Модель Пуанкаре

В модели Пуанкаре плоскость Лобачевского Р отождествляется с внутренностью единичного круга z комплексной плоскости = z , причем метрика на задается формулой [c.118]

Биллиарды на плоскости Лобачевского, имеющие квадратичный по скорости интеграл, впервые описаны А. М. Абдрахмановым с использованием модели Пуанкаре (см. задачу 4 гл. 4). [c.141]

Глобальная система координат [х, у) называется моделью Пуанкаре геометрии Лобачевского. [c.169]

Капица С.П. и др. [1] считают одним из основоположников нелинейной науки Анри Пуанкаре, спрогнозировавшего еще в начале века возможность предсказания новых явлений природы на основе самых общих математических моделей, описывающих изучаемые объекты. [c.3]

Классическая динамика родилась и выросла в эпоху, когда астрономия, математика, механика и физика были единой наукой последним олицетворением этого единства был А. Пуанкаре. Сейчас на классическую динамику смотрят как на модель многочисленных реальных движений, собственное лицо которой вырисовывается на фоне красивого переплетения ряда математических дисциплин. [c.148]

Методы теории К. и волн — это методы анализа ур-ний, описывающих модели реальных систем. Поэтому большинство из них являются общими с методами качеств, теории дифференц. ур-ний (метод фазового пространства, метод отображений Пуанкаре н др.), асимптотич. методами решения дифференц. и иных ур-ний (метод Ван дер Поля, метод усреднения и т. д.). Специфика методов теории К. и волн состоит в том, что ири изучении моделей колебат, или волновых явлений интересуются, как правило, общими свойствами решений соответствующих ур-ний. [c.400]

Несколько состояний поляризации. Сообщим пучку S последовательно ряд определенных начальных состояний поляризации с порядковыми номерами i h, i, j, к,. .. (в циклической последовательности h, i, j. . . = = цикл h, i, j,. . . ). Соответствующие отображения М (2Р , 2у ) этих состояний на сфере Пуанкаре и орты i = h, i, j, к,.. . радиусов-векторов OMi жестко связаны с катящимся по экватору конусом анизотропии и, следовательно, сохраняют свое взаимное расположение неизменным вдоль пучка S [2] (при отсутствии дихроизма в модели). [c.20]

Таким образом, потребности развивающейся новой техники поставили уже в 40-х годах нашего столетия задачу об эффективных способах нахождения решений систем нелинейных уравнений с частными производными с учетом реальных свойств веществ и геометрии проектируемых изделий. Известные ранее аналитические методы решения отдельных типов линейных уравнений (создание их связано с именами Фурье, Адама ра, Римана, Лежандра и других известных математиков) и некоторых нелинейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений (Пуанкаре, Ляпунов и другие) не могли дать решения поставленных задач. Численные же методы, которые также успешно при менялись для решения отдельных задач еще в прошлом веке (Гаусс, Леверье и другие), не могли быть эффективно реализованы до появления хороших счетных машин. Конец 40 х годов и все последующие десятилетия проходили под знаменем бурного прогресса средств вычислительной техники. Первое время рост возможностей электронно-вычислительных машин, в первую очередь их быстродействия и памяти, выдвинул тезис о том, что с помощью достаточно мощных ЭВМ, с использованием сугубо численных методов (прежде всего разностных методов и методов прямого статистического моделирования) можно эффективно получить решение практически всех возникающих в приложениях задач без детального, аккуратного в математическом смысле исследования свойств применяемых математических моделей. [c.13]

В 3.4 методом однородных решений исследована контактная задача Qiq о сдвиге штампом усеченного плоского клина. Задача сведена к решению бесконечной системы второго рода высокого качества типа систем Пуанкаре-Коха с экспоненциально убывающими элементами матрицы и правой части. Задача имеет самостоятельный интерес и в тоже время может служить моделью для значительно более сложных задач. [c.16]

