Пуанкаре непрерывности

Как мы убедились в гл. 1 на примере отображения подкова (см. рис. 1.21) или логистического уравнения О-З.б), хаотическая природа динамических процессов лучше всего выявляется с помощью сечения Пуанкаре непрерывного временного потока в фазовом пространстве. Однако большинство дифференциальных уравнений, моделирующих физические системы, нельзя решить аналитически. Исключением из этого правила является класс задач с импульсными силами, крутящими моментами или напряжениями. В обсуждаемом здесь примере рассматривается ротатор с моментом инерции J и затуханием с, на который действует как постоянный крутящий момент ug, так и периодическая серия импульсных толчков (см. также [169]). Уравнение движения, описывающее изменение [c.88]

Вращения у зависит от со, как показано на рис. 7.97. Эта зависимость непрерывная и кусочно-постоянная. Каждому отрезку постоянства числа вращения у соответствует синхронизм порядка piq с некоторой областью захвата (м, 65) по частоте и собственных колебаний автономной системы. Если бы фиксировать частоту ш и менять частоту <щ внешнего воздействия, которая была до этого равна единице, то характер зависимости числа вращения Пуанкаре у от Иц будет такой же, как и от со. [c.352]

Теорема 9.5.6. (Теорема Пуанкаре о возвращении). Пусть Г — сохраняющее объем непрерывное взаимно однозначное отображение, переводящее ограниченную область О евклидова пространства в себя ТО = О. Тогда в любой окрестности С1 любой точки из О найдется точка х 1, которая возвращается в окрестность Г2, т.е. Г а 6 П при некотором п > 0. [c.671]

Формула Пуанкаре. Если U п V — две функции, непрерывные внутри объема Т, ограниченного поверхностью S, то [c.273]

Устойчивость линейных гамильтоновых систем с периодическими коэффициентами. Пусть в системе (3) матрица Н является непрерывной 2тг-периодической по вещественной симметрической матрицей. Задача об устойчивости линейных гамильтоновых систем обладает рядом специфических особенностей по сравнению с задачей об устойчивости общих линейных систем, рассмотренных в предыдущем пункте. Эти особенности вытекают из теоремы Ляпунова-Пуанкаре о характеристическом уравнении гамильтоновых систем с периодическими коэффициентами. [c.547]

В силу непрерывности мультипликаторов, они останутся некратными и при достаточно малых , отличных от нуля. Кроме того, при достаточно малых мультипликаторы не могут иметь модулей, больших единицы. Этот важный вывод является простым следствием теоремы Ляпунова-Пуанкаре о характеристическом уравнении (14) системы (3) (п. 244). Согласно этой теореме, мультипликаторы расположены симметрично относительно единичной окружности. При малых е мультипликаторы не могут сойти с окружности, не нарушив указанной симметрии. [c.551]

Начнем с простого случая, когда изображающая точка Р движется по окружности по направлению часовой стрелки с постоянной (единичной) угловой скоростью. 1) Если t изменяется непрерывно и в качестве области а берется дуга с углом раствора Р, то справедливость теоремы Пуанкаре (теоремы возвращения) очевидна. Далее, если х ( ) есть доля интервала времени от О до г, в течение которого изображающая точка находится в области а, то отношение % (Ь)/Ь, очевидно, стремится к пределу р/2я, и этот предел не зависит от положения начальной точки А на окружности. 2) Если мы имеем дискретную последовательность моментов времени г = О, т, 2т,. .. ( 22.7) и обозначим через V (п) число точек А, Ах, А2%, . , лежащих в области а, то отношение v (п)/п прп ->-00 будет стремиться к тому же пределу (3/2л прп условии, что отношение т/2л есть число иррациональное. Действительно, при этом условии точки Л, Ах, А2х, , отстоящие на угловых расстояниях О, т, 2т,. . . от точки А, стремятся к равномерному распределению по окружности. Предел не зависит ни от положения точки А па окружности, ни от величины основного интервала т, если только X не является соизмеримым с 2п. [c.443]

Порядок интегрирования в правой части (10.51а) существен, поскольку непрерывная собственная функция ф( , ц) имеет особенность. Однако с помощью формулы Пуанкаре — Бертрана было показано [2], что порядок интегрирования может быть изменен в этом случае (10.51а) принимает вид [c.399]

