Множество Пуанкаре

В дальнейшем анализе важную роль играет множество Пуанкаре Р, С К" = у , которое является аналогом векового множества из 10 гл. П. По определению множество Пуанкаре состоит из тех точек у Е К" , для которых найдутся такие т — з линейно независимых целочисленных векторов а,а, .., 2", что [c.179]

По лемме 1, ранг матрицы Якоби (1.7) не превосходит. во всех точках множества Пуанкаре Р,. Все миноры этой матрицы являются аналитическими функциями от х, у, и множество Р., ключевое для класса аналитических функций, поэтому функции [c.181]

О и множество Пуанкаре Р1 всюду плотно в О. Тогда уравнения Гамильтона не имеют независимого от Я формального интеграла [c.183]

Полезно снова ввести множество Пуанкаре Р, (аналог множества Р1) как множество точек у Е О, удовлетворяющих следующим условиям [c.184]

Отметим, что если уравнения (1.15) являются уравнениями Уиттекера, полученными из автономных уравнений Гамильтона с гамильтонианом (1.12) понижением порядка, то множество Пуанкаре Р, приведенной системы является проекцией на плоскость = у2, , 2/п пересечения множества Пуанкаре Р1 исходной системы с поверхностью Яо(у1,..., у ) = /г. [c.184]

Если множество Пуанкаре Р, всюду плотно в области О, то уравнения (1.15) не имеют, очевидно, формального интеграла с непрерывно дифференцируемыми коэффициентами, [c.185]

Действительно, согласно (3.5), в точках множества Пуанкаре Р1 векторы Х и 10 линейно зависимы. Так как Р1 — ключевое множество, то X и о зависимы во всех точках области О /гХо = Ао , Ф 0. Поскольку и) ф то 1 ф 0. Следовательно, Х = и 0 — аналитическая функция, что и требовалось доказать. [c.192]

Рассмотрим теперь случай, когда система (1.1) имеет интеграл Я = Но х, у) - - sHi х,у) +. .. с аналитическими и 2тг-периоди-ческими по X коэффициентами. Тогда, согласно результатам 1, множество Пуанкаре Pq не может обладать ключевым свойством. В невырожденном случае функция Щ не зависит от х (см. лемму 1 из 1). [c.193]

Если множество Пуанкаре Pi всюду плотно в D, то можно утверждать отсутствие поля симметрий щ + ещ +. .. с гладкими в области Z) X Т" коэффициентами. [c.193]

Предположим также, что в любой малой окрестности 11 точки у множество Пуанкаре Р1 является ключевым для класса функций С и). Тогда в области х Т" С К" х Т" справедливо равенство щ = Ф(Я, е)ье , где Ф —некоторая аналитическая функция. [c.194]

Теорема 11. Если множество Пуанкаре P состоит из бесконечного числа различных гиперплоскостей, то система (4.1) не имеет п формальных интегралов Рк с аналитическими коэффициентами К" X Т" — К, независимых при е = 0. [c.197]

Это утверждение — следствие теоремы 3 из 1 и ключевого свойства множества Пуанкаре РЧ [c.198]

Множества Пуанкаре больших порядков определяются рекурсивно если существуют решения S1/S2,..., Sj) i первых р— уравнений системы (4.4), аналитические в (R (P U... UP )) х Т", то корректно определено множество Пуанкаре Р порядка р и справедливы теоремы 1р и 1 . В случае, когда возмущающая функция Н является тригонометрическим многочленом, каждое из множеств Р состоит лишь из конечного числа различных гиперплоскостей (т. е. рр = Pi ), и поэтому теоремы 1р (р = 1,2,...) не дают заключения об интегрируемости гамильтоновой системы (4.1). Подобная ситуация часто встречается в анализе. Например, имеются ряды, сходимость или расходимость которых нельзя установить бесконечной серией логарифмических признаков. [c.199]

Если определены множества Пуанкаре всех порядков, то можно [c.199]

Приступим к анализу множества Пуанкаре. Векторы а и (3 по предположению линейно независимы, поэтому гиперплоскости (о , а) = О и Гт = у (ш,та +/3) = 0 не совпадают. Согласно лемме 1, функции 8 аналитичны почти всюду на Г при г < т + -Ь 1. Для того, чтобы выяснить, принадлежит ли гиперплоскость Гт множеству P" + , необходимо проверить условие /2 +1 ф 0. Воспользуемся формулой (5.11). В ней Л1 = 5 , щ = г ш,Р)8 . Коэффициенты 5 и 5 f отличны от нуля согласно формуле (5.4) и определению вершин а и /3. Если (о ,/3) = О на гиперплоскости [c.206]

Продолжим анализ множества Пуанкаре. Лемма 9 дает нам, что Ят = О на гиперплоскости в том и только том случае, когда Л = а,/3)/ а,а) совпадает с одним из следующих чисел О, [c.209]

