Метод преобразования Пуанкаре

В настоящей книге свойства поляризованного света рассматриваются с помощью таких алгебраических выражений, как уравнение (1.28). Этот метод прост, быстро приводит к цели и позволяет непосредственно и легко отобразить физическую картину явления. Его недостаток заключается в необходимости производить длительные, иногда громоздкие алгебраические преобразования. Свойства поляризованного света можно изучать также с использованием сферического отображения, предложенного Пуанкаре [3] и недавно использованного авторами работ [4, 5] ). Их можно изучать также по методу /-круга , который особенно полезен при анализе объемных задач [6]. [c.34]

Книга Биркгофа Динамические системы подводит итоги исследованиям автора в области динамики, выполненным до 1927 года. В этой области Биркгоф является основоположником новых точек зрения, новых методов исследования и автором целого ряда важных результатов. Здесь достаточно указать па его замечательное доказательство последней геометрической теоремы Пуанкаре о неподвижных точках при преобразовании плоского кольца, на применение им этой теоремы к теории периодических движений систем с двумя степенями свободы, на его теории центральных и рекуррентных движений. Все это в настоящее время входит в тот минимум знаний, которым должен обладать всякий желающий специализироваться в области качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений или в области теоретической механики. Перевод книги Биркгофа, предлагаемый вниманию читателя, является поэтому насущной потребностью. [c.11]

Соответствующее преобразование Г. Мы намерены теперь определить преобразование кольца Г, связанное с проблемой бильярдного шара, и показать, как геометрическая теорема Пуанкаре в своей первоначальной форме приводит к выведенным в предыдущем параграфе заключениям. Приведение задачи к вопросу о преобразованиях кольца имеет большое значение, даже не принимая во внимание его связь с вопросом о периодических движениях. Нужно отметить также, что в наиболее интересных случаях, как, например, ограниченная задача трех тел, метод приведения к преобразованиям кольца и применения геометрической теоремы Пуанкаре вполне приложим к изучению периодических движений, в то время как метод максимума и минимума до сих пор не мог быть приложен к этим задачам. [c.177]

Следуя методу, примененному в работах Пуанкаре , Леви-Чи-вита и моих , изучение движений, соседних с периодическим движением, приводится к изучению некоторого точечного преобразования Т плоскости в себя. Обозначим через [c.327]

Предложенный А. Пуанкаре и А.М. Ляпуновым метод отличается от (3.2) лишь преобразованием времени [c.128]

Метод преобразования Пуанкаре. Р1ногда динамической проблеме может быть придана другая, совершенно новая форма. Решения п дифференциальных уравнений первого порядка с правыми частями, не зависящими от t. можно изобразить в виде постоянного и-мерного потока жидкости таким образом, что координатами движущейся точки жидкости будут являться зависимые переменные. Предположим теперь, что в этом многообразии состояний движения может быть построена замкнутая (п —1)-мериая аналитическая поверхность S такая, что каждая линия потока пересекает S по крайней мере один раз в течение любого проме кутка времени г и притом каждый раз в одном направлении. Тогда такую поверхность S можно назвать секущей поверхностью ( surfa e of se tion ). Если из точки Р, лежащей в S, мы будем двигаться по линии потока, проходящей через Р в направлении увеличивающегося времени, то мы пересечем S снова в некоторой точке Рх. Таким образом, определяется одно-однозначное аналитическое преобразование секущей поверхности S в себя, а именно, преобразование Т, переводящее каждую точку Р в соответственную точку Pi. [c.151]

Общетеоретические основы метода точечных отображений в теории нелинейных колебаний были высказаны А. А. Андроновым в 1944 г. в докладе на сессии отделения физико-математических наук АН СССР Теория точечных преобразований Пуанкаре— Брауера—Биркгофа и теория нелинейных колебаний . [c.94]

Первые конкретные результаты, полученные в этом направлении, были включены в известную монографию А. А. Андронова, А. А. Витта и С. Э. Хайкина по теории колебаний (1937). Общетеоретические основы метода точечных отображений в теории нелинейных колебаний были изложены А. А. Андроновым в 1944 г. в докладе Теория точечных преобразований Пуанкаре — Брауера — Биркгофа и теория нелинейных колебаний , прочитанном на сессии Отделения физико-математических наук АН СССР. [c.138]

Последнее разложение можно рассматривать как почти тождественное преобразование переменной х к переменной 8. Функции называются растягивающими функциями и выбираются так, чтобы разложение для и было равномерно пригодным. Другими словами, должно выполняться условие и /и 1 <оо для всех рассматриваемых значений л ,, или, что то же самое, высшие приближения должны быть не более сингулярными, чем предыдущие. Заметим, что если = с постоянными со , то метод Лайтхилла переходит в метод Линдштедта—Пуанкаре. Так как в методе Лайтхилла преобразуется координата, а не параметр, то этот метод назван методом растянутых координат. [c.68]

