИЕЙ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО [c.25]

Связь плоской задачи теории фильтрации с теорией функций комплексного переменного [c.32]

Мощные методы решения задач о плоском потенциальном обтекании несжимаемой жидкостью различных профилей связаны с применением к ним теории функций комплексного переменного ). Основание для этих применений заключается в следующем. Потенциал и функция тока связаны с компонентами скорости посредством [c.40]

Эффективный метод изучения свойств плоского течения — метод комплексного переменного, получивший в аэродинамике широкое применение. Эта связь аэродинамики плоскопараллельного потока несжимаемой жидкости с хорошо разработанной теорией функций комплексного переменного позволяет успешно решать также задачи, связанные с пространственным характером течения. [c.161]

В диаграммной технике этой операции перемены направления св бодных концов, наряду с использованием законов сохранения зарядов, придается гораздо более глубокий математический смысл. Именно, оказывается, что амплитуды, соответствующие процессам, диаграммы которых получаются одна из другой при помощи такой операции, связаны друг с другом известным в теории функций комплексного переменного процессом аналитического продолжения. Такая связь носит название кроссинг-симметрии (перекрестная симметрия). В простейших случаях типа рис. 7.9, когда весь узел диаграммы сводится к одному числу — константе связи, кроссинг-симметрия сводится к тому, что эта константа оказывается [c.326]

Чтобы построить точную гидродинамическую сетку при заданных граничных условиях, необходимо решить уравнение Лапласа (78) или (86), что представляет значительные математические трудности. В некоторых случаях точное решение получается с помощью теории функций комплексного переменного (метод конформных преобразований). Имеются приближенные графические способы построения гидродинамической сетки. В последние годы в связи с бурным развитием вычислительной техники получают распространение численные способы решения уравнений Лапласа. [c.73]

Мы не будем также останавливаться на математических работах Даламбера, лишь отметим, что его труды в этой области часто были связаны с его исследованиями по механике. Так, например, изучение теории функций комплексного переменного понадобилось Даламберу для его исследований по гидромеханике. Рассмотренные им дифференциальные уравнения также большей частью связаны с механикой (таково, например, уравнение струны ). [c.194]

В теории упругости выдающиеся результаты были получены при разработке общих методов интегрирования дифференциальных уравнений равновесия упругого тела, приближенных методов их решения и в исследовании многочисленных частных задач. Это было продолжением и расширением исследований русских механиков дореволюционного периода. Но сложились также новые школы и направления. Систематически велись исследования по плоской задаче теории упругости с помощью методов теории функций комплексного переменного, большая группа ученых работала по теории пластинок и оболочек, приобретавшей все большее значение для техники. Меньше внимания уделялось контактным задачам, но гг они стали постоянным предметом исследований. Впервые после трудов Остроградского значительные результаты были получены в теории распространения упругих волн, которая разрабатывалась в связи с запросами сейсмологии. К этому списку надо добавить исследование устойчивости упругих систем, теорию стержневых систем, графические методы. Тут мы находимся на стыке теории упругости п таких прикладных дисциплин, как строительная механика и сопротивление материалов. [c.291]

Гидродинамические методы основаны на теории функций комплексного переменного и позволяют определять скорости течения, давления и их градиенты в любой точке. Они дают точные решения, так как не связаны с введением грубых допущений. Недостатком этих методов является их трудоемкость и ограниченность применения частными случаями при известных точных началь- [c.247]

Формулировка плоской задачи термоупругости в напряжениях должна учитывать условия однозначности перемещений в связи с этим случай стационарного температурного поля для многосвязных плоских или цилиндрических тел требует специального рассмотрения. Н. И. Мусхелишвили (1916), используя теорию функций комплексного переменного, выяснил связь многозначности перемещений с тепловыми напряжениями и установил аналогию между плоской задачей термоупругости для многосвязных тел при стационарном температурном поле и соответствующей плоской задачей изотермической теории упругости с дислокациями. Комплексное представление позволяет также более сжато и четко сформулировать условия отсутствия тепловых напряжений в многосвязном теле при стационарном температурном поле. [c.8]

Изучение сингулярных интегралов с ядром Коши и уравнений с такими интегралами можно связать с хорошо разработанной теорией функций комплексного переменного. В многомерных случаях аналогичные связи не эффективны. [c.197]