Даламбера-Лагранжа [25]. Термин, оставляя возможность отвлечься от способа реализации в случае идеальных связей, наполняется новым содержанием при появлении новых моделей. В частности, модель системы с идеальными связями может быть получена как предел различных последовательностей моделей, в которых рассматриваются конкретные силовые поля, участвующие в создании сил, являющихся реакциями. Для конструктивных способов реализации связей [44] требуется обобщение представления о виртуальных перемещениях и расширение сферы применения изучаемых методов. Заметим, что известная [119 некорректность Пуанкаре в постановке задачи о теории возмущений также может быть устранена с помощью конструктивного построения физических моделей. [c.12]

В своем исследовании периодических решений задач небесной механики А. Пуанкаре построил весьма простую модель, уже содержащую основную трудность задачи. Такой моделью является сохраняющее площади отображение плоского кругового кольца на себя. [c.384]

Здесь следует также упомянуть о прогрессе в гидродинамике идеальной жидкости и вихревой теории, основы которой были заложены Г. Гельмгольцем. На этом пути были получены уравнения для вектора завихренности, вполне аналогичные динамическим уравнениям для кинетического момента, а Пуанкаре впервые изучил прецессию земной оси, используя в качестве модели Земли твердое тело (мантию), имеющее полости, заполненные вихревой несжимаемой жидкостью (ядро). [c.15]

В литературе рассматривалось несколько моделей ускорения Ферми, которые приводят к различным отображениям на поверхности сечения Пуанкаре. Модель Улама показана на рис. 3.11, а. Точное [c.221]

Сведение динамических моделей к одномерным отображениям. В гл. 1 мы убедились, что простые одномерные отображения или разностные уравнения вида х = / х ) могут содержать бифуркации удвоения периода и хаос, если функция /(дг) имеет хотя бы один максимум (или минимум), как показано на рис. 1.19. Явления удвоения периода наблюдались во многих разнообразных сложных физических системах (жидкостях, лазерах, электронных р-п- переходах) и часто динамика этих систем хорошо описывается одномерными отображениями. Такая возможность особенно характерна для систем с существенным затуханием. Чтобы проверить эту возможность, следует сделать выборку какой-либо динамической переменной с помощью сечения Пуанкаре, обсуждавшегося выше, скажем дг = х 1 = / ). Затем можно построить зависимость каждого Лд от последующего значения х Чтобы можно было объявить систему хаотической, необходимо выполнение двух критериев. Во-первых, точки на графике с отложенными по осям величинами п + 1 и дг должны группироваться, создавая некую функциональную зависимость во-вторых, эта функция /(х) должна быть немонотонной, т. е. иметь максимум или минимум. Если эти требования выполнены, то следует подобрать полиномиальную аппрокси- [c.63]

Рис. 3.3. а — Модель динамики частицы, отскакивающей от периодически колеблющейся стенки б — отображение Пуанкаре как функция шГ (то<12т) для задачи с соударениями, показанной на рис. 3.3, а и описываемой уравнениями (3.2.8). [c.81]

Точка, движущаяся по поверхности тора, может служить абстрактно-математической моделью динамики двух связанных осцилляторов. Амплитуды движения осцилляторов служат малым и большим радиусами тора и часто предполагаются фиксированными. Фазы осцилляторов соответствуют двум углам, задающим положение точки вдоль малой окружности (меридиана) и большой окружности (параллели) на поверхности тора. Сечение Пуанкаре вдоль малых окружностей тора порождает одномерное разностное уравнение, называемое отображением окружности на себя [c.283]

Источником задач тогда почти исключительно служила нелинейная механика, модели которой обычно были чисто консервативными. Однако тогда же А. Пуанкаре создал теорию предельных циклов и даже появились отдельные экзотические примеры, в которых обнаружились незатухающие колебания в системах с трением [1]. [c.271]