Метод неподвижной точки. В 30.8 мы доказали, что при определенных условиях для достаточно малых значений параметра существуют периодические орбиты. Из этого доказательства не следует, вообще говорЯг что такие орбиты существуют для больших значений [X. Пуанкаре исследовал этот вопрос с помощью теории преобразований, имеющих неподвижную точку. [c.619]

Предыдущий метод часто сочетается с геометрическим представлением процессов с помощью фазовых траекторий и общим анализом расположения этих траекторий. При этом существенной частью анализа является исследование зависимостей между координатами точек входа фазовых траекторий в каждую из областей фазового пространства и координатами точек выхода их из этой области. Этот метод, называемый методом точечных преобразований, был создан и применен к ряду задач А. А. Андроновым и его школой [4. 5], Для исследования устойчивости и нахождения автоколебательных режимов систем с любыми нелинейностями удобным приближенным приемом является метод эквивалентной линеаризации, впервые примененный к одной из задач регулирования скорости А. И. Лурье [59 ] и подробно разработанный Л. С. Гольдфарбом [28 ]. Тот же метод был применен несколько ранее В. А. Котельниковым [52] к задаче об автоколебаниях самолета с автопилотом. Связь этого метода с общими исследованиями нелинейных уравнений, произведенными А. Пуанкаре [124], была установлена Б. В. Булгаковым [10, 11], [c.154]

Одим из основных технических приемов при исследовании системы (1) является разработанный егце в 1879 г. метод нормальных форм Пуанкаре [14], который в последние десятилетия нашел широкое применение в разнообразных нелинейных задачах [15]. Сугцность метода нормальных форм Пуанкаре в задаче об устойчивости системы (1) состоит в том, что при помогци близкого к тождественному канонического преобразования qj,Pj функция Гамильтона (2) приводится к некоторой простейшей (нормальной) форме. Соответствуюгцая ей каноническая система дифференциальных уравнений сугцественно упрогцается, что значительно облегчает ее исследование. Нормальная форма функции Гамильтона будет различной в резонансном и нерезонансном случаях. [c.115]

С точки зрения топологии трансляционную теорему Браувера о преобразованиях плоскости можно рассматривать как трактующую вопрос о топологических отображениях сферы с одной единственной инвариантной точкой. Аналогичным образом надлежащее обобщение теоремы Пуанкаре бросает свет на морфологию любого такого преобразования с двумя инвариантными точками. Важный новый метод исследования, изобретенный Керекьярто(" ), как кажется, дает возможность рассматривать эти и другие подобные вопросы на общей основе. [c.310]

Подробное рассмотрение вычислений в высших порядках содержится в 2.5, где представлены современные методы с использованием преобразований Ли. Здесь мы ограничимся тем, что выпишем в явном виде соотношения, необходимые для определения нового гамильтониана с точностью до второго порядка по е. Более детальное обсуждение рядов Пуанкаре—Цейпеля можно найти в работах Борна [34] и Джакалья [153]. [c.92]

Обращаем внимание читателя на недавно разработанный Литл-джоном [281 ] метод, в котором используются неканонические переменные, но дифференциальные уравнения и преобразования переменных определяются, как и в методе Пуанкаре—Цейпеля, скалярными функциями. Подход Литлджона есть нечто среднее между классической канонической теорией и общими методами усреднения Крылова и Крускала (подробнее см. в 1281 ]) ). [c.115]

Применение классических методов Пуанкаре—Цейпеля для разложения выше первого порядка становится все более и более утомительным. При классическом подходе для преобразований от старых переменных У, 0 к новым J, 0 используется производящая функция смешанного набора переменных, например 5 (0, J, t). В результате и само преобразование также получается в смешанных переменных [c.147]

К 8. Метод, ведущий к преобразованию Ватсона, был ранее него предложен Пуанкаре и Никольсоном, однако в электромагнитной теории он был впервые применен именно Ватсоном [884] см. также работы [515, 860] и [788], стр. 282. [c.99]

Класс симметризуемых систем, обобщающих аффинноинвариантные свойства канонического триплета,— класс 5-систем, был определен в 1 гл. 5. Регулярная квадратично-нелинейная 0-система, для которой построенная по 0-симметризатору 5 квадратичная форма в (д ) (матрица 0 обратна матрице 25) пропорциональна форме В х) = = 2 1(Л ) (д ) (Л = (5. ,/5д у) — матрица устойчивости), называется 5-системой. Представляет интерес выяснение вопроса о существовании -систем с трехмерным фазовым пространством, отличных от канонического триплета. Ниже изложено полное решение этого вопроса, основанное на вещественной классификации тернарных кубических форм. Другой метод исследования 5-систем в изложен в работе [199]. Кубическая характеристическая функция данной 0-системы Р (х , х , х ), согласно А. Пуанкаре [208], приводится невырожденным вещественным линейным преобразованием переменных х , х,) к одному из следующих канонических видов [c.280]

Метод точечных преобразований разработан одновременно с качест ной теорией дифференциальных уравнений в трудах А. Пуанк В частности, А. Пуанкаре использовал отрезок (либо поверхность) контакта и функцию последования при исследовании поведения фазо траекторий на плоскости и на торе [26] и при решении задач небес [c.164]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...