Методы теории функций комплексного переменного, о которых выше шла речь в связи с плоской задачей теории упругости, были существенно развиты в исследованиях И. 1. Векуа применительно к более общим задачам теории дифференциальных уравнений в частных производных. В монографии И. Н. Векуа (1948) именно с этой точки зрения исследуется обширный класс эллиптических уравнений в случае двух независимых переменных и даются приложения развитого автором аппарата к различным вопросам теории упругости (стационарное колебание упругого цилиндра, изгиб тонких пластинок и др.). [c.55]

Задачи обтекания таких профилей эффективно решаются методом теории функций комплексного переменного (см. [12]). Предпочтение излагаемому ниже методу отдано в связи с последующим его обобщением в 21 для задачи обтекания крыла конечного размаха. [c.359]

Эта связь аэродинамики плоскопараллельного потока несжимаемой жидкости с прекрасно разработанной теорией функций комплексного переменного позволяет с успехом решать для плоско-параллельного потока задачи, представляющие значительные трудности в случае произвольного течения в пространстве. Особое значение этот метод приобрел в проблемах теории крыла. [c.124]

В 1932 г. Г. Найквист предложил для проверки устойчивости ламповых усилителей с обратной связью критерий, основанный на использовании частотных характеристик разомкнутой цепи таких систем. В общем виде частотный критерий устойчивости был введен в теорию автоматического регулирования А. В. Михайловым в 1938 г. Частотные критерии устойчивости нашли широкое применение при расчетах различных систем автоматического регулирования. Эти критерии вытекают из известного в теории функций комплексного переменного принципа аргумента, позволяющего для многочлена степени п получить условие расположения на комплексной плоскости всех его п-нулей слева от мнимой оси. Геометрическая интерпретация этого условия состоит в следующем. [c.90]

Гидродинамические методы основаны на теории функций комплексного переменного и позволяют определять скорости течения, давления и их градиенты в любой точке. Они дают точные решения, так как не связаны с введением грубых допущений. Недостатком этих методов является их трудоемкость и ограниченность применения частными случаями при известных точных начальных данных, для которых решение можно довести до конца. Обычно эти методы используют для расчета особо важных гидротехнических объектов. [c.289]

Мощные методы решения задач о плоском потенциальном обтекании несжимаемой жидкостью различных профилей связаны с применением к этой задаче теории функций комплексного переменного. Эти методы были введены в гидродинамику Гельмгольцем и Кирхгофом, а затем доведены до большого совершенства работами Н. Е. Жуковского и С. А. Чаплыгина ). [c.38]

В теории антиплоского напряженного состояния мы убедились, какие удобства связаны с представлением решения через функцию комплексной переменной. В теории плоской деформации применим аналогичный метод, но соотношения оказываются более сложными. Положим, как обычно, [c.324]

Существенное продвижение в решении плоской задачи теории упругости связано с трудами советских ученых Г. В, Колосова и Н. И. Мусхелишвили, которые впервые применили метод, основанный на использовании функций комплексного переменного. [c.11]

I. Некоторые гармонические функции, связанные с упругими смещениями. В плоской теории упругости существует тесная связь между решениями граничных задач (первой и второй) и теорией аналитических функций комплексной переменной. Эта связь основана на известных представлениях Колосова—Мусхелишвили (см. Мусхелишвили [1]) для составляющих смещений и напряжений, с помощью двух пар аналитических функций эти представления имеют следующий вид [c.595]

Функция напряжения. В последнем параграфе было показано, что функция кручения ф (ж, у) является двумерной гармонической функцией в области Я поперечного сечения цилиндра. Из теории же функций комплексного переменного известно, что существует также другая двумерная гармоническая функция х, у) такая, что функция ф х, у) -Ь 1)3 (х, у) является аналитической функцией комплексного переменного х + 1у. Функции ф и о)) связаны друг с другом с помощью условий Коши — Римана [c.58]

Приведенный выше пример показывает, что решение простых задач теории упругости методом одной гармонической функции связано с более громоздкими вычислениями по сравнению с методом комплексного переменного. Этот недостаток может быть в значительной мере компенсирован при решении сложных задач, решение которых не выражается через элементарные функции, для областей, где легко определяется регулярная часть функции Грина уравнения Лапласа. Как видно из примера, итерационный ряд (6) достаточно быстро сходится. [c.11]