Эргодическая теория геодезических потоков на многообразиях постоянной отрицательной кривизны может быть достаточ-то глубоко исследована с помощью методов теории унитарных лредставлений групп Ли. Впервые идея об алгебраической конструкции таких геодезических потоков появилась в работе И. М. Гельфанда и С. В. Фомина (см. [20]), где было получено много важных результатов. Динамические системы, к которым. применим подход Гельфанда—Фомина, иногда называют динамическими системами алгебраического происхождения. Многие относящиеся к ним результаты описаны в обзоре [22]. Здесь мы остановимся только на геодезических потоках на многообразиях постоянной отрицательной кривизны. Мы будем пользоваться моделью Пуанкаре плоскости Лобачевского на верхней комплексной полуплоскости Я= z= (x+iy) г/>0 . Линия г/=0 называется абсолютом (и обозначается Я(оо)), а ее точ-зси — бесконечно удаленными. Прямыми в Я служат полуокружности с центрами на aб oJIIЮтe или лучи, ортогональные J абсолюту. Риманова метрика кривизны — К задается в виде скалярного произведения <, >л в точке z= x+iy)6H равенст-k [c.164]

Перефразируя известные слова Пуанкаре о периодических решениях, можно сказать, что бифуркации, как факелы, освещают путь от исследованных динамических систем к неисследованным. Эту роль теории бифуркаций использовали Л. Д. Ландау и позже Э. Хопф, предложившие эвристическое описание перехода от ламинарного течения к турбулентному при возрастании числа Рейнольдса. В сценарии Ландау этот переход осуществлялся через бифуркации торов все возрастающей размерности. После того, как зоопарк динамических систем и их бифуркаций необозримо разросся, появилась масса работ, описывающих, в основном на физическом уровне строгости, переход от регулярного (ламинарного) движения к хаотическому (турбулентному). С помощью исследования цепочки бифуркаций объяснено хаотическое поведение трехмодовой модели Лоренца конвективного движения это объяснение не вошло в настоящий обзор, поскольку в него, по соображениям объема, [c.9]

Анализ характерного для развития физики XIX в. метода построения моделей всех немеханических явлений на основе механических аналогий был дан в 90-х годах XIX в. Г. Герцем и А. Пуанкаре. Герц прищел к выводу, что бесконечно много физических соверщенно различных систем могут быть моделями одной и той же системы и каждая система есть модель бесконечно многих, совершенно различных систем. Таким образом, механистическая картина мира не однозначна. К таким же выводам пришел А. Пуанкаре, исходя из рассмотрения механических моделей, которые строятся с помощью принципа Гамильтона. Таким образом, механистическое объяснение не выполняет своей главной задачи, так как оно не позволяет сделать сколько-нибудь однозначный вывод о сущности явлений природы. Это — необходимое следствие немеханической сущности явлений природы и фактически окончательное падение механицизма. Впрочем, как это часто бывает, исторически он пережил сам себя. А. Пуанкаре делает отсюда идеалистические выводы, которые подверг глубокой и справедливой критике В. И. Ленин. [c.857]

Сложное поведение нелинейных колебат. систем наблюдалось (1920-е — 50 е гг.) задолго до осознания факта возможности существования стохастичности в таких системах (эксперименты Ван дер Поля и Ван дер Марка [1], двухдисковое динамо (2], распределённая система авторегулирования темп-ры [3]). Кроме того, хотя в то время существовали век-рые элементы матем. аппарата для описания нетривиального поведения траекторий динамических систем в фазовом пространстве (гомоклинич. структуры Пуанкаре [4]), однако представления о том, что детерииниров. системы могут вести себя хаотически, ещё не проникли ни в физику, ни в математику. Качественное изменение ситуации произошло в 1960-е гг. в связи с открытиями в математике [5—6] и компьютерными исследованиями моделей физ. систем. [c.694]