В этом предположении суть перехода от гипотезы разрывности , исходящей из задания конечного числа дискретных точек, к гипотезе непрерывности , исходящей из непрерывных функций распределения, различие между которыми отмечал Пуанкаре в своей статье о кинетической теории газов [3]. [c.21]

К существенным результатам Пуанкаре пришел, изучая задачу малых планет — точек, вращающихся с постоянной скоростью по окружности данного радиуса,— или задачу одномерного газа , в основных чертах эквивалентную первой. Он показал, что для любого начального распределения вероятностей для положений планет на окружности при неограниченном возрастании времени распределение стремится к равномерному, если распределение вероятностей для скоростей планет задано любой непрерывной функцией. Это свойство — независимость предельного распределения от свойств начального— прямо следует из свойств коэффициентов Фурье функции распределения. Если положение планет определяется координатой /, а их скорости обозначены через V, то коэффициенты Фурье распределения в конфигурационном пространстве будут равны /о(/ —vt, v) os kl dl dv, где — функция распре- [c.105]

Пуанкаре подчеркивал, что для применения понятия вероятности к опыту всегда необходимо делать предположение, аналогичное допущению, делаемому, например, при изучении малых планет. Это предположение состоит в следующем дискретные, констатируемые на опыте положения малых планет будут при неограниченном возрастании времени изменять свое распределение так, как будто они были распределены в начальный момент в фазовом пространстве (и, в частности, в импульсном пространстве) по любому, но непрерывному закону. Данное предположение, никак не доказываемое, является, по Пуанкаре, просто выражением принципа достаточного основания было бы невероятно предположение, что действующие на них причины распределили планеты в начальный момент так, что следствия, извлекаемые из столь общего принципа как принцип непрерывности, не оправдались бы. Из этого предположения вытекает, в частности, что характеризующие неоднородность распределения малых планет величины будут при неограниченном возрастании времени стремиться к нулю так же, как для непрерывного распределения стремились к нулю коэффициенты Фурье os А / dl dw. Такими величинами будут, [c.106]

Таким образом, в силу тех же причин, которые определяют независимость предельного распределения от вида начального непрерывного распределения, т. е. в силу размешивания, перенесение результатов, полученных для предельного непрерывного распределения, на распределение дискретных точек (фазового пространства), с которым мы только и имеем дело на опыте, в классической теории в общем случае невозможно. Когда Пуанкаре делал заключение о близости рассмотренных выше сумм к интегралам и о вытекающей отсюда малой величине сумм при больших временах, то он исходил из возможности исключить некоторые начальные состояния системы,— возможности, основанной на принципе, называемом им принципом достаточного основания. Согласно Пуанкаре, этот принцип выражает наше право исключить как невероятные такие начальные состояния, при которых отсутствовали бы свойства настолько общие, что они могут быть получены из одного лишь предположения непрерывности закона распределения в начальный момент. Иначе говоря, согласно этому принципу можно исключить, по Пуанкаре, такие начальные состояния, для которых распределения очень большого числа дискретных точек при больших временах не обладали бы свойствами равномерности, общими всем распределениям, непрерывным в начальный момент. [c.108]

Покажем, что теорема 4 неверна, если функция f только непрерывна. Мы воспроизведем здесь с точными оценками пример Пуанкаре [75, 76], о котором говорилось в начале этого параграфа. [c.184]

Если множество Пуанкаре Р, всюду плотно в области О, то уравнения (1.15) не имеют, очевидно, формального интеграла с непрерывно дифференцируемыми коэффициентами, [c.185]

Прежде чем обсудить методы исследования устойчивости, коснемся кратко специфики понятия устойчивости в системах с ударами. Имеется два подхода к его определению. Первый из них связан к переходу к неподвижным точкам отображения Пуанкаре. Такой метод является наиболее распространенным, и принято считать, что устойчивость (ляпуновская или асимптотическая) неподвижной точки отображения эквивалентна устойчивости соответствуюгцей периодической траектории х ( ). Оказывается, что в системах с несколькими ударными парами это условие недостаточно, так как здесь может отсутствовать непрерывная зависимость решения от начальных условий. Соответствующий пример построен в [24. [c.243]

В гладких системах матрица Якоби А( ) и решение системы (8) непрерывно дифференцируемы, и по теореме Пуанкаре [c.244]

