Функция комплексного аргумента

В теории упругости применение функций комплексного аргумента было развито в работах Г. В. Колосова, Н. И. Мусхелишвили. Так, используя (12,5), (12.3), а также уравнения Коши и закон Гука, Г. В. Колосов в 1909 г. получил формулы [c.373]

Для функций комплексного аргумента X = л + получим [c.24]

Теперь со всей очевидностью возникает еще одно затруднение, связанное с необходимостью вычислять тригонометрические и гиперболические функции комплексного аргумента. Это не является непреодолимой трудностью для данной конкретной задачи, но может причинить неприятности во многих других случаях. Например, решение для круговой пластины содержит функции Бесселя, а с функциями Бесселя комплексного аргумента нельзя выполнять элементарные математические опера-дии, в том числе и на вычислительных машинах. Во всяком случае, очевидно, что получать точные решения некоторых идеализированных задач возможно, и не следует преуменьшать важность этого обстоятельства. После выполнения алгебраических преобразований выражение (1.7) можно привести к виду [c.22]

Теорию функций комплексного аргумента см. стр. 185. [c.118]

Для расчета частотных характеристик по трансцендентным передаточным функциям в составе математического обеспечения ЭВМ необходимо иметь подпрограммы или процедуры алгебраических действий с комплексными числами, вычислений радикалов, экспоненциальных и гиперболических функций комплексного аргумента. При этом условии сложность аналитических выражений не имеет принципиального значения, нет необходимости в предварительном аналитическом определении выражений действительной Re (со) и мнимой Im(o)) составляющих (или амплитуды и фазы) комплексного выражения W ia), а для приведенных передаточных функций аналитическое представление lJ7((oj) =Re((o)-f ilm(o)) выполнить удается не всегда. [c.130]

Формулы, имеющие место для тригонометрических и гиперболических функций действительного аргумента, справедливы и для функций комплексного аргумента. [c.53]

Отсюда сразу следует, что, отделяя в любой функции комплексного аргумента / (г) действительную (д. ч.) и мнимую (м. ч.) части, получим потенциал скоростей <р(х, у) и функцию тока х,у) некоторого плоского безвихревого движения [c.226]

На самом деле, пусть Р [х у)—Р г) есть аналитическая функция комплексного аргумента г=х — 1у, ее всегда можно разложить на действительную и мнимую части [c.139]

Представим теперь комплексный коэффициент когерентности в виде функции комплексного аргумента z = Ах +/< Тогда функция fi(z) оказывается связанной с /о(Е) односторонним преобразованием Лапласа [c.325]

Основой этого применения является возможность выразить интеграл бигармонического уравнения через функции комплексного аргумента, а также возможность комплексного представления граничных условий как при данных на границе напряжениях, так и при данных смещениях. Начнём с последнего вопроса. Для этого нужно выразить смещения через функцию напряжений. [c.223]

Факторизация символа, т. е. представление его в виде произведения функций комплексного аргумента, регулярных слева и справа от мнимой оси, является центральным пунктом метода Винера— Хопфа [46]. Для ядер вида суперпозиции экспонент факторизация получается естественным образом. [c.120]

В случае, когда S представляет круг единичного радиуса, предыдущим условиям можно придать несколько иной, более удобный для дальнейших целей вид (Н. И. Мусхелишвили, 1966). По заданной функции / (z), голоморфной в S , определим другую функцию комплексного аргумента согласно равенству [c.45]

Теория функций вида w = и iv имеет много общего с классической теорией аналитических функций комплексного аргумента z — х iy-Поэтому она названа теорией обобщенных аналитических функций. Уравнения мембранного равновесия имеют вид [c.284]

Зависимости модулей экспоненциальных и гиперболических функций комплексного аргумента г = (1 -Ь /) у Ь = г V/ показаны на рис. 2.2. Более подробное рассмотрение одномерных и двухмерных полей в плоских телах приведено в главе 3. [c.52]

Рис. 2.2. Зависимости модулей гиперболических и экспоненциальных функций комплексного аргумента 2 = г V/ от г

Рис. 2.3. Зависимости модулей модифицированных цилиндрических функций комплексного аргумента т V/ ОТ т

Одним из недостатков метода разделения переменных является громоздкость формул для вычисления неизвестных коэффициентов гармоник при большом числе слоев. Особенно это проявляется для цилиндрических систем, причем здесь необходимо с большой точностью вычислять цилиндрические функции комплексного аргумента, что представляет определенные трудности даже при использовании современных ЭВМ. [c.64]

Так как f+i = F z) есть аналитическая функция комплексного аргумента г, то и v = v z) — также аналитическая функция от Z. Следовательно, [c.481]

Вид связи между результатом измерения и измеряемой величиной, представленный выражением (4.11), является сложным. Более простую связь можно получить, если от функций времени у(() и X (О и их производных перейти к соответствующим функциям комплексного аргумента [c.93]

ДИФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО АРГУМЕНТА [c.213]