Развитие метода точечных отображений. При решении конкретных задач на начальном этапе развития теории нелинейных колебаний метод точечных отображений не использовали, а применяли аналитические методы и методы теории возмущений. Спустя некоторое время независимо от работ А. Пуанкаре и Д. Биркгофа идея секущей поверхности и точечных отображений возникла вновь при решении конкрет71ых задач методом сшивания (припаговыванип). В своем первоначальном виде этот метод позволял находить периодические решения кусочно-линейных систем, но с его помощью исследовать устойчивость не удавалось. Результаты по исследованию устойчивости вошли в первое издание монографин [2], где рассмотрены автоколебания простейших моделей маятниковых часов и лампового генератора с 2-образной характеристикой зависимости анодного тока от напряжения на сетке. В обоих случаях рассмотрение сводилось к исследованию точечного отображения прямой в прямую. [c.93]

Заключение. В работе развит обш,ий подход к задаче исследования моделей в рассеянном свете по точкам. Кроме геометрического представления Пуанкаре, применявшегося автором ранее [1, 2], исйользован матричный метод учета поляризации света 3]. Это позволило включить в рассмотрение неполностью поляризованные световые пучки и рассеяние света, отличаюш ееся от релеевского. [c.30]

В первые же десятилетия после возникновения молекулярнокинетической теории, ставившей себе целью механическое объяснение термодинамических и кинетических процессов, стало ясно, что чисто механические представления совершенно недостаточны для этой цели и должны быть дополнены введением предположений вероятностного характера. В то время как эрго-дической гипотезе с самого начала придавали чисто механический смысл, механическое толкование принципа возрастания энтропии сразу оказалось невозможным. С одной стороны, оказалось невозможным создать чисто механическую модель не только вероятностного поведения энтропии, но и модели одного лишь необратимого ее изменения, в соответствии с догматическим пониманием второго начала (вроде теории моноциклических систем Гельмгольца и других — см. резюмирующее изложение Пуанкаре в гл. XVII его Термодинамики [1], [2]). С другой стороны, было указано на наличие вероятностных предположений в предложенном Больцманом доказательстве Я-теоремы (в известной критике положенного в основу доказательства предположения о числе соударений). Это положение было достаточно ясно охарактеризовано в известном обзоре Н. и Т. Эрен-фестов [1]..Отметим здесь только, что вероятностные предположения возникают уже в элементарных представлениях статистики и кинетики. [c.20]

Ограничимся изложением результатов исследования семимерной модели (7.7), выполненного в работе [461]. При R = Ro 227,1 четыре симметрично расположенных в фазовом пространстве предельных цикла становятся неустойчивыми и превращаются в четыре двумерных тора с частотами Д (частота цикла) и /г = 1/Гт, где Гт — квазипериод тора. Проекция на плоскость Же, X, инвариантной кривой на секущей гиперплоскости Xi = О, соответствующей одному из таких торов, а также спектральные плотности отображения Пуанкаре для х, и потока для xi x) при R = 269 показаны на рис. 9.80, а. При R = Ri, где 275 бифуркация удвоения квазипериода тора (рис. 9.80, б), а при R = Лг, где 294 бифуркация удвоения тора в [461] обнаружена не была. При увеличении R от значения Лг инвариантная кривая становится все более нерегулярной (рис. 9.81). Хаос на- [c.337]

Тот факт, что система в действительности всегда не изолирована, надо помнить также в связи с другим парадоксальным возражением против любой механической интерпретации второго закона термодинамики это возражение тоньше довода, основанного на обращении скоростей молекул. Возражение основано на теореме Пуанкаре, в которой утверждается, что любая конечная механическая система, подчиняющаяся законам классической механики, за достаточно большой промежуток времени возвратится как угодно близко к начальному сострянию при почти всех начальных условиях. Из этой теоремы следует, что спустя время возвращения положения и скорости молекул могут стать столь близки к начальным, что макроскопические величины (плотность, температура и т. д.), подсчитанные по ним, должны быть практически теми же, что и в начальном состоянии. Следовательно, энтропия, которую можно подсчитать по макроскопическим величинам, также должна быть практически той же, и если она вначале возрастает, то должна уменьшаться в какой-то более поздний момент. На это возражение обычно отвечают, что время возвращения столь велико, что в сущности никогда не наблюдались значительные части цикла возвращения действительно, время возвращения для обычного количества газа будет огромным, даже если за единицу измерения времени принять примерный возрасг Вселенной. Не говоря уже о применимости принятой модели классических точечных молекул, ясно, что при таком огромном. [c.73]

