Функция кручения

Таким образом, решение задачи о кручении стержня произвольного поперечного сечения сводится к отысканию гармонической функции кручения ф, удовлетворяющей уравнению (8.6) во всех точках поперечного сечения и условию (8.7) во всех точках контура L поперечного сечения. [c.176]

При решении задачи о кручении иногда вместо функции кручения Сен-Венана ф удобно ввести другую функцию F, называемую функцией напряжений Прандтля. Она вводится по формулам [c.176]

Решение задачи ищем с помощью функции кручения [c.178]

Подставив сюда (16,6), мы найдем, что функция кручения должна удовлетворять уравнению [c.88]

В случае же многосвязного контура % будет иметь различные постоянные значения на каждой из замкнутых кривых, составляющих контур. Поэтому положить X равным нулю можно будет лишь на одной из этих кривых, например на внешнем контуре (Со на рис. 13). Значения же % на остальных частях контура определятся из условия, являющегося следствием однозначности смещения Ыг = Т1(з (х, у) как функции координат. Именно, ввиду однозначности функции кручения г] (х, у) интеграл от ее диффе- [c.89]

Распределение продольных смещений дается функцией кручения [c.92]

Функция кручения У ф(х у)=0 должна быть гармонической. Следовательно, если в основу решения положить перемещения (VI.З) и (VI.2), с учетом соотношения (VI.4), то уравнения равновесия и совместности деформации удовлетворяются. Установим, каким граничным условиям они соответствуют [c.80]

Здесь ф (х, у) — функция, изображающая искривленную поверхность поперечного сечения (депланацию сечения) и называемая функцией кручения. [c.133]

Отсюда найдем функцию кручения [c.139]

Комплексная функция кручения [c.187]

Часто бывает удобно для решения задачи кручения вводить функцию F z) комплексного переменного z=x] + ix2, связанную с функцией кручения ф(л 1, л г) и с сопряженной с ней функцией Ф(л , л 2), в виде [c.187]

F(z)—комплексная функция кручения, Xi , x —координаты центра тяжести площади, заключенной внутри контура Lft, Xi , Х2с— координаты центра тяжести площади сечения, wj, — площадь, заключенная внутри контура Lu, Си — константы, вводимые в (7.20). Постоянные а, Ь, е), ( l itf Ьку ) определяются соответственно по формулам (7.80), (7.107). [c.206]

Рассмотрим задачу об определении центра изгиба, когда сечение консоли представляет собою область, ограниченную извне окружностью Lo радиуса R, а изнутри — окружностью Li радиуса г (рис. 34). Приближенное выражение комплексной функции кручения F z) для этой задачи определяется формулой (7.62). [c.206]

Таким образом, функция кручения ф (Xi, х- определяется с точностью до постоянного слагаемого. Однако эта постоянная не отразится на напряжениях, возникающих при кручении бруса, так как на основании формулы (7.28) закона Гука находим, что отличные от нуля компоненты тензора напряжений зависят от производных функции ф Хи Xi) [c.143]

Введем теперь гармоническую функцию i 3 (.i i, х ), сопряженную в функцией кручения ф (xi, х< , т. е. удовлетворяющую условиям Коши—Римана [c.145]

Из того, что сопряженная функция кручения гр (j j, х ) является гармонической, т. е. = О, а также исходя из равенств (7.33), (7.13) и (7.78) непосредственно устанавливается следующее соотношение между функцией напряжений Ф (х , Х2) и сопряженной функцией кручения [c.146]

КОМПЛЕКСНАЯ ФУНКЦИЯ КРУЧЕНИЯ [c.166]

Функция / (г) называется комплексной функцией кручения. Поскольку функции ф (jfj, Xi) и р (л 1, х ) удовлетворяют условиям Коши—Римана (7.74), функция / (г) будет аналитической в области поперечного сечения. [c.166]

Граничное условие для комплексной функции кручения / (г), ссылаясь на (7.78), можно записать так [c.166]

Тогда функция кручения ф (j i, лга) для бруса эллиптического сечения имеет вид [c.167]

Если принять комплексную функцию кручения в виде [c.168]

Тогда общий вид комплексной функции кручения будет [c.176]

В 3 гл. III было показано, что задача кручения стержней сводится к определению в области, занимаемой сечением, гармонической функции ц> х,у), называемой функцией кручения и принимающей на контуре заданное значение нормальной производной, или же гармонической функции ф(х, у), принимающей на контуре заданное значение. [c.362]