Функция комплексного аргумента w=f (2), где [c.216]

В первой из этих работ перемещения и напряжения упругого тела выражаются через функции комплексных аргументов = х + iy, = х — iy и вещественно- [c.227]

В плоском случае (v = 0) уравнение (3.8) есть уравнение Лапласа, решением которого является произвольная функция комплексного аргумента F x + ir). Из граничного условия (3.9) очевидно, что в действительной плоскости решение системы (3.7), (3.8) имеет вид [c.117]

В плоском случае (у = 0) уравнение (2.60) есть уравнение Лапласа, решением которого является произвольная функция комплексного аргумента Р х+1г). Из граничного условия (2.61) очевидно, что в действительной плоскости решение системы (2.59), (2.60) имеет вид м = Ке[мо(л + г>)] и = Ке[шо(л +1>)]. Здесь I — мнимая единица, а символ Ке — означает действительную часть функций. [c.69]

Естественно, для решения (18.6) следует вычислить поляризационный оператор как функцию комплексного аргумента со. Подчеркнем, что это ни в коей мере не означает аналитического продолжения функции (к, а>) в комплексную плоскость послед-нее, как мы знаем, невозможно). [c.165]

Для функций комплексного аргумента X мы получаем [c.31]

Пользоваться номограммами довольно просто. Если нужно найти функцию комплексного аргумента а гН /Ь, то используется шкала значений а на левом горизонтальном радиусе и шкала значений Ь на внешнем контуре соответствуюш ей номограммы. Из заданной точки Ь на внешней окружности проводится радиус, а из заданной точки а на левом горизонтальном радиусе описывается дуга из центра номограммы до пересечения с радиусом, [c.328]

Можно предложить и другой способ решения уравнений (5.87), при котором радиальные функции Un r) и F (r) разлагаются в степенные ряды. Получается система уравнений с коэффициентами, не содержащими сферических функций. Эти коэффициенты вычисляются гораздо проще, чем выражения (5.91). При сравнительно небольшой волновой толщине слоя в вычислительном отношении эта система может оказаться проще, чем система (5.90), особенно в случае наличия потерь в материале слоя. При этом отпадает необходимость вычисления сферических функций комплексного аргумента. Этот способ будет рассмотрен далее в связи с вычислением импедансов трансверсально-изотропного слоя. [c.268]

Критерий Михайлова является прямым следствием применения к функции комплексного переменного (29) принципа аргумента Коши. Однако критерий Михайлова можно доказать и непосредственно, без обращения к принципу аргумента именно такое доказательство будет проведено здесь. [c.224]

Формула (88) или соответственно формула (89) сводит задачу определения движения стационарной системы, возникающего вблизи положения устойчивого равновесия под действием внешней силы, начинающей действовать с момента t = 0 при нулевых начальных условиях, к одной квадратуре в действительной области. Зная действующую силу Qf t), можно вычислить комплексный спектр ее и координаты q и затем выделить действительную часть спектра д,. Полученная таким образом действительная функция действительного аргумента P(Q) называется действительной частотной характеристикой возмущения, и зная ее, можно без особого труда любым приближенным способом подсчитать интеграл (88) или (89). Самый простой способ для этого — представить кривую Р Q) кусочно-линейной функцией и провести интегрирование по отрезкам прямых. [c.256]

Прежде чем перейти к изучению поведения интеграла типа Коши на линии интегрирования, рассмотрим вопрос о классах функций. Пусть f(i) — некоторая функция, причем аргумент t и функция f(t) могут быть как действительными, так и комплексными. Если f(i) является функцией из класса непрерывных функций, то, по определению, приращение аргумента 2—1 и функции If( 2) —/( i)l одновременно стремится к нулю. При этом вопрос [c.137]

Перейдем теперь к выяснению геометрического смысла аргумента и модуля производной функции комплексного переменного. Пусть W =- W (z) — функция аналитическая на области D комплексной плоскости г. Предположим, что w (z) Ф О на D и обозначим w (г) = Ле . Так как w (г) О на D, то в каждой точке Z D числа А, а однозначно определены (ноль не имеет аргумента). Пусть С — некоторая гладкая кривая на области D, имеющая уравнение z = z (t), а с / < р, где z (t) — дифференцируемая функция, dz/dt =/= О на (а, Р). Функция комплексного переменного W W (z) осуществляет отображение области D ее определения (лежащей в плоскости z) на область Д ее значений (лежащей в плоскости w). При этом отображении кривой г = z (t) будет соответствовать ш = а [г (01 = (О и так как суперпозиция непрерывных функций есть снова непрерывная функция, то непрерывная кривая С с= D, уравнение которой z = z (t) при отображении W W (z) перейдет в некоторую непрерывную кривую Г с= Д, [c.183]

Решение дифференциального уравнения (3) записывается через функции Крылова и Гогенемзер — Прагера, которые при учете сил трения становятся функциями комплексного аргумента а. [c.174]