Внепогранслойные приближения вида (17), так сказать, переводят на каждом шаге итераций сингулярные возмугцения 1(1г/(И в разряд заданных функций времени. Поэтому разложения (16) совпадают здесь по структуре с разложениями типа Пуанкаре. Отсюда видно, что уточненные модели первого приближения можно строить и в регулярно возмугценном случае, если рассматриваемая система — с разделяюгцимися по скоростям переменными. [c.186]

Заметим, что даже в простейших примерах, когда уравнения (2) линейны, построение отображения Пуанкаре в явной форме, как правило, невозможно, так как для определения момента ударов приходится решать трансцендентные уравнения. Поэтому иногда применяют упрогценные модели, заменяя реальный момент удара на приближенный (см. [33, 61]). [c.242]

В своей работе [256] А. Пуанкаре привел вполне современный вывод уравнений (2.3), (2.8), опираясь на развитый им формализм общих уравнений движения на группах Ли. Он также явно указал сведение к эллиптическим квадратурам для осесимметричного случая и рассмотрел устойчивость регулярных прецессий. По этому поводу интересна его полемика с В. Кельвином относительно поведения частоты и устойчивости прецессии тела при наличии жидкой полости. При этом Пуанкаре использует систему (2.7) ДЛЯ описания движения Земли, представляющей собой твердую оболочку (мантию) и жидкое ядро. В дальнейшем эту модель изучает также В. А. Стеклов, приводя в работе [273] открытые им случаи интегрируемости. [c.182]

НОВЫЙ качественный подход к анализу проблемы п тел. Позднее в гамильтоновой динамике зародились два различных направления ( ) исследование динамической сложности, возникающей в этой задаче из-за определенной гиперболичности (Алексеев, Конли), и Ш) анализ интегрируемых систем и их возмущений, который привел к КАМ-теории. Хотя и гиперболическая, и интегрируемая модели были известны еще со времен Пуанкаре, потребовался глубокий анализ Колмогорова, для того чтобы осознать, что многие качественные особенности (весьма специальных) интегрируемых систем в определенной степени сохраняются под действием возмущений, а также возникают в типичных ситуациях (например, вблизи неподвижной эллиптической точки). На развитие обоих этих направлений повлиял вопрос об устойчивости солнечной системы, который изучался в рамках гиперболического подхода в терминах устойчивости системы п тел и в рамках КАМ-теории посредством анализа возмущений, например, (интегрируемой) системы центральных сил без учета взаимодействий между планетами. В работе Конли и Цендера была установлена взаимосвязь топологических и вариационных методов, ставшая краеугольным камнем современной глобальной симплектической геометрии. Возрождение анализа вполне интегрируемых систем началось с работы Гарднера, Грина, Крускала и Миуры и открытия П. Лаксом новых методов построения интегрируемых систем. Это привело к быстрому увеличению числа новых интересных примеров конечномерных интегрируемых систем, а также к построению теории бесконечномерных гамильтоновых систем. Применение этой теории к изучению нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных стало крупным достижением впервые в ситуациях, когда асимптотическое поведение уже не может быть названо тривиальным, появились средства для законченного качественного анализа. [c.24]

Д. Компактные факторы. В дальнейшем часто будет целесооб разно пользоваться другой моделью плоскости Лобачевского. Отображе ние / Н—> С, 2 переводит верхнюю полуплоскость Пуанкаре Н н [c.220]

Доказательство. Мы будем использовать модель в диске Пуанкаре О. Возьмем V е ЗМ. Рассмотрим область Д ихле О для Г, и пусть гу е 50 — поднятие вектора V с носителем в О. Пусть с —такая геодезическая, что с(0) = гу в О, и пусть хну — концы с, принадлежащие границе диска Пуанкаре. Наш план состоит в том, чтобы найти такой гиперболический элемент 7 е Г, что концы его оси находятся в данных маленьких [c.223]

Предполагая в предыдущем разделе существование независящего от начальных условий отклика системы на действие внешней силы, мы неявно постулировали наличие процессов релаксации. Эти процессы приводят к забыванию системой ее начального состояния, к установлению стационарного отклика при воздействии гармонического возмущения и к возвращению системы к тепловому равновесию после выключения силы. Релаксация вводится в динамическую теорию с помощью термостата — второй системы, имеющей бесконечное число степеней свободы и, следовательно, бесконечную длительность цикла Пуанкаре , т. е. периода повторения состояния. В классические теории релаксация легко вводится феноменологически — добавлением в уравнение сил трения, пропорциональных скорости. В дина-мичес1ше квантовые модели бесконечно слабая релаксация и необратимость уравнений движения вводится с помощью адиабатического множителя е при энергии возмущения (2.3.23). [c.74]

Другое направление исследований, касающееся связанных нелинейных осцилляторов, началось с попыток решить задачу трех тел в небесной механике, которая служит упрощенной моделью Солнечной системы. Ранние работы по этой проблеме восходят к трудам Гамильтона и Лиувилля середины XIX в., которые стимулировали развитие гамильтоновой механики, лежащей в основе большинства современных исследований. К концу XIX в. многие идеи, касающиеся устойчивости нелинейных систем, были рассмотрены Пуанкаре [337 ] и применены им к проблемам небесной механики. Именно в этот период Пуанкаре, Цейпель [419] и другие разработали методы теории возмущений, которые оказались столь плодотворными при описании поведения нелинейных систем на [c.13]

Мы уже видели, что хаотическое движение может возникать в диссипативных потоках с размерностью фазового пространства не меньше трех, или в соответствующих этим потокам обратимых отображениях Пуанкаре, размерность которых не менее двух. В общем случае хаотическое движение имеет место лишь для узких интервалов параметров. В этом существенное отличие от гамильтоновых систем, где хаотическое движение сохраняется, как правило, в широком диапазоне параметров. Ниже описаны два критерия локальной стохастичности для диссипативных систем. В п. 7.3а метод квадратичной ренормализации применяется к двумерным обратимым отображениям и показывается сходимость последовательности бифуркаций удвоения периода и возникновение локального хаотического движения. В п. 7.36 получен критерий перехода к хаотическому движению вблизи сепаратрисы на примере вынужденных колебаний осциллятора с затуханием. Наконец, в п. 7.3в pa ютpeнa модель ускорения Ферми с диссипацией и используется описание хаотического движения с помощью уравнения ФПК. Это уравнение позволяет получить первое приближение для инвариантного распределения на странном аттракторе. [c.453]

В гл. 2 я описываю некоторые характеристики хаотических колебаний и обсуждаю их характерные признаки и способы их выявления в физическом эксперименте. Классы физических моделей и экспериментальных систем, в которых обнаруживается хаотическое поведение, приведены в гл. 3. В гл. 4 обсуждаются некоторые экспериментальные методы регистраш1и хаотических явлений в их числе — отображение Пуанкаре. Это глава о том, как следует ставить эксперимент, и те, кому интересен общий взгляд на проблему, могут ее пропустить. Гл. 5 и 6 более насыщены математикой и посвящены изучению критериев, которые сейчас применяются для предсказания хаотических колебаний, а также обзору новых идей математики фракталов. Представления о фракталах сейчас занимают центральное место во многих новых направлениях развития не- [c.7]