Решениями уравнения (31) являются эллиптические функции, и его полная теория связана с рассмотрением поведения решения на плоскости комплексного переменного у. Для приложений к газовой динамике достаточно заметить, что после умножения на 2w и интегрирования получается первый интеграл [c.300]

Решение плоской задачи теории упругости зависит от двух координат и может быть выражено через две произвольные (с точки зрения выполнения уравнений равновесия и условий неразрывности) двухмерные гармонические функции, определяющиеся путем подчинения решения двум краевым условиям на плоском граничном контуре. То обстоятельство, что ортогональные преобразования координат на плоскости и теория двухмерных гармонических функций тесно связаны с теорией функций комплексного переменного, позволило разработать общий метод решения плоской задачи, основанный на аппарате теории аналитических функций (Г. В. Колосов [10], Н. И. Мусхелишвили [20] и его школа). Этот путь в принципе позволяет подойти к решению любой плоской задачи, но наиболее эффективен для односвязных и (в меньшей мере) для двухсвязных областей. Основная идея, которой при этом руководствуются, состоит в отображении рассматриваемой области на одну из канонических областей (на полуплоскость, круг единичного радиуса или круговое кольцо) с последующим использованием аппарата интегралов типа Коши для нахождения двух неизвестных функций по заданному краевому условию. Если ограничиться только односвязными областями (каковые по существу главным образом и рассматриваются [20], [27]), то можно обойтись и без аппарата интегралов типа Коши, оперируя лишь самыми элементарными представлениями теории аналитических фунщий. В нашей книге, носящей общий характер, мы даем только этот наиболее простой и в то же время достаточно эффективный способ, отсылая читателя за более полным и общим изло- [c.292]

Связь плоской гидродинамической задачи с теорией функций комплексного переменного. Соотношение (14.1) показывает, что каждый определенный выбор аналитической функция /(г) дает определенную систему линий тока ф = onst, и изопогенциаль-ных линий ср = onst, и, значит, устанавливает определенную кинематическую картину поля скоростей (точнее говоря, две картины в силу сопряженности функций ср и ф). Таким образом, кинематическое изучение плоского движения жидкости теснейшим образом связывается с теорией функций комплексного переменного, и можно наперед ожидать, что многие положения этой глубоко развитой ветви математического анализа найдут свое гидродинамическое истолкование. Не имея возможности в рамках настоящего учебного курса исчерпать все возможные применения теории функций комплексного аргумента, мы ограничимся гидродинамическим истолкованием некоторых важнейших свойств аналитических функций. [c.134]

Одним из крупнейших представителей созданной Н. Е. Жуковским школы русских гидроаэромехаников является С. А. Чаплыгин (1869—1942). С. А. Чаплыгину принадлежат выдающиеся исследования в области движения твердого тела вокруг неподвижной точки, исследования движения тел с неголономными связями и др. Наиболее крупные работы С. А. Чаплыгина относятся к гидро- и аэромеханике. Ему принадлежат очень важные исследования по теории механизированного крыла. С. А. Чаплыгин развил теорию крыла, указав на плодотворность применения к этим задачам методов теории функций комплексного переменного. Он является основоположником теории крыла при ускоренных и замедленных движениях. С. А. Чаплыгин разработал теорию решетчатого крыла, нашедшую широкое применение в расчетах турбомашин. С. А. Чаплыгин является основоположником новой науки — газовой динамики, или аэродинамики больших скоростей. [c.18]

Наиболее замечате-ньные результаты были получены в XIX в. в области исследования плоских установившихся потенциальных течений несжимаемой жидкости. Еще Ж. Лагранж (1781) ввел функцию тока для плоских течений удовлетворяющую для безвихревых течений, как и потенциал скорости, уравнению Лапласа. Кинематическое истолкование функции тока было дано В. Ренкином Разработка аппарата теории функций комплексного переменного дала возможность широко развить методы исследования плоских задач движения несжимаемой жидкости, которые в самом начале развивались совместно со смежными исследованиями задач электростатики. Первые работы, в которых при помощи теории аналитических функций исследуются простейшие задачи электростатики и гидродинамики, относятся к 60-м годам. Существенное развитие области применения теории функций в гидродинамике связано с изучением открытого Г. Гельмгольцем класса так называемых струйных течений жидкости — течений со свободными ли-78 ниями тока, на которых давление сохраняется постоянным. Интерес к этим течениям возник в связи с попытками получить на основе модели идеальной жидкости реальные картины обтекания тел с образованием силы лобового сопротивления и без бесконечных скоростей. [c.78]