Функция У (р) имеет минимальное значение Кгт = 1/12 при значении (ртт — тг/2, Т.е. В точке XI — о, Х2 — 1/2. Поскольку Н х, р) — Е является первым интегралом, то траектории лежат в трехмерном объеме четырехмерного фазового пространства. Если движение регулярно, то траектории будут пересекать двумерную поверхность Х1 — О (сечение Пуанкаре) по некоторой кривой. При Е = 1/12 эти кривые — замкнутые и непрерывные траектории — лежат на двумерных поверхностях. Значению Е — 1/8 соответствует переход от порядка к хаосу. При Е — 1/6 почти все пары траекторий, исходящие из близких точек х2, Р2), экспоненциально расходятся. Стохастические траектории — обычное явление в гамильтоновой динамике [109]. [c.258]

Понятие индекса основано на понятии вращения векторного поля. Если на простой замкнутой кривой задано непрерывное векторное поле, то вращением этого поля вдоль кривой называется, грубо говоря, число полных оборотов, которое делает вектор поля при однократном обходе этой кривой в положительном направлении (точное определение дано в п. 2 6). Индекс Пуанкаре изолированного состояния равиовесия О динамической системы есть вращение векторного поля, определяемого этой системой, вдоль любой достаточно малой замкнутой кривой, содержащей точку О внутри себя. [c.205]

Г. Теорема Пуанкаре о возвращении. Пусть д — сохраняющее объем непрерывное взаимно однозначное отображение, переводящее ограниченную область В евклидова пространства в себя дВ = В. [c.67]

Для удобства мы прежде всего сформулируем эту теорему. Геометрическая теорема Пуанкаре. Пусть нам дано кольцо О < а г в плоскости, определяемой полярными координатами г, в и некоторое одно-однозначное непрерывное, сохраняющее площадь преобразование Т этого кольца в себя и при этом такое, что точки окружности г = а передвигаются при этом преобразовании вперед т.е. в направлении возрастающих 1 ), а точки окружности г = Ь передвигаются назад (в направлении убывающих г ). Тогда в кольце будут существовать по меньшей мере две точки, инвариантные при преобразовании Т. [c.172]

Полученная формула соответствует значению корреляционной функции после установления теплового равновесия по колебаниям в промежуточном (возбужденном) электронном состоянии, т. е. после окончания энергетической релаксации в этом состоянии. Отметим, что мультипликативная форма Л ( , I/) означает отсутствие корреляции фаз первичного и вторичного фотонов. Это и естественно — энергетическая релаксация всегда приводит и к фазовой релаксации. Подчеркнем также, что формула (14) справедлива только для достаточно больших систем с непрерывным энергетическим спектром. В противном случае коррелятор Л (ц, 5, у) будет периодически изменяющейся функцией 5 с периодом, определяемым циклом Пуанкаре. [c.331]

Эта функция конечна, однозначна и непрерывна во всем пространстве, регулярна на бесконечности и во всем пространстве удовлетворяет уравнению Лапласа. Поэтому к этой функции можно применить формулу Пуанкаре, полагая в ней 0=У, что дает [c.86]

Если действие остаётся инвариантным и при выпол-веиии над рассматриваемым полем нек-рых других, не входящих в группу Пуанкаре непрерывных преобразований симметрии — преобразований внутр. симмет-рий,— из теоремы Нётер следует тогда существование новых сохраняющихся динамич. величин. Так, часто принимают, что ф-ции поля комплексны, налагают на лагранжиан условие зрмитовости (см. Эрмитов оператор) и требуют инвариантности действия относительно глобального калибровочного преобразования (фаза а не зависит от х) а" (з ) е и (ж), (i )- -e- i (л ). Тогда оказывается (как следствие теоремы Нётер), что сохраняется заряд [c.301]

Так, Планк предполагал, что излучение только испускается порциями. Он связывал это с особенностями механизма испускания излучения атомами и молекулами вещества. Само же излучение существовало, как полагал Планк, не в виде квантов, а в виде непрерывной сущности , в виде непрерывных электромагнитных волн в пространстве. Однако такие представления казались не вполне состоятельными, так как в этом случае непрерывная световая энергия должна была бы где-то ждать возможности порциоиного поглощения атомами вещества иначе говоря, непрерывная энергия должна была бы каким-то образом разбиваться на кванты перед поглощением (такое возражение выдвигал Пуанкаре). Под влиянием подобной критики Планк выдвинул так называемую гибридную гипотезу, согласно которой излучение испускается квантами, а поглощается непрерывно. Однако допущение столь разных физических механизмов испускания и поглощения излучения не могло не казаться довольно странным. Напрашивался единственный выход признать, что само излучение не непрерывно, а состоит из отдельных порций (квантов), Сделать такой вывод Планк все же не решился. Это сделал Эйнштейн. [c.46]