Понятие потока описывает пучок траекторий в фазовом пространстве, который начинается на множестве близких начальных условий. Для тех, кто занимается колебаниями в инженерных системах, наиболее близок пример потока, связанный с непрерывным движением частицы. Однако определенную качественную и количественную информацию о системе можно получить, анализируя эволюцию параметров системы на дискретно выбранных моментах времени. В частности, в этой книге мы обсудим, как получить разностные эволюционные уравнения для непрерывно эволюционирующих систем с помощью сечения Пуанкаре. Отображения Пуанкаре иногда помогают отличить друг от друга движения качественно различающихся типов, например периодические, квазипериодические и хаотические. В некоторых задачах не только время принимает дискретные значения, но и информация о параметрах системы оказывается ограниченной конечным набором значений или категорий, как, например, красный или синий, нуль или единица. Например, в задаче с парой потенциальных ям (см. рис. 1.2, б) нас может интересовать только, в какой яме находится частица, правой (К) или левой (Ь). Тогда траектория может описываться последовательностью символов ЬККЬКЬЬЬК,. ... Периодическая орбита может иметь вид ЬКЬК. .. или ЬЬКЬЬК. ... На современном новом этапе развития нелинейной динамики для описания эволюции физических систем применяются модели всех трех типов (см. обсуждение символической динамики в [26] или [211]). [c.33]

Нет лучщего примера теории, новые модели и парадигмы которой обещают значительные перемены в естественнонаучном и математическом мышлении, чем нелинейная динамика, испытывающая сейчас революционные изменения. Двумя главными парадигмами здесь являются аттрактор Лоренца (см. уравнения (1.3.9)) и логистическое уравнение (1.3.6). Эти два примера заключают в себе многие особенности хаотической динамики, такие, как разбегающиеся траектории, субгармонические бифуркации, удвоение периода, отображения Пуанкаре и фрактальные размерности. Как для освоения теории линейных колебаний необходимо изучить все тонкости модели из массы с пружиной, без которых нельзя понять колебания сложных систем, так же и каждому, кто ищет свой путь в современной нелинейной динамике, не обойтись без понимания явлений, скрытых в модели Лоренца и логистическом уравнении. Другие, менее яркие парадигмы также важны для понимания и развития теории динамических систем. Среди них вынужденные движения осциллятора Ван дер Поля (уравнение (1.2.5)), модели осциллятора [c.74]

Хаотические колебания в этой модели были весьма подробно исследованы Уэдой [197]. Воспользуйтесь каким-нибудь стандартным алгоритмом численного интегрирования, например схемой Рунге—Кутта четвертого порядка, и рассмотрите случай Аг = О, 1 9,8 В 13,4. При б = 9,8 у вас должна получиться периодическая траектория с периодом 3. (Сечение Пуанкаре проводите прн t = 2vn,n = 1, 2,. . . .) В окрестности значения В = 10 траектория [c.280]

Она служит примером многомерных систем, динамика которых допускает аппроксимацию одномерным отображением. Проведите сечение Пуанкаре при = О и постройте на плоскости (рс,г) одномерное отображение из точек, т. е. постройте график зависимости , от дг . Обратите внимание на сходство полученной кривой с квадратичным, или логистическим, отображением. Неудивительно, что в модели Ресслера наблюдается удвоение периода. [c.285]

В соответствии с моделью Ландау-Хопфа турбулентность при увеличении числа Рейнольдса возникает в результате цепочки последовательных бифуркаций, благодаря которым устанавливается квазипериодическое движение ( ) = F(a li,. .., где функция Р имеет период 2тг по каждому аргументу, а — это несоизмеримые частоты. Первые бифуркации из этой цепочки очень просты вначале устойчивое состояние равновесия превращается в неустойчивое и одновременно в его окрестности рождается устойчивый предельный цикл (так появляется 1), затем возникшее периодическое движение теряет устойчивость и в окрестности исчезнувшего устойчивого цикла появляется двумерное многообразие — тор, частота обмотки которого несоизмерима с основной частотой (так появляется 2), после чего это двухпериодическое движение становится неустойчивым и рождается трехмерный тор (возникает шз и т. д. При большом N реализация такого квазипериоди-ческого процесса действительно выглядит случайной, в частности, его автокорреляционная функция быстро спадает (как 1/л/]У), а время до ее следующего максимума (период возврата Пуанкаре) есть Т ехр(аТУ), где а и 1 [3]. [c.495]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...