Во второй период — между первой и второй мировыми войнами — суще-бтвенные успехи были достигнуты не только в теории упругости (где они связаны главным образом с использованием методов теории функций комплексного переменного), но также в теории пластичности, теории ползучестй и теории разрушения. Выходят первые специализированные периодические издания и созываются, начиная с 1924 г., международные конгрессы по механике. [c.247]

Успехи в области исследования плоской задачи теории упругости тесно связаны с применением теории функций комплексного переменного. Такая возможность вытекает из того обстоятельства, что плоская задача теории упругости сводится к краевым задачам для бигармопического уравнения. [c.252]

Теория многосвязности развита, повидимому, впервые Риманом i) для двухмерных областей в связи с его исследованиями по теории функции комплексного переменного. Там встречаются также циклические функции, которые удовлетворяют уравнению [c.74]

Краткие сведения о теориях струй. Струнные безвихревые течения идеальной жидкости могут рассматриваться как потенциальные, и тогда для их расчета используются методы, основанные на примененин аппарата теории функций комплексного переменного. В связи с большим значением, которое приобретает теория струй идеальной жидкости для области пневмоники, сведения о математических основах и методах этой теории приводятся далее особо в 54 и 55. [c.467]

После окончания в 1935 г. аспирантуры Ленинградского университета Алексей Ясонович свою педагогическую и научную работу окончательно связал с Грузинским политехническим институтом, где работал сначала доцентом, а с 1938 г. — заведуюндим кафедрой теоретической механики. Одновременно он многие годы читал лекции в Тбилисском университете по теории функций комплексного переменного, уравнениям математической физики, вариационному исчислению. Большое участие принимал А. Я. Горгидзе в создании и становлении Т0илисского математического института, где проработал много лет старшим научным сотрудником, затем ученым секретарем, а с 1940 по 1954 г. — заместителем директора. В период становления Академии наук Грузинской ССР А. Я. Горгидзе работал помош,-ником президента. [c.109]

В рассматриваемом случае, в отличие от случая изотропного тела, приходится иметь дело с аналитическими функциями двух различных комплексных переменных 21 и 22, изменяющихся в двух различных областях (легко видеть, что переменные 21 и 22 связаны между собой аффинным, ао неаналитическим преобразованием). Это обстоятельство, вообще говоря, осложняет решение граничных задач (класс эффективно решаемых граничных задач в случае анизотропного тела значительно уже, чем для изотропного тела). Однако и в случае анизотропного тела удается получить решения граничных задач при помощи методов теории функций комплексного переменного. Ряд важных результатов в этом направлении принадлежит С. Г. Лехницкому, С. Г. Михлину, Г. Н. Савину, Д. И. Шерману и др. [c.68]

Фундаментальные идеи Жуковского и Чаплыгина были в дальнейшем развиты их учениками и последователями. Значительное углубление гидродинамика плоского безвихревого потока получила в работах М. В. Келдыша, М. А. Лаврентьева, Л. И. Седова и других советских ученых, продолжавших с успе.чом применять в теории крыла методы теории функций комплексного переменного. Исследования Жуковского по обтеканию тел с отрывом струй были в дальнейшем развиты в работах Л . А. Лаврентьева, А. И. Некрасова, Я. И. Секерж-Зеньковича, М. И. Гуревича. За рубежом плоская задача об отрывном движении идеальной несжимаемой жидкости по схеме Кирхгофа была систематически исследована Леви-Чивита. Соответствующая пространственная задача был для некоторых простейших случаев решена Трефтцем. Принципиально новые схемы отрывного обтекания тел были предложены Д. Рябушинским н Д. Эфросом в связи с рассмотрением явления кавитации. [c.33]