На возможное возражение, что группа сама по себе является априорным понятием, можно указать, что понятие группы является результатом абстрагирования от различных подвижных инструментов циркуль, линейка и т. д., являющихся орудием геометрического исследования ). Напомним, что уже в геометрии Евклида неявно предполагалось, что все геометрические построения следует проводить с помощью только циркуля и линейки. Смысл этого требования становится ясен только с точки зрения программы Клейна. Геометрические свойства тел выражаются, таким образом, в терминах инвариантов группы и допускают изоморфную подстановку элементов пространства, в котором реализуется группа, и, следовательно, совершенно не зависят от самих геометрических объектов. Укажем, например, на реализацию геометрии Лобачевского на плоскости, предложенную А. Пуанкаре. Приведенный пример указывает на большую методологическую ценность программы Клейна. Аналогичный подход возможен также и в физике, где различные законы сохранения интерпретируются как свойства симметрии относительно различных групп. Основными группами современной физики являются группа Лоренца, заданная в пространстве Минковского, и группа непрерывных преобразований, заданная в криволинейном пространстве общей теории относительности, коэффициенты метрической формы которого определяют поле гравитации. В релятивистской квантовой механике мы переходим от группы Лоренца к ее представлениям, определяющим преобразования волновых функций. Как было показано П. Дираком, два числа I и 5, задающих неприводимое представление группы Лоренца, можно интерпретировать как константы движения угловой момент и внутренний момент частицы (спин). Иначе говоря, операторы, соответствующие этим инвариантам, перестановочны с гамильтонианом (квантовые скобки Пуассона от гамильтониана и этих операторов равны нулю). Числа, обладающие этими свойствами, называются квантовыми числами. В работах Э. Нетер дается общий алгоритм, позволяющий найти полную систему инвариантов любой физической теории, формулируемой в терминах лагранжева или гамильтонова формализмов. В основу алгоритма положена указанная выше связь между инвариантами группы Ли и константами движения уравнений Гамильтона или Лагранжа. В качестве простейшего примера рассмотрим вывод закона сохранения углового момента механической системы, заданной лагранжианом Г(х, X, (). Вводим непрерывную группу вращения, заданную системой инфи- [c.912]

Впервые квантовые представления (в т. ч. величина h) были введены в 1900 М. Планком (М. Plan k) в работе, посвящённой теории теплового излучения тел (с.м. Планка закон излучения). Существовавшая к тому времени теория теплового излучения, построенная на основе классич. электродинамики и статистич. физики, приводила к бессмысленному выводу о невозможности термодинамич. равновесия между излучением и веществом, т. к. вся энергия должна перейти в излучение. Плавк разрешил это противоречие и получил результаты, прекрасно согласующиеся с опытом, предполо чив, что свет испускается не непрерывно (как это следовало из классич. теории излучения), а опредол. дискретными порциями энергии — квантами. Величина такого кванта энергии пропорциональна частоте света v и равна e — hv. Попытки обосновать гипотезу Пла(1ка в рамках классич. физики оказались безуспешными. Несовместимость гипотезы Планка с классическими иред-ставлениями отмечалась, в частности, Л. Пуанкаре (Н. Poin are). [c.274]

Отображение Пуанкаре, соответствующее ур-нияи (1), прн ц = О кусочно можно описать непрерывной ф-цией, график к-рой приведён на рис. 5. Линейный участок I с козф. угла наклона, большим единицы, [c.699]