Выведем отсюда лемму 12. Если якобиан (5.22) отличен от нуля в некоторой точке уо е Р °, то он отличен от нуля в целой окрестности V этой точки. Следовательно, в V" х Т" можно (по крайней мере формально) построить ряды теории возмущений по степеням е с аналитическими коэффициентами. Однако, по определению множества Пуанкаре Р , в точках из /о х Т" С V" х Т" хотя бы одна из функций Зг (г = 1,2,...) не является аналитической. [c.210]

Теорема 1. Пусть n = 2 и множество Пуанкаре P состоит всего из двух прямых. Тогда уравнения Гамильтона имеют дополнительный формальный интеграл в том и только том случае, когда эти прямые ортогональны (в метрике (, )). [c.214]

Теорема 2 доказывается методом 3 с использованием результатов 5 о строении множества Пуанкаре Р °. [c.216]

Предположим, что f ф О при некотором А 0. Если множество Пуанкаре состоит лишь из конечного числа различных [c.217]

Множество Пуанкаре —это множество значений 1 0, для которых существуют п — 1 линейно независимых векторов таких, что [c.227]

Согласно лемме 1, функции Но и F о зависимы на множестве Пуанкаре. Поскольку миноры матрицы Якоби [c.228]

О и множество Пуанкаре всюду плотно в О. Тогда уравнения (1) не имеют независимого от И формального интеграла с бесконечно дифференцируемыми коэффициентами Р Ох X [c.229]

Принципиальной основой доказательства неинтегрируемости возмущенных уравнений является лемма 1 если Р=Ро 1. ф) + -Ье 1(/, ф)+... —первый интеграл канонических уравнений (1), то 0 не зависит от ф и функции Но и Ро зависимы на множестве Пуанкаре. Первая часть леммы вытекает из невырожденности невозмущенной задачи. Используя теорему 3, мы докажем зависимость функций Но и Ро на множестве невозмущенных торов / = / , которые удовлетворяют условиям теоремы 4 и неравенству (5). [c.231]

Пусть <р =0, а Р принадлежит множеству Пуанкаре возмущенной задачи. Рассмотрим на комплексной плоскости замкнутый контур — границу прямоугольника АВСО (см. [c.259]

Интегральным инвариантом называется интегральное выражение, зависящее от координат и импульсов и сохраняющееся неизменным на некоторым образом выделенных множествах прямых путей. Различные интегральные инварианты отличаются один от другого тем, какие множества прямых путей рассматриваются и как формулируются интегральные свойства, неизменные на этих множествах. Из интегральных инвариантов классической механики в этом параграфе будут рассмотрены лишь три интегральный инвариант Пуанкаре — Картана, универсальный интегральный инвариант Пуанкаре и инвариант фазовый объем . [c.293]

При дальнейшем изменении параметров после бифуркации слияния седел с узлами происходит быстрая смена различных качественных картинок разбиения. После этого быстрого мельтешения снова на более или менее длительном интервале изменения параметров может установиться устойчивый синхронизм. Характер этой смены достаточно сложен. Для простого синхронизма он определяется зависимостью числа вращения Пуанкаре от параметров. Каждому рациональному значению числа вращения соответствует. некоторый интервал по параметру существования устойчивого синхронизма. Между любыми такими интервалами существует бесчисленное множество других, причем между каждой парой этих других в свою очередь такое же бесчисленное множество. Сказанное в какой-то мере отображается рис. 7.115, где интервалам на оси параметра отвечают области существования устойчивого синхронизма с числом вращения у = piq, где р q — целые числа. [c.366]

Близким к определению устойчивости по Н. Е. Жуковскому является определение устойчивости движения, принадлежащее А. Пуанкаре. Приведем это определение. Мы скажем, что траектория подвижной точки устойчива, если, насколько бы малым не был радиус окружности (или сферы), описанной вокруг начальной точки, подвижная точка, выйдя из этой окружности (или сферы), вновь войдет в нее бесконечное множество раз. .. Траектория будет неустойчивой, если, выйдя из этой окруж- [c.324]

Излагаемая ниже количественная теория исходит из предпосылки, что бифуркации следуют друг за другом (при увеличении R) настолько быстро, что даже в промежутках между ними занимаемая множеством траекторий область пространства состояний остается почти двумерной, и вся последовательность бифуркаций может быть описана одномерным отображением Пуанкаре, зависящим от одного параметра. [c.172]

Рассмотрим задачу о наличии дополнительного к интегралу энергии И формального интеграла в виде ряда (1.3) с аналитическими в области D X Т" коэффициентами. Согласно п. 1, надо положить. S = 1. В нашем случае множество Пуанкаре Pi опредено как множество тех точек у D, для которых найдутся такие п - 1 линейно независимых векторов а,а, . G Z", что [c.183]