В главе 4 качественно исследованы и проинтегрированы два модельных в зианта плоскопараллельного движения тела в сопротивляющейся среде, которые описываются динамическими системами с переменной диссипацией с нулевым средним. Такие случаи движения предполагают наличие некоторой связи в системе (а именно, в одном случае величина у = V постоянна со временем, в другом — скорость центра масс как вектор постоянна) [186, 187]. Такие системы являются относительно структурно устойчивыми (относительно фубыми) и топологически эквивалентными системе, описывающей закрепленный маятник, помещенный в поток набегающей среды. Указан дополнительный первый интеграл в системе, являющийся трансцендентной (в смысле теории функций комплексного переменного, имеющей существенно особые точки после ее продолжения в комплексную область) функцией фазовых переменных и выражающейся через элементарные функции. Более того, фазовый цилиндр 7 а,О (или К а,оз ) квазискоростей имеет интересную топологическую структуру разбиения на траектории. На цилиндре имеются две области (замыкание которых и есть фазовый цилиндр) с совершенно различным характером траекторий (см. ил. 2). [c.34]

Изложенные выше исследования, охватывающие смешанные задачи теории функции комплексного переменного и их приложения к плоским контактным задачам теории упругости, позволяют сделать вывод о том, что к началу 50-х годов разработка методов решения таких задач для однородной области была в основном закончена. Дальнейшие исследования в этом направлении были связаны как с постановкой физически новых задач, так и с решениями смешанных задач для областей гораздо более сложной геометрии, что, в свою очередь, привело к разработке таких математических методов решения этих задач, как интегральные преобразования и парные интегральные уравнения, парные тригонометрические ряды, интегральные и иитегро-дифференциальные уравнения и системы уравнений и др. [c.17]

В этой связи Кэйз (1960а, б) и Дикий (1960а, б) указали независимо друг от друга, что при исследовании устойчивости течений идеальной Жидкости целесообразно вообще отказаться от рассмотрения элементарных волновых решений вида (2.27). Вместо этого следует с самого начала решать задачу с начальным условием ф(д , г, 0) = фо(л , г) для дифференциального уравнения в частных производных (2.26) с нулевой правой частью (т. е. с V = 0 это и есть тот второй подход к задаче об устойчивости течений идеальной жидкости, о котором говорилось на стр. 120). Оказывается, что общее решение этой задачи с начальным условием может быть представлено в виде некоторого интеграла Лапласа, асимптотическое поведение которого при ->оо может быть изучено с помощью обычных методов теории функций комплексного переменного. При этом подынтегральное выражение в соответствующем интеграле Лапласа [c.121]

Весьма эффективные методы решения плоских задач теории упругости связаны с применением теории функций комплексного переменного. Эти методы были впервые введены Г. В. Колосошм (1909), а их математическая обширная разработка и применения принадлежат главным образом Н. И. Мусхелишзили ). [c.659]

Важную роль в развитии теории упругости сыграли работы русских ученых. Фундаментальные результаты в развитии принципа возможных перемещений, теории удара, а также интегрирования уравнений динамики принадлежат Остроградскому ). Генерал от артиллерии Гадолин ) исследовал напряжения в многослойных цилиндрах, построив тем самым основы проектирования стволов артиллерийских орудий. Журавский изложил современную теорию изгиба балок. Он широко применял методы сопротивления материалов при проектировании многочисленных мостов железных дорог. Существенное продвижение в решении плоской задачи теории упругости связано с трудами Колосова ) и Мусхелишвили ), которые впервые применили метод, основанный на использовании функций комплексного переменного. Бубновым ) решен ряд задач об изгибе пластин. [c.12]

Установление этих связей в аналитической форме позволяет (А. Я. Александров см. ниже) выразить напряжения и смещения осесимметричного состояния через аналитические функции комплексного переменного, а это дает в свою очередь возможность свести осесимметричные задачи упругого равновесия к граничным задачам теории аналитических функций. К этим последним задачам в ряде случаев можно применить метод степенных рядов. При помощи этих же комплексных представлений осесимметричного напряженного состояния удается в частных случаях, например для шара и пространства с шаровой полостью, получить решение основных задач в замкнутой форме (в квадратурах). С этими и некоторыми другими результатами применения теории аналитических функций к пространственным задачам теории упругости можно познакомиться по работам А. Я. Александрова- [1—6], А. Я. Александрова и В. С. Вольперта [1], А. Я. Александрова и Ю. И. Соловьева [1 ], [c.631]

Таким комплексным представлением часто пользуются в теории связи, где V называют аналитическим сигналом ), связанным с К" . Он получил это название потому, что при К , удовлетворяющем определенным общим условиям непрерывности, функции У (г), рассматриваемая как функция комплексной переменной г, аналитнчна в нижней полуплоскости г (см. [351). [c.454]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...