Результаты расчетов по блокам I и II используются в качестве исходной информации при выполнении III. Блоки II и III выполняются многократно (циклически) для каждого значения частоты. Блок I может исключаться из цикла, если внешние возмущения со стороны топки не зависят от частоты, или вообще не выполняется, если эти возмущения не заданы. Выполнение блока II сводится к вычислению функций комплексного аргумента непосредственно по приведенным в предыдущей главе аналитическим выражениям передаточных функций при заданном массиве коэффицкентов уравнений динамики и логической информации о типе модели каждого теплообменника. [c.154]

Действительная и мнимая части аналитической функции комплексного переменного как решения диференциальног< уравнения Лапласа. Рассмотрим теперь явления плоского, или двухразмерного, движения жидкости. Хотя такие движения в строгой форме едва ли встречаются в действительности, тем не менее многие движения жидкости—по крайней мере определенные области движения — могут рассматриваться приближенно, именно как плоские. Главное преимущество такого представления о течениях заключается в упрощении математического исследования. Однако это упрощение обусловливается не уменьшением числа независимых переменных места (такое упрощение возможно и в отнощении трехразмерных движений, симметричных относительно оси вращения), а тем, что, поскольку плоское явление зависит только от двух прямоугольных координат х, > ), диференциальное уравнение v aIrлa a удовлетворяется как действительной, так и мнимой частью любой аналитической функции комплексного аргумента х- 1у. [c.139]

Связь плоской гидродинамической задачи с теорией функций комплексного переменного. Соотношение (14.1) показывает, что каждый определенный выбор аналитической функция /(г) дает определенную систему линий тока ф = onst, и изопогенциаль-ных линий ср = onst, и, значит, устанавливает определенную кинематическую картину поля скоростей (точнее говоря, две картины в силу сопряженности функций ср и ф). Таким образом, кинематическое изучение плоского движения жидкости теснейшим образом связывается с теорией функций комплексного переменного, и можно наперед ожидать, что многие положения этой глубоко развитой ветви математического анализа найдут свое гидродинамическое истолкование. Не имея возможности в рамках настоящего учебного курса исчерпать все возможные применения теории функций комплексного аргумента, мы ограничимся гидродинамическим истолкованием некоторых важнейших свойств аналитических функций. [c.134]

Преобразование Лапласа тесно связано с преобразованием фу. рье, отличаясь от него тем, что параметр преобразования р имеет дополнительный множитель — мнимую единицу г. Таким образом различие между этими двумя функциями комплексного аргумента заключается в том, что их аргументы повернуты в комплексной плоскости относительно друг друга на угол тг/2. Поэтому можно сразу написать обращение преобразования Лапласа как слеяствае интеграла Фурье [c.106]

Имеется аналогия между преобразованием Лапласа и степенными рядами [29]. Как известно, степенной ряд сходится в некотором круге — круге сходимости. Радиус круга сходимости равен расстоянию от точки, относительно которой идет разложение в ряд, до ближайпхей особой точки разлагаемой функции. Интеграл, представляющий (одностороннее) преобразование Лапласа, вообще говоря, сходится в полуплоскости комплексной плоскости, лежащей справа от некоторой прямой, параллельной мнимой оси. Ясно, что на прямой, являющейся границей сходимости интеграла, обязательно лежит особая точка преобразования как функции комплексного аргумента. Сказанное не означает, что преобразование имеет смысл только там, где сходится интеграл (как и в случае рядов). Часто функцию можно аналитически продолжить, иногда на все точки комплексной плоскости, кроме некоторых, особых. [c.106]

Вначале немного о свойствах комплекснозначЕ1ых функций, т. е. функций действительного аргумента, принимающих комплексные значения. Пусть z z (t) — комплекснозначная функция, определенная на отрезке а < / < р. Отделяя у функции Z (I) действительную и мнимую части, ее можно представить в виде Z X (t) + iy (О (например, е - os t + i sin I). Предел и непрерывность комплекснозначной функции определяются обычным образом. Легко проверить, что необходимым и достаточным условием существования предела или непрерывности функции z (t) является существование предела или непрерывность ее действительной и мнимой частей. Г1роизводная комплекснозначной функции также определяется обычным образом [c.182]

Выбор способа описания ОПФ или импульсного отклика осуществляется пользователем в разделе простых переменных. Графический ввод допускает не более 64 отсчетов вводимс й функции, коордшатная сетка на каждый из двух графиков содержит 20 отсчетов по ординате (10 для положительных значений и 10 для отрицательных), начало координат соответствует нулевой пространственной координате (в случае импульсного отклика). Первый график соответствует модулю, второй - аргументу функции комплексного переменного, описывающей сечение ОПФ или импульсного отклика. Если задается имлульсный отклик, то аргумент равен нулю, т, е. второй график не строится. Графики строятся любыми символами, передвижением курсора по экрану и нажатием клавиши с выбранным символом. [c.193]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...