Выше говорилось о бифуркациях обмотки двумерного интегрального тора, порождаемых изменением числа вращения Пуанкаре. В частности, эти бифуркации могли происходить на торе, который рождается от иериодического движепия при изменении параметров, приводящем к переходу через бифуркационную поверхность коразмерности единицы. В момент рождения тора число вращения фазовых траекторий на нем равно ф/2я и в дальнейшем может меняться. При этом рождение тора носит изолированный характер, т. е. оно происходит при некотором значении параметра [х = (х и при [х, близких к ц, по отличных от (X, отделений или слияний торов с периодическим движением нет. Однако в особых случаях и, в частности, для гамильтоновых систем, рождение интегральных торов от периодических движений может носить совсем другой, непрерывный характер [61]. Это связано с особенностями гамильтоновых систем и в первую очередь с тем, что при наличии у нее периодического движепия только с двумя ко мплексными корнями последние обязательно имеют вид и при изменении параметров возможны только следующие случаи [c.170]

Континуум непрерывное), конечно, не сводится к дискретному и просто не сопоставим с числами. Представление о непрерывном отрезке и дискретных точках делает противоречивым суждение о том, что отрезок состоит из точек . Например, если точки представлять как единые неделимые элементы, а отрезок считать сплошным непрерывным, то возникающее противоречие приводит к выводу [2], что прямая (и любой её отрезок) не составляется из точек. Принимая в качестве слов слова отрезок и подотрезки , состоящие из точек, А. Пуанкаре вслед за Кантором поступает, как и Шёнфлис, вводя слова , означающие целый класс. Это тоже делает несравнимыми доказательство Ришара и доказательство Кантора (см. также комментарий 4). [c.215]

Для этих уравнений множество Пуанкаре Р, также будет всюду плотно на полупрямой у > 0. Невозмущенная система невырождена d Ko/dy ф 0), поэтому выполнены все условия теоремы 5 из 1. Таким образом, можно заключить, что уравнения (2.2) нри всех значениях полной энергии /г < О не имеют первого интеграла с непрерывно дифференцируемыми коэффициентами в области Д X = у,. т,т , где Д — произвольный интервал полупрямой у > 0. [c.187]

Периодические решения Пуанкаре из теоремы 1 зависят от двух параметров непрерывного е и дискретного п. В предположениях теоремы 1 возмущенная система имеет 2тг7г-периодическое решение при фиксированном п и малом , В зависимости от знака произведения / (Ао) это решение может быть эллиптическим или гиперболическим. Возникает естественный вопрос о поведении возникающих невырожденных периодических решений при увеличении . Эта задача рассмотрена в работе [50. Оказывается, найдется такая положительная постоянная с, что с возрастанием < с/п мультипликаторы А, A периодического решения Пуанкаре, появляясь из точки А = A = 1 при = О, либо монотонно движутся в противоположных направлениях положительной вещественной по- [c.296]

Действительно, если представить уравнения Пуанкаре в парамет-эической форме [34], когда время = жо и координаты (г = 1,..., п) рассматриваются как переменные Жо, (а = 0,1,..., п), независимые одни от других, но стесненные дифференциальными связями (1.1) и выражаемые непрерывными дифференцируемыми функциями некоторого параметра г, Жо, = Жо,(г), то интеграл энергии параметрических [c.15]

В п. 2.8—2.9 обсуждались пути возникновения хаоса при эволюции динамических систем, описываемых функциями от времени (непрерывного или дискретного — первый случай сводится ко второму, если вместо всего фазового потока рассматривать создаваемое им отображение последования Пуанкаре некоторого трансверсального подмножества фазового пространства). В течениях жидкостей и газов такими функциями от времени являются значения их термогидродинамических характеристик в той или иной фиксированной точке пространства. Однако течения обладают также и пространственной структурой, которая у ламинарных течений упорядочена, а у турбулентных — хаотична, и возникновение хаотической эволюции во времени еще не означает возникновения пространственного хаоса, т. е. перехода к турбулентности. Так, например, стохастизация течения Лоренца, описываемого динамической системой (2.114), не меняет его упорядоченной пространственной структуры — конвективных роликов (2.113). [c.155]

Второй метод основывается на принципах, не зависящих от разыскания каких-либо решений уравнений возмущенного движения он Ьостоит в построении некоторых непрерывных однозначных функций V х, t переменных и времени обращающихся в пуль при = О и удовлетворяющих определенным условиям. По признанию Ляпунова, на этот метод его натолкнуло изучение работы А. Пуанкаре О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями (1881—1885 русский перевод М.—Л., 1947). Основания второго метода выражены в данных Ляпуновым следующих четырех теоремах. [c.9]

Осгуда 146 Пуанкаре 157,182 единственности 17, 22, 23 непрерывности 18, 23 [c.407]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...