Для множеств Пуанкаре имеют место включения Ро С Р1 С С Рг С. .. С Рп-1 С В, где В — вековое множество, введенное в 10 гл. П. Ясно, что для ге1Мильтоновых систем в общем случае множество Ро состоит из изолированных точек. [c.183]

Множество Пуанкаре Р этой задачи состоит из прямых, параллельных оси уг uly —v = О, Н у ф 0. Оно всюду плотно заполняет полуплоскость Ух > 0. Однако применить теорему 4 об отсутствии новых аналитических интегралов непосредственно нельзя из-за вырождения невозмущенной задачи det д Но/ду = 0. Эта трудность преодолевается тем, что канонические уравнения с гамильтонианами Н и ехр Н имеют одни и те же траектории (но не решения). Следовательно, эти уравнения интегрируемы или неин-гегрируемы одновременно. Остается заметить, что [c.187]

Для этих уравнений множество Пуанкаре Р, также будет всюду плотно на полупрямой у > 0. Невозмущенная система невырождена d Ko/dy ф 0), поэтому выполнены все условия теоремы 5 из 1. Таким образом, можно заключить, что уравнения (2.2) нри всех значениях полной энергии /г < О не имеют первого интеграла с непрерывно дифференцируемыми коэффициентами в области Д X = у,. т,т , где Д — произвольный интервал полупрямой у > 0. [c.187]

Лемма 3. Пусть множество Пуанкаре Ро является ключевым для (D). Тогда = onst. [c.192]

Теорема 2. Предположим, что невозмущенная система невырождена. Пусть dHo Ф О, ш Ф О в некоторой точке у 6 R", и в любой ее окрестности U множество Пуанкаре Pi является ключевым для класса функций U). Тогда при х, у) 6 Т" х ) векторное поле (3.1) отличается от поля (l.l) множителем + + + - I где —аналитические функции от Н. [c.193]

Множество Пуанкаре Р, (см. 1) в этой задаче состоит из значений переменной действия I, удовлетворяющих резонансным соотношениям 2 пш[1) + = О ( г е 2 0 ). Согласно (11.9), частота 0 стремится к нулю при Но — Заметим, что при Но = имеем движение по сепаратрисам. Следовательно, множество Р состоит из бесконечного числа точек / е М, накаггливающихся у [c.250]

Резонансное множество В играет ту же роль, что и множество Пуанкаре Р в классической схеме тео1 ии возмущений инвариантных торов (ср. с 4 гл. IV). Целесообразность введения и изучения резонансного множества ясна из следующего утверждения. [c.401]

Теорема 1. Предположим, что невозмущениая система невырождена (1е1 5 Яо/5/ 11 0 в области О. Пусть — некритическая точка функции Но и в любой ее окрестности и множество Пуанкаре является ключевым для класса ( /). Тогда уравнения Гамильтона (1) не имеют независимого от функции Я формального интеграла Р, который можно представить [c.227]

Условие разрещимости этих уравнений относительно / в точке из множества Пуанкаре — зависимость векторов dHoldl и dFo/JI. t> [c.228]

Когда главные моменты инерции подчинены неравенству А1>Аг>Аз, множество Пуанкаре состоит из бесконечного числа прямых, проходящих через точку /=0 и накапливающихся у пары прямых л и лг. Можно показать, что функция Яо невырождена в области Д. Если функция Я была бы аналитичной по I по всей области Л, то можно было бы применить результаты п. 1.1 точки / , лежащие на прямых Л1 и Л2, удовлетворяли бы условиям теоремы 1. Трудность, связанную с аналитическими особенностями функции Г амильтона в переменных действие-угол, можно преодолеть, рассматривая задачу о дополнительном [c.234]

Порядок инварианта определяется размерностью множества, по которому производится интегрирование. Инвариант Пуанкаре— Картана и универсальный инвариант Пуанкаре являются инвариантами первого порядка, так как интегрирование в этих инвариантах производится по одномерному множеству (по контуру). Инвариант фазовый объем является инвариантом 2и-го порядка, так как интегрирование производится по 2/ьмерной области — фазовому объему. [c.305]

Значение энергии определяется фазовыми координатами q и р. Поэтому в расширенном фазовом пространстве q, р, t может 0ыть выделено изоэнергетическое подпространство , соответствующее множеству точек, где выполняется условие (136). Особенностью консервативных и обобщенно консервативных систем является то, что во время движения системы точка, изображающая это движение в расширенном фазовом пространстве, может находиться лишь в этом изоэнергетическом подпространстве . Если при выводе интегральных инвариантов выбрать исходный контур Со в этом подпространстве, то вся трубка прямых путей будет также лежать в этом подпространстве, а сам интегральный инвариант Пуанкаре—Картана примет вид [c.327]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...