Образуем теперь комплексную функцию кручения [38] [c.362]

В каждой из областей Dt и О требуется определить комплексные функции кручения Р г) и р2 г), исходя нз условий [c.365]

Теперь граничное условие для комплексной функции кручения запишется следующим образом [c.304]

Ответ. Заданная функция может удовлетворять функции кручения (внутри контура должно быть =—2), если на- [c.112]

Последнее соотношение показывает, что функция ф(Х[, Хг), назы-айемая функцией кручения Сен-Венана, должна быть гармонической функцией переменных a i и j 2 в области S, занятой поперечным сечением тела. Из третьей формулы (7.1) вытекает, что перемещение Из также должно быть гармонической функцией. [c.174]

Функция кручения ф должна быть однозначной в противном случае перемещение з=тф было бы многозначным (нас интересуют однозначные перемещения). При этом функция tjj, сопряженная с однозначной гармонической функцией, определяемая из условий Коши — Римана (7.10), может быть, вообще говоря, многозначной в нашем случае этого не должно быть, ибо функция г ) возвращается к первоначальному значению цри обходе по любому из контуров Lv, что видно из граничного условия для нее. Исходя из этого постоянные не могут быть фиксированы произвольным образом. Действительно, если фиксировать их произвольно, а затем определять функцию i 3 (для этого следует решить задачу Дирихле, которая, как известно, всегда имеет единственное решение), то функция ф, найденная из условий Коши — Римана с помощью функции 1 ), может оказаться многозначной. [c.179]

Функцию кручения Сен-Венана — величину, характеризующую перемещение точек поперечного сечения из его плоскости (деп-ланация), находят из дифференциальных соотношений [c.91]

Гармоническая функция ф (д к-лга) называегая функцией кручения. Она характеризует депланацию поперечных сечений бруса и поэтому ее называют также функцией депланации. Известно, чю гармоническая функция достигает своего максимального значения на границе области ее определения (теорема, называемая принципом максимального значения [491). Это означает, что депланация поперечного сечения бруса при его кручении достигает наибольшего значения на контуре сечения. [c.144]

Выясним граничное условие для гармонической функции ф (Xi, a ), Ешторая называется сопряженной функцией кручения. [c.145]

Таким образом, если для нахождения гармонической функции кручения ф ( 1, A a) необходимо решать задачу Неймана, то нахождение сопряженной функции кручения (х,, Ха) сводится к задаче Дирихле, которая, как известно, при весьма общих условиях имеет решение, и притом единственное. [c.146]

Сен-Венан решил этим приемом целый ряд задач. Принимая, например, комплексную функцию кручения в виде полинома четвертой степени, Сен-Венан получил решение для бруса с поперечным сечением, ймеющим форму различных криволинейных четырехугольников [8]. [c.168]

Пусть функция (7.183) конформно 0T06paHtaeT область F поперечного сечения скрученного бруса на единичный круг i K 1 плоскости . Выражая комплексную функцию кручения (7.166) через =а = ре , получим функцию /о (Q [c.170]

Принимая, что распределение напряжений в о крестности точки О определяется комплексной функцией кручения вида [c.175]

Другая вариационная постановка задачи кручения бруса базируется на принципе минимума потенциальной энергия системы (см. гл. V, 5). В этом случае приходим к функционалу /7, уравнением Эйлера—Остроградского которого является уравнение Лапласа (7.54) для функции кручения ф (оно получено из уравнений равновесия Ламе), естественными граничными условиями — граничные условия (7.55) для функции ф. Читателю, желаю1Цему ознакомиться с такой постановкой вариационной задачи кручения, можно рекомендовать книгу [35]. [c.179]

Тогда задача о концентрации напряжений при кручении может быть заменена задачей о концентрации напряжений при антиплоской деформации для бесконечного или по.иубесконеч-ного тела. В этом теле сделана цилиндрическая полость или вырез с края, напряжения и Тг стремятся к tJ и т при Xi, Хг, стремящихся к бесконечности, поверхность полости или граничная поверхность в случае нолубесконечного тела свободны от напряжений. Для определения комплексной функции кручения, мы имеем [c.306]

Теоретическая физика. Т.7. Теория упругости (1987) -- [ c.87 ]

Прикладная механика твердого деформируемого тела Том 2 (1978) -- [ c.42 , c.43 , c.344 ]

Курс теории упругости Изд2 (1947) -- [ c.243 , c.247 ]

Теория упругости Изд4 (1959) -- [ c.212 , c.230 ]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...