Пуанкаре система уравнений в вариациях

Пуанкаре система уравнений в вариациях 450 Пуансо теоремы 391, 392 Пуассона система кинематических диф-ференциальных уравнений 382 [c.493]

Исследование устойчивости периодических решении, найденных методом малою параметра Пуанкаре, имеет ряд особенностей. Согласно теории А. М. Ляпунова (35J, решение вопроса об устойчивости зависит от характера решении системы уравнений в вариациях для уравнений (40) и решения (42) [c.54]

Примечание. Метод определения коэффициентов рядов (1.92) может быть применен также и к рядам (1.91), (1.89), (1.87), так что интегрирование нелинейных уравнений с помощью рядов, расположенных по степеням параметров и произвольных постоянных, всегда приводится к интегрированию систем линейных уравнений, из которых находятся коэффициенты упомянутых рядов. Теорема Пуанкаре об уравнениях в вариациях также применима к подобным системам линейных неоднородных уравнений. [c.54]

Система (7.35) есть система уравнений в вариациях Пуанкаре [c.450]

Уравнениями возмущенных движений материальной системы вблизи ее положения равновесия в первом приближении будут уравнения в вариациях Пуанкаре с постоянными коэффициента- [c.236]

В консервативной системе с одной степенью свободы билинейная форма может быть понимаема как инвариант Пуанкаре, спинор — как некоторое частное решение уравнений в вариациях Пуанкаре для некоторого возмущенного движения. Группа преобразований движения, как это хорошо известно, будет бинарной группой. [c.358]

Эти уравнения, позволяющие исследовать решения, бесконечно близкие к заданному решению, были введены Пуанкаре, который назвал их уравнениями в вариациях решений системы (33). [c.410]

Прежде всего для составления этих функций необходимо найти функции г (О, образующие k независимых периодических решений системы (49), сопряженной с системой в вариациях (46). Для этого, вообще говоря, необходимо знать общее решение системы в вариациях, т. е. системы линейных однородных уравнений с периодическими коэффициентами . Но общих методов решения таких систем не существует. Поэтому для доведения решения задачи до конца желательно вводить малый параметр так, чтобы было известно не только периодическое, но и общее решение порождающей системы. В этом случае систему из п независимых частных решений уравнений в вариациях легко найти согласно теореме Пуанкаре путем дифференцирования по параметрам. Достаточным является и знание решения порождающей системы, зависящего ог п—1 параметров, так как при наличии (я—1)-го независимого частного решения системы с периодическими коэффициентами еще одно решение можно определить с помощью квадратур. [c.56]

Рассмотрим систему уравнений в вариациях Пуанкаре. Пусть имеется некоторое решение этой системы т) ( =1, 2,. .., к) и пусть Ло — наибольший из характеристических показателей функций 1, дг,. .., 11, Цг,. ... т)а. Представим решение в виде [c.600]

В общем случае вопрос об устойчивости некоторого движения дг = = 41 ( )> Р1 = Р1 ( ) консервативной системы начинается с исследования уравнений в вариациях Пуанкаре [c.36]

Если в уравнениях (5.48) отбросить все члены порядка выше первого, то получим уравнения первого приближения (уравнения в вариациях, по терминологии Пуанкаре), которые распадаются, как непосредственно видно, на систему двух уравнений с неизвестными х, у и одно, независимое от первой системы, уравнение с неизвестной z. [c.242]

Попытаемся установить условия, при которых решение уравнения (13.67) будет ограниченным для всех t. При этом возмущения исследуемого периодического движения (для которого (13.67) является уравнением в вариациях) будут также ограниченными и невозмущенное периодическое движение системы — устойчивым. Существуют различные приближенные способы решения уравнения (13.67). В частности, его можно было бы трактовать как квазилинейное и применить к нахождению решения метод Пуанкаре [c.562]

Пуанкаре показал, что если объединенная система уравнений (71) и (72) имеет интеграл, линейный в вариациях [c.37]

Дальнейшее обобщение метода Якоби дал А. Пуанкаре. В задаче возмущённого движения он предложил [92] увеличить число степеней свободы голономной системы так, чтобы стало возможно применять метод вариации постоянных и каноническую форму уравнений возмущённой системы. [c.220]

Ответ на поставленные выше основные вопросы, таким образом, зависит от того можно ли найти единственные Т-периодические решения х1 (О уравнений (43), (44), а также будут ли ряды (42) сходящимися, по крайней мере при достаточно малых Решение этих вопросов существенно зависит от характера системы уравнений (46) которая играет первостепенную роль в дальнейшем и которую, следуя А. Пуанкаре, называют уравнениями в вариациях для порождаюш,ей системы, составленными для порождающего решения. [c.53]

Ио векторное уравнение duJdt = dX x)/dx, u j является уравнением в вариациях для порождающей системы, поэтому, согласно теореме Пуанкаре [12], общий его интеграл находится путем дифференцирования общего решения (81) по произвольным постоянным. Следовательно, общее решение уравпепия (88) в принципе определяется в квадратурах. [c.39]

Вообгце говоря, для произвольных линейных систем с условнопериодическими коэффициентами приводимость может не иметь места. Однако, как показал Г.А. Красинский [77], уравнения в вариациях, соответствуюгцие условно-периодическим движениям гамильтоновых систем, построенным с номогцью метода А.Н. Колмогорова и его модификаций, всегда приводимы, причем матрица соответствуюгцей линейной замены переменных имеет условно-периодические коэффициенты, а сама замена будет канонической. Следовательно, в этом случае можно надеяться на успешный анализ устойчивости нелинейной системы методом нормальных форм Пуанкаре. [c.124]

В 1945 г., исходя из инварианта Пуанкаре, Четаев доказал, что если невозмущенное движение консервативной системы устойчиво, то решения уравнений в вариациях имеют все характеристичные числа равными нулю, уравнения в вариациях являются при этом приводимыми и имеют знакоопределенный квадратичный интеграл. Эта фундаментальная теорема Четаева обобщает теорему Лагранжа для равновесий и теорему Пуанкаре — Ляпунова для периодических движений. [c.15]

С постоянными коэффициентами, которые называются по Ляпу-нову уравнениями первого приближения (уравнения в вариациях—по терминологии Пуанкаре). Для этой системы уравнение [c.98]

Итак, основные этапы развития аналитической динамики таковы первым шагом явилось установление лагранжевой формы уравнений движения, затем лагранжев метод вариации произвольных постоянных и аналогичная теория Пуассона и связанные с нею проблемы интегрирования затем Гамильтон представил интегральные уравнения посредством единственной характеристической функции, определяемой а posteriori посредством интегральных уравнений, предполагаемых известными, или из того условия, что она должна одновременно удовлетворять двум дифференциальным уравнениям в частных производных Гамильтон же нашел новую форму уравнений движения Якоби свел интегрирование дифференциальных уравнений динамики к нахождению полного интеграла единственного дифференциального уравнения в частных производных он же развил теорию последнего множителя системы дифференциальных уравнений движения Остроградский рассмотрел проблему интегрирования уравнений динамики Раус нашел новую форму дифференциальных уравнений движений Пуанкаре развил теорию интегральных инвариантов наконец, [c.848]

Уравнения движения определяют действительное изменение механического состояния системы за бесконечно малый элемент времени и тем самым (если заданы начальные условия) определяют изменение состояния оистемы на конечном интервале времени. В связи с этим становится возможным отыскание, как гово-рят, и нтегр а л ьн ых принципов, характеризующих движение механической системы на таких кО Нечяых интервалах. Примером интегрального принципа может служить утверждение об инвариантности интеграла Пуанкаре — Картана инвариантности этого интеграла была установлена с помощью полной вариации функции действия. При этом, по существу, производилась сопоставление значений функции действия на различных действительных траекториях механической системы. Однако возможно соответствующее сопоставление значения какой-либо функции на действительной траектории с ее значениями на виртуальных траекториях. Такое сопоставление (как будет видно) также приводит к некоторому интегральному принципу. [